R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka"

Transkript

1 R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,, 3] + [3,, 1] = [1+ 3, +, 3 + ( 1)] = [4,, 4] Koordinatene til punktet R er R = (4,, 4). d OS = OP + PS = [,, 5] + ( ey 5 ez) = [,, 5] + [,, 5] = [,, ] Koordinatene til punktet S er S = (,, ). 1.B a Siden m er parallell med l, har m samme retningsvektor som l, nemlig [,, 1]. [ x, y, z] = [4,, 1] + t [,, 1] x = 4+ t y = + t z = 1 t b I et punkt på y-aksen er x= z =. Fra likningen for l gir det 6+ t = 3 t = Begge likningene gir t = 3. Dermed er y = + t = + 3=8 Skjæringspunktet mellom l og y-aksen er (, 8, ). c På x-aksen er y = z =. Det gir likningene + t = og 3 t =, som ikke har noen løsning. Linja skjærer derfor ikke x-aksen. På z-aksen er x= y =. Det gir likningene 6+ t = og + t =, som ikke har noen løsning. Linja skjærer derfor heller ikke z-aksen. P = ( 6,,3) er et punkt på l, og Q = (4,, 1) er et punkt på m. Begge linjene har retningsvektor v = [,, 1]. QP = [ 6 4,,3 ( 1)] = [ 1,,4] QP v = [ 1,,4] [,, 1] = [ ( 1) 4, 4 ( 1) ( 1), ( 1) ] = [ 8,, ] QP v [ 8,, ] ( 8) + ( ) + ( ) D = = = = = 7,1 v [,, 1] + + ( 1) 9 3 Avstanden mellom linjene er 7,1. Aschehoug Undervisning Side 1 av 6

2 1.C a Punktet P ligger i planet, og vektorene PQ og PR er parallelle med planet. PQ = [1,, 3 1] = [1,, ] PR = [4,, 1 1] = [4,, ] For et vilkårlig punkt A = ( x, y, z) i planet gjelder vektorlikningen OA = OP + s PQ + t PR [ x, y, z] = [,,1] + s [1,,] + t [4,, ] Det gir parameterframstillingen x = s+ 4t y = s z = 1+ s t b PQ PR = [1,,] [4,, ] = [( ) ( ), 4 1 ( ),1 ( ) 4] = [4,1, 8] = [, 5, 4] Vi velger normalvektoren n = [, 5, 4]. Punktet P = (,,1) ligger i planet. ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ( x ) + 5 ( y ) + 4 ( z 1) = x+ 5y 1+ 4z 4= x+ 5y+ 4z 14= c G = PQ PR = [4,1, 8] = = = 45 6,7 d Vi setter koordinatene til S inn i likningen for planet: = = 7 Punktet ligger altså ikke i planet. e PS = [6, 5,1 1] = [6, 3, ] V = ( PQ PR) PS = [4,1,8][6,3,] = = = 1.D a Normalvektorene er n Π = [1,, ] og n Σ = [3, 1, ]. [1,, ] [3, 1, ] cos θ n n = Π Σ = n Π nσ 1 + ( ) ( 1) ( )( 1) + 5 = = θ = cos = 58, 3 1 Vinkelen mellom planene er 58,. b Skjæringslinja står vinkelrett på begge normalvektorene. n retningsvektor for skjæringslinja. nπ nσ = [1,, ] [3, 1, ] = [( ) ( 1), 3 1,1 ( 1) ( ) 3] = [, 6, 5] 1 5 Π n Σ er derfor en Aschehoug Undervisning Side av 6

3 Vi trenger et punkt som ligger på skjæringslinja. Med x = blir y = 4 fra likningen for Σ. Likningen for Π gir da ( 4) + z = 1 z = 4 z = Punktet (, 4, ) ligger altså på skjæringslinja. [ x, y, z ] = [, 4,] + t [,6,5] x = t y = 4+ 6t z = + 5t c Avstanden mellom planene er lik avstanden mellom punktet P = (, 3, 1) og planet Π. Planet Π har likningen x y+ z 1 = og normalvektoren = [1,, ]. n Π ax + by + cz + d ( 3) + ( 1) D a + b + c 1 + ( ) Avstanden mellom planene er = = = = = 1.E a Vi finner skjæringspunktet med x-aksen ved å sette y = z =. Det gir 4x= 1 x=3 Tilsvarende finner vi at x= z = gir y = 1 y = 6, og x= y = gir 3z = 1 z = 4. Skjæringspunktene med koordinataksene er altså ( 3,,), (, 6, ) og (,, 4). b Π har normalvektoren n = [4,, 3], og l har retningsvektoren v = [, 3, 1]. Det gir n v = 4 + ()3 + 3(1) = 1 Siden n v, vet vi at linja skjærer planet. Vi finner skjæringspunktet ved å sette uttrykkene for linja inn i likningen for planet: 4( + ) t (3 t 1) + 3(1 t) = t 6t t = 1 t = 1 t = 1 Vi setter t =1 inn i uttrykkene for linja: x= + 1= 4 y = 3 1 1= z = 1 1= Skjæringspunktet er (4,, ). Aschehoug Undervisning Side 3 av 6

4 c Vi finner først vinkelen mellom n = [4,, 3] og v = [, 3, 1] : n v 1 1 cosθ = = = n v 4 + ( ) ( 1) 46 θ = cos = 9,8 46 Siden θ > 9, er vinkelen mellom linja og planet α = θ 9 = 9,8 9 =, F a b ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = r ( ) ( x ) + y ( 3) + ( z 1) = 6 ( x ) + ( y+ 3) + ( z 1) = 36 x y z x y z = ( x 1 x+ ( 5) ) + ( y y+ ( 1 ) ( z z ) ) = ( x 5) + ( y 1) + ( z+ 1) = 49=7 Sentrum i kuleflaten er S =(5,1, 1), og radien er r = 7. c Vi finner først avstanden fra sentrum av kula til planet: ax1+ by1+ cz1+ d 5 1+ (1) D = = = = = 6 a + b + c + ( 1) Høyden i det største kulesegmentet er h= r+ D = 7+ 6= 13 Overflaten er dermed S = π rh= π 7 13 = 18π 571,8 1.G a AD = [ ( ), 1,4 ] = [,1,4] OE = OB + BE = OB + AD = [3,4,] + [,1,4] = [5,5,4] OF = OC + CF = OC + AD = [,, ] + [,1, 4] = [4, 1, 4] Koordinatene til punktene er E = (5, 5, 4) og F = (4, 1, 4). b AB = [3 ( ), 4 1, ] = [5, 3, ] AB AD [5, 3, ] [,1, 4] cosα = = = = AB AD α = cos = 6,9 714 c AB AD er en normalvektor til sideflaten ABED, og AB AC er en normalvektor for grunnflaten. AB AD = [5, 3, ] [,1, 4] = [3 4 1, 5 4, ] = [1,, 1] AC = [ ( ), 1, ] = [4, 3, ] AB AC = [5, 3, ] [4, 3, ] = [3 ( 3), 4 5,5 ( 3) 3 4] = [,, 7] Aschehoug Undervisning Side 4 av 6

5 Fra høyrehåndsregelen peker AB AD inn i prismet, og AB AC peker ut av prismet. Vinkelen mellom sideflatene er derfor lik vinkelen mellom de to normalvektorene. [1,, 1] [,, 7] 7 1 cosα = = = 1 + ( ) + ( 1) α = cos = 87, d Arealet av grunnflaten ABC er G = AB AC = [,, 7] = Høyden h i pyramiden er avstanden fra punktet D til grunnflaten. Siden grunnflaten ligger i xy-planet ( z = for både A, B og C), er høyden lik z-koordinaten til punktet D. Altså er h = 4. Volumet av pyramiden er dermed h= 3 V = G = Vi kan også finne volumet direkte, som V = ( AB AC) AD = [,, 7] [,1, 4] = + 1+ ( 7) 4 = = e Vi starter med å finne likningen for planet gjennom B, C og D. CB = [3,4 ( ), ] = [1,6,] CD = [, ( ),4 ] = [,4,4] CB CD = [1,6,] [,4,4] = [6 4 4, ( ) 1 4,1 4 6 ( )] = [4, 4,16] = 4 [6, 1, 4] Vi velger n = [6, 1, 4] som normalvektor for planet. Planet går gjennom punktet C = (,, ). Likningen for planet er dermed ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = 6 ( x ) + ( 1) ( y ( ) ) + 4 ( z ) = 6x 1 y + 4z = 6x y+ 4z 14= Normalen gjennom punktet A er gitt ved vektorlikningen OP = OA + t n [ x, y, z ] = [,1,] + t [6, 1,4] Linja har derfor parameterframstillingen x = + 6t y = 1 t z = 4t Vi finner skjæringspunktet Q mellom linja og planet gjennom B, C og D: 6( + 6) t (1 t) + 44 t 14= t 1+ t+ 16t 14 = t 7 = 7 t = Aschehoug Undervisning Side 5 av 6

6 Innsatt i parameterframstillingen gir det x= + 6 = y = 1 = z = 4 = Punktet Q er altså gitt ved Q = (,, ). Det gir AQ ( ), 1, = =,, Siden punktene A og G ligger symmetrisk om planet gjennom B, C og D, kan vi til slutt finne koordinatene til G: OG = OA + AG = OA + AQ + QG = OA + AQ + AQ = OA + AQ = [,1,] +,, =,, Punktet G har koordinatene G = (,, ) (4,11,,19, 4,8). Aschehoug Undervisning Side 6 av 6

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

R2 - Vektorer i rommet

R2 - Vektorer i rommet R2 - Vektorer i rommet - 26.01.17 Del I - Uten hjelpemidler Løsningsskisser - versjon 31.01.17 Oppgave 1 Gitt vektorene u 1, 2, 3 og v 2, 1, 4. a) Regn ut u v b) Regn ut u v c) Regn ut w u t v d) Løs vektorligningen

Detaljer

Eksamen våren 2008 Løsninger

Eksamen våren 2008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening

R2 kapittel 8 Eksamenstrening R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i boka Uten hjelpemidler Oppgave E a F (4) = f (4) = 4 4 b f x x [ F x ] F F ( ) Oppgave E5 ( )d = ( ) = (4) () = 6 = 7 Grafen til f ligger over x-aksen

Detaljer

R2 - Vektorer Løsningsskisser

R2 - Vektorer Løsningsskisser K.. -.5 I R2 - Vektorer 25.09.09 Løsningsskisser Gitt vektorene u,2,3 og v 2, 3,5. Regn ut: a) u v b) u v c) u v d) 5u 2v e) v f) Vinkelen mellom u og v Oppgave I: Krever lavt kompetansenivå: Grunnleggende

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår 3 Løsningsforslag Øving 7 9.4.5 La A = (,, 3) og B = (,, ). Finn vektorrepresentasjonen til

Detaljer

Eksamen høsten 2009 Løsninger

Eksamen høsten 2009 Løsninger Eksamen høsten 009 Løsninger Eksamen høsten 009 Løsninger DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave a f( ) = 5 e f () = 5e = 5e b

Detaljer

Løsning IM

Løsning IM Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

Litt romgeometri. Mat4010. Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo. Andreas Marker

Litt romgeometri. Mat4010. Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo. Andreas Marker Litt romgeometri av Andreas Marker Mat4010 Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo Vår 2015 Innhold 1 To metoder å gange vektorer ir 3 på 3 1.1 Skalar-, prikk-, og indreprodukt.................

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne

Detaljer

MAT3010. Rapport - skoleprosjekt Gruppe R 3. Figur 1: Slik kan en elev oppfatte lærerens skriblerier på tavlen under en mattetime.

MAT3010. Rapport - skoleprosjekt Gruppe R 3. Figur 1: Slik kan en elev oppfatte lærerens skriblerier på tavlen under en mattetime. MAT3010 Rapport - skoleprosjekt Gruppe R 3 Figur 1: Slik kan en elev oppfatte lærerens skriblerier på tavlen under en mattetime. Any fool can know. The point is to understand. Albert Einstein Av: Randi

Detaljer

PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE

PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE 1 PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE Vi har tidligere sett hordan i kan lage en parameterframstilling for et plan ed å uttrykke koordinatene ed to parametere, f. eks s og t. Fra 1.2 et i at x = x0

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

Arbeidsoppgaver i vektorregning

Arbeidsoppgaver i vektorregning Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7 Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i 155 kapittel 1.6 og 1.7 a) 12:00: u og v har samme retning: u v u v cos0 2 3 1 6 b) 09:30: Hver time er 30. Lilleviser (u) midt mellom 09 og 10! Altså

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013 TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 07.01.2011. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir

Detaljer

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX LÆRINGSSENTERET. Elevar / Elever. AA juni 2004

E K S A M E N. Matematikk 3MX LÆRINGSSENTERET. Elevar / Elever. AA juni 2004 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX Elevar / Elever AA654 7. juni 004 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Oppgåva ligg føre

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

Løsning eksamen R1 høsten 2009

Løsning eksamen R1 høsten 2009 Løsning eksamen R høsten 009 Oppgave a) b) f( ) 5e 3 f ( ) 5 e (3 ) 5e 35e 3 3 3 3 ( ) ln( ) g 3 3 3 g( ) ln( ) ln( ) 3 ln( ) ( ) 3 3 ln( ) 3 ln( ) (3ln( ) ) c) La 3 f( ) 0 0. Da er 3 f () 0 0 0 0 0 Dermed

Detaljer

Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver

Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4 Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4, 5.5, 5.45, 5.49, 5.300, 5.306 a) Kabeles legde: BA 6, 7, 6 6 7 6 b) Dette er e parameterfremstillig (på vektorform) for e lije: OT 6t,7t, 6t 0, 0, t6, 7, 6 OB

Detaljer

Heldagsprøve R2 - Våren

Heldagsprøve R2 - Våren Heldagsprøve R - Våren 07-0.05.7 Løsningsskisser (versjon.05.7) Del - Uten hjelpemidler - timer Oppgave Deriver funksjonene: a) fx x ln x b) gx sinln x c) hx x cos x a) Produktregel: f x ln x x x ln x

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA654-04.06.007 eksamensoppgaver.org September 0, 008 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer

2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer Vektorer Begrepet vektor dukker opp i mange sammenhenger både i matematikk og i fysikk, og står generelt for et objekt som er bestemt ved en størrelse og en retning. Eksempler fra fysikk er forflytning,

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r,θ) og kartesiske koordinater (x,y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y =

Detaljer

R2 2011/12 - Kapittel 2: 19. september 19. oktober 2011

R2 2011/12 - Kapittel 2: 19. september 19. oktober 2011 R 011/1 - Kapittel : 19. september 19. oktober 011 Plan for skoleåret 011/01: Kapittel : 17/9-0/10. Kapittel 3:5/10 19/11. Kapittel 4: 19/11 1/1. Kapittel 5: 1/1 11/. Kapittel 6: 11/ 9/3. Kapittel 7: 19/3

Detaljer

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1)

β = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r, θ) og kartesiske koordinater (x, y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer Løsninger v oppgvene i ok R kpittel 4 Tredimensjonle vektorer Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner punket A i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v A med linjestykker ut fr punktene (4,0,0) på x-ksen og

Detaljer

Heldagsprøve. Matematikk - R April 2009 Løsningsskisser Ny versjon:

Heldagsprøve. Matematikk - R April 2009 Løsningsskisser Ny versjon: R -Heldagsprøve V10 Heldagsprøve Matematikk - R 9. April 009 Løsningsskisser Ny versjon: 05.05.10 Del 1 Oppgave 1 a) Deriver funksjonen f sinln Deriver funksjonen f 3sin 1 c) Bestem summen av rekken 4

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 31.05.011 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD

R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD Løsningsskisser Oppgave Løs differensialligningene: a) y x cosx b) y yx x c) y y x a) Eksakt DL, løses direkte: y cosx x y cosx x dx sin x 2 x2 C b) Lineær: y xy x (Kan løse

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f( x) 5x x 5 b) g( x) x e x Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P( x) x x 10x 8, DP a) Faktoriser P( x ) i førstegradsfaktorer.

Detaljer

Løsningsskisser eksamen R

Løsningsskisser eksamen R R 9.. Løsningsskisser eksamen R 9.. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x sin u, u x g x cosu cosx ) Kjerneregel: h x u, u sin x h x u cosx sin x cosx

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1. Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x

Detaljer

R1 - Eksamen V

R1 - Eksamen V Delprøve 1 R1 - Eksamen V09.05.10 Løsningsskisser Oppgave 1 1) Kjerneregel: fx u 4, u x 1 f x 4u 3 x 8xx 1 3 ) Produktregel (og kjerneregel på e x ): g x 1e x xe x 1 xe x lim x xx x lim x x xxx 4xx xxx

Detaljer

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate

Detaljer

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007 Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 007 REA30 Matematikk R Programfag Nynorsk/Bokmål Del Oppgave a) Deriver funksjonene ) ln ) g x f x x x 3e x b) Bestem følgende grenseverdi, dersom den eksisterer:

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 3.05.0 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del : Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del skal leverast inn etter timar. Del skal leverast inn

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x) DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013 Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Introduksjon til kjeglesnitt. Forfatter: Eduard Ortega

Introduksjon til kjeglesnitt. Forfatter: Eduard Ortega Introduksjon til kjeglesnitt Forfatter: Eduard Ortega 1 Introduksjon Et kjeglesnitt er en todimensjonal figur som beskrives ved skjæringen mellom et plan og en rett, sirkulær kjegle. Alle kjeglesnitt kan

Detaljer

4 Vektorer. Vektorregning Vektorer...2. Skalarprodukt og vektorprodukt...14

4 Vektorer. Vektorregning Vektorer...2. Skalarprodukt og vektorprodukt...14 4 Vektorer 4_Vektorer_2015.odt 31.08.2015 (cc)tg Vektorer...2 Skalarer og vektorer...2 Like, motsatt like, parallelle vektorer...2 Sum og differanse...3 Produkt av tall og vektor...4 Vektorer på koordinatform...5

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD

Detaljer

R2 eksamen våren ( )

R2 eksamen våren ( ) R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen

RF5100 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen RF5 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen NITH 6. desember Oppgave (a) Jeg skal løse et system av tre ligninger med tre ukjente. Dette gjør jeg ved å utføre radoperasjoner på matrisen tilhørende

Detaljer

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.). KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8 LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer. Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave

Detaljer

Vektorer, plan og annengradsflater

Vektorer, plan og annengradsflater Vektorer, plan og annengradsflater Ulrik Skre Fjordholm NTNU 1. forelesning, TMA4105 vår 2016 Del 1 Repetisjon: Vektorer U. S. Fjordholm (NTNU) Vektorer, plan og annengradsflater 1. forelesning, TMA4105

Detaljer

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005 Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved

Detaljer

EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk

EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4.juni 2015 Emneansvarlig: Lars Sydnes

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

R2 - Kapittel 1: Vektorer

R2 - Kapittel 1: Vektorer R2 - Kapittel : Vektorer Kompetanseniåer: L(at), M(iddels), H(øyt) Vanlige feil og tips: I (L) Løsningsskisser Korrekt og konsekent arunding: Teoretiske oppgaer: Eksakte tall eller 3 gjeldende siffer.

Detaljer

Heldagsprøve R Thora Storms vgs.

Heldagsprøve R Thora Storms vgs. R1 HD V01 Heldagsprøve R1-6.04.1 - Thora Storms vgs. Løsningsskisser Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Deriver funksjonene: 1) fp 0. 01p 4 0. 7p 3. 1 f p 0. 01 4p 3 0. 7 0. 084p 3 0. 7 ) gx x 1 x

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 10 (ti) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 10 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri 1 I trekanten ABC er A = 65. AC = BC = 4,5 cm. CD står vinkelrett på AB. a) Regn ut sidene CD og AB. Punktet E ligger på forlengelsen av AB slik at BE er dobbelt så lang som AB.

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

MATTE R2. Notater Kapitel 1-8 ANDREAS JENSEN JONASSEN 2EDA

MATTE R2. Notater Kapitel 1-8 ANDREAS JENSEN JONASSEN 2EDA MATTE R Notater Kapitel 1-8 ANDREAS JENSEN JONASSEN EDA kap. 1 Integralregning... 4 Kap. 1.1 Antiderivert... 4 Kap. 1. - Ubestemt integral... 5 Kap. 1. Integralet... 7... 7 Kap. 1.4 - Integrasjon av eksponentielle

Detaljer