Eksamen REA3022 R1, Våren 2009

Transkript

1 Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x f x x x x x ) g x x e x x x x g x e x e e x b) Regn ut grenseverdien hvis den eksisterer x x lim x x Både teller og nevner er null for x. Vi må derfor forkorte brøken for å finne grenseverdien. x x x x lim lim x x x x c) Trekk sammen x x 4x x x x x x 4 Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side

2 x x 4x x x 4x x x x x x 4 x x x x x x x x x x x x x x x 4x x x x x x x x x x x x x x x 4x x 4x 4 x 4x 4 4x x x 8x4x x x 4 x x x x x 4 x d) Gitt punktene A,, B5,4 og C 4,7. ) Bestem AB, AC og BC. AB 5,4 7,5 AC 4,7 6,8 4 5,7 4, BC ) Undersøk om noen av vektorene står vinkelrett på hverandre. Dersom to vektorer står vinkelrett på hverandre, er skalarproduktet av vektorene lik null. BABC 7, 5, AB AC 7,5 6, CACB 6, 8, Ingen av vektorene står vinkelrett på hverandre. Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side

3 f x x 8x x e) Gitt polynomfunksjonen ) Regn ut f. Faktoriser fx. f 8 0 f 0 f x er delelig med x. Vi utfører polynomdivisjonen x x x 8x x : x x 0x 0x x 0x 0x x x 0 Vi løser så andregradslikningen x 0x 0 : x 5x x 5 x x x Vi får da at f x x x x Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side

4 ) Løs ulikheten fx 0. f x 0 x 8x x 0 x x x 0 Av det faktoriserte uttrykket ser vi at fx 0 for x, x og x. Det er bare for disse verdiene av x at fx kan skifte fortegn. Vi undersøker hvilket fortegn fx har i hvert av de fire intervallene,,,,, og,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket. For For x 0 får vi x,5 For x 0 får vi For får vi,5,5, x 0 får vi For å få en oversikt setter vi opp et fortegnsskjema. x - verdier f x fx 0 for x,, Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 4

5 f) Skriv så enkelt som mulig lg lg a a lg lga lg lga lga lg lga lg a 0 lg a lg a a Oppgave I denne oppgaven skal du bevise Pytagoras setning. På figuren ovenfor har vi tegnet en trekant ABC der C 90. Fotpunktet for høyden fra hjørnet C til siden AB kalles D. a) Forklar at ABC, ACD og CBD er formlike. ABC ogacd har A felles. Begge trekantene har i tillegg en rett vinkel. Da er vinklene parvis like store og trekantene er formlike. ABC og CBD har B felles. I tillegg har disse to trekantene også en rett vinkel. Vinklene er da parvis like store og disse trekantene er også formlike. Vi har da at ABC ACD og ABC CBD Da må også ACD CBD Alle tre trekantene er altså formlike. b) Bruk a) til å vise at AC ABAD og at BC ABDB. ABC ACD Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 5

6 AC AD AB AC AC ABAD ABC CBD BC DB AB BC BC ABDB c) Bruk b) til å bevise Pytagoras setning. BC AC ABDB ABAD AB DB AD ABAB AB Vi har da vist at summen av kvadratene på katetene er lik kvadratet på hypotenusen. Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 6

7 Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave a) I en trekant ABC er AB 0cm, AC 7cm og C 90. ) Bruk passer og linjal eller dynamisk programvare til å konstruere trekanten ABC. ) Jeg avsetter AB 0cm. ) Jeg konstruerer midtnormalen på AB. ) Jeg konstruerer en halvsirkel med sentrum i midtpunktet på AB og radius 4) Jeg setter passerspissen i A og 7 cm i passeråpningen og slår en bue. C er skjæringspunktet mellom denne buen og halvsirkelen fra ). Thales setning gir at C 90. AB. 5) Jeg trekker AC og BC. Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 7

8 ) Konstruer den innskrevne sirkelen i trekanten. ) Den innskrevne sirkelen har sentrum der vinkelhalveringslinjene skjærer hverandre. Jeg halverer A og B og finner sentrum i den innskrevne sirkelen. ) For å finne radius i sirkelen konstruerer jeg normalen fra sentrum i sirkelen på AC. ) Jeg slår så sirkelen. Radius i sirkelen er avstanden fra sentrum i sirkelen til punktet der normalen fra sentrum på AC skjærer AC. Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 8

9 b) Finn den eksakte løsningen til likningen ved regning x x ln ln lnx lnx lnx lnx 0 Vi setter uln x og får u u 0 4 u 6 u 4 u u u Vi får da lnx lnx x e x e x e c) En bedrift produserer mobiltelefoner. Avdeling A står for 70 % av produksjonen, og avdeling B står for de resterende 0 %. Det har vist seg at 5 % av produksjonen fra avdeling A har feil, mens 0 % av produksjonen fra B har feil. ) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt telefon har feil. Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 9

10 Et valgtre gir en fin oversikt i denne oppgaven. Definerer hendelsene A : Telefon fra A B : Telefon fra B F : Telefon med feil F : Telefon uten feil 0,95 F 0,950,70 0,665 0,70 A 0,05 F 0,700,05 0,05 0,0 0,90 F 0,00,90 0,70 B 0,0 F 0,00,0 0,00 Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt telefon har feil er 0,05 0,00 0,065 ) Hva er sannsynligheten for at en telefon som har feil, er produsert i avdeling A? Vi fant at 6,5 % av telefonene har feil. Av valgtreet ser vi at,5 % av telefonene med feil kommer fra avdeling A. Sannsynligheten for at telefonen kommer fra avdeling A er dermed: 0,05 0,58 0,065 Det er 5,8 % sannsynlighet for at en telefon med feil kommer fra avdeling A. Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 0

11 Oppgave 4 Alternativ I Funksjonen f er gitt ved f x x ax bx. Grafen til funksjonen f har et bunnpunkt i, 6 a) Vis at a og b 9. Grafen til funksjonen har et bunnpunkt i, 6. Det betyr at f 0 og f x x ax b Vi får da følgende likningssett f 6. f f a b a b a b 6 a b 0 ab6 b 6 b 0 b b 0 b 9 ab6 a b) Finn fx, og bruk denne til å tegne fortegnslinja for f x. Bruk fortegnslinja til å finne ut hvor grafen stiger og hvor den synker. Hva blir koordinatene til eventuelle toppunkter på grafen til f? f x x x 9x f x x 6x 9 f x x x Vi bruker GeoGebra og løser likningen x x 0 Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side

12 f x ( x )( x ) Den deriverte er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd. Fortegnslinja blir da x - verdier - f x 0 0 f x Grafen til f stiger for x, Grafen til f synker for x,, Grafen til f har toppunkt, f ,6 c) Finn f x, og bruk denne til å tegne fortegnslinje for f eventuelle vendepunkter på grafen til f. f ( x) 6x 6 6 x x. Bruk fortegnslinja til å finne x - verdier f x 0 Grafen til f har vendepunkt, f(),0 Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side

13 d) Finn likningene for tangentene med stigningstall 9. Den deriverte må være lik 9 i tangeringspunktene. Vi finner x -verdiene i tangeringspunktene ved å løse likningen f x 9 x 6x 9 9 x x 0 x 0 x Vi finner så y - verdiene f 0 f Vi bruker ettpunktsformelen og får likningene 9x 0 y y9x y 9 x y9x7 e) Tegn grafen til f. Bruk grafen og resultatene i d) til å avgjøre for hvilke verdier av b likningen 9 f x x b har tre forskjellige løsninger. Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side

14 I oppgave d) fant vi to tangenter, begge med stigningstall 9. Disse to tangentene er dermed parallelle med grafen til den rette linja gitt ved 9x b. Vi tegner grafen til f i GeoGebra sammen med de to tangentene vi fant i d). Vi ser at når linja gitt ved Da må b, 7 9x bligger mellom de to tangentene, får vi tre skjæringspunkt. Oppgave 4 Alternativ II I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy. I denne oppgaven skal du studere fjerdegradsfunksjoner som har to vendepunkter. f x x x x. Funksjonen f er gitt ved 4 La S og T være de to vendepunktene, med S lengst til venstre på grafen. a) Tegn grafen til f. Vi tegner grafen til f i GeoGebra og finner de to vendepunktene S og T ved å bruke kommandoen Vendepunkt[f]. Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 4

15 b) Finn f x og tegn fortegnslinja for denne. Bestem koordinatene til vendepunktene S og T. 4 f x x x x f x 4 x 6 x 4 x f x x x 4 f x x x Vi løser likningen i f x 0 GeoGebra. Siden f x er et andregradsuttrykk med positivt andregradsledd, kan vi sette opp fortegnslinjen x - verdier f x 0 0 f x Av den grafiske framstillingen i a) ser vi at koordinatene til vendepunktene er S, og T, 4 4 c) Finn likningen for den rette linja gjennom punktene S og T. Bestem koordinatene til de to andre skjæringspunktene mellom grafen til f og linja. Bruk gjerne digitalt verktøy. Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 5

16 Vi setter inn de to punktene og trekker ei linje gjennom dem. Vi finner at likningen for linja er y,08x.8 (Se koordinatsystemet ovenfor.) Vi leser av at koordinatene til de andre skjæringspunktene er,85,,6,85, 6,0 (Se koordinatsystemet ovenfor.) d) Vi lar Q være skjæringspunktet lengst til høyre. Regn ut ST TQ ST TQ 4 0,75 6,0 4,85,6 En annen fjerdegradsfunksjon g er gitt ved 4 g x x 6x. La S og T være de to vendepunktene, med S lengst til venstre på grafen. Du skal gjennomføre tilsvarende oppgaver som i a), b), c) og d): Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 6

17 e) ) Tegn grafen til g Vi tegner grafen til g i GeoGebra og finner vendepunkt, likning for linja og skjæringspunkt som i a), b) og c). (Se koordinatsystemet ovenfor.) ) Finn g S og T. x og tegn fortegnslinja for denne. Bestem koordinatene til vendepunktene g x x 6x g x 4x x 4 g x x g x x x x Siden f x er et andregradsuttrykk med positivt andregradsledd, kan vi da sette opp fortegnslinjen Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 7

18 x - verdier f x 0 0 f x Av den grafiske framstillingen i ), ser vi at vendepunktene er S (, 5) og T (, 5) ) Finn likningen for den rette linja gjennom S og T. Bestem koordinatene til de to andre skjæringspunktene mellom grafen til g og linja. Bruk gjerne digitalt verktøy. Vi ser at linja er parallell med x-aksen. Likningen blir y 5 (Se koordinatsystemet i ).) Koordinatene til de to andre skjæringspunktene er (,4, 5) og (,4, 5) (Se koordinatsystemet i ).) ST 4) Vi lar Q være skjæringspunktet lengst til høyre. Regn ut. Kommenter resultatet. TQ ST TQ,6,4 Vi får tilnærmet samme forhold som i d). En hypotese er da at dette gjelder generelt for skjæringspunkt mellom en fjerdegradsfunksjon og den rette linja som går gjennom funksjonens vendepunkt. 5 (Forholdet er lik det gylne snitt,,68.) Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 8

19 Oppgave 5 En vilkårlig trekant OAB settes inn i et koordinatsystem med siden OA langs x -aksen. Koordinatene til hjørnene er O0,0, Aa,0 og Bb, c. Medianene OM, AM og BM S. Se figuren. skjærer hverandre i a) Vis at koordinatene til midtpunktene er a b c M,, b c M, og a M,0. a b c OM OA AB a,0 b a, c 0, M a b c har koordinatene, b c OM OB b, c, M b c har koordinatene, a OM OA,0 M a har koordinatene,0 b) Forklar at det finnes tall x og y slik at OS xom og OS OA y AM Siden S ligger på OM er OS og OM parallelle. Da er OS x OM Siden S ligger på AM er AS og AM parallelle. Da er OS OA y AM Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 9

20 c) Vis at spørsmål b) gir oss likningssettet a b b x a y a og Finn x og y. c c x y Fra b) har vi OS x OM a b c a b c x, x, x OS OA y AM b c b c a,0 y a, a y a, y Vi får da x OM OA y AM a b c b c x, x a y a, y Siden de to vektorene er like må x -koordinatene være like. Det samme gjelder y - koordinatene. Da får vi det gitte likningssettet. I: II: a b b x a y a c c x y Likning II gir x y. Vi setter inn y x i likning I og får Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side 0

21 a b b x a y a a b b x a x a a b b x x x x a a a x a x yx a b c d) Forklar at koordinatene til skjæringspunktet mellom medianene er S,. Vi bruker resultatene fra b) og c). a OS x OM b x, x c a b c a b c,, a b c S har koordinatene, e) Bestem forholdene OS AS BS, og OM AM BM Kommenter. Vi bruker resultatene fra b) og c). OS x OM OM OS OM Da er OM OM Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side

22 AS y AM AM AS AM Da er AM AM BS BO OS OS OB a b, c b, c a b, c b c a b b, c c a b, c a a a b BM BO OM OM OB,0 b, c b, c, c a b ( ), a b, c a b BM c, c BS BM Da er BS BM BM BM De tre forholdene er alle lik. Vi har tidligere lært at medianene i en trekant skjærer hverandre i et punkt og at dette punktet deler medianene i forholdet : regnet fra hjørnene. I denne oppgaven har vi vist at dette stemmer for den vilkårlige trekanten OAB som er satt inn i et koordinatsystem. f) Bestem koordinatene til punktet B i det tilfellet at O0,0, A6,0 og S,4. OM OA,0 M har da koordinatene,0 OB OM M S,0,4 0, B har koordinatene, Eksamen REA0 Matematikk R, Våren 009 Side