R1 - Heldagsprøve våren

Transkript

1 R - Heldagsprøve våren Løsningsskisser Generelle problem: Ikke gi bort gratispoeng, kontroller svar og ikke slurv med enkle oppgaver! (Oppgave,, 5 og 6.) Tegn grafer ordentlig! (Piler på akser, målestokk, stemme med utregninger.) Ikke bland brøk/eksakte tall og avrundede desimaltall, vær konsekvent! Rund av korrekt og konsekvent! Må skrive nøyaktig hva man gjør med GeoGebra, eksakt kommando! Må begrunne alle svar! Del - Uten hjelpemidler Oppgave Deriver funksjonene: a) ft 5, 6t 0, 04t, b) gx lnx c) hx e x x d) ix x ln x a) f t. t b) Kjerneregel: gx lnu, u x g x u x x x x c) Kjerne- og produktregel: h x e x x e x x e x x x e x x x d) Brøkregel: i x ln xx x ln x ln x ln x Oppgave Gitt polynomfunksjonen fx x ax x 5. a) Bestem a slik at fx blir delelig med x. H-P Ulven av r_hd_054_ls.tex

2 b) Løs ulikheten fx 0, når a har verdien du fant i a). a) f a 5 a Hvis fx delelig med x, må f 0: a 0 a b) Polynomdivisjon gir: x x x 5 x x x 5 x x x x x x 5x abc-formel gir i tillegg: fx x x x 5 0 Tall-linjer: x x x 5 fx o o o o -o o Oppgave L,, 5 Gitt punktene A, 0, B, 4 og C, a. a) Finn AB og AC. b) Finn a slik at AB AC. c) Finn a slik at AB AC. d) Vi lager vektoren v AB tac når a. Finn t slik at vektoren v halverer vinkelen mellom AB og AC. a) AB, 4 0, 4, AC, a 0, a b) AB AC AB AC 0, 4, a 0 4a 0 a c) AB AC AB kac, 4 k, a k 4 ak k a H-P Ulven av r_hd_054_ls.tex

3 d) v AB tac, 4 t, t, 4 t cos cos ABv AB v ABv AB ACv AC ACv AC v (Som vi kunne sett direkte: Projeksjonene av v på AB og AC må være like!),t,4 t,t,4 t 0 5t t 4 t 8 t 4 t 4 t Alternativ: Dekomponeringen v AB tac langs AB og AC må ha like lange komponenter, altså må: AB tac t AB 4 4 AC Kunne også laget enhetsvektorer langs AB og AC og sagt at v måtte være parallell med summen av disse: AB tac k AB AC k k t AB AC AB AC k AB t AB AC som over. Se også oppgave 69 side 9 i læreboken! Oppgave 4 Gitt en rett linje, et punkt P på linjen og et punkt Q utenfor linjen. Konstruer en sirkel som tangerer linjen i punktet P og går gjennom punktet Q. Sentrum til sirkelen må ligge på disse to geometriske stedene: Normal n på den rette linjen, gjennom P. Midtnormalen m på linjestykket PQ. Konstruerer derfor sentrum S som skjæringen mellom m og n. Slår deretter sirkelen med SP som radius. Må ha både en nøyaktig konstruksjon med passer og en analyse/forklaring! Oppgave 5 Gitt fx x 4x, x 4, 4. a) Bestem eventuelle null-, ekstremal- og vendepunkter på grafen til fx. H-P Ulven av r_hd_054_ls.tex

4 b) Tegn en skisse av grafen. c) Finn ligningen til vendetangenten. a) Nullpunkter: x 4x 0 x x x x x ): 0, 0,, 0 og, 0 Ekstremalpunkter: f x x 4 f x 0 x 4 0 x ): Toppunkt:, f, 6 Bunnpunkt:, f, 6 Ikke glem endepunkter! Endepunkter: Bunnpunkt: 4, f4 4, 6 Toppunkt: 4, f4 4, 6 b) Vendepunkter: f x x f x 0 x 0 ): Vendepunkt: 0, f0 0, 0 Ikke gi bort poeng på graftegning! Aksene skal ha piler. Aksene skal ha målestokk. Grafen skal merkes f(x). Hele grafen skal med fra x 4 til x 4. Alle null-, ekstremal, vendepunkter og endepunkter må stemme med det du har regnet ut! c) Ett-punktsformel: y 0 f 0 x 0 y 4x H-P Ulven 4 av r_hd_054_ls.tex

5 Oppgave 6 Løs ligningene: a) ln x ln x 0 b) e x e x 0 a) ln x ln x 0, x 0 ln x ln x 0 ln x x e b) e x e x 0 e x e x 0 e x (Umulig) e x x ln ln Eller: u u 0 u u 0 u e x... Del - Med hjelpemidler Oppgave Et område er utsatt for en stor rotteepidemi. Vi har nå 000 rotter. Vi har lagt ut rottegift, men den virker ikke ordentlig med en gang. Antall tusen rotter etter x døgn kaller vi fx. Uttrykket for fx er: fx 5e 0,x 4e 0,x [tusen rotter], x 0, 50 [døgn] a) Bruk derivasjonsreglene til å regne ut f x og f x. b) Når er bestanden på sitt største og hvor mange rotter er det da? c) Når synker bestanden raskest. Hvor raskt synker bestanden da? a) Kjerneregel på e kx gir e kx ke kx : f x 50. e 0.x 40. e 0.x 0. 5e 0.x 0. 8e 0.x f x e 0.x e 0.x 0. 05e 0.x 0. 6e 0.x b) Toppunkt når f x 0: 0. 5e 0.x 0. 8e 0.x e 0.x e0.x 0 e 0.x ln x f Størst bestand på 560 rotter etter 4 døgn og 7 timer Faktorisering med felles faktor som over er en viktig teknikk som alle må beherske, men man kan alternativt gjøre mer omstendelig: 0. 5e 0.x 0. 8e 0.x e 0.x 0. 8e 0.x 0 H-P Ulven 5 av r_hd_054_ls.tex

6 0. 5u 0. 8u uu osv... c) Vendepunkt når f x 0: 0. 05e 0.x 0. 6e 0.x e 0.x e0.x 0 e 0.x 0. 5 x ln Stigningstall: f Bestanden synker med 78 rotter/døgn etter døgn og 4 timer GeoGebra-kommandoer for kontroll eller utregninger: f(x)5*exp(-0.*x)-4exp(-0.*x) f (x) f (x) Nullpunkt[f,4,5] gir 4. 70, 0 f(4.70) gir.56 Ekstremalpunkt[f,,] gir. 6, f (.6) Oppgave Figuren under viser en trekant ABC omskrevet av en sirkel: H-P Ulven 6 av r_hd_054_ls.tex

7 AD er høyden normalt på siden BC i trekanten. Hvis radien i sirkelen er r skal vi bevise setningen: ABAC r AD Eller, sagt på en annen måte: Diameteren i en trekants omskrevne sirkel er lik produktet av to av trekantens sider dividert med høyden på den tredje siden. a) Forklar hvorfor trekanten EAC er likeformet med trekanten BDA. b) Vis at AD AB CA CE ABAC og r. AD Figuren under viser en ny sirkel med en innskrevet firkant AEBC, der EC AB. Gitt lengdene AD, DE og DB 4. c) Forklar hvorfor trekanten ADC er likeformet med EDB og bruk dette til å regne ut DC. d) Bestem radiusen i sirkelen. a) EAC BDA: H-P Ulven 7 av r_hd_054_ls.tex

8 To like vinkler: Periferivinkler med samme bue: Rettvinklede, oppgitt og Thales: AEC DBA BDA EAC 90 b) Forholdstall for trekantene i a): AD CA AB CE AD AB CA CE ABAC AD CE r (CE er diameter) QED c) ADC EDB: To like vinkler: Rette vinkler gitt: Periferivinkler med samme bue: (Også periferivinkler med samme bue: ADC EDB 90 DAC DEB DCA DBE) Formlikheten gir forholdet: DB DBDA DC DC DA DE DE 4 6 d) Setningen i starten av oppgaven kan brukes på trekant ABC: CACB CD r r CACB CD, hvor vi finner CA og CB med Pythagoras: CA AD DC CB DB DC r CACB CD (Kunne også brukt setningen på en av de andre trekantene, ECA, BAE eller CEB. ) Oppgave En klasse med 5 elever, 4 jenter og gutter, skal arrangere en fest hvor ingen har lyst til å sitte i arrangementskomiteen. Elevene blir derfor enige om å danne en komite ved å trekke ut av elevene ved loddtrekning. a) Hvor mange forskjellige komiteer er det mulig å få ved loddtrekning? b) Hva er sannsynligheten for at en slik komite vil bestå av jenter og gutt? c) Hva er sannsynligheten for at en slik komite vil bestå av minst jenter? d) En av jentene i klassen heter Kari. Hva er sannsynligheten for at Kari er i den uttrukne komiteen hvis vi vet at det ble jenter i komiteen? e) Hva er sannsynligheten for at den uttrukne komiteen består av jenter hvis vi vet at Kari kom med i komiteen? a) Trekke ut r av n 5, uordnet trekning uten tilbakelegging: Antall komiteer: n 5 r H-P Ulven 8 av r_hd_054_ls.tex

9 b) Uten tilbakelegging, to muligheter (J eller G), altså hypergeometrisk: X: Antall jenter gir PX x 4 x x 5 PX c) PX PX PX x x x d) Formel for betinget sannsynlighet: PK J PKJ PJ, der PK J er sannsynligheten for å trekke Kari, annen jente og gutt og PJ er som i oppgave b) Bruker hypergeometrisk med tre kategorier, Kari, jenter som ikke er kari og gutter: Og til slutt: PKJ PK J 4 00 PJ e) PJ K PJK PK, der PJ K som i d) 00 og PK er hypergeometrisk med Kari eller ikke: PJK PK (Kan også bruke Bayes teorem: PJ K PK JPJ PK ) Oppgave 4 Fra en veranda 5 meter over bakken skyter vi ut en kule. Farten er så stor at vi må regne med luftmotstand i horisontal retning. Etter t sekunder er høyden over bakken y meter og den horisontale avstanden fra husveggen er x meter. Den banen som kulen følger, er gitt ved vektorfunksjonen: rt 50te 0,t, 5 40t 4, 9t a) Hvor lang tid tar det før kulen treffer bakken? b) Bestem fartsvektoren vt og akselerasjonsvektoren at. H-P Ulven 9 av r_hd_054_ls.tex

10 c) Regn ut banefarten etter sekunder. d) Finn toppunktet på banen. a) Treffer bakken når y-komponenten er null: 5 40t 4. 9t 0 (abc-formel) t (forkastes)t 8. 5 ): Det tar ca. 8.5 sekunder før kulen treffer bakken. b) Produktregel på x-komponent og vanlig derivasjon på y-komponent gir: vt r t 50 e 0.t t0. e 0.t, t 5e 0.t 0 t, t [m/s] at v t 50. e 0.t 0 t 5e 0.t,9. 8 e 0.t t 5, e 0.t t 0,9. 8 [m/s ] c) Hastighet etter sekunder: v 5e 0. 0, , 0. 4 Banefart: v [m/s] d) Toppunkt når y-komponenten i vt er null: t 0 t Posisjonsvektor til toppunkt: r e 0.408, , ): Toppunkt: 6, [m] Kontroll eller svar med GeoGebra: rkurve[50*t*exp(-0.*t),640*t-4.9*t ^, t,0,0] Lag glider for parameteren t Pr(t) gir da punkt på kurven vi kan bevege. vr (t) gir da hastigheten som vektor. (vderivert[r] eller vderivert[r,t] gir hastigheten som kurve...) Lengde[v] gir banefart Oppgave 5 Gitt sirkelligningen x 6x y 4y 0 a) Finn radius r og sentrum S i sirkelen. b) Finn eventuelle skjæringspunkter med y-aksen. c) Vis at punktet P6, 6 ligger på sirkelen. H-P Ulven 0 av r_hd_054_ls.tex

11 d) Finn ligningen for tangenten til sirkelen gjennom punktet P. a) Lager fulle kvadrater for å få ligningne på gunstig form: x 6x y 4y x y 5 ): Sentrum S, og radius r 5 b) Y-akse: x 0: 0 y 5 y 6 y 4 y 4 ): 0, og0, 6 c) VS HS 5 ): VS HS, P6, 6 på sirkelen d) Ett-punktsformelen: y 6 ax 6, der vi mangler stigningstallet. Radiusvektor: SP 6, 6, 4 Tangentvektor gjennom P må stå normalt på SP, så vi kan lage tangentvektor: t 4, som har stigningstall a 4 y 6 x 6 y 8 x y x (Eller: 4y x 4) 4 Kontroll med GeoGebra: sirkel: x ^-6*xy ^-4*y-0 Bruk skjæringspunkt knapp for å finne skjæring med akser. P(6,6) plasserer P TTangent[sirkel,P] gir tangentlinjen og tangentligningen H-P Ulven av r_hd_054_ls.tex

12 Oppgave 6 En rett linje har negativt stigningstall a og går gjennom punktet,. Linjen skjærer x-aksen i punktet A og y-aksen i punktet B. a) Vis at ligningen for den rette linjen er y ax a for a 0. b) La Aa være arealet av trekant OAB. Vis at Aa a a. c) Bestem ligningen for den rette linjen når Aa er minst mulig. a) Ett-punkts-formelen: y ax y ax a y ax a QED b) A: y 0 ax a 0 x a a ): A a a, 0 og OA a a B: x 0 y a ): B 0, a og OB a Aa OAOB a a a aa a a a QED c) Deriverer med brøkregel (og kjerneregel): A a aaa a a4aa a aa a 8aaa 4a 4a a 4aaa a Aa minimum når A a 0: 0 a 0 a 0 aa a a a (Forkastes) ): y x y x Kontroll med GeoGebra: Lag glider for a l: y-a*(x-) legger inn linjen Skjæringsknappen lager A og B som skjæring med aksene O 0, 0 legger inn Origo Lag trekant OAB og sjekk med glideren at a 0. 5 gir minste areal av trekant. H-P Ulven av r_hd_054_ls.tex