R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene"

Transkript

1 R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for y 1 og y. Det geometriske stedet for et punkt som ligger like langt fra y 1 som fra y, er derfor x-aksen og y-aksen. Aschehoug Undervisning Side 1 av 9

2 6.3 a b c Det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som tangerer to rette linjer som skjærer hverandre, er de to vinkelhalveringslinjene mellom linjene. 6.4 Det geometriske stedet for et punkt som ligger 5 cm fra linja, er de to parallellene til linja i avstand 5 cm. Aschehoug Undervisning Side av 9

3 6.5 a Det geometriske stedet for et punkt som ligger 3 enheter fra l, er de to parallellene til linja i denne avstanden fra l. b Punktet B = (0, 6). Av figuren ser vi da at linja l blir midtnormalen på AB. c Det geometriske stedet for et punkt som ligger 5 enheter fra skjæringspunktet mellom linja l og linja gjennom A og B, er en sirkel om skjæringspunktet med radius 5 enheter. Se figuren. d Det geometriske stedet for et punkt som ligger like langt fra de to linjene i oppgave c, er de to vinkelhalveringslinjene. Se figuren. 6.6 a Vi måler sentralvinkelen til 100 og periferivinkelen til 50. Forholdet mellom vinklene er. b Vi flytter punktet C langs sirkellinja. Vi flytter punktet B langs sirkellinja mens A og C ligger fast. Vi ser at når en periferivinkel og en sentralvinkel i en sirkel spenner over samme sirkelbue, så er periferivinkelen halvparten så stor som sentralvinkelen. Se figuren. Aschehoug Undervisning Side 3 av 9

4 6.7 a Vi ser at sentralvinkelen spenner over en bue på 100, mens periferivinkelen spenner over en bue på 50. b Vi ser at sentralvinkelen spenner over en bue på 180, mens periferivinkelen spenner over en bue på 90. c Vi ser at sentralvinkelen spenner over en bue på 360, mens periferivinkelen spenner over en bue på 180. Aschehoug Undervisning Side 4 av 9

5 6.8 a Vi ser at en sirkelbue som blir avskåret av en periferivinkel på 45, er 90. b og c: Se 6.7b og c. 6.9 a Buen AB er 60 siden C = 30 er en periferivinkel som spenner over AB. b Siden buen AB er 60, er ASB = 60. Videre er SA = SB = 5 cm. Da må BAS = ABS = 60. ABC er altså likesidet. AB er derfor 5 cm. c Aschehoug Undervisning Side 5 av 9

6 6.10 a β Vi skal bevise at α =. BSC er likebeint fordi BS og CS er radier i sirkelen. Dermed er CBS = α. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180. Da er BSC = 180 ( α + α) = 180 α. ( α) Videre er β = 180 BSC = = α. β Vi har bevist at hvis AC er en diameter, så er β = α α =. b Vi ser på det tilfellet at S ligger utenfor periferivinkelen. Av figuren ser vi at α = BCD ACD, og at β = BSD ASD. Fra oppgave a har vi at BSD ASD BCD = og ACD = BSD ASD BSD ASD β Dette gir α = BCD ACD = = =. Aschehoug Undervisning Side 6 av 9

7 6.11 a Siden AB er diameter, utgjør buen AB halve sirkelen, det vil si 180. b Buen AB er halve omkretsen av sirkelen. Buen AB er derfor 1 πr = πr = π 6 cm = 18,8 cm. c C = 90. Thales setning innebærer at når AB er diameter i en sirkel og C ligger på sirkelbuen, er C = a ABC ACD fordi C = ADC = 90 A er felles i begge trekantene. Da er B= ACD, for vinkelsummen i en trekant er 180. Når vinklene i to trekanter er parvis like store, er trekantene formlike. AC 5 Forholdstallet n1 = =. AD 3 b For de to trekantene kan vi skrive AB AC = AC AD AB 5 = AB = = 8,3 3 3 c d ABC CBD fordi C = CDB= 90 B er felles i begge trekantene. Da er A= BCD, for vinkelsummen i en trekant er 180. Når vinklene i to trekanter er parvis like store, er trekantene formlike. Vi kan beregne CD ved Pytagoras: AC = AD + CD CD = AC AD CD = = AC 5 Forholdstallet er n = =. CD 4 ACD CBD fordi ADC = CDB = 90 ACD = CBD siden de begge er komplementvinkler til BCD. Da er A= BCD, for vinkelsummen i en trekant er 180. Når vinklene i to trekanter er parvis like store, er trekantene formlike. CD 4 Forholdstallet er n3 = =. AD 3 Aschehoug Undervisning Side 7 av 9

8 e f A A A ABC 5 4 AB CD = = = = 6 3 AD DC 34 = = ACD = CBD A A A A ABC ACD A A ABC CBD CBD ACD DB DC = = = = = = = = = = n = = = = n 3 = = = = = = n Vi ser at forholdet mellom arealene er n De to trekantene er formlike. Da kan vi skrive a b = d e Vi omformer: a e= b d Vi dividerer med be : a e b d = be be a d = b e 6.14 a Siden M 1 og M er midtpunktene på tilsvarende sider i to formlike trekanter, er også M 1 og M tilsvarende punkter. x n = x b 1 Aschehoug Undervisning Side 8 av 9

9 6.15 a De to trekantene har parvis like store vinkler, men sidene er ikke like lange. Vi ser at trekantene er ikke kongruente. b De to trekantene og har begge to sider som er like, og =. 1 ABC1 ABC AB BC1 BC De har A felles. Vi ser at de to trekantene ikke er kongruente. Sidene AC og AC er forskjellige I disse to trekantene er AB = DE. Den motstående vinkelen til disse to sidene er lik i de to trekantene ( C = F), og en av de hosliggende vinklene er like ( A = D). Siden vinkelsummen i en trekant er 180, må også den andre hosliggende vinkelen være lik. Dermed er én side og de to hosliggende vinklene like, og trekantene er kongruente ifølge fjerde kongruenssetning. Aschehoug Undervisning Side 9 av 9

10 6.17 ACD BCD fordi linja l er midtnormalen til AB, og da er AD = BD og AC = BC CD er felles side i de to trekantene. I de to trekantene er altså sidene parvis like. Da er de to trekantene kongruente a Vi merker av AB = 8 cm. Vi slår en sirkel om A med radius 6 cm og en sirkel om B med radius 7 cm. Der sirklene skjærer hverandre, er C. b To trekanter med parvis like sider er kongruente. 6.0 Vi tegner linja AB = 6 cm. I A konstruerer vi en vinkel på 45. C er skjæringspunktet mellom denne og parallellen til AB i avstanden 5. For å konstruere parallellen gjør vi følgende: I B oppreiser vi en normal og finner et punkt D 5 cm fra B. I D oppreiser vi nok en normal. På denne måten blir høyden CE = 5 cm. Aschehoug Undervisning Side 10 av 9

11 6.1 Vi konstruerer først en vinkel på 90 i punkt C. Vi avsetter AC = 7 cm. Vi slår en bue med radius 9 cm om A. Der denne buen treffer det andre vinkelbeinet til C, er B. 6. a b AC = BC = 10 cm. ABC er likebeint. c Vi bruker pytagorassetningen for å regne ut høyden h i trekanten: h + 4 = 10 h = = 9, Høyden er 9, cm. g h 8 cm 9, cm A = = = 36,7 cm Aschehoug Undervisning Side 11 av 9

12 6.3 Vi velger centimeter som enhet og setter av AB = 8 cm. Vi konstruerer en vinkel på 75 i A. Vi slår en bue med radius 8 cm om B. Der denne sirkelbuen treffer det venstre vinkelbeinet i A, er C. 6.4 a 1 Vi avsatte linjestykket AB lik 7cm. Vi konstruerte en vinkel på 60 med toppunkt i B og halverte den etterpå. 3 Vi slo en sirkelbue om A med radius 5 cm og fikk C 1 og C. Oppgaven har to løsninger: ABC1 og ABC Trekanten er ikke entydig bestemt, for vi kjenner to sider og den motstående vinkelen til den korteste av dem. Aschehoug Undervisning Side 1 av 9

13 b Vi bruker sinussetningen: sin ACB sin B = AB AC sin ACB sin 30 = 7 5 7sin30 sin ACB = = 0,700 5 ACB = 44, Dette betyr at ACB = 44,. Da er BAC = 180 ( 44, + 30 ) = 105, 6. Vi bruker så cosinussetningen for å finne BC : BC = AC + AB AC AB cos BAC BC = cos105,6 = 9,8 BC = 9,8 = 9, 6 Lengden av BC er 9,6 cm. AC1B = , 4 = 135, 6 Da er BAC1 = 180 ( 135, ) = 14, 4. Vi bruker så cosinussetningen for å finne BC1: BC = AC + AB AC AB cos BAC1 BC = cos14,4 = 6, = 6, 0 =,5 BC Lengden av BC 1 er,5 cm. c Et ekstra krav kunne ha vært at C < 90, eller at A var oppgitt. 6.5 Vi ser av figuren at det er ikke mulig å konstruere en trekant med GH = 10 cm og HI = GI = 4 cm, for de to sirklene om G og H med radius lik 4 cm har ingen skjæringspunkter. Aschehoug Undervisning Side 13 av 9

14 6.6 Når alle tre sidene i en trekant er gitt, får vi enten én løsning eller ingen løsning. Se også figuren i oppgave a I en likebeint trekant er vinklene ved grunnlinja like store, dvs. at de to andre vinklene er = 45. b Vinklene i trekanten er gitt, men ingen av lengdene er gitt. Det fins uendelig mange trekanter med disse vinklene. c Vi avsetter linjestykket AB = 7 cm. Vi konstruerer en vinkel på 90 med toppunkt i A og halverer den etterpå. Vi gjør tilsvarende i punkt B. Der disse vinkelhalveringslinjene skjærer hverandre, er C, og vinkel C blir da 90. Aschehoug Undervisning Side 14 av 9

15 6.8 a Vi avsatte et linjestykke og merket av punktet A. Vi konstruerte en vinkel på 60 med toppunkt i A. Vi avsatte AC lik 4 cm. Vi slo en sirkelbue om C med radius 7 cm og fikk B. Vi slo en sirkelbue om A med radius 10 cm og fikk B. Vi kopierte ABC i Bog fikk C. AC 4 = CB 7 B C BC og ABC ABC AC 4 Da er =. CB 7 b Vi bruker først sinussetningen for å finne ABC. sin AB C sin A = AC B C sin AB C sin 60 = 4 7 sin 60 4 sin AB C = 7 AB C = 9,66. Dermed er B = 9,66. Vi bruker cosinussetningen for å finne AC: AC = AB + BC AB BC cosb 7 7 AC = 10 + AC 10 AC cos 9,66 4 4, 065AC + 30, 414AC 100 = 0 AC = 4,9 eller AC = 9,8 Lengden av AC er 4,9 cm. Aschehoug Undervisning Side 15 av 9

16 6.9 a En femkant kan vi dele i tre trekanter. b En sekskant kan vi dele i fire trekanter. c En tikant kan vi dele i åtte trekanter. Aschehoug Undervisning Side 16 av 9

17 6.30 a Vi avsatte linjestykket AC lik 6,5 cm. Vi slo en sirkelbue om A med radius 4 cm og en sirkelbue om B med radius 4 cm. Der disse to sirkelbuene skar hverandre, er B. Vi slo en sirkelbue om A med radius 7 cm og en sirkelbue om C med radius 6 cm. Der disse to sirkelbuene skar hverandre, er D. b Vi konstruerte en vinkel på 90 i punktet H. Vi slo en sirkelbue om H med radius 5 cm og fant G. Vi slo en sirkelbue om G med radius 8 cm og fant E. Vi slo en sirkelbue om E med radius 4 cm og en sirkelbue om G med radius 5 cm. Der de sirkelbuene skar hverandre, er F. Aschehoug Undervisning Side 17 av 9

18 c Vi avsatte IJ = 6 cm. Vi konstruerte en normal med i I og en normal i J. Vi avsatte IL = 4 cm og JK = 4 cm. Vi trakk KL. d Vi avsatte linjestykket MN = 8 cm. Vi konstruerte en vinkel på 75 med sentrum i N. Vi avsatte linjestykket NO = 5 cm. Vi slo en sirkel om M med radius 5 cm og en sirkel om O med radius 8 cm. Vi trakk parallellen med MN gjennom O. Vi avsatte OP = 6 cm. Aschehoug Undervisning Side 18 av 9

19 6.31 Vi avsatte linjestykket AB = 6 cm. Vi konstruerte en normal til AB i B og avsatte BC = 6 cm. Vi fikk da punkt C. Vi konstruerte en vinkel på 60 med toppunkt i C og avsatte CD = 10 cm. Vi konstruerte en vinkel på 75 med toppunkt i D og trakk en linje. Vi slo en sirkelbue om A med radius på 6 cm. Der denne sirkelbuen traff høyre vinkelbein i D, fant vi punkt E. 6.3 a En regulær trekant kalles likesidet trekant. b En regulær firkant kalles kvadrat a (Her fins det ulike løsningsmåter.) Vi har delt sekskanten i seks regulære trekanter. CAE = 60 fordi ACE er likesidet. ACDF er et rektangel, og CAF = 90. EAF = = 30. Tilsvarende er BAC = = 30. Da er BAF = A = = 10. Vinkelen i en regulær sekskant er 10. Aschehoug Undervisning Side 19 av 9

20 6.34 Deloppgavene a, b, c og d er vist i figuren. e De åtte punktene som ligger på sirkellinja, danner en regulær åttekant. f ASB = 90 siden ABCD er et kvadrat. ASE = 45 siden SE er midtnormal ASE er likebeint, og SAE = SEA = = 67,5. Tilsvarende er SEB = 67,5. Da er AEB = 67,5 = 135. Vinklene i en regulær åttekant er Vi avsatte linjestykket DC lik 1 cm. Vi konstruerte en vinkel på 75 med toppunkt i D. Vi trakk linja l. Vi slo en sirkelbue om D med radius 6 cm. Der sirkelbuen traff l, fant vi A. Vi konstruerte en vinkel på 30 med toppunkt i A. Vi trakk linja m. Vi slo en sirkelbue om A med radius 5 cm. Der sirkelbuen traff m, fant vi B. Vi trakk hjelpelinja BC. Vi fant midtpunktet på BC og konstruerte buen BC som er en halvsirkel. Aschehoug Undervisning Side 0 av 9

21 6.37 b Vi merker av de tre punktene i koordinatsystemet. Vi konstruerer midtnormalen på AB og midtnormalen på BC. Der midtnormalene krysser hverandre, ligger sirkelens sentrum. Vi konstruerer sirkelen a Vi tegner en trekant i et dynamisk konstruksjonsprogram. Vi konstruerer midtnormalene på de tre sidene og finner omsenteret. Vi kan dra hjørnene slik at vi ser at når trekanten er rettvinklet, faller omsenteret på en av sidene i trekanten. Aschehoug Undervisning Side 1 av 9

22 b Vi tegner en trekant i et dynamisk konstruksjonsprogram. Vi konstruerer midtnormalene på de tre sidene og finner omsenteret. Vi kan dra hjørnene slik at vi ser at når en av vinklene i trekanten er større enn 90, faller omsenteret utenfor trekanten Aschehoug Undervisning Side av 9

23 6.41 a Når trekanten er likesidet, faller omsenteret og innsenteret sammen. b Når trekanten er likebeint, faller den ene vinkelhalveringslinja sammen med midtnormalen. Se figuren. Aschehoug Undervisning Side 3 av 9

24 6.43 a Vi trekker medianene AE og BF og deretter hjelpelinja EF. Fordi F og E er midtpunkter, er AF = FC og BE = EC. Da vet vi at AB EF. ABC FEC, med forholdstallet n =. Da har vi at AB = EF. GAB GEF, siden GA B = GEF og GBA = GFE. AG AB EF Altså får vi at = = = =. G E EF EF 1 Vi har vist at medianene BF og AE skjærer hverandre i et punkt som deler dem i forholdet : 1. AG b Hvis skjæringspunktet ikke er det samme som G, dvs. hvis G G, må. GE Altså må antakelsen være feil. G = G Vi kaller tyngdepunktet i trekanten G. Se figuren. Dette punktet deler medianene i forholdet : 1. Det gir x = 9 x 1 x= 18 x 3x = 18 x = 6 Det er altså 6 cm fra tyngdepunktet i trekanten til hjørnet C. Aschehoug Undervisning Side 4 av 9

25 6.45 Her har det dessverre skjedd en ombytting av lengdene i oppgaveteksten: Det er AD som er 6, mens CE er 9. (Gjelder 1. og. opplag.) Då blir konstruksjonen seende slik ut: Løsninger til innlæringsoppgavene Aschehoug Undervisning Side 5 av 9

26 6.47 Vi leser av ortosenterets koordinater til omtrent (5,6,,9) I et dynamisk konstruksjonsprogram kan vi dra i hjørnene mens vi observerer hvor ortosenteret er. a Ortosenteret er identisk med et av hjørnene i trekanten når den er rettvinklet. b Ortosenteret faller utenfor trekanten når en av vinklene i trekanten er større enn 90. Aschehoug Undervisning Side 6 av 9

27 6.49 Cevas setning er oppfylt, for AF BD CE,945,84 4, 11 = = 1 FB DC CA 1,95 3,867 4, a AB er parallell med DE, for C = D = 90. Firkanten er derfor et trapes. b Arealet av et trapes er gitt ved ( a+ b) a+ b a+ b A ACDE = h= ( a+ b) = c Trekantene ACB og BDE er kongruente, så CBA + EBD = 90. Videre er CBA + ABE + EBD = 180. Det gir ABE + 90 = 180, og dermed er ABE = 90. A = A + A + A ab ab cc 1 A ABCD = + + = ab + c d ABCD ΔACB ΔBDE ΔABE e For å bevise pytagorassetningen setter vi de to arealuttrykkene i oppave b og d lik hverandre. Det gir ( a+ b) 1 = ab + c ( a+ b) = ab+ c a + ab+ b = ab+ c a + b = c Aschehoug Undervisning Side 7 av 9

28 6.51 a DCE = 90 fordi BE = BD = BC = a. Slår vi en sirkelbue om B med radius a, vil punkt C ligge på denne sirkelbuen. Etter Thales' setning er da DCE = 90. b ACD og BCE er begge komplementvinkler til DCB. De må derfor være like store. c CBE er likebeint siden BE = BC = a. Da er vinklene ved grunnlinja CE like store, dvs. BCE = CEB. d e ACD AEC fordi A er felles i begge trekantene. ACD = BCE = CEB Siden vinkelsummen i en trekant er 180, må også den tredje vinkelen være lik i de to trekantene, dvs. ADC = ACE. Vi har vist at vinklene er like i de to trekantene, og da er trekantene formlike. AE AC a + c b = gir = AC AD b c a ( a+ c) ( c a) = b ac a + c ac = b a + b = c Aschehoug Undervisning Side 8 av 9

29 6.5 Arealet av ABF er like stort som arealet av BCF: 1 BC Fordi BEC er kongruent med ABF, er også arealet av BEC lik 1 BC. Videre er arealet av BEC like stort som arealet av JEB, som utgjør halve rektangel JKEB. 1 Arealet av rektangel JKEB er derfor BE JB= AB JB = BC = BC, som setning 4 side 76 sier. Aschehoug Undervisning Side 9 av 9

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel

Detaljer

Oppgaver i kapittel 6

Oppgaver i kapittel 6 Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper

Detaljer

Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri

Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 7355 0256 Eksamensdato: 21. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1 Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD 1. Innledning Dette er kompendiet i Euklidsk plangeometri leder til beviser av Pappos setning og Pascals setning. En rekke kjente setninger er vist underveis, med argumenter

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer

Løsningsforslag uke 42

Løsningsforslag uke 42 Løsningsforslag uke 42 Oppgave 2 (Eksamen 2008). La,, være hjørnene i en trekant i planet, og la de motstående sidene ha lengdene a, b, c. Punktet D på linjen er slik at D står normalt på. La være det

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fasit 9 Grunnbok Kapittel 4 Bokmål Kapittel 4 Areal og omkrets 4.1 Alle unntatt C kan være riktige. 4.2 250 cm (= 2,50 m) langt kantebånd 4.3 3 m 4.4 a b 4 c 4 : 1 d e 9. Forhold 9 : 1 f s 2 g s 2 : 1

Detaljer

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren:

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren: Oppgave ABCD og EFGH er like store kvadrater. AB EF og AD EH. Det fargelagte området har areal. Hvor stort er arealet til kvadratet ABCD? A B C ½ D 3/ E Det kommer an på hvordan man plasserer kvadratene

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Geometri. A1A/A1B, vår 2009

Geometri. A1A/A1B, vår 2009 Geometri A1A/A1B, vår 2009 27. mars 2009 1. Grunnleggende begreper 2. Areal 3. Kongruens og formlikhet 4. Periferivinkler og Thales setning 5. Pytagoras setning 6. Romfigurer, overflate og volum 7. Undervisning

Detaljer

Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1

Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1 Normaler og vinkler I dette opplæringsløpet lærer du ulike metoder for å tegne normaler og vinkler samt å måle vinkler. Det du lærer i dette løpet skal du bruke senere når du skal tegne trekanter og figurer

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER.

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER. TENTAMEN, VÅR 017. FASIT MED KOMMENTARER. DELPRØVE 1. OPPG 1 556 + 1555 = 111 3 85 = - (85 3) 85-3 6 3 85 = - 6 C: 30. 9 718 108 = 1798 D: 68 : 3 = 16 6 3 18 18 OPPG 3 50 mm = 3,50 m 0, h = 0,. 60 = 1

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

1.8 Digital tegning av vinkler

1.8 Digital tegning av vinkler 1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning: Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene

Detaljer

Eksamen våren 2008 Løsninger

Eksamen våren 2008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Eksamen 1T våren 2011

Eksamen 1T våren 2011 Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0

Detaljer

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende 11. mai 2014 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

Heldagsprøve R Thora Storms vgs.

Heldagsprøve R Thora Storms vgs. R1 HD V01 Heldagsprøve R1-6.04.1 - Thora Storms vgs. Løsningsskisser Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Deriver funksjonene: 1) fp 0. 01p 4 0. 7p 3. 1 f p 0. 01 4p 3 0. 7 0. 084p 3 0. 7 ) gx x 1 x

Detaljer

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern:

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern: Tempoplan: Etter dette kapitlet repetisjon og karaktergivende prøver! 7: Geometri Kunnskapsløftet de nye læreplanene legger vekt på konstruksjon av figurer! I utgangspunktet kan det høres ganske greit

Detaljer

Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus 10A. Matematikk for ungdomstrinn. Matematikk for ungdomstrinnet. Fasit. Grunnbok 10A

Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus 10A. Matematikk for ungdomstrinn. Matematikk for ungdomstrinnet. Fasit. Grunnbok 10A Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus Matematikk for ungdomstrinn Matematikk for ungdomstrinnet 0A Fasit Grunnbok 0A FASIT TIL KAPITTEL A GEOMETRI A Konstruer speilbildet av endepunktene til linjestykkene og

Detaljer

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved a) b) f x x x ( ) 3 6 4 g x x x 3 ( ) 5ln( ) c) h( x) x x Oppgave (5 poeng) Polynomet P er gitt ved 3 P( x) x 7x 4x k a) Vis at P er

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Matematikk for ungdomstrinnet

Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Dynamisk geometriprogram... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 Punkt og sirkler... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Lagre... 6 To nyttige verktøy: «Flytt eller

Detaljer

GeoGebra U + V (Elevark)

GeoGebra U + V (Elevark) GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

1 Euklidsk geometri. 1.1 Grunnbegreper og notasjoner

1 Euklidsk geometri. 1.1 Grunnbegreper og notasjoner 1 Euklidsk geometri Geometri er et gammelt fag med røtter tilbake til den egyptiske og mesopotamiske oldtida. Euklid forsøkte å bygge opp geometri som en aksiomatisk teori i sitt verk Elementer, dvs. han

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

Bildet er fra Colorado i USA og viser et vanningssytem som har flere navn, blant annet circle pivot irrigation.

Bildet er fra Colorado i USA og viser et vanningssytem som har flere navn, blant annet circle pivot irrigation. LÆRERENS D IGITALBOK 3 LDB Flere oppgaver Løsningsforslag Kapittelprøve Verktøyopplæring Twig-arbeidsark Kopioriginaler Kapittel 3 er geometrikapitlet. På 8. trinn har vi valgt å konsentrere oss om konstruk

Detaljer

Fagdag 1 - R1. Torsdag Geometri og vektorregning Johansen og Ulven

Fagdag 1 - R1. Torsdag Geometri og vektorregning Johansen og Ulven Innledning Fagdag 1 - R1 Torsdag 26.08.09 Geometri og vektorregning Johansen og Ulven Den første fagdagen skal fokusere på vektorregning (kapittel 1), geometri (kapittel 6) og bruk av GeoGebra Jeg starter

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 sforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 632 syv = ti ii) 346 ti = åtte : i) 632 syv = 6 7 2 + 3 7 + 2 = 317 ii) 346 ti = 5 8 2

Detaljer

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men

Detaljer

Tessellering og mangekanter:

Tessellering og mangekanter: Tessellering og mangekanter: 1. Hva menes med et tessellering? 2. Hva mener vi når vi sier at en figur tessellerer? 3. Hva er en mangekant? 4. Hva menes en regulær mangekant? 5. Regulære mangekanter kan

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del

Detaljer

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007 Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 007 REA30 Matematikk R Programfag Nynorsk/Bokmål Del Oppgave a) Deriver funksjonene ) ln ) g x f x x x 3e x b) Bestem følgende grenseverdi, dersom den eksisterer:

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

6 IKT i geometriundervisningen

6 IKT i geometriundervisningen 6 IKT i geometriundervisningen Matematikk som fag står i en særstilling når det gjelder databehandling. Prinsippene som ligger til grunn for datamaskinenes virkemåte kan oppfattes som matematikk. I norsk

Detaljer

Geometri Vi på vindusrekka

Geometri Vi på vindusrekka Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Geometri

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Geometri QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Kapittel.3 3. For eksempel: a) b) c) d) 1 e) Kapittel.4 6. 7. Denne oppgaven kan det være greit å vente med til etter

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet.

Lærerveiledning. Oppgave 1. Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet. Oppgave 1 Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet. Hva er forholdet mellom arealet av det røde området og arealet av det blå korset? 54 7 18 A 3 B C D E 4 17 2 5 Skriv mål på flere sider

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 07.01.2011. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. På figuren er ABCD et kvadrat, mens ABE er en likesidet trekant. Da er ÐAED lik. Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. På figuren er ABCD et kvadrat, mens ABE er en likesidet trekant. Da er ÐAED lik. Tips til veiledning: Oppgave 1 På figuren er ABCD et kvadrat, mens ABE er en likesidet trekant. Da er ÐAED lik A 10 B 1,5 C 15 D 0 E,5 Skriv på alle kjente vinkler og marker vinkelen dere skal finne på figuren. Marker alle

Detaljer

Geometri med GeoGebra

Geometri med GeoGebra Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

Euklids Elementer En sammenligning av geometri og geometrisk algebra i Euklids Elementer og i et nyere læreverk. Preben Lie Masteroppgave, våren 2016

Euklids Elementer En sammenligning av geometri og geometrisk algebra i Euklids Elementer og i et nyere læreverk. Preben Lie Masteroppgave, våren 2016 Euklids Elementer En sammenligning av geometri og geometrisk algebra i Euklids Elementer og i et nyere læreverk Preben Lie Masteroppgave, våren 2016 Forsidedesign av Martin Helsø Forsiden viser et utsnitt

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri 1 I trekanten ABC er A = 65. AC = BC = 4,5 cm. CD står vinkelrett på AB. a) Regn ut sidene CD og AB. Punktet E ligger på forlengelsen av AB slik at BE er dobbelt så lang som AB.

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 vår 2016

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 vår 2016 sforslag til eksamen i MAT101 vår 2016 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 567 åtte = ti ii) 476 ti = åtte : i) 567 åtte = 5 8 2 + 6 8 + 7 = 375 ti ii) 476 ti = 7 8

Detaljer

GeoGebra. Menylinjer og de vanligste funksjonene. GeoGebra

GeoGebra. Menylinjer og de vanligste funksjonene. GeoGebra 1 er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk, og du kan gjøre endringer

Detaljer