Eksamen R2, Våren 2009

Transkript

1 Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g u u 6 f x u x x 6 ln fx x.

2 b) Gitt funksjonen f xx cos x. ) Ligger grafen over eller under x - aksen når x? f cos Grafen ligger under x- aksen når x. ) Stiger eller synker grafen når x? f x cos x x sinx f cos sin f Grafen synker når x. ( Du kan få bruk for at sin 0 og cos.) c) Bestem summen av den uendelige rekka Forholdet mellom to etterfølgende ledd er 3. Rekka er da geometrisk med Siden k, k. 3, er rekka konvergent og har summen a 3 6 S 3 k

3 d) Gitt punktene A, 3, 7, B3, 5,, C,, 5 og D3, 5, t. ) Bestem en verdi for t slik at AB AD. AB AD,, 5,, t t 7 05t 4 35 t 8 ) Undersøk om det finnes en verdi for t slik at AB CD. Dersom AB CD, så må vi kunne skrive AB k CD.,, 5 k,4, t 5 k 4k 5 k t 5k k k 5t t 5 Dersom t 5, vil AB kcd. 4 0, der 0 5. e) Løs differensiallikningen y x y y y 4x y 0 ye 4x y e 0e x x x e x x y 0 e y C C y e y Ce x x Ce 0 5 C 5 Løsningen blir y 5 x e

4 f) Bestem integralene ) x sin x dx Vi bruker delvis integrasjon. v x v u sin x u cos x x x cos cos x sinxdx x dx cos x x x x cos x dx cos sin x C 4 sinx cosx C 4

5 4 ) x 4 dx Vi bruker metoden med delbrøkoppspalting. 4 A B A x B x A B x A B x 4 x x x x x x x 4 A B 0 A B 4 A B B B 4 A B 4B 4 A B 4 dx dx dx x 4 x x dx dx x x ln x ln x C x ln x C

6 Oppgave Vi har gitt punktene A, 0, 0, B0,,, C,, og D4,, 3. a) Finn AB AC. Vis at arealet av trekanten ABC er lik 3.,,0,,,, AB AC A,, ABC b) Bestem volumet av pyramiden ABCD.,, 3,, 36 3 VABCD AB AC AD c) Finn likningen for planet som går gjennom punktene A, B og C. AB AC,, er en normalvektor for planet. Vi bruker i tillegg at punktet A,0,0 ligger i planet. Planet er gitt da gitt ved x y z a x x b y y c z z x y z 0

7 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 3 I denne oppgaven skal vi lage en modell for temperaturen i vannet i et badekar. Badekaret er fylt med vann som til å begynne med har temperaturen 38 C. Romtemperaturen er konstant lik C. Vi lar yt være vannets temperatur i grader celsius etter t timer. a) Forklar hva yt forteller oss, og hvorfor yt er negativ i denne oppgaven. yt er et mål på temperaturendringen i grader celsius per time. Temperaturen i vannet er til å begynne med 38 C. Romtemperaturen er C. Temperaturen yt i vannet vil da synke og temperaturendringen y t er derfor negativ. Vi antar at temperaturendringen per time er proporsjonal med differansen mellom vanntemperaturen yt og romtemperaturen. Proporsjonalitetskonstanten er k. b) Forklar at den differensiallikningen som beskriver denne problemstillingen, er yk y At temperaturendringen per time er proporsjonal med differansen mellom vanntemperaturen yt og romtemperaturen betyr at forholdet mellom temperaturendringen og differansen mellom yt og romtemperaturen er konstant. Vi setter proporsjonalitetskonstanten lik k og differansen mellom yt og romtemperaturen som yt. Proporsjonalitetskonstanten k kan dermed skrives som yt y yt Cy k k y k y c) Forklar hvorfor y0 38. Løs differensiallikningen ved regning. Vanntemperaturen i badekaret er beskrevet ved yt. Ved t 0 er temperaturen i badevannet 38 C. Vi kan dermed sette y 0 38.

8 Vi løser likning som separabel yk y y k y dy k y dt dy k dt y dy k dt y ln y C kt C ln y kt C3 C3 ln y kt C C C C e e kt y e e 3 3 kt y e C C e y Ce kt C3 Vi finner så konstanten C. Vi vet at y Ce k0 38 C 7 kt Likningen kan dermed skrives som y7e

9 d) Etter 3 timer er vanntemperaturen 7 C. Bruk dette til å bestemme k. Vi får da likningen k 3 7e 7 Vi løser likningen og får k3 7e 7 e 3k k lne ln 7 3k ln6 ln7 ln6 ln7 k 3 k 0,35 e) Bestem yt lim. Kommenter svaret. t 0,7t Vi har likningen y7e. 0,7t Faktoren e vil gå mot 0 når t. Dermed vil temperaturen nærme seg romtemperaturen på C. 0,7 t limy t lim 7e 0 t x

10 Oppgave 4 Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen. (Dersom besvarelsen din inneholder deler av begge alternativene, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ I Funksjonen f er gitt ved f x sinx. a) Tegn grafen til f når x 0,. Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til f for x 0, b) Grafen er en sinuskurve. Bruk grafen til å vise at vi tilnærmet kan lese av at f kan skrives på formen sin x f x En sinusfunksjon kan skrives på formen sin likevektslinjen, k og faseforskyvingen er. perioden k f x A kx d der A er amplituden, d er Vi ser av grafen at likevektslinjen er, amplituden er og perioden er. k

11 Hvis grafen ikke hadde vært faseforskjøvet, kunne vi ha skrevet funksjonsuttrykket som f0 x sinx Grafen til f ville hatt et toppunkt når sin x, dvs. når 0 x x 4 Grafen til f har toppunkt når x. Faseforskyvningen er. 4 4 Faseforskyvningen er og dermed er k k 4 4 Funksjonsuttrykket blir f x sinx

12 c) Bruk formelen for sinu v til å vise at uttrykket i b) stemmer med f x sinx Formelen gir at sin u v sinucos v cosu sinv. Vi får da sinx sinxcos cosxsin sinx0 cos x cos x cos x cos x x og vi får x x x xxxx x x cos cos cos cos sin sin cos sin Dermed er sinx cosx sinxcos x Videre er cos xsinx Vi får sinx cosx sin xcos x sin x sin x sin x d) Bestem ved regning koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til f når x 3,4. Vi setter f x 0 sinx 4sin f x f x x cos x, og finner eventuelle topp- eller bunnpunkter.

13 f x 0 4sinxcos x0 sinx 0 cos x 0 7 x I intervallet x 3, 4 får vi løsningen 7. Vi setter inn en verdi som er litt lavere enn 7 7 og en verdi litt høyere enn i finne ut om vi har et toppunkt eller et bunnpunkt. f x for å 3 3 f cos cos f cos cos7 4 Grafen til f har et toppunkt for 7 x. 4 3 f sin sin 7 Toppunktet er, f,. Vi finner vendepunktet ved å sette f x 0 f x 4sinx cos x 4cos cos 4sin sin f x x x x x x x 4 cos sin

14 x x x x x x x f cos sin 0 cos sin 0 sin sin 0 sin 0 sinx sinx sin x 3 5 x x 4 4 I intervallet x 3, 4 får vi løsningene 3 5, Grafen til f har vendepunkter for x og f sin sin f sin sin Vendepunktene er, og, 4 4

15 Alternativ II I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy. 0, x Gitt funksjonen f x 4e 4sin x 3cos x når x 0, 5. a) Skisser, eller ta en utskrift av, grafen til f. Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til f for x 0,5 ved å bruke kommandoen Funksjon[Funksjonsuttrykk, Startverdi for x, Sluttverdi for x ]

16 b) Finn nullpunktene, topp-, bunn- og vendepunktene på grafen til f når x 0,. Vi tegner grafen til f (blå) for x 0, sammen med grafen til f (stiplet grønn) og f (stiplet rød) i GeoGebra. Se ovenfor. Grafen til f har nullpunkt.5, 0 og.8, 0. Se ovenfor.. I topp- og bunnpunkt er f x 0 Grafen til f har toppunkt Grafen til f har vendepunkt der f x 0 0,4, 8,3 og bunnpunkt.,98, 8,3. Se ovenfor.

17 Vendepunktene er,5, 3,3 og,7,,3. Se ovenfor. 0, x Funksjonsuttrykket til f kan skrives på formen f x K e sinx. c) Finn konstantene K og. 0, x 44sin 3cos f x e x x Vi skriver om uttrykket 4sinx 3cosx ved å bruke at asinkx bcos kx Asinkx der b A a b og tan. a A tan 0,64. 4 Vinkelen 0,64 ligger i samme kvadrant som punktet 4, 3. Dermed er Videre er x x x 4sin 3cos 5sin 0,64 0, x 4 4sin 3cos 4 0, x 5sin 0,64 0 0, x e x x e x e x 0,64 Konstantene K og er da K 0 0,64 y f x, der f x er funksjonen ovenfor, er en løsning av differensiallikningen y ay by 0 d) Bestem konstantene a og b. Den karakteristiske likningen til differensiallikningen y ay by 0 er r ar b 0. Når den karakteristiske ligningen r ar b 0 har to komplekse løsninger r ABi og r A- Bi, har differensiallikningen y ay by 0 den generelle løsningen cos Ax y e C sin Bx D Bx. 0, x 44sin 3cos f x e x x

18 I vår oppgave er da A0, og B. Vi løser den karakteristiske ligningen r ar b 0 og finner a og b. r ar b 0 r a a 4b a a 4b r Det betyr at a a 4b A B a a 4b 0, a 0,4 b 4,04

19 Oppgave 5 Trekanttall kan illustreres som antall golfballer som danner en trekantfigur. Figuren nedenfor viser de tre første trekanttallene a, a, a 3. S n er summen av de n første trekanttallene. a) Skriv opp de fem første trekanttallene a, a, a3, a4 og a og de fem første summene 5 S, S, S 3, S 4 og S. 5 De fem første trekanttallene er a a 3 a 3 6 a a De fem første summene er S S 3 4 S S S nn b) Forklar at an 3 n. Bruk dette til å vise at an. Figurene viser at nummeret på trekanttallet er det samme som antall golfballer i den nederste raden. Dette er også det antall golfballer som legges til når vi går fra et trekanttall til det neste. Vi får

20 a a a 3 3 a a Mønsteret viser at a n. n Trekanttall nummer n, a n, er altså summen av den aritmetiske rekken b b... bn med b, bn n og d. b bn n n n Formelen for summen av en aritmetisk rekke gir at an n n c) Bruk regresjon på de fem første summene S, S, S 3, S 4 og S 5 til å finne et tredjegradsuttrykk for S n. Vis at tredjegradsuttrykket er en tilnærming av S n n n Vi legger punktene n 6 a, S, a, S, a, S, a, S, a, S,,, 4, 3, 0, 4, 0, 5, inn i GeoGebra, og bruker polynomregresjon av tredje grad. 3 Vi får da uttrykket n n n. 6 3 Uttrykket S n kan skrives som S n n nn 3 n n n n 3n n 3 n n n Regresjon gir altså tilnærming til uttrykket S n.

21 Resultatet ovenfor gjelder i prinsippet bare for de fem første summene S, S, S 3, S 4 og S. 5 Vi ønsker å undersøke om formelen gjelder for alle n - verdier. Da må vi gjennomføre et matematisk bevis. n n n d) Bruk induksjon til å bevise at formelen Sn er riktig. 6 Vi skal vise at summen av de n første trekanttallene er Trinn, Induksjonsgrunnlaget Vi skal vise at formelen gjelder for n. n n n n n Bevis Venstre side 3 Høyre side 6 3 Formelen gjelder for n. Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n t. Vi har da at t t t t t St Vi skal vise at formelen da også gjelder for Vi skal altså vise at nt. t t t t t t t t 3 St

22 Bevis S S a t t t t t t 3 t t t t t t t t t 6 3 t t t t t 6 t t t t t 6 t t ( t 3) 6 6 Vi har dermed vist at formelen gjelder for nt. I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n.