1 Geometri R2 Oppgaver

Transkript

1 1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer Regning med vektorer Vektorer på koordinatform Vektorprodukt Linjer i rommet Plan i rommet Kuleflater Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Øvingsoppgaver Stein Aanensen og Olav Kristensen 1

2 1.1 Vektorer Regning med vektorer Gi eksempler på 3 vektorstørrelser og på 3 skalare størrelser Figuren viser en bil som er påvirket av to krefter. En rute svarer til en kraft på 100 N. Hvor store er kreftene? a) Hvilke vektorer har samme retning? b) Hvilke vektorer har samme lengde? c) Hvilke vektorer er like? 2

3 1.1.4 Figuren viser en rombe ABCD. Tegn vektorer mellom hjørnene. a) Hvilke vektorer er like? b) Hvilke vektorer er motsatt rettet? c) Hvilke vektorer er like lange? a) Tegn en regulær femkant ABCDE (alle sidekantene er like lange) i for eksempel GeoGebra. b) Tegn vektorene mellom hjørnene i femkanten. c) Hvor mange ulike vektorer finnes det? 3

4 1.1.6 Tegn to vektorer i GeoGebra. Summer vektorene. Skjermbildet viser et eksempel på hvordan du kan gå frem. a) Flytt på vektorene du tegnet ved å dra i selve vektoren, og i endepunktene til vektoren. Hva observere du? b) La u og v være like. Hva observerer du? c) La u og v være like lange, men motsatt rettet. Hva observerer du? d) La u og v stå vinkelrett på hverandre. Hva kan du nå si om lengden til w? 4

5 Addisjon av vektorer En bil kjører 5 km mot øst. Så svinger den 90 mot nord og kjører i denne retningen i 4 km. Bilen dreier så 90 mot vest og kjører 8 km. a) Illustrer de aktuelle forflytninger ved vektorer. b) Hva er «resultantforflytningen», lengde og retning? c) Vi kan også kalle «resultantforflytningen» for «summen av forflytningene». Kan du på dette grunnlag foreslå en måte å summere vektorer på? Vektorene AB, BC, CD, DE og EA danner en femkant slik figuren viser. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis mulig. a) AB BC b) DC CB BA c) EA AB d) EA AB BC e) BE ED f) AB CB g) BA AE 5

6 1.1.9 Gitt vektorene a og b Finn vektorene a b og b a. Hva oppdager du? Vi har gitt tre vektorer som vist figuren. Tegn vektorene a) a b b) c a c) b c 6

7 Gitt et rektangel ABCD. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis mulig. a) AB BC b) AD DC c) BC AC d) DC AC e) AB DC 7

8 Vi har gitt tre vektorer Tegn vektorene a) b) c) a b 1 2 b c a b c Gitt vektorene Bruk for eksempel GeoGebra og finn: a) a b c d b) c) d) 1 2 a b c 1 a 2b c a b c d 8

9 Gitt vektorene nedenfor. a) Uttrykk vektorene c, d, e og f ved hjelp av vektorene a og b. b) Uttrykk vektorene a og b ved hjelp av vektorene c og d. 9

10 Denne oppgavene egner seg godt for bruk av dynamisk programvare, for eksempel GeoGebra. a) Tegn en vilkårlig firkant ABCD. b) Finn midtpunktet på hver av sidene. Kall midtpunktet på AB for E, på BC for F, på CD for G og på AD for H. c) Tegn firkanten EFGH. d) Mål lengden på sidene i firkanten EFGH. e) Dra i hjørnene på den opprinnelige firkanten ABCD. Hva observerer du? Vi setter nå AB a, BC b og CD c f) Vis at EF kan skrives som: EF 1 a b g) Vis at HD kan skrives som: HD 1 a b c h) Uttrykk HG ved hjelp av a, b og c 2 2 i) Hva kan du si om vektorene EF og HG? j) Vis at EH FG 10

11 Skalarproduktet Tegn en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader. Sett lengden til den korteste kateten lik 1. a) Finn de andre sidene i trekanten. b) Bestem verdien til cos30 og cos Vi har gitt vektorene a og b. a 5, 4 Finn skalarproduktet mellom a og b b og ab, Vi har gitt vektorene p og q. Lengden av p er 7, lengden av q er 3 og vinkelen mellom vektorene er 30 a) Regn ut pq b) Regn ut q p c) Hva er skalarproduktet mellom p og q? d) Hva er prikkproduktet mellom p og q? e) Finn 2 p f) Finn 2 q 11

12 Gitt vektorene a og b der 12 Finn lengden av b. a og ab, 60. Skalarproduktet mellom a og b er Vi har gitt at u 16. Finn u Gitt vektorene a og b der a 12 og b 5. Skalarproduktet mellom a og b er 30. Finn vinkelen mellom vektorene a og b Tegn en likebeint rettvinklet trekant der lengden til katetene er 1. a) Finn lengden til hypotenusen. b) Bestem cos45 12

13 Gitt vektorene a og b der a 3 og b 8. Finn skalarproduktet mellom a og b når a) ab b) ab, 0, 45 c) ab, 90 d) ab, 135 e) ab, 180 f) Kan du se noe mønster i svarene dine på denne oppgaven? Vi har gitt vektorene F og s. F 150, s 120. a) Finn skalarproduktet mellom F og s når vinkelen mellom vektorene er 30. La F være den kraften Magnus bruker når han drar kjelken sin over isen på fjorden. Siden en kraft måles i N(Newton), sier vi at F 150 N. Magnus drar kjelken sin 120 m. Vi sier at forflytningen er 120 m eller at lengden til forflyttingsvektoren, s, er 120 m, s 120 m. Magnus drar med en kraft som har retning 30 i forhold til forflytningen. Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom F og s. b) Hvor stort arbeid utfører Magnus? c) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Vis de aktuelle vektorene på tegningen d) Hva blir måleenheten for arbeidet? 13

14 Gitt vektorene a og b der a 5, 4 a a 2b 2a 3b Regn ut b og ab, Gitt vektorene a og b der a 3 og b 4. Vinkelen mellom vektorene er 60. Vektorene u og v er gitt ved u a 2 b og v 3a 4b. a) Finn 2 2 a b, a og b. b) Finn u v c) Finn vinkelen mellom u og v La a 5, b 3 og ( ab, ) 60 Gitt u a b og v a b. a) Finn lengden av u og lengden av v. b) Finn vinkelen mellom u og v. 14

15 1.2 Regning med vektorer a) Skriv vektorene i koordinatsystemet nedenfor uttrykt ved enhetsvektorene og på koordinatform. b) Hvilke vektorer er parallelle? c) Hvilke vektorer er like? Tegn følgende vektorer i et koordinatsystem a 2,5 b 3,2 c 5, 3 d 4, 2 e 3,0 f 0, 6 15

16 1.2.3 Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene a) 2,5 b) 3,2 c) 4, Gitt vektorene a 2,3, b 3, 5 og c 1, 6 Finn a) a b b) a b c) a b c d) c b a a) Uttrykk a, b og c fra oppgave ved hjelp av enhetsvektorene. b) Gjør oppgave a og c når vektorene skrives på denne formen. Får du samme resultat som i oppgave 1.2.4? Gjør oppgavene i ved å tegne vektorsummene. Sjekk om du får samme svar. 16

17 Multiplikasjon av vektor med tall Gitt vektorene a 2,3, b 3,5 og 1, 6 c. Regn ut a) 3a 2b 4c b) 5a 3c 4b Gitt punktene A 4,0, B 3,5, C 0,7, D 3,5, E 4,0, F 3, 5 og G3, 5 a) Bestem vektorene AB, CD, EF, GC, FA og EC b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene. ( For eksempel: Start i punkt A og kom til punkt B ved hjelp av posisjonsvektorene.) c) Finn lengdene til vektorene i a) Gitt vektorene 3,2 og 1,4. a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene. 2 2 kan skrives som 3e 14e e 8e. b) Vis at 3ex 2ey ex 4ey x x y y c) Vis at skalarproduktet e e e 1 og e e e x x x y y y d) Vis at skalarproduktet e e 0. x y e) Regn ut skalarproduktet du fant i oppgave b) f) Forklar at skalarproduktet mellom vektorene 3,2 og 1,4 kan skrives som: 3,21,

18 Vi har gitt vektorene a 2,3, b 3, 5 a) Finn skalarproduktet mellom vektorene b) Finn lengden til vektorene c) Finn vinkelen mellom vektorene Gitt koordinatsystemet og vektorene på figuren til høyre. Du ser for eksempel at vektoren c har koordinatene 4,3. a) Skriv alle vektorene på koordinatform. b) Finn a b og c d c) Finn lengdene av e og g d) Sjekk ved regning om c d. e) Sjekk ved regning om c e. 18

19 1.3 Vektorer på koordinatform Skriv vektorkoordinatene til følgende vektorer Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene a) 2,5,1 b) 3,2,3 c) 4,0, 2 19

20 1.3.3 Vi har gitt vektorene a 2,3, 1, b 3,5,2 og 1, 6,4 Regn ut a) a b c. b) a b c) a b c d) c b a e) 3a 2b 4c f) 5a 3c 4b Gitt punktene A 4,0,2, B 3,5,1, C 0,7,2, D3,5,2 og E 4,0,9 a) Bestem vektorene AB, CD og EC. b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene. c) Finn lengdene til vektorene i a) Vi har gitt vektorene a 2,3,4, b 3,5,2 a) Finn skalarproduktet mellom vektorene. b) Finn lengden til vektorene. c) Finn vinkelen mellom vektorene. 20

21 1.3.6 I ABC A B C er 1, 0, 1, 1, 1, 0 og 0, 1, 1. a) Regn ut omkretsen av trekanten. Hva slags trekant er dette? b) Vis at arealet av trekanten er Gitt punktene A1, 1, 1, B3, 3, 2, C 2, 1, 2. Finn BAC Gitt punktene A2, 3, 7, B3, 5, 2, C 1, 1, 5 og 3, 5, D t. a) Bestem en verdi for t slik at AB AD. b) Undersøk om det finnes en verdi for t slik at AB CD. 21

22 1.4 Vektorprodukt Regn ut vektorproduktene. a) 2,5,11,2,3 b) 1,2,32,5,1 c) 3,2,34,2,6 d) 4,0, 23, 1,2 e) 3, 2,04,5,0 f) 0,2,10, 3,4 g) 2,0,3 4,0,1 h) e e x y i) e e x z j) e e y z k) e e y x l) Bruk et digitalt verktøy til å kontrollere svarene i a) e) Gitt punktene A 4,0,2, B 3,5,1 og 0,7,2 Finn arealet av ABC. C i et koordinatsystem. 22

23 1.4.3 Bruk et digitalt verktøy til å løse oppgave Gitt punktene A 4,0,2, B 3,5,1, C 0,7,2 og 3,5,4 D i et koordinatsystem. a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av AB, AC og AD. b) Finn volumet av pyramiden med firkantet grunnflate utspent av AB, AC og AD. c) Finn volumet av pyramiden med trekantet grunnflate (tetraederet) utspent av AB, AC og AD Bruk et digitalt verktøy til å løse oppgave

24 1.4.6 Gitt punktene A 0,0,0, B 3,0,0, C 0,4,0 og 0,0,5 D i et koordinatsystem. a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av AB, AC og AD. b) Finn volumet av pyramiden med en firkantet grunnflate utspent av AB, AC og AD. c) Finn volumet av pyramiden med trekantet grunnflate (tetraederet) utspent av AB, AC og AD. d) Svar på oppgave a), b) og c) uten å bruke vektorregning Gitt punktene A 2,0,1, B4, 1,0, C 4,2,3 og 6, 5, 4 D i et koordinatsystem. a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av AB, AC og AD. b) Hva kan du si om punktene A, B, C og D ut fra svaret i a)? Gitt punktene A 4,0,2, B 3,5,1, C 0,7,2 og D3,5,4 som i oppgave a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av BA, BC og BD. i et koordinatsystem b) Finn volumet av parallellepipedet utspent av CA, CB og CD. c) Finn volumet av parallellepipedet utspent av DA, DB og DC. 24

25 1.4.9 AG, BH, CE og DF er diagonaler i parallellepipedet utspent av AB a, AD b og AE c. Vis at midtpunktene til diagonalene skjærer hverandre i ett punkt a) Tegn et rett prisme med sidekanter a, b og c. b) Vis at volumet av prismet er gitt ved V ab c. c) Vis på tegningen at vi kan dele opp prismet i 6 pyramider med firkantete grunnflater. d) Lag en formel for volumet til hver av disse pyramidene. e) Legg sammen formlene for pyramidevolumene og vis at du får samme formel for volumet til det rette prismet Gitt punktene A 4,0,2, B 3,5,1 og 0,7,2 Finn avstanden fra C til linjen gjennom A og B. C i et koordinatsystem. 25

26 Gitt punktene A 4,0,2, B 3,5,1, C 0,7,2 og D 3,5,4 Finn avstanden fra D til planet gjennom A og B og C. (Tips: Tenk to metoder for å finne volumet til et tetraeder.) Gitt punktene A 4,0,2, B 3,5,1, D 0,7,2 og E parallellepiped, der AE er en sidekant. a) Finn koordinatene til punktet C. 3,5,4. Punktene ABCD danner grunnflaten i et b) Finn vinklene i trekanten ABE. c) Finn avstanden fra punktet E til grunnflaten ABCD. Punktene EFGH danner toppflaten i parallellepipedet. d) Finn avstanden mellom grunnflaten og toppflaten 26

27 1.5 Linjer i rommet a) En linje l går gjennom punktet S 2, 4, 4 og har retningsvektoren 1,2,2. Sett opp en parameterframstilling for l. b) Vis at linja l går gjennom origo En linje m er gitt ved parameterframstillingen x 4 2t m: y 1t z 22t a) Finn skjæringspunktet mellom linjen m og xy - planet. b) Finn avstanden fra origo til linja m. 27

28 1.5.3 Gitt punktene A (2, 0, 0), B (0, 4, 0), C (0, 0, 6) og D(1, 2,6) i et koordinatsystem. a) Bestem lengdene AB, AC og BAC b) Vis at ABCD er et trapes. c) Finn avstanden fra A til linja gjennom B og C., når du får oppgitt at cos 81, a) Finn en parameterframstilling for linja l som går gjennom punktet A1,2,3 og har retningsvektoren v 2,1, 1. b) Finn hvor linja l skjærer xy -planet. S. La,, Vis at SP 3 2 t, 3 t, 1 t. c) Punktet S er gitt ved (4, 1,2) P x y z være et vilkårlig punkt på linja l. d) Bestem t slik at SP står vinkelrett på linja l. e) Hva blir avstanden fra S til linja l? 28

29 1.5.5 En linje er gitt ved vektorfunksjonen r t 1 2 t, 4 5 t, 3 t Finn avstanden fra punktet A3, 1, 2 til linja Linjene m og n er gitt ved x12t m: y t z1t xs n: y 2s z12s a) Finn vinkelen mellom linjene m og n. b) Finn vinkelen mellom linja m og x aksen. c) Finn vinkelen mellom linja n og y aksen Linjene m og n er gitt ved x12t m: y t z1t xs n: y 2s z12s Finn avstanden mellom linjene m og n. (NB! Uten hjelpemidler) 29

30 1.6 Plan i rommet Et plan har normalvektoren 2, 1, 3 Finn likningen for planet. og går gjennom punktet 1, 3, Gitt punktene A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) og C (0, 0, 4) i et koordinatsystem. a) Finn koordinatene til AB og AC. b) Vis at en likning for planet gjennom A, B og C er gitt ved 4x 3y 3z 12. c) Sjekk om punktet 3, 2, 2 ligger i planet Finn skjæringspunktet mellom linjen l og planet gitt ved x5t l : y 6 2t z15t : 2x 3y z Planet er gitt ved x 2y 3z 4 0. Finn hvor planet skjærer koordinataksene. 30

31 1.6.5 Gitt planene : 2x y 3z 3 0 og : x 3y 2z 1 0 Finn vinkelen mellom planene og når du får oppgitt at cos 85, Et plan går gjennom punktene A1,0,1, B0,1,1 og C 0,0,2 Et annet plan går gjennom punktene D1,1,0, E 2,0,1 og F 0,1,1 Finn vinkelen mellom planene og Linjen l er gitt ved parameterframstillingen x 4 2t l : y 1t z 22t Finn vinkelen mellom linjen og planet gitt ved 2x 3y 4z 4 0 når du får oppgitt at 1 1 cos 93, Et plan er gitt ved 4x 3y 3z 12. Finn avstanden fra planet til origo Gitt punktene A 3, 3, 0, B 0,2, 4 og 0, 0, 6 C i et koordinatsystem. Finn en parameterfremstilling for planet bestemt av punktene A, B og C. 31

32 Gitt tre punkt A 3, 3, 0, B 0,2, 4 og 0, 0, 6 C i et koordinatsystem. a) Vis at vektoren 1,1,1 står normalt på planet gjennom A, B og C. b) Vis at planet gjennom punktene A, B og C er gitt ved likningen x y z 6 0 c) Finn avstanden fra origo til planet. En rett linje l er gitt ved en vektorfunksjon r der d) Finn skjæringspunktet mellom linjen l og planet. 3, 12, 1 3 r t t t t e) Finn vinkelen mellom linjen l og z aksen når du får oppgitt at cos 36, Planet er gitt ved 2x 3y 4z a) Finn en parameterframstilling for linjen l som går gjennom (3, 2, 4) og står vinkelrett på α. b) Finn hvor linjen l skjærer xy -planet. c) P er et punkt på linjen l. Gitt punktet D( 3, 5,3). Vis at DP 6 2 t,7 3 t,14t d) Bestem t slik at DP står vinkelrett på linjen l. e) Finn avstanden fra punktet D til linjen l. 32

33 En likningsfremstilling for en rett linje i rommet er gitt ved likningssettet 2x 3y 4z 4 0 6x 7y 8z 4 0 Finn en parameterfremstilling for linjen gitt ovenfor a) Finn en likningsfremstilling for planet gitt ved parameterfremstillingen x 12t 2s y 4 3t 2s z 3 4t 4s b) Finn en parameterfremstilling for planet gitt ved 2x 3y 4z

34 1.7 Kuleflater Undersøk om likningene representerer kuleflater, og finn i så tilfelle sentrum og radius a) x y z b) x x y y z z c) x x y z z d) x x y y z z e) x 2x 3y 2y z 6z Undersøk ved regning om kuleflaten gitt ved likningen likningen 2x 3y 4z 20 0 skjærer hverandre. x 1 y 3 z 3 og planet gitt ved 34

35 x 1 y 3 z 3 Gitt kuleflaten a) Undersøk ved regning om kuleflaten skjærer noen av koordinataksene. Finn eventuelle skjæringspunkter. b) Finn et punkt som ligger på kuleflaten. c) Forklar hvordan du vil gå fram for å undersøke om et gitt punkt ligger inne i kula, på kuleflaten eller utenfor kula. Hva er et tangentplan? x 1 y 3 z 3. I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet kuleflaten gitt ved Vi har også tegnet tangentplanet til kuleflaten i punktet 1,1,1. d) Finn likningen for dette tangentplanet. e) Hva kan du si om alle linjer som ligger i tangentplanet du fant i d)? 35

36 x 1 y 3 z 3 Gitt kuleflaten En linje l er gitt ved parameterframstillingen x 4 2t l : y 1t z 22t a) Undersøk om linjen skjærer kuleflaten og finn eventuelle skjæringspunkter. Tips! Hva er likningen for et plan parallelt med xy-planet i høyden 2 over xy-planet? x 1 y 3 z 3. I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet kuleflaten gitt ved Vi har også tegnet et plan parallelt med xy -planet i høyden 2 over xy -planet. b) Finn likningen for skjæringskurven mellom kuleflaten og planet. Hva slags kurve får vi? 36

37 1.7.5 I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet fem kuleflater plassert med sentrum på x -aksen og med radius 1. Kulene tangerer hverandre og den midterste kulen har sentrum i origo. a) Finn en parameterframstilling for hver av kuleflatene. b) Gjør det samme for fem kuleflater som er plassert på tilsvarende måte med sentrum på y - aksen. 37

38 c) Gjør også det samme for fem kuleflater som er plassert på tilsvarende måte med sentrum på z - aksen. d) Lag likningsfremstillinger for kuleflatene i a). e) Lag parameterfremstillinger for kuleflatene i a) og b). 38

39 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Bruk farger og marker de eksamensoppgaver du har regnet! Jo mere farger, jo bedre eksamenskarakter! Geometri Algebra Funksjoner Differensiallik ninger Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 H15 5, , 2, 3, 4, 6 1, V , 6 1, 2, 3a, 7, 8, 9 3, 4 3b 1 H , , 2, 5, V , , 2, 3, 6 5, H , 7 4 1, 2, 6 1, 2, V , 7 6 1, 2, 6 2, 4, H , 8 4 1, 2, 6, 7 1, 5, V e, 3c 7 1a, 1b, 1c, 3 4, 5 1d 6 H 11 1g 5 1c 3 1a, 1b, 1e 2, 4 1f 6 V 11 1d, 1e 5 1f 4 1a, 1b, 1c 3, 6, 7 2 H 10 1d 3 1a, 1b, 2 4 1c 5 V , 6 alt2 1a, 1b, 1d, 1e 4 1c 3, 6 alt1 H e, 1f 1a, 1b, 1d 4 1c 5 V 09 1d, 2 1c 5 1a, 1b, 1f 4 1e 3 E 08 1g 3 1d, 1i 1a, 1b, 1c, 1e, 1f 2 1h 4 39