R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

Transkript

1 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c) Likningen x 10x x 10 0 har tre løsninger. Vis at x1 1 er en løsning og finn de to andre. Vi setter x 1 inn i utrykket 3 x 10x x Dette viser at x 1 er en løsning av likningen 3 x 10x x Når x 1 er en løsning av likningen x 10x x 10 0, vet vi at x 10x x 10 er delelig med x 1. Vi utfører polynomdivisjonen 3 x x 3 x 10x x 10 : x 1 x 8x 10 8x x 8x 8x 10x 10 10x 10 0 Vi løser så andregradslikningen x 8x 10 0 og finner de to andre løsningene

2 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning x 8x 10 0 : x 4x x x x 1 x 5 d) Skriv så enkelt som mulig lg a b lg ab 1 lg a b lg lg a lg b (lg 1 lg a lg b) 3lg a lg b ab 1 e) Figuren nedenfor viser grafen til en funksjon. 1) Bestem x-verdien til eventuelle punkter der funksjonen ikke er kontinuerlig. Begrunn svaret ditt. Funksjonen er ikke kontinuerlig for x 1fordi lim f( x) f(1) ) Bestem x-verdien til eventuelle punkter der funksjonen ikke er deriverbar. Begrunn svaret ditt. x1 Funksjonen er ikke deriverbar for x, x 0 og x 1fordi lim f ( x) lim f ( x), lim f ( x) lim f ( x) og lim f ( x) lim f ( x) x x x0 x0 x1 x1 3 x x f) Bestem grenseverdien lim x1 x 1

3 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning Både teller og nevner er null for x 1. Vi må derfor omforme brøken for å bestemme grenseverdien: x1 x1 3 x x x x 1 x 1 lim lim x 1 x 1 x1 lim x x 1 g) Et kvadrat OABC med side a er plassert i et koordinatsystem. Hjørnet O er i origo, og A ligger på førsteaksen. Se figuren til høyre. 1) Bestem koordinatene til punktene A, B og C uttrykt ved a.,0, 0, A a B a a C a ) Vis at diagonalene i kvadratet står vinkelrett på hverandre. OB AC a, a 0 a, a 0 0 OBAC 0 OB AC Diagonalene står vinkelrett på hverandre. h) Vi har punktene A1,, B1, 4 og C 6, 1) En linje l går gjennom Aog B. Bestem en parameterfremstilling for l. Stigningstall: Parameterfremstilling for l: x 1t y t

4 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning ) En linje m går gjennom C og er parallell med vektoren, 1. Finn skjæringspunktet mellom l og m ved regning. Parameterfremstilling for m: x 6s y s I skjæringspunktet må x-koordinaten være like og y-koordinatene må være like. Det gir likningssettet: 1 t 6 s t s t 5s 5s s s Finner koordinatene: x 6 y 4 Skjæringspunktet er (,4) Oppgave Den italienske matematikeren Vincenzo Viviani ( ) har fått følgende setning i geometrien oppkalt etter seg: a) Tegn en figur, sett på aktuelle symboler (bokstaver) og formuler Vivianis setning med matematiske symboler

5 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning PE PF PG h b) Skriv arealet av trekanten på to forskjellige måter, og bruk dette til å bevise Vivianis setning. Vi setter siden i trekanten lik s. Arealet av trekanten ABC er lik summen av trekantene ABP, BCP og ACP. I alle disse trekantene kan vi se på s som grunnlinje og høyden er henholdsvis PE, PG og PF. Arealet til trekanten: 1 1 sh s ( PE PF PG ) h PE PF PG Setningen er dermed bevist.

6 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning Del Oppgave 3 Vi bruker en test for å undersøke om en person har en bestemt sykdom. Vi definerer hendelsene: T: Testen tyder på at personen har sykdommen. S: Personen har faktisk sykdommen. a) Vi har at P( T S) 0,96 og at P( T S) 0,05. Forklar hva disse sannsynlighetene forteller oss. Bestem P( T S ). P( T S) 0,96 betyr at sannsynligheten for å teste positivt hvis du virkelig er syk er 0,96. P( T S) 0,05betyr at sannsynligheten for å teste positivt hvis du ikke er syk er 0,05. P( T S) 1 0,05 0,95 Vi antar at 3 % av befolkningen har denne sykdommen. En tilfeldig valgt person skal testes. b) Bestem P( T ). Vi setter opplysningen inn i et valgtre. 0,03 0,97 0,96 Syk 0,04 0,05 Ikke syk 0,95 Testen slår ut Testen slår ikke ut Testen slår ut Testen slår ikke ut P( T) 0,030,96 0,970,05 0,077 c) Dersom testen tyder på at personen har sykdommen, hva er da sannsynligheten for at denne personen faktisk har sykdommen?

7 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning Vi bruker Bayes setning og får: P S P T S 0,030,96 Sannsynligheten: P( S T) 0,373 P T 0,077 d) Dersom testen tyder på at personen ikke har sykdommen, hva er da sannsynligheten for at personen likevel faktisk har sykdommen? P S P T S 0,030,04 Sannsynligheten: P( S T) 0,001 P T 0,030,04 0,970,95 Oppgave 4 Alternativ 1 Posisjonen til en partikkel etter t sekunder er gitt ved t t r t 4t 3 t e, 5 t e der t 0 Enheten langs aksene er meter. Andrekoordinaten er høyden over bakken. a) Hva er posisjonen til partikkelen etter ett sekund? Tegn grafen til r. Posisjonsvektoren: r (1) 4 31 e,5e Posisjonen er e,5e,90,1,84 b) Finn fartsvektoren og akselerasjonsvektoren ved regning. t r ( t) 4t 3 t e,5t e Fartsvektoren: v t r t t t t t v t 4 3e 3 t e, 5e 5t e t v t 4 3e 3 t e, 5e 5t e t t t t

8 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning Akselerasjonsvektoren: t t t t t t t vt e e t e e e t e a = 3 3 3, a t 3e 3e 3 t e, 5e 5e 5te t t t t t t a t 6e 3 t e, 10e 5te t t t t c) Bestem farten (absoluttverdien av fartsvektoren) etter to sekunder. Farten er v() m/s (4 3 e ) 5e 1 m/s 4,46m/s d) Finn ved regning når partikkelen er i det høyeste punktet. Da må fartsvektoren være parallell med x-aksen, altså må y-koordinaten til fartsvektoren være null: t 5 e (1 t) 0 t 1 Partikkelen er i det høyeste punktet etter ett sekund. e) Bestem vinkelen mellom posisjonsvektoren og fartsvektoren i det høyeste punktet. Alternativ 1 Bruker skalarproduktet. Gjør utregningen ved hjelp av digitalt hjelpemiddel. Vinkelen mellom posisjonsvektoren og fartsvektoren i det høyeste punktet. r 1 v 1 cosr 1, v 1 r 1 v 1 11,58 cosr 1, v 1 13,7 r 1, v 1 3,4 Alternativ I det høyeste punktet er fartsvektoren parallell med x-aksen. Derfor blir den aktuelle vinkelen den samme som vinkelen mellom posisjonsvektoren og x -aksen. Vi tegner tangenten i toppunktet og posisjonsvektoren til toppunktet. Så finner vi vinkelen mellom posisjonsvektoren og x -aksen. Vinkelen blir 3,4 (se grafen)

9 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning Oppgave 4 Alternativ I denne oppgaven kan det være en fordel å bruke digitalt verktøy. Vi har en sirkel med sentrum i S og et punkt M utenfor sirkelen. Hver av sidene i trekanten CMB ligger på en tangent til sirkelen. Tangentene gjennom M og D og gjennom M og E ligger fast. Tangenten gjennom B og C kan varieres. Denne tangenten tangerer sirkelen i punktet A. A ligger på den korteste buen mellom D og E. Se figuren nedenfor. I denne oppgaven skal du undersøke om denne sammenhengen gjelder: a) Bruk dynamisk programvare eller passer og linjal til å konstruere en figur som stemmer med beskrivelsen ovenfor. Flytt punktet A, og observer hver gang størrelsen til CSB. Hvor godt stemmer sammenhengen ovenfor med dine observasjoner? Observasjonene viser at vinkelen er konstant for alle mulige plasseringer av A.

10 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning b) Forklar at 1) Trekantene SDB og SAB er kongruente (like). En av kongruenssetningene lyder: To trekanter er kongruente dersom to sider er parvis like lange og de motstående vinklene til de lengste av disse sidene er like store. Begge trekantene er rettvinklede. Hypotenusen er felles og en av katetene er lik radius i sirkelen. Da er kravene i kongruenssetningen oppfylt og trekantene er kongruente. ) Trekantene SEC og SAC er kongruente (like). Samme begrunnelse som i 1) 3) 1 CSB ESD CSB CSA ASB CSA CSE og ASB DSB 1 Da er CSB ESD c) Bruk resultatet i b) til å forklare at SCB er konstant. ESD er sentralvinkel til buen ED. Siden punktet M og tangentene ME og MD skulle ligge fast er denne buen konstant. Da er også ESD og SCB konstante.

11 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning Oppgave 5 En rett linje med stigningstall a går gjennom punktet, 1. Linjen skal synke mot høyre. a) Vis at ligningen til linjen kan skrives som y ax a 1, der a 0 Vi bruker ettpunktsformelen for ei linje gjennom (,1) med stigningstall a : y 1 a x y ax a 1 Vi kaller skjæringspunktet med x-aksen for A og skjæringspunktet med y-aksen for B. Vi lar være arealet av trekanten OAB. O er origo. Skissene nedenfor viser trekantene for a 5, a, a 0,5 og a 0,1. F a I denne oppgaven skal du finne ut hvilken a -verdi som gjør arealet minst. b) Vis at F a 1 a a Vi finner skjæringspunktene mellom linja og koordinataksene. a 1 Skjæring med x-aksen: y 0 0 ax a 1 x a Skjæring med y-aksen: x 0 y a 1

12 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning Arealet av trekanten: F( a) a 1 a 1 1 a 1 a a 1 c) Tegn grafen til F. Velg a -verdier i intervallet 5, 10. Bruk grafen til å finne det minste arealet og det tilhørende stigningstallet til linjen. Vi finner bunnpunktet ved å tegne en vilkårlig tangent og så flytte tangeringspunktet til tangenten er horisontal. Bunnpunktet blir 0,5, 4. Det minste arealet blir 4. Det får vi når stigningstallet er 0,5. d) Vis ved regning at F a F( a) a 1 a 1 1 a a a a a a 1 1 F( a) ( a) F( a) F( a) a 1a 1 a a 1a 1 a e) Tegn fortegnslinjen til F når arealet er minst? a og bruk den til å finne det minste arealet. Hva er ligningen til linjen F( a) a 1 a F( ) 4 1 1

13 R1 Eksamen, høsten 009 Løsning Det minste arealet er 4. Likningen for linja: y x 1 y x