R2 eksamen våren ( )

Transkript

1 R Eksamen V01 R eksamen våren 01. ( ) Løsningsskisser (Versjon ) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx e x cosx e x sin x cosx Oppgave a) Variabelskiftet u x gir u du dx x dx u 1 u du ln u C ln x C x x du x x dx du x b) Delbrøkoppspaltning: A x B x AxABxB xx I A B II A B 0 med løsning: A B 1 ABxAB xx gir: x x 1 dx x ln x x C ln x C 1 dx dx ln x ln x C x (Som selvfølgelig er samme svar som i a) regnet ut på en mer tungvindt måte...) Oppgave AB,, 1, AC 1, 1, 0 a) AB AC e x e y e z ,1, A ABC ABAC 1,1, 18 H-P Ulven av 8 R_V1_ls.tex

2 R Eksamen V01 b) AB AC,, 0 1, 1, 0 0 BAC 90 A ABC AB AC (som i a)...) Oppgave Separerer: y 0 : y y 6x y y dx 6xdx 1 y dy 6xdx ln y x C 1 y C e x y Ce x (Generell løsning) (y 0 : Også løsning, men inkludert i den første med C 0.) y0 Ce 0 C ): y e x (Spesiell løsning) Oppgave 5 a) Her burde vel b) ha kommet før a)? Eller hvordan har de tenkt å finne a 16 og S 16 uten å vite at dette er en aritmetisk følge/rekke? Noen husker også at summen av ulike tall er kvadrattall, men det blir også vist i b)... Aritmetisk med a 1 1 og differanse d : a n a 1 dn 1 1 n 1 n 1 a S n a 1 a n n 1 n 1 n n n n (Kvadrattall...) ): S b) Allerede gjort i a) c) S n 00 n 00 n 0 0 n 0n 0 0 Tallinjer gir: n 0 eller n 0 (forkastes, da n 0) ): Vi må ha minst n 1 ledd. Oppgave 6 Tegn en skisse, pass på at fx aldri skjærer x-aksen og alltid ligger over x-aksen, og har vendepunkt for x 1 og x, og bunnpunkt for x, og toppunkt for x. Når x vokser fx og når x kan fx gå asymptotisk mot x aksen. (Går an å lage noen finurlige varianter av dette eksemplet, men de ber om bare en skisse på hvordan det kan se ut.) H-P Ulven av 8 R_V1_ls.tex

3 R Eksamen V01 Oppgave 7 n 1 : VS a HS a k1 1 k1 a VS HS OK! n n 1 : Antar Sn a kn 1, må vise at Sn 1 a kn1 1 k1 k1 VS Sn 1 Sn a n1 a kn 1 ak n11 k1 a kn 1 ak n a k1 k1 kn 1 k n k 1 a k1 kn 1 k n1 k n a k1 kn 1 a kn 1 k1 QED (Har altså vist summeformelen for geometrisk rekke vha. induksjonsbeviset.) Del - Med hjelpemidler Oppgave 1 a) Endring Tilførsel - Utskilling y 8 y ): y y [ml], t 0, [timer] b) Lineær: y 0. 05y 8 Men også separabel, så: y : 0.05 y dt dt y dy dt 80.05y 1 ln y t C ln y 0. 05t C 0.05 e0.05t y C e 0.05t y 8 C 0.05 y 160 Ce 0.05t (Generell løsning) (y 160 er også løsning, men er dekket av den første løsningen når C 0.) y Ce 0 C 160 ): Spesiell løsning: y e 0.05t QED c) lim t yt lim t e 0.05t 160, da e 0.05t 0 når t. Dette betyr at pasienten i det lange løp vil få stabilisert mengden medisin i kroppen på 160mL. ( Stabiliseringen skjer fordi y 0 når y nærmer seg 160: y y 0 y y vokser først, men flater så ut og nærmer seg 160 ml asymptotisk.) H-P Ulven av 8 R_V1_ls.tex

4 R Eksamen V01 Oppgave fx 1e 0.5x sin0. 5x, x 0, a) GeoGebra: Kommandoer: f(x)funksjon[1 exp(-0.5 x) sin(0.5 x),0, pi] o(x)1 exp(-0.5 x) u(x)-o(x) TPEkstremalpunkt[f,1,] BPEkstremalpunkt[f,7,10] I_1 Integral[f,0, pi] I_ Integral[f, pi, pi] b) Se kommandoene over, får: Topp-punkt 1. 57,. 87 og, 0 (Endepunkt) Bunn-punkt 7, 85, og0, 0 (Endepunkt) Kan regne, men blir litt mer arbeid: Produktregel: f x 1e 0.5x 0. 5 sin0. 5x 1e 0.5x cos0. 5x0. 5 6e 0.5x sin0. 5x cos0. 5x f x 0 : sin0. 5x cos0. 5x 0 cos0. 5x 0 : tan0. 5x x k x k ): TP, f 1. 57, , 1e BP 5, f 5 5, 6 e1.5, 6 e0.5 H-P Ulven av 8 R_V1_ls.tex

5 R Eksamen V01 7, 85, c) A I 1 I fxdx fxdx 0 Greiest med GeoGebra: I_1 Integral[f,0, pi] I_ Integral[f, pi, pi] som gir oss: A Mer arbeid med regning: Delvis integrasjon i to runder: e 0.5x sin0. 5xdx e 0.5x sin0. 5x e 0.5x cos0. 5xdx e 0.5x sin0. 5x e 0.5x cos0. 5xdx e 0.5x sin0. 5x e 0.5x cos0. 5x e 0.5x sin0. 5xdx Med I e 0.5x sin0. 5xdx som ukjent har vi ligningen: I e 0.5x sin0. 5x e 0.5x cos0. 5x I I e 0.5x sin0. 5x e 0.5x cos0. 5x I e 0.5x sin0. 5x cos0. 5x A fxdx fxdx 0 1 e 0.5x sin0. 5x cos0. 5x 1 0 e 0.5x sin0. 5x cos0. 5x 1e 0 1 e e 0 1 e 0 1 1e 1 1 e e e 1e Oppgave AB 0,, 0, AD, 0, a) A ABD ABAD e x e y e z ,0,9,0, 15 b) Plan : Punkt A, normalvektor n 1 AB AD, 0, AP n 0 x, y 0, z0, 0, 0 x 1 z 0 x z1 0 QED c) Avstand fra planet ax by czd 0 til Origo er alltid: a d a b c H-P Ulven av 8 R_V1_ls.tex

6 R Eksamen V01 (Som er et spesialtilfelle av avstandsformelen: a ax Oby O cz O d a b c 5 5 eller den rene vektorformelen som projiserer AO ned på normalvektoren: a AOn n,0,0,0, ) d) Normalvektor for planet (planet BCD BC BD e x e y e z 0 0 Velger n 1 BC BD 0,, 0, 1, 9 0,, Vinkelen mellom planene er lik vinkelen mellom normalvektorene: n cos n,0,0,, 9 n n (Da 90 trenger vi ikke justere vinkelen.) Oppgave a) Pythagoras: AC OC OA 5 (Radius i sirkel: r OB OC ) ): C, 5 (Samme x koordinat som A.) l : y 5 x (Linje gjennom Origo, trenger bare stigningstallet.) b) Tungvindt å integrere, vi har direkte: V AC OA 5 10 Men vi må jo gjøre det de ber oss om, nå har vi ihvertfall en kontrollmulighet: 5 V 0 x dx 5 x dx 5 0 x c) V y dx 9 x dx 9x x (Også her finnes en formel: V h 1 rh 1 8 Denne formelen gir selvfølgelig V r når h r.) Oppgave 5 a) Vi har: x Dcosv og y Dsin v b) Omkrets: Areal: Ov x y Dcosv Dsin v Ax xy DcosvDsin v D sin v cosv D sin v H-P Ulven av 8 R_V1_ls.tex

7 R Eksamen V01 O x Dsin v Dcosv Dcosv sin v O x 0 cosv sin v Forutsetter vi cosv 0 og dividerer får vi: tan v 1 x 5 k180 Oppgaven forutsetter x 0, 90, så vi har x 5 som løsning, da er x y D og rektanglet er et kvadrat. O max O5 D D D c) A v D cosv D cosv A v 0 cosv 0 v 90 k180 v 5 k90 (Forkaster alt utenom k 0) Også her får vi x y og et kvadrat. A max A5 D sin 5 D (Eller A max xy D D D ) Oppgave 6 a) Geometrisk rekke med kvotient k a a 1 a a a a... Sum: S a 1 1k A 1 A A Dette betyr at i det lange løp vil hele arealet A av den opprinnelige trekanten bli fjernet slik at det ikke blir noe areal igjen i Sierpinskitrekanten. b) Oppgaven er uklart formulert, men vi skjønner jo at de mener den samlede omkretsen av de svarte trekantene i Sierpinski-trekanten. Figur : Hver side halvparten men ganger så mange: a a Figur : Igjen halvering av hver side, men ganger så mange: a 9a Og slik fortsetter det. c) Leddene i b) er en geometrisk rekke med o n a n ut fra: Figur : o 1 a Figur : Figur : o 9a o 7a o 1 a o a Altså rekursivt: o n1 o n og H-P Ulven av 8 R_V1_ls.tex

8 R Eksamen V01 eksplisitt: o n a n a n, når n, da eksponentialfunksjonen n går mot uendelig når grunntallet er større enn 1. Omkretsen til Sierpinski-trekanten går derfor mot uendelig. H-P Ulven av 8 R_V1_ls.tex