Eksamen våren 2008 Løsninger

Transkript

1 Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) ( ) 3 x 4x x 6 : x x x + + = 3 3 x x x + x x + 4x 3x + 6 3x x 64 ( x+ 8)( x 8) x lim = lim = lim = = 8 x 8x 6 x 8 ( x 8) x 8 x lg x y lg y+ lg lg x lg y lg y lg x lg = + + y y x = lgx lg y = lg y d ( ) e f( x) = x e x x x x x f ( x) = e + x e ( ) = e x e = ( x) e x Av fortegnslinja for f ( x) ser vi at grafen har et toppunkt for x=. f = = () e 0,37 ( f ) = ( ) = ( ) Toppunkt:, (), e, 0,37 Aschehoug Undervisning Side av 0

2 Eksamen våren 008 Løsninger f ( x) = e + ( x) e ( ) = e + ( x) ( ) = e + x = ( x ) e x x x x ( ) ( ) x Av fortegnslinja for f ( x) ser vi at grafen til f har et vendepunkt for x =. f () = e = 0,4 = 0, 8 Vendepunktet er ( f ) ( ) ( ), () =,e =,0,8 Oppgave a [ ] [ ] u v = a, b b, a = a ( b) + b a = 0 Siden skalarproduktet u v = 0, står vektorene u og v vinkelrett på hverandre. b AB = [ 5, 0] = [ 4,] Vi bruker opplysningene i oppgave a til å finne en retningsvektor for linja gjennom C og F 3. r = [,4] (Figuren på oppgavearket er misvisende. Den er tegnet med forskjellige enheter på x-aksen og på y-aksen.) En parameterframstilling for linja gjennom C og F 3 blir da [ x, y] = [ 3,4] + t[, 4] x= 3 t l: y = 4 + 4t c BC = [ 3 5,4 ] = [,3] Vi bruker opplysningene i oppave a til å danne en retningsvektor for linja gjennom A og F. r = 3, [ ] En parameterframstilling for linja gjennom A og F blir da [ x, y] = [,0] + t[ 3, ] x= 3t m: y = t Aschehoug Undervisning Side av 0

3 Eksamen våren 008 Løsninger d 3 t 3t l: m: 4+ 4t t For å finne skjæringspunktet bytter vi ut t med s i den ene framstillingen og får 3 t = 3s 4+ 4t = s Av den siste likningen får vi s = t. Dette setter vi inn i den første likningen og får 3 t = 3( t ) 3 t = + 6t+ 6 7t = 4 4 t = 7 Det gir 4 5 x = 3 = y = 4+ 4 = 4 = Skjæringspunktet:, 7 7 e Vi danner AC = [ 3,4 0] = [,4]. Vi bruker opplysningene i oppgave a til å danne en retningsvektor for linja gjennom B og F. r = [ 4,] En parameterframstilling for linja gjennom B og F blir da [ x, y] = [ 5,] + t[ 4, ] x= 5 4t n: y = + t Vi setter 5 5 4t = 7 5 4t = t = 7 5 t = 4 Aschehoug Undervisning Side 3 av 0

4 Eksamen våren 008 Løsninger Vi undersøker om denne t-verdien gir andrekoordinat y = + t = + = + = Det viser at skjæringspunktet i oppgave d ligger på linja gjennom B og F. Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Skjæringspunktet mellom høydene i en trekant kalles trekantens ortosenter. Aschehoug Undervisning Side 4 av 0

5 Eksamen våren 008 Løsninger Del Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett eller andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 3 a Antall korthender: 5 = 5C5 = b PA C 87 = = = = ( ) 4,95 0 PB C = = = = ( ) 0,05 c Hvis korthånden består av 5 spar, består den også av 5 svarte kort. Det betyr at A B= A. Det gir at 4 P( A B) P( A) 4,95 0 P( A B) = = = = 0,095 PB ( ) PB ( ) 0,05 Siden P( A B) P( A), er A og B avhengige hendelser. Oppgave 4 Alternativ I a f vokser når f ( x) er positiv, det vil si når grafen til f ligger over x-aksen. f avtar når f ( x) er negativ, det vil si når grafen til f ligger under x-aksen. I intervallet, 3 er f ( x) positiv. I dette intervallet vokser f. I intervallene, og 3, er f ( x) negativ. I disse intervallene avtar f. b For x = går grafen til f over fra å synke til å stige. Altså må grafen ha et bunnpunkt for x =. For x = 3 går grafen til f over fra å stige til å synke. Altså må grafen ha et toppunkt for x = 3. For x = har grafen til f toppunkt. Det betyr at grafen har et vendepunkt for x =. Aschehoug Undervisning Side 5 av 0

6 Eksamen våren 008 Løsninger c d Vi ser at grafen til f er en parabel, det vil si at f er en andregradsfunksjon. Grafen til f går gjennom punktene (0, 3), (, 0), (, ), (3, 0) og (4, 3). Ved å bruke regresjon på digitalt verktøy finner vi at den andregradsfunksjonen som passer best med disse punktene, er f x = x + x ( ) 4 3 Vi setter f x x x x C C 3 3 ( ) = + 3 +, der er en konstant. Det gir f x = x + x + = x + x 3 ( ) Dette stemmer med svaret i oppgave c. Siden grafen til f går gjennom origo, må f (0) = 0. Det betyr at C = 0. Vi får derfor at f ( x) = x + x 3x 3 Oppgave 4 Alternativ II a Aschehoug Undervisning Side 6 av 0

7 Eksamen våren 008 Løsninger BD + x = BD = x AB = x CD = + x Arealet av trekanten er gitt ved AB CD x ( + x) F( x) = = = ( + x) x b Av grafen leser vi av at det største arealet av trekanten ABC er,3 når x = 0,5. x = + + = + + x x c F ( x) x ( x) ( x) x ( x) ( ) x x x x x x x x x + + = = = x x x F = = = = Siden F = 0, er løsning av likningen F ( x ) = 0. Vi ser at x=, som er løsning av likningen F ( x) = 0, er samme x-verdi som ga det største arealet av trekanten ABC. Aschehoug Undervisning Side 7 av 0

8 Eksamen våren 008 Løsninger d 3 3 AB = x = = = = AC = AD + CD AC = AB + CD AC = = + = + = = AC = 3 BC = AC = 3 Vi har altså at AB = BC = AC. Trekanten ABC får det største arealet når trekanten er likesidet. Da er lengden av hver side lik 3. Oppgave 5 a SS = SF+ FS = a+ b. a + b er summen av radiene i de to sirklene. Tilsvarende er SS 3 = SD + DS3 = a+ c og SS 3 = SE + ES3 = b+ c. b AC ( a b) ( a b + = + ) = ( + ) ( ) = = 4 AC a b a b a ab b a ab b ab AC = 4ab AC = ab c AB ( a c) ( a c + = + ) AB = ( a + c) ( a c) = a + ac + c ( a ac + c ) = 4ac AB = 4ac AB = ac BC + ( b c) = ( b+ c) BC = ( b + c) ( b c) = b + bc + c ( b bc + c ) = 4bc BC = 4bc BC = bc Aschehoug Undervisning Side 8 av 0

9 Eksamen våren 008 Løsninger d AC= AB+ BC ab = ac + bc ab = ac + bc Vi dividerer med abc Det gir på begge sider. ab ac bc = + abc abc abc ab ac bc = + abc abc abc = + c b a = + c a b e a = b = r gir = + c r r = c r = c r 4 = c r r c = 4 Aschehoug Undervisning Side 9 av 0

10 Eksamen våren 008 Løsninger f r = 4 cm gir a= b= 4 cm og c= cm. Trakk en linje l og merket av punktet A. Oppreiste en normal i A og avsatte r = 4 cm på denne normalen. Merket av S. 3 Konstruerte en sirkel med radius 4 cm om S. 4 Avsatte linjestykket AC = 8 cm. 5 Oppreiste en normal i punktet C. Der denne normalen traff m, fant vi S. 6 Konstruerte en sirkel om S med radius 4 cm. 7 Avsatte linjestykket AB = 4 cm. 8 Konstruerte en normal i punktet B og avsatte c = cm på denne normalen. Merket av punktet S 3. 9 Konstruerte en sirkel med radius cm om S 3. 0 Trakk linjene SS, SS og SS. 3 3 Aschehoug Undervisning Side 0 av 0