Heldagsprøve R Thora Storms vgs.

Transkript

1 R1 HD V01 Heldagsprøve R Thora Storms vgs. Løsningsskisser Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Deriver funksjonene: 1) fp 0. 01p p 3. 1 f p p p ) gx x 1 x gx x 1 x 1 g x 1 x 1 1 1x 1 x 1 x 1 x (Eventuelt: x x x x ) x x x 1 x 3) hx e x 1 Kjerneregel: hx u, u e x 1 h x 1 u ex e x e x 1 4) ix x ln x Produktregel: i x x ln x x 1 x 5) jx ln x x1 x ln x x x ln x 1 Kjerneregel: jx ln u, u x x1 Brøkregel: u 1x1x1 x1 1 x1 j x 1 u 1 1 x1 x x1 x1 1 xx1 (Eller: jx ln x lnx 1 j x 1 x 1 x1x 1 x1 xx1 xx1 ) b) H-P Ulven av 10 r1_6041_ls.tex

2 R1 HD V01 Vi har gitt polynomfunksjonen Px x 3 3x 4x 1, 1) Finn P. ) Faktoriser polynomfunksjonen. 3) Løs ulikheten Px 0 D f 1) P ) x må være en faktor, så vi utfører polynomdivisjon: x 3 3x 4x 1 : x x 5x 6 abc-formel gir: x 5x 6 x x 3 ): Px x x x 3 (Kan også gjøres direkte: Px x 3 3x 4x 1 x x 3 4x 3 x 4x 3 x x x 3 ) c) 3) Px 0 : x o x o x o VS o o- - o ): L, 3, Gitt punktene A 1, 3, B, 7 og C 5, t 1. 1) Bestem ved regning t slik at AB AC. ) Bestem ved regning t slik at AB AC. 3) Bestem ved regning t slik at AB AC. AB 3, 4 AC 4, t 1) AB AC AB AC 0 3, 4 4, t 0 1 4t 8 0 4t 0 t 5 ) AB AC AC kab 4, t k3, 4 4 3k t 4k k 4 t 4k 3 k 4 t 4 4 k 4 10 t ) AB AC 5 4 t 5 16 t 4t 4 t 4t 5 0 t 1 t 5 Pga. kvadrering (irrasjonell ligning) må løsningene testes! Test viser at begge er t verdier er løsninger. H-P Ulven av 10 r1_6041_ls.tex

3 R1 HD V01 d) Fortegnslinjene til f x og f x til en funksjon fx er gitt som i figuren under: f x: o o f x: e) 1) Bestem x-koordinatene til eventuelle bunn-, topp- og vendepunkter til fx. ) Tegn skisser av hvordan grafen til fx kan se ut. 1) Bunnpunkt for x 3, toppunkt for x 4. Ingen vendepunkt hvis brudd eller asymptote, vendepunkt hvis knekkpunkt. ) Bør tegne tre hovedtilfeller, en med bruddpunkt for x 1, en med vertikal asymptote for x 1 og en med knekkpunkt for x 1. En sirkel har sentrum i O. Sirkelbuen AB har gradtallet b 1 85, mens sirkelbuen DE har gradtallet b 15. Se skissen under: 1) Bestem vinkelen ADB. ) Bestem vinkelen DBE. 3) Vis at v ASB 50. 4) Det ser ut som v b 1b. Bevis at dette gjelder generelt. 1) ADB , da periferivinkel til sentralvinkelen AOB, med bue 85. ) DBE , da periferivinkel til sentralvinkelen DSE, med bue 15. 3) DAE DBE, da begge er periferivinkler med samme bue. Vinkelsummen i trekant ASD gir da: ASD 180 ADB DAE ASB 180 ASD ) Vi gjentar resonnementet i 1), ) og 3), med vilkårlige buelengder, og får da: ADB b 1,DBE DAE b ASD 180 b 1 b,, H-P Ulven av 10 r1_6041_ls.tex

4 R1 HD V01 ASB b 1 b b 1 b b 1b QED Del - Med hjelpemidler Oppgave Funksjonen f er gitt ved fx x 3 4x 3x, D f 1, 4 a) Bestem nullpunktene til fx ved regning. b) Tegn fortegnslinjene til f x, og bruk denne til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til fx. c) Finn ved regning eventuelle vendepunkter på grafen til fx. d) Vis ved regning at ligningen til tangenten T i punktet P, f er gitt ved y x. e) Tangenten T og fx har et skjæringspunkt Q i tillegg til tangeringspunktet. Finn ved regning koordinatene til Q. a) fx xx 4x 3 xx 3x 1 (abc-formel) Nullpunkter: 0, 0,3, 0,1, 0 b) f x 3x 8x 3 f x 0 3x 8x 3 0 x x Tall-linjer gir: f x : o o ): Toppunkt: , f , Bunnpunkt:., f..,. 11 c) f x 6x 8 f x 0 6x 8 0 x 4 3 Vendepunkt: 4, f 4 4 0, 1. 33, d) Tangent T: y f f x y 1x y x y x e) Skjæringspunktene P og Q gitt av: x 3 4x 3x x x 3 4x 4x 0 xx 4x 4 0 xx 0 x 0 (Q) x (P) ): Q 0, 0 (Dette gjelder faktisk generelt for tredjegradsfunksjoner: Tangenten til kurven, der x ligger midt mellom to nullpunkt, skjærer x aksen i det tredje nullpunktet! (Forutsetter at vi har tre nullpunkter.) Verdt å merke seg, da dette poenget har blitt brukt på flere H-P Ulven av 10 r1_6041_ls.tex

5 R1 HD V01 eksamensoppgaver.) Oppgave 3 En partikkel beveger seg langs en kurve gitt ved vektorfunksjonen rt t 3 4t, 3t, t 3, 3 a) Fremstill kurven grafisk. b) Finn ved regning skjæringspunktene mellom kurven og koordinataksene. c) Finn fartsvektoren der t, og tegn inn denne fartsvektoren inn på samme figur som i oppgave a). d) Finn en parameterfremstilling for en linje som tangerer kurven der t. a) GeoGebra: r(t)kurve[t ^3-4*t,3*t-,t,-3,3] (Har lagt inn svar på b), c) og d) også.) b) Skjæring x-akse: y 0 : 3t 0 t 3 S x , 0, 0. 37, Skjæring y-akse: x 0 : t 3 4t 0 tt 4 0 tt t 0 t 0 : t : t : S y1 0, 3 0 0, S y 0, 3 0,8 S y3 0, 3 0, 4 c) vt r t 3t 4, 3 v 3 4, 3 8, 3 d) Bruker S y3 som utgangspunkt og v som retningsvektor for linjen: OP OS y3 t v x, y 0, 4 t8, 3 x, y 8t, 4 3t l : x 8t y 4 3t H-P Ulven av 10 r1_6041_ls.tex

6 R1 HD V01 Oppgave 4 Trekanten ABC er gitt ved punktene A,, B 4, 0 og C, 6. a) Finn A ved regning. b) Finn midtpunktet D på BC ved regning. c) Finn ligningen for linjen l gjennom A og D. d) Punktet E ligger på linjen l gjennom A og D, slik at CBE 90. Finn koordinatene til E ved regning. e) Sett a AB og b AC. Finn DE uttrykt ved a og b. a) AB 6,, AB AC 4, 4, AC 3 4 ABAC cosa AB AC A ,4, b) OD 1 OB 1 OC 1 4, 0 1, 6 3, 3 D 3, 3 c) To-punkts-formel for A og D: y y A y Dy A x D x A x x A y 3 x y 1 x 3 5 y 1 1 x 5 5 d) BC, 6 Med E x, 1 1 x får vi 5 5 BE x 4, 1 1 x 5 5 BE BC BE BC 0 x 4, 1 1 x, x x x x OE 8, 8 1 8, 8 E 8, e) DE 5, 5 Enklest: DE AD DE kad 5, 5 k5, 1 k 5 DE k 1 AB AC 5 a 5 b En annen mulighet: DE xab yac 5, 5 x6, y4, 4 5 6x 4y 5 x 4y Løser med subtraksjon: x x 4y 5 x 4y 5 8x 0 y 5x H-P Ulven av 10 r1_6041_ls.tex

7 R1 HD V01 ): DE 5 a 5 b Oppgave 5 Ole og Kari Ferkenberg er begge 70 år gamle. Sannsynligheten for at en 70-åring i Norge skal bli 80 år er 0.63 for menn og 0.77 for kvinner. Ifølge SSB er 5% av 70-åringene kvinner og 48% menn. a) Hva er sannsynligheten for at Ole Ferkenberg ikke skal bli 80 år? b) Hva er sannsynligheten for at begge blir 80 år? c) Hva er sannsynligheten for at ingen av dem blir 80 år? d) Hva er sannsynligheten for at bare en av dem blir 80 år? e) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt 70-åring skal blir 80 år? f) Hvis vi om 10 år får vite at en av Ferkenbergene ikke ble 80 år, hva er sannsynligheten for at det var Kari som har dødd i løpet av de 10 årene? a) Å : Bli 80, M : Mann, K : Kvinne Gitt: PÅ M 0. 63, PÅ K PM 0. 5, PK OF blir ikke 80: 1 PÅ M b) Forutsetter uavhengighet: (Kanskje litt tvilsomt, den enes død kan jo tenkes å influere på den andre gjennom sorg, osv...) Begge blir 80: PÅ MPÅ K c) Ingen blir 80: 1 PÅ M1 PÅ K d) Sannsynligheten for at bare en av dem blir 80 år, er de mulighetene som står igjen etter b) og c): e) Total sannsynlighet: PÅ PÅ M PÅ K PMPÅ M PKPÅ K f) Denne oppgaven er litt farlig, hvis man fristes til å bruke Baye av gammel vane, slik vi har gjort i mange slike oppgaver, og regne slik: PK Å PÅ KPK PÅ Det vi da har regnet ut er sannsynligheten for at en tilfeldig person vi har valgt, som ikke ble 80, er en kvinne. I denne oppgaven er settingen en helt annen, vi har to personer og fire mulige utfall: OK : Ole ble 80 og Kari ble 80. OK : POK (Se b).) Ole ble 80, men ikke Kari OK : Ole ble ikke 80, men Kari ble OK : Ingen av dem ble 80 H-P Ulven av 10 r1_6041_ls.tex

8 R1 HD V01 POK Sannsynlighetene blir: (Se c).) Utfall: OK OK OK OK Sannsynlighet: Hvis vi vet at en er død, har vi det reduserte utfallsrommet: OK, OK Sannsynligheten for at det da var Kari som døde blir: POK POKPOK Oppgave Gitt en sirkel og et punkt P utenfor sirkelen. Vi har tegnet inn en av tangentene til sirkelen gjennom punktet P. I tillegg har vi tegnet inn en vilkårlig sekant til sirkelen også gjennom P. Se figur: a) 1) Bruk setningen om sentral- og periferivinkler til å vise at ATP ABT. ) Forklar hvorfor PAT PTB. 3) Bevis at PA PB PT. 4) Produktet PA PB kaller vi et punkts potens med hensyn på sirkelen. Formuler det du har funnet ut om et punkts potens med hensyn på sirkelen. 1) ATP ABT, da begge spenner over buen til AT. (ATP grensetilfellet der det ene vinkelbenet går over fra å være sekant til å bli tangent.) ) PAT ogptb er likeformede fordi en vinkel, APT, er felles, og da en annen vinkel også er lik, ATP ABT (se 1). 3) Forholdet mellom trekantsidene blir da: PA PT (Som også er lik AT.) PT PB TB Forholdet kan skrives om til: PT PA PB, hvilket skulle bevises. (PT er mellomproporsjonalen mellom PA og PB.) 4) Fra et punkt utenfor en sirkel kan vi trekke linjer som skjærer sirkelen H-P Ulven av 10 r1_6041_ls.tex

9 R1 HD V01 i to punkter. Produktet av avstandene fra punktet til skjæringspunktene vil da være konstant for alle slike linjer, og denne konstanten vil være kvadratet av avstanden til tangeringspunktet for en linje fra punktet som tangerer sirkelen. Denne konstanten kaller vi punktets potens med hensyn på sirkelen. b) En trekant ABC er gitt ved at AB 10 ogcab 45 ogabc 60. 1) Konstruer trekanten. ) Konstruer trekantens omskrevne sirkel. 3) Finn ved regning radien i den omskrevne sirkelen. 1) Konstruksjonsforklaring: Sett av linjestykke AB med lengde 10. Konstruer ABC 60 (sirkel om B, buen har sekant lik radien i sirkelen.) Konstruer CAB 45 ved å halvere vinkelen mellom AB og en normal på AB. ) Konstruksjonsforklaring: Omskreven sirkel har sentrum i skjæringspunktet mellom midtnormalene på sidene i trekanten, så vi konstruerer midtnormaler på to av sidene, eksempelvis AB og BC. 3) Flere måter å gjøre dette på, men da vi har en omskrevet sirkel, bør vi benytte oss av det: H-P Ulven av 10 r1_6041_ls.tex

10 R1 HD V01 Trekker hjelpelinjer fra A og B til sentrum S for å lage rettvinklede trekanter. D er midtpunktet på siden AB som har en midtnormal gjennom S. Trekantene ADS og BDS er her kongruene, da: Siden DS er felles, sidene BS og AS er like (begge er radius i sirkel) begge har 90-graders vinkel. Da må ASD BSD ASB ASD er sentralvinkel til ACB 75, så ASD 150, og vi får ASD BSD sinbsd BD 5 r sin BS r 5 r H-P Ulven av 10 r1_6041_ls.tex