Eksamen R1 høsten 2014

Transkript

1 Eksamen R1 høsten 014 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f x x x x b) gxx e 5 5 Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved a) Faktoriser Px 3 b) Løs ulikheten Px 0. P x x x 10x 8, Dp i førstegradsfaktorer. Oppgave 3 (4 poeng) Sammenhengen mellom lydstyrken L db (desibel) og lydintensiteten I W/m er gitt ved L 10 lg I I 0 I 0 10 a) Vis at formelen kan skrives som L10lgI 10 1 b) På en arbeidsplass blir lydintensiteten målt til er en konstant W/m. Hvor mange desibel er lydstyrken på arbeidsplassen? c) På en klassefest blir lydstyrken målt til 100 db. Hvilken lydintensitet svarer det til? Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 1 av 7

2 Oppgave 4 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x 4 x 1, D \ 1 f a) Lag en skisse av grafen til f. b) Bestem f x. c) Bestem likningen for tangenten i punktet, 0 på grafen. Oppgave 5 ( poeng) a) Forklar at v 1, a er en retningsvektor for linjen y ax b. To linjer er gitt ved likningene y a1 x b1 og y a x b. b) Bruk skalarprodukt til å vise at dersom linjene står vinkelrett på hverandre, er a1 a 1. Oppgave 6 ( poeng) Løs likningen x x Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side av 7

3 Oppgave 7 (4 poeng) På figuren nedenfor har vi tegnet kvadratene ABCD og AEFC. Vi setter siden i kvadratet ABCD lik a. a) Vis at kvadratet AEFC har dobbelt så stort areal som kvadratet ABCD. b) Konstruer et kvadrat med areal eksakt lik 50 cm. Oppgave 8 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x x D, f 3 1. Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at f x x Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 3 av 7

4 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (6 poeng) Ved en bestemt kjemisk reaksjon vil konsentrasjonen av et stoff være gitt ved 0,01 f t,50,50 e t Der ft er antall millimol per liter av stoffet, t sekunder etter at reaksjonen startet. a) Hva er konsentrasjonen etter 15 s? Hvor lang tid tar det før konsentrasjonen er,00 millimol/l? b) Tegn grafen til f. Hva vil konsentrasjonen nærme seg dersom den kjemiske reaksjonen går veldig lenge? Reaksjonshastigheten på et tidspunkt t er f t. c) Hva er reaksjonshastigheten når konsentrasjonen er,00 millimol/l? Oppgave (5 poeng) a) Skriv opp alle primtallene fra og med til og med 5. 5 like kuler som er merket med tallene fra og med 1 til og med 5, ligger i en bolle. Vi trekker tilfeldig 5 kuler fra bollen uten tilbakelegging, og leser av tallene. b) Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut akkurat primtall. c) Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut minst 3 primtall. Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 4 av 7

5 Oppgave 3 (4 poeng) Vi har punktene A B C t t, 1, 4, 5 og 3,. a) Bruk vektorregning til å bestemme t slik at punktene A, B, C ligger på en rett linje. b) Bruk vektorregning til å bestemme t slik at ACB 90. Oppgave 4 (8 poeng) I et kvadrat ABCD med side 4 er det innskrevet et parallellogram EFGH. Vi setter AE CG x og BF DH. x Se skissen nedenfor. a) Vis at arealet T av parallellogrammet EFGH er , 0, T x x x x b) Bestem x slik at arealet av parallellogrammet EFGH blir halvparten av arealet av kvadratet ABCD. c) Bestem x slik at arealet av parallellogrammet EFGH blir minst mulig. Bestem det minste arealet. Vi legger figuren inn i et koordinatsystem, slik at A ligger i origo og B på positiv x-akse. d) Bestem vektorene HE og parallellogrammet EFGH blir et rektangel. HG uttrykt ved x og bruk dette til å bestemme x slik at Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 5 av 7

6 Oppgave 5 (6 poeng) ABC har hjørnene A B C 1, 1, 5, og 1, 5. Se figuren nedenfor. 1 1 Likningen for linjen gjennom A og B er y x, og likningen for linjen gjennom A og C er y3x. a) Bestem likningen for linjen gjennom B og C. I oppgave 5 i Del 1 har du vist at dersom to linjer står vinkelrett på hverandre, er produktet av stigningstallene lik 1. b) Bruk denne egenskapen til å vise at linjen som går gjennom C og som står vinkelrett på sidekanten AB har likningen yx 7. På samme måte kan det vises at linjen som går gjennom A og som står vinkelrett på sidekanten BC 4 1 har likningen y x, og linjen som går gjennom B og som står vinkelrett på AC har likningen y x. 3 3 c) Vis ved regning at de tre høydene i ABC skjærer hverandre i ett og samme punkt. Bestem koordinatene til dette skjæringspunktet. Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 6 av 7

7 Oppgave 6 (3 poeng) I en sirkel med sentrum S er det innskrevet en ABS der ASB u. Sirkelen har tangent i punktet A. Vinkelen mellom tangenten og siden AB er v. u a) Vis at BAS 90. u b) Vis at v. Oppgave 7 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved Der f x u v u og v er funksjoner av x. Vi antar i denne oppgaven at u0 og v 0. Logaritmeregelen for en brøk gir ln f x lnu lnv. a) Bruk logaritmeregelen og kjerneregelen til å bestemme ln f x uttrykt ved u, v, u og v. b) Bruk uttrykket fra oppgave a) til å utlede derivasjonsregelen for en brøk. Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 7 av 7