Løsningsforslag R2 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Transkript

1 Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.

2 Innhold Karaktergrenser og Vurderingsskjema 3 Del 4 Oppgave 4 a) b) c) d) e) f) g) Oppgave 2 5 a) b) c) Del 2 6 Oppgave 3 6 a) b) Oppgave 4 6 a) b) Oppgave 5 7 a) b) c) d) e) Oppgave 6 7 a) b) c) Oppgave 7 8 a) b)

3 c) d)

4 Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del 2 Del Sum Oppgave a a2 a3 b b2 c d d2 e f 2a 2b 2b2 2c Poeng Oppgave 3a 3b 4a 4a2 4b 5a 5b 5c 5d 5e 6a 6b 6c Poeng a 7b 7b2 7c 7d Total antall poeng 60 Karakterfordelingen, basert på 73 besvarelser: Karakter Prosent 3.8% 7.0% 9.7% 22.8% 2.7% 5.0% Gjennomsnittet besvarelsene er 3.4. Gjennomsnittskarakteren for våren 200 var 3.4 Karaktergrenser Karakter I Poeng I prosent Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen Forhåndssensur Arbeidsmengden er noe stor, spesielt hvis eleven ikke bruker digitalt verktøy. Vanskelighetsgraden er ikke for stor, med mange standardoppgaver. 3

5 Del Uten hjelpemider Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene ) f(x) = 2 sin(2x) 2) g(x) = x 2 cos(2x) 3) h(x) = 2 x 2 4x b) Bestem integralene ) x e x dx 2) 5x + 3 x 2 9 dx c) Figuren nedenfor viser en sirkel med sentrum i origo og radius lik. y x Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme Forklar hvordan du har tenkt. x2 dx d) Du har gitt to vektorer a og b. Forklar og tegn figurer som viser hvordan vektrene kan ligge i forhold til hverandre når ) a b = 0 4

6 2) a b = 0 e) Vi har gitt punktene A(,, ), B(2, 3, 3) og C(3, 2, 2) Vis ved regning at AB AC står vinkelrett på både AB og AC f) Vi har gitt punktene A(,, ), B(2, 3, 3) og C(3, 2, 2) Vis ved regning at AB AC står vinkelrett på både AB og AC g) Bevis formelen ved induksjon: n = 4n 3 Oppgave 2 (6 poeng) a) Finn den generelle løsningen av differensiallikningen der y er en funksjon av x. y 2y = 5 b) ) Bestem konstanten i den generelle løsningen når du vet at y(0) = 2 2) Bestem x når y = (Du kan få bruk for at ln 6.8) c) Grafen til y har en tangent i punktet (0, 2). Finn likningen for denne tangenten. 5

7 Del 2 Med hjelpemider Oppgave 3 (4 poeng) En fabrikk lager skaft til et kontorstempel. Skaftet ser ut som det omdreiningslegemet vi får når vi reier grafen f 360 om x-aksen, der f(x) = 2 x e x 3, x [0, 4] a) Tegn grafen til f. Finn diameteren til skaftet der skaftet er bredest. b) Bestem volumet av skaftet. Oppgave 4 (4 poeng) Vi skal se på en rettvinklet trekant ABC der AB = 8 og BC = 6. Punktet A halverer AC, A 2 halverer A C og så videre. Punktet B halverer BC, B 2 halverer A C og så videre. Se skissen nedenfor C A 2 B 2 A B A B a) ) Forklar at summen av arealene til trapensene ABB A, A B B 2 A 2 og så videre kan skrives ) Forklar at dette er en geometrisk rekke og at rekken konvergerer. b) Finn summen til den uendelige rekken, både vedd å bruke formelen for sum av en rekke og ved å bruke et geometrisk resonnement. 6

8 Oppgave 5 (0 poeng) En rett linje l er gitt ved parameterfremstillingen x = 5 2t l : y = 3 + t z = 4 + 2t a) Linjen l skjærer xy-planet i puntket A og xz-planet i B. Regn ut avstanden mellom A og B. En annen rett linje m er gitt ved parameterfremstillingen x = s m : y = s z = 2 + s b) Vis at linjene l og m ikke er parallelle. To linjer i rommet som verken er parallelle eller skjærer hverandre, er vindskeive. For vindskjeive linjer gleder denne setningen: Når to linjer l og m er vindskeive, fins et punkt P på l og et punkt Q på m slik at P Q står vinkelrett på både l og m. Avstanden mellom l og m er definert som. P Q c) Vi lar P Være et tilfeldig punkt på l og Q et tilfeldig punkt på m. Vis at vi kan skrive P Q = [s + 2t, s t 2, s 2t 3] d) Finn koordinatene til P og Q når P Q står vinkelrett på både l og m. e) Finn avstanden mellom linjene l og m. Oppgave 6 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = 5 sin ( π ) ( π ) 2 x 5 cos 2 x, x [0, 24] a) Tegn grafen til f. Les av amplituden og perioden til f. b) Tegn fortengslinjen til f og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Lufttemperaturen g (målt i grader Celsius) gjennom et sommerdøgn er gitt ved ( π ) ( π ) g(x) = 22 5 sin 2 x 5 cos 2 x Der x er antall timer etter midnatt. 7

9 c) Bestem høyeste og laveste temperatur dette døgnet. På hvilke tidspunkter intreffer disse temperaturene? Oppgave 7 (0 poeng) Vi har gitt funksjonen f(x) = 5x 2 e x, x > 0 a) Tegn grafen til f b) ) Vis at f (x) = 5 ( 2x x 2) e x. Hvilke derivasjonsregler har du brukt? 2) Tegn fortenslinjen til f. Bruk denne til å finne ut hvor f vokser, og hvor f avtar. Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f c) Vis ved derivasjon at f(x) dx = 5x 2 e x 0x e x 0 e x + C ( d) Du får vite at lim an e a) = 0 for n R. a Bruk dette til å bestemme a lim a 0 f(x) dx 8