Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x

Transkript

1 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved f a) f b) g 5ln 3 3 Vi bruker kjerneregelen på ln 3 Vi setter h u lnu og u Det gir h u u 3 u 3 3. Det betyr at g c) h Vi bruker kvotientregelen for derivasjon, u u v u v v v h Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side av 6

2 Oppgave (5 poeng) Polynomet P er gitt ved 3 P( ) 7 4 k a) Vis at P er delelig med hvis og bare hvis k 8 Dersom divisjonen P : skal gå opp må P 3 P k k k Vi finner at P er delelig med hvis og bare hvis k 8 b) Sett k 8 og faktoriser P ved hjelp av lineære faktorer : Det betyr at P 5 4 Vi kan nå faktorisere andregradspolynomet ved hjelp nullpunktmetoden Det betyr at tredjegradsuttrykket gir P 4 Fullstendig faktorisering av c) Løs ulikheten P 0. Tegner fortegnsskjema P 0 for 4 Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side av 6

3 Oppgave 3 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved f( ) e, D f a) Vis at f e Vi bruker produktregelen for derivasjon, uv u v. Vi finner først v ved å bruke kjerneregelen på u Vi setter g u e og u e. Det gir u g u u e e f e e e e b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. f Vi setter 0 e , e 0 0 Tegner fortegnsskjema Grafen til f har toppunkt i og i 0, f, e, e,, f, e, e 0, Grafen til f har bunnpunkt i f e 0 0, 0 0, 0 0, 0 Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 3 av 6

4 c) Lag en skisse av grafen til f, når du får vite at f 0 når. Denne grafen er laget i GeoGebra. En skisse har ikke samme krav til nøyaktighet som en graf, men det er svært viktig at punktene vi fant i b) markeres og at skissen følger opplysningen som er gitt i oppgaven. I tillegg må grafen være glatt, dvs. ingen spisse hjørner. d) Bruk skissen til å avgjøre hvor mange vendepunkter grafen til f har. Marker vendepunktene på skissen. Eventuelle vendepunkter til en graf finner vi der grafen skifter fra å vende sin hule side opp til å vende sin hule side ned, eller omvendt. Vi finner at grafen til f har 4 vendepunkter (røde punkter), se graf ovenfor. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 4 av 6

5 Oppgave 4 (6 poeng) En likesidet ABC har side lik 6 cm. Høyden fra C treffer AB i H. BEDC er et kvadrat. En sirkelbue med sentrum i C og radius CE treffer forlengelsen av AB i punktet F. Se figuren nedenfor. a) Bestem lengdene av linjestykkene CH, CF og HF. ABC er likesidet. Det gir at finne CH. CH CH CH 3 3 Linjestykket CH 3 3 cm AH HB 3 cm. Vi bruker pytagoras læresetning for å Vi har at CE dermed at BC CF da de er radier i samme sirkelbue. BEDC er et kvadrat og vi har BE. Vi bruker pytagoras læresetning for å finne CE. CE 6 6 CE 7 CE 6 Linjestykket CF 6 cm Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 5 av 6

6 Vi har at CHF er rettvinklet. Vi finner lengden av linjestykket HF. HF HF HF HF 3 5 Linjestykket HF 3 5 cm b) Vis at forholdet AF AB er lik «det gylne snitt» 5. AF AH HF 3 cm 3 5 cm 3 cm 5 5 AB 6 6 cm 6 cm Oppgave 5 (6 poeng) Punktene A,, B5, og C 3, 5 er gitt. a) Bruk vektorregning til å avgjøre om punktene ligger på en rett linje. Vi sjekker om AB AC Dersom AB AC så må det finnes ett tall k slik at AB k AC AB 5, 4, og AC 3, 5, 4 4, k, 4 4 k 4k. k k 4 Punktene ligger ikke på en rett linje. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 6 av 6

7 Punktet D er gitt ved D0, t. b) Bestem eventuelle verdier av t slik at CDA 90. Skal CDA 90 må DC DA. Det betyr at skalarproduktet DC DA 0. t t 3 5 5t t t 0 DC DA 0 3 0, 5 t 0, t 0 3,5 t, t t 6t t 6 t t t 4 Vi har da at CDA 90 for både t og t 4 c) Bestem eventuelle verdier av t slik at ABCD blir et trapes. Vi har at ABCD er et trapes dersom AB DC, dvs. k AB DC. k 4, 3, 5 t 4k 3 k 5 t 3 3 k t k t 4 4 Vi har også at ABCD er et trapes dersom AD BC, dvs. AD s BC., t s, 3 s t 3s s t 3 5 s t ABCD blir et trapes for 7 5 t og for t 4 Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 7 av 6

8 Oppgave 6 (4 poeng) Elevene på Vg må velge fag for Vg. Camilla vil ha realfag som sitt programområde og må derfor velge minst to realfag. Skolen tilbyr fem realfag og åtte fag fra andre programområder. a) Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom hun skal ha to realfag og to andre fag? Dette er en situasjon der rekkefølgen ikke betyr noe og det velges uten tilbakelegg. Antall fagkombinasjoner at da gitt ved 5 8 5! 8! !! 8!! b) Camilla skal velge fire fag. Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom minst to av fagene skal være realfag? Dersom minst to av fagene skal være realfag, betyr det at Camilla kan velge to, tre eller fire realfag. I oppgave a) fant vi at det var 80 mulige fagkombinasjoner dersom hun velger akkurat to realfag. Vi finner antall fagkombinasjoner med tre og fire realfag. Antall fagkombinasjoner ved tre realfag Antall fagkombinasjoner ved fire realfag Camilla har dermed fagkombinasjoner å velge mellom. Oppgave 7 (5 poeng) En funksjon f er gitt på formen f p q Vi kan fine eventuelle nullpunkt til f ved hjelp av en geometrisk konstruksjon. Framgangsmåten er gitt i boksen nedenfor. a) Bruk framgangsmåten til å konstruere sirkelen når f 8 Hva er nullpunktene til f, ifølge konstruksjonen? Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 8 av 6

9 Vi avsetter punktene A 0, og, 8 B og trekker en linje mellom punktene Vi finner midtpunktet M til linjen mellom A og B ved å konstruere midtnormalen på AB Avsetter en sirkel med sentrum i M og med MA som radius Vi ser at sirkel skjærer -aksen i punktene S, 0 og i S4, 0 Nullpunktene til f 8 er altså og 4 Vi skal nå se på det generelle tilfellet f p q b) Vis at sentrum S og radien r til sirkelen er gitt ved p q p S, og r 4 q Vi har punktene A0, og B p, q. Sentrum S i sirkelen er midtpunktet på AB. p q p q p q OS OA AB 0, p 0, q,,, som gir at S p, q Vi har at lengden av AB er diameter i sirkelen. Det gir AB 0 p, q p q p q r 4 Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 9 av 6

10 c) Bestem likningen for sirkelen uttrykt ved p og nullpunktene til funksjonen f. q. Vis at sirkelen skjærer -aksen i Likningen for en sirkel er gitt ved 0 y y0 r der 0, yo sirkelen og r er radien. er sentrum i Vi bruker opplysningen fra b) og setter inn og finner likningen for sirkelen p q p q y 4 p q p q y 4 Vi har at y 0 når sirkelen skjærer -aksen. p q p q 0 4 q p q p 4 q p q p 4 p p q q p q q p q q p q q p q q p 0 p q 0 Løsningen til likningen p q 0 viser når sirkelen skjærer - aksen. Vi ser at denne likningen er lik funksjonsuttrykket til f. Nullpunktene til sirkelen er altså gitt ved samme likning som nullpunktene til f. Det må bety at sirkelen skjærer -aksen i nullpunktene til funksjonen f. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 0 av 6

11 Oppgave (6 poeng) Vi har to bunker med kort. I bunke A er det 5 røde og 3 svarte kort. I bunke B er det 3 røde og 4 svarte kort. Vi velger tilfeldig én av bunkene og trekker tilfeldig kort fra denne bunken. Vi definerer følgende hendelser:, F: Vi velger bunke A R: Vi trekker røde kort a) Bestem P F, P F, P R F og P R F. Sannsynligheten for å velge bunke A må være den samme som for å velge bunke B. Det betyr at P F P F Sannsynligheten for hendelse R gitt hendelse F blir: Sannsynligheten for hendelse R gitt hendelse F blir: b) Bestem PR. P R P R F P R F P R F P F P R F P F c) Bruk Bayes setning til å bestemme P F R. P F R P R F P F PR P R F P R F Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side av 6

12 Oppgave (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f 5 e, 0 a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. Rektangelet OABC er gitt ved punktene 0, 0,, 0,, og 0, b) Forklar at arealet til rektangelet er gitt ved 5 T e O A B f C f. Den ene siden av rektangelet ligger langs -aksen og har lengden OA. Den andre OC f 5e siden av rektanglet ligger langs y -aksen og har lengden T OAOC 5e 5e Arealet av rektangelet er dermed c) Bestem det største arealet rektangelet kan få. Bestem den tilhørende verdien for. Vi tegner grafen til T og bruker kommandoen «Ekstremalpunkt» for å finne det største arealet rektangelet kan få. Vi finner at det største arealet rektangelet kan få er 3,68. Det skjer når. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side av 6

13 Oppgave 3 (8 poeng) Gitt tre punkt A, 3, B4, 0 og C 5, 5. a) Bestem en parameterframstilling for linje gjennom B og C. En retningsvektor for linjen er gitt ved BC 5 4, 5 0, 5 En parameterframstilling for linjen kan da skrives som 4 t : y 5t b) Et punkt P ligger på linjen. Forklar at vi kan skrive AP 3 t, 3 5t for en t. Fra oppgave a) ser vi at et punkt P på linja kan skrives som P 4 t, 5t AP 4 t, 5t 3 3 t, 3 5t Vi har da. c) Bruk blant annet skalarprodukt til å finne koordinatene til P slik at AB AP. Vi velger å bruker CAS I linje og har vi definert vektorene AB og AP. I linje 3 bruker vi skalarproduktet og finner den verdien av t som er slik at AB AP 0 I linje 4 finner vi koordinatene til punktet P. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 3 av 6

14 d) Bruk CAS til å bestemme hvilke koordinater P kan ha når BAP 45. Vi bruker definisjonen til skalarproduktet og finner to mulige t -verdier. 3 I linje 6 og 7 ser vi at punktet P kan ha koordinatene, 5 eller, 3 5 når BAP 45. Oppgave 4 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved f, 0,,, og, ABC har hjørnene A r f r B s f s C t f t på grafen til f, der r, s, t er tre parametere. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 4 av 6

15 a) Vis at linjen gjennom A som står normalt på linjen gjennom B og C, er gitt ved y st r r På samme måte kan vi vise at linjen A og C, er gitt ved gjennom B som står normalt på linjen gjennom y rt s s I linjene,, 3 og 4 definerer vi funksjonen f og punktene A, B og C. I linje 5 finner vi linjen gjennom punktene B og C ved å bruke kommandoen «Linje[ punkt, punkt]». Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 5 av 6

16 b) Linjene og skjærer hverandre i et punkt P. Bruk CAS til å vise at P alltid vil ligge på grafen til f. Linje 4 viser at P, rst rst alltid vil ligge på grafen til f da f rst. rst Eksamen REA30 Matematikk R Våren 06 Side 6 av 6