Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Transkript

1 Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved regning: Løsningsforslag a) x 8 x 7 = x gir at x 8 = (x 7)( x), det vil si at x 7x + 6 =. Vi bruker abc-formelen og får løsninger x = og x = 6. b) x = x gir at x = x + x, det vil si at x = x og dermed at x = x. Vi får at x = eller x =. Vi setter disse løsningene inn i opprinnelig likning, og ser at kun x = er løsning av denne likningen. c) x x 8 = gir u u 8 = når vi setter inn u = x, og abcformelen gir u = eller u =. Dette gir x = eller x =. Men x = gir ingen løsning, så vi får x =, og dermed løsninger x = eller x =. d) x + > x gir x x + >, det vil si (x ) >. Vi ser at løsningene blir alle x. x+7 e) x x+3 x 3 gir 9 x x x+3 etter at vi har utvidet brøkene til fellesnevner og trukket de sammen. Vi setter opp fortegnsskjema for uttrykket på venstre side, og ser at løsningene blir alle x med x < eller x 9. Oppgave Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker. a) Den deriverte av en sum er summen av de deriverte slik at f (x) = 3x + + = 6x +. b) Den deriverte av en sum er summen av de deriverte slik at f (x) = x 3 3x + x + 8 = 8x 3 3x + x + 8.

2 c) Vi setter telleren u(x) = x 3 og nevneren v(x) = x + 3 med deriverte u = 3x og v = x. Vi setter inn i formelen for den deriverte av en brøkfunksjon f (x) = u v u v v = 3x (x + 3) (x 3 ) x (x + 3) = 6x + 9x x + 8x (x + 3) = x + 9x + 8x (x + 3) = (x3 + 9x + 8)x (x + 3). d) Vi bruker kjerneregelen f (x) = f (u) u (x) med u(x) = 3x + og u (x) = 3, f(u) = u 5 og f (u) = 5u. Dermed er f (x) = 5u 3 = 5(3x + ). e) Vi bruker kjerneregelen f (x) = f (u) u (x) med u(x) = x + og u (x) = x, f(u) = u og f (u) =, (se tabell). u Dermed er f (x) = u x = x x + f) Her bruker vi produktregelen med u(x) = x 3 og u (x) = 6x, v(x) = x + og v x (x) =, (se over). x + Dermed er f (x) = 6x x + + x 3 x = 6x x x + + x. + x + Vi kunne forenklet ved å sette uttrykket på felles brøkstrek med nevner x +. g) Vi skriver om til potenser f(x) = x 3x 3 7 og bruker regelen for derivasjon av potenser. Oppgave 3 f (x) = x x 3 7 = x x 7 = x x. a) Vi får at C = 9 75 = 5. Likningen cos(75 ) = /AC gir AC = / cos(75 ) = 5.5, og pythagoras setning gir BC = AC =.93. b) Siden 75 = 3 + 5, så får vi fra addisjonsformlene at sin(75 ) = sin(3 ) cos(5 ) + sin(5 ) cos(3 ) cos(75 ) = cos(3 ) cos(5 ) sin(5 ) sin(3 ) Dette gir sin(75 ) = 6+ og cos(75 ) = 6.

3 c) Vi har at cos(75 ) = /AC, som gir AC = ( 6 + ), og at sin(75 ) = BC/AC, som gir BC = = ( + 3). Alternativt gir pythagoras setning at + BC = AC, og dermed får vi AC = = ( + 3). d) Vi tenker oss at trekanten ABC er tegnes slik at linjen AB er horisontal med A til venstre og B, og C vertikalt over B. Da sier ikke opplysningene i oppgaven noe om punktet D ligger til 3 til venstre eller høyre for BC. Det finnes derfor to muligheter. [Vis ved skisse]. e) Vi tenker oss at punktet D ligger til venstre for BC, og ser på trekanten ABD. Vi har at AB = BD = og at ABD = 9 3 = 6. Det betyr at ADB = DAB = 6, så trekanten er likesidet. Siden DAB = 6 < A = 75, ser vi at punktet D ligger inne i trekanten ABC. f) For at D skal ligge på AC, må DAB = A = 75. Siden AB = AD =, så er trekanten ABD likebenet, og derfor må ADB = 75 og ABD = 8 75 = 3. Dette betyr igjen at CBD = 9 3 = 6. Oppgave La funksjonen f være gitt ved f(x) = 6x + 3x 3x +. Vi setter telleren u(x) = 6x + 3x = 3x(x + ) og nevneren v(x) = 3x +. a) Vi skal løse ligningen f(x) =. Ettersom funksjonen bare er definert for v(x) finner vi nullpunktene ved å løse u(x) =. Faktoriseringen over gir nullpunktene x = og x =. b) Vi bruker regelen for derivasjon av brøker og med u og v som definert over får vi de deriverte Innsatt i formelen får vi u = x + 3 og v = 3. f (x) = (x + 3)(3x + ) (6x + 3x) 3 (3x + ) = 36x + x + 9x + 6 8x 9x (3x + ) = 6(3x + x + ) (3x + ). c) Vi faktoriserer telleren ved å løse ligningen 3x + x + = med formelen for andregradsligninger. Løsningene er x = og x = 3 og vi faktoriserer 3x + x + = 3(x + )(x + 3 ). 3

4 Legg merke til at nevneren (3x + ) er positiv bortsett fra når x = 3. Dermed bestemmes fortegnet til f (x) av fortegnet til telleren. Fortegnsskjemaet ( ) viser at x = svarer til et toppunkt med koordinater, f( ) = (, 3). Videre svarer x = 3 til et bunnpunkt med koordinater ( 3, f( 3 )) = (, 3 ). d) Teorien for polynomdivisjon tilsier at resten er lik u ( ( 3) = 6 ( ) 3) = 3. 6x + 3x + : 3x + = x 3 (6x + x) x ( x 3 ) Vi fikk den forventede resten og har vist at f(x) = x 3 + /3 3x+. 3 Polynomdivisjonen viser at vi har skrå asymptote y = x 3. Siden vi har skrå asymptote er det ingen horisontale asymptoter. Nevneren v(x) = 3x + er når x = 3 og siden telleren u( 3 ) har vi vertikal asymptote for x = 3. e) Grafen til funksjonen med asymptoter er gitt i figur. f) Vi trenger x =, y = f(x ) = og k = f (x ) = 6 for å sette inn i ettpunktsformelen y y = k(x x ) y = 6x 3. Grafen til funksjonen med asymptoter og tangentlinje er gitt i figur. g) Fortegnet til f (x) er bestemt av fortegnet til nevneren (3x + ) 3 som er negativ for x < 3 og positiv for x > 3. Ettersom f (x) ikke har nullpunkter (bare null i nevner) har funksjonen f(x) ingen vendepunkter. Den dobbelderiverte skifter fortegn i et punkt hvor funksjonen ikke er definert, men har vertikal asymptote.

5 y x Figur : Grafen til f(x) med asymptoter. 5

6 y x Figur : Grafen til f(x) med asymptoter og tangentlinje for x = /. 6