R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

Transkript

1 R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos 5 sin 5cos5 sin som er gitt i oppgaven. Aschehoug Side av 36

2 b c d e f g( ) 3 e u v u v u v u 3 u 6 v e v e g ( ) 6 e 3 e h ( ) g( ) 3 e sin 6 u u v u v v v u sin 6 u 6cos 6 v v 6 cos 6 sin 6 cos 6 sin 6 6 cos 6 sin 6 3 i( ) sin sin i( ) 3 sin sin 3sin j( ) e 3 cos sin3 sin3 j ( ) e sin 3 sin3 e 3cos 3 6cos3 e k( ) cos sin3 k( ) cos cos sin cos sin cos Aschehoug Side av 36

3 E3 Løsninger til oppgavene i boka Funksjonen skal skrives på formen f ( ) a sinc d Finner amplituden a. ymaks ymin a 5 a Finner c. c perioden 6,3 Finner likevektslinjen d. ymaks ymin d 5 6 d 3 Leser av faseforskyvingen der grafen skjærer likevektslinjen på vei oppover for første gang til høyre for y-aksen. Dette skjer ved -verdien 5,3. Siden c kan vi sette denne verdien rett inn for, og vi får 5,3, siden vi leste av verdien mot høyre. Funksjonsuttrykket blir: f ( ) sin 5,3 3 Hadde vi lest av faseforskyvingen mot venstre ville vi fått. Funksjonsuttrykket blir da: f ( ) sin 3 Aschehoug Side 3 av 36

4 E6 a e d e C e C b sin d cos cos cos ( ) c ln d ln d u v u v u v u u v v ln ln ln d ln d C ln C ln C Aschehoug Side av 36

5 d 0 d 5 6 u 5 6 u 5 u 0 ud du u d u ud u du u ln u C ln 5 6 C Aschehoug Side 5 av 36

6 e d d ( 3) ( ) A B ( 3) ( ) ( 3) ( ) 3 A ( ) B ( 3) Setter A 0 B ( ) B 8 Setter 3 3 A B 0 A 8 ( 3) ( ) 3 8 ( 3) ( ) 3 8 d 3 8 d d 3 ln 3 8ln C Aschehoug Side 6 av 36

7 f g ( 5 6) : ( ) 3 ( ) 5 6 d 3 6 (3 6) 0 3 d 3 C 8e d 8 e v 8 e e d 8 e d u v u v u v u e u e v 8 e e C 8 e ( ) C e d Aschehoug Side 7 av 36

8 h sin d sin d u v u v u v u sin u cos cos v v cos cos d cos cos d cos sin C cos sin C sin cos C Aschehoug Side 8 av 36

9 E7 a AB 0, 0, 0,, AC, 0, 0 0,, Løsninger til oppgavene i boka Finner vektorproduktet i CAS i GeoGebra med kommandoen Vektorprodukt. AB AC,, b Finner arealet av grunnflaten G. 3 G AB AC ( ) 9 Finner volumet av pyramiden. AD, 0, 3 0 3,, 3 V AB AC AD 6 V,, 3,, 3 3 ( ) ( 3) E5 a y ' y y ' y dy y d dy y ln d y C y e C y e e C y Ce ( der C e y Ce Vi kan sette y y fordi C ) 0 e for alle. b y ' y e Aschehoug Side 9 av 36

10 Integrerende faktor er e y ' e e y e e ( ye )' ye d ye C e y e Ce c y' 5y y(0) Integrerende faktor er y ' e 5e y e ( ye )' e. Multipliserer denne med likningen og får: 5 5 ye e 5 5 e d e e 5 5 ye e C e 5 5 y Ce Initialbetingelsen y(0) gir at 5 5 Ce C 5 50 C. Multipliserer denne med likningen og får: d C 5 Den spesielle løsningen på differensiallikningen er dermed y' y 0 y( 3) y e. Denne likningen er separabel, og vi finner først den generelle løsningen: Aschehoug Side 0 av 36

11 y' y 0 y' y dy y d y dy ( ) y d C C y y C Initialbetingelsen y( 3) gir at: 3 C 3 C C Den spesielle løsningen på differensiallikningen er dermed e y' sin y 0 y sin Integrerende faktor er e e cos cos y ' e sin e y 0 cos ( ye )' 0 cos cos cos ye C e y Ce cos Initialbetingelsen y gir at cos 3 Ce Ce y.. Multipliserer denne med likningen og får: e e C ee e e e e Dette gir den spesielle løsningen y cos e e e cos e e. Aschehoug Side av 36

12 f y'' y' 6y 0 y(0) 5 y'(0) 5 Finner nullpunktene til det karakteristiske polynomet: r r 6 0 ( ) r r 3 ( ) ( 6) r Vi har to reelle løsninger, så y Ce Ce. Finner de ukjente konstantene ved å bruke de to oppgitte initialbetingelsene: y(0) 5 C e C e C C 5 ( ) E y '(0) 5 C 3e C ( ) e 5 3C C 5 (II) (I) (II) gir oss likningen C C 3C C 0 5 5C 5 Dermed er den spesielle løsningen C C 5 (I) C 3 y e e. a Det n-te leddet i en aritmetisk rekke er gitt ved a a ( n ) d. Regner ut for n 5, a og d 3: a5 (5 )3 3 n Aschehoug Side av 36

13 b Antall seter øker med et fast tall for hver rad. Det betyr at antall seter i radene danner en aritmetisk rekke der a 30 og d. Regner ut a0 for å finne antall seter på rad 0: a0 a (0 ) d 30 (0 ) Antall seter totalt i salen blir da summen av de 0 første leddene i denne rekka. Bruker sumformelen og finner a a0 S Det er 68 seter på rad 0 og totalt 980 seter i salen. E3 a n n 5 Skal vise påstanden for alle n. Ser at påstanden stemmer for n : VS 5 HS Antar at påstanden stemmer for et naturlig tall n k. Dvs k k ( ) Skal vise at utsagnet da må stemme for et naturlig tall nk. Dvs at k k k Ser på VS k k k 5 k (*) k k 5 5 k k 5 5 k 55 k 5 som var det vi skulle vise. Påstanden må derfor stemme for alle n. Aschehoug Side 3 av 36

14 b Skal vise påstanden 3 n n n for alle n. Ser at påstanden stemmer for n : VS HS Antar at påstanden stemmer for et naturlig tall n k. Dvs (*) 3 k k k Skal vise at utsagnet da må stemme for nk. Dvs at 3 k k k k Ser på VS 3 k k k k k (*) k k k k ( k ) ( k ) ( k )( k ) k ( k )( k ) k som var det vi skulle vise. Påstanden må derfor stemme for alle n. Aschehoug Side av 36

15 c Vi har gitt den rekursive formelen a n a n n 3 og a og skal vise at den eksplisitte ( n )( n5) formelen an uttrykker den samme rekka. Sjekker først at den eksplisitte formelen stemmer for n. ( )( 5 ) ( )( ) a Antar at den eksplisitte formelen stemmer for et naturlig tall n k, dvs ( k)( k5) ak () * Skal nå vise at ( k )( k 5) ( k )( k ) k k k 5k a k k ved å bruke antakelsen og den rekursive formelen. Vi får a a k 3 k k (*) ( k)( k5) k 3 k k 5k 0 k 6 k 5k som var akkurat det vi skulle vise. De to formlene uttrykker derfor den samme rekka for alle n. k d Vi vet at den førstederiverte av f er f '( ) ke og ser at dette stemmer overens med formelen for den n-tederiverte for n. Antar at formelen stemmer for et naturlig tall n t, dvs () t t k f ( ) k e. Må vise at formelen stemmer for nt, dvs f ( ) ( f ( ))' ( t) ( t) t k ( ke )' k k e t k t ( k er en konstant) f ( ) k e ( t) t k t k k e som var det vi skulle vise. Formelen stemmer for alle n.. Ser på E36 Vi finner først uttrykket for funksjonen, f( ), som skal dreies om -aksen: y r y r Vi velger kun den positive løsningen, da det er den delen av kurven som ligger over -aksen som skal dreies, og vi får da: f ( ) r Volumet av et omdreiningslememe er gitt ved følgende formel: Aschehoug Side 5 av 36

16 b V f ( ) d a Vi setter inn øvre (b) og nedre (a) grense for i integralet, definerer f( ) i CAS og regner ut ved å bruke kommandoen: Integral[<Funksjon>, <Variabel>, <Start>, <Slutt>] 3 3 h 3h r h h h r h ( r ) som vi skulle vise E38 Vi definerer funksjonene f( ) og g ( ) i CAS, og finner deretter -koordinat for skjæringspunktene mellom de to funksjonene ved å bruke kommandoen: Løs[<Likning>, <Variabel>] Grafene skjærer hverandre når k 0 k. Her ser vi også grunnen til at k bare er definert for positive tall. Med et negativt tall ville det blitt negativt under kvadratrottegnet. For å regne ut arealene Aog Abruker vi CAS og kommandoen: IntegralMellom[ <Funksjon>, <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Vi legger inn den funksjonen som ligger øverst først, og deretter den som ligger underst. På denne måten får arealene positivt fortegn. Aschehoug Side 6 av 36

17 Vi ser her at A A k, som vi skulle vise. E39 Vi definerer først de tre funksjonene i CAS ved kommandoen: Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]. Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved følgende formel: b V f ( ) d a Vi må her regne ut et integralene for hver av funksjonene med tilhørende grenser og deretter summere disse. Vi bruker følgende kommando i CAS: Integral[<Funksjon>, <Variabel>, <Start>, <Slutt>] Vi får dermed at volumet blir 3 695cm 69 L Aschehoug Side 7 av 36

18 E0 a Vi tegner grafen til r i geogebra ved å bruke kommandoen : Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Løsninger til oppgavene i boka Deretter finner vi topp (A) og bunnpunkt (B) på grafen ved å bruke kommandoene: Maks[ <Funksjon>, <Start -verdi>, <Slutt -verdi> ] og Min[ <Funksjon>, <Start -verdi>, <Slutt -verdi>]. Ved å lese av y-koordinatene til topp og bunnpunktet finner vi at den minste innvendige radiusen blir,5 cm og den største blir 3,9 cm. b.5 V r( ) d 0 Dette integralet løser vi i CAS ved å bruke kommandoen: Integral[<Funksjon>, <Variabel>, <Start>, <Slutt>] c Vi ser at volumet av brus som kan fylles i glasser er 3 60cm =,6dL Dersom vi setter a = høyden som brusen står i glasset, må vi løse følgende likning: a 0 r ( ) d 50 Denne likningen kan vi løse i CAS ved å kombinere følgende kommandoer: Løs[ <Likning>, <Variabel> ] og Integral[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Aschehoug Side 8 av 36

19 Brusen vil stå 9,9cmhøyt i glassset. E a For halvsirkelen som ligger over -aksen har vi følgende funksjon: Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved følgende formel: b V f ( ) d a f ( ) r., der a og b er henholdsvis nedre og øvre grense for. I dette tilfellet er nedre grense r og øvre grense r. Integralet kan vi løse i CAS ved å bruke følgende kommando: Integral[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Vi har nå vist at formelen for volumet av kula er 3 r 3. b For øvre halvdel av ellipsen kan vi finne y uttrykt ved : y b a y b a y b f a ( ) Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved følgende formel: b V f ( ) d a, der a og b er henholdsvis nedre og øvre grense for. I dette tilfellet er nedre grense a og øvre grense a. Integralet kan vi løse i CAS ved å bruke følgende kommando: Integral[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Vi har nå vist at formelen for volumet av ellipsen er 3 ab. Aschehoug Side 9 av 36

20 E3 a Løsninger til oppgavene i boka Hvis vi ser på det lille kvadratet nederst til høyre, kan vi sette opp to likninger som må oppfylles: y y s y s s y y A s A s A Volumet av pyramiden er gitt ved: V G h V s h ( A ) A ( A A ) A V ( A A ) ( A ) A b Vi deriverer V( ) i CAS og kaller den deriverte funksjonen for G. ( ) Vi faktoriserer G ( ) i CAS og finner deretter løsningen på likningen G ( ) 0. Aschehoug Side 0 av 36

21 V() har enten toppunkt når A eller når A. Forå finne ut av dette kan vi enten lage 0 en fortegnslinje for den deriverte eller vi kan undersøke om den deriverte er positiv eller negativ like foran og etter disse to -verdiene. Vi prøver det siste i CAS: Vi ser her at den deriverte er positiv like før = 0,0 A og negativ like etter. Dette viser at V() har et toppunkt ved denne verdien. Vi ser også at den deriverte er negativ like før = 0,50 A og positiv like etter. Det betyr at funksjonen har et bunnpunkt for denne verdien. Volumet av pyramiden blir derfor størst når A. 0 Aschehoug Side av 36

22 E6 a b y sin v cos v sin v y cosv Arealet av rektangelet, A( v) y cos vsin v sin vcos v Vi tegner grafen i geogebra ved å bruke kommandoen: Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Vi finner deretter toppunktet (B) på grafen ved å bruke kommandoen: Maks[ <Funksjon>, <Start -verdi>, <Slutt -verdi> ] Aschehoug Side av 36

23 Vi ser av toppunktet at dersom arealet skal bli størst mulig må vinkelen v 5. Arealet er da. E7 a Vi tegnet grafen til st ()) i geogebra ved å skrive inn kommandoen: Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] b Vi tegner grafen til vt () i geogebra ved å skrive inn kommandoen: v( t) s( t) Vi finner så toppunktet (A) på grafen ved å skrive inn kommandoen: Maks[ <Funksjon>, <Start -verdi>, <Slutt -verdi> ] Aschehoug Side 3 av 36

24 Den største farten til stempelet kan vi lese av ved å se på y-koordinaten til A: 735 cm/s = 7,35 m/s c Vi tegner grafen til at () i geogebra ved å skrive inn kommandoen: a( t) s( t) Vi finner så toppunktet (B) på grafen ved å skrive inn kommandoen: Maks[ <Funksjon>, <Start -verdi>, <Slutt -verdi> ] Den størtse akselerasjonen til stempelet kan vi lese av ved å se på y-koordinaten til B: cm/s = 53,50 m/s Aschehoug Side av 36

25 E8 Løsning med digitale hjelpemidler (CAS i Geogebra): Bruker Pytagoras setning og får en sammenheng mellom s, h og r. Løser for s. Overflatearealet av kjegla er. Setter inn det positive uttrykket av s fra linje. (s er en lengde og er derfor positiv) Løser likningen i linje med hensyn på h. Volumet av en kjegle Bytter ut den positive løsningen av h i linje 5 med h i volumformelen. Har nå uttrykt volumet V som en funksjon av r. Merk at denne volumformelen har begrensningen at overflatearealet er. Finner radius som gir størst volum V. Ser på grafen til V at denne gir et toppunkt. Finner høyden h gitt ved r. Merk at Geogebra bruker absoluttverdien til r i flere av uttrykkene, men vi kan se bort fra dette fordi radien til kjegla alltid er positiv. Kjegla har størst volum når radius er 0, meter og høyden er h. meter Løsning uten bruk av hjelpemidler: Vi har begrensningen om at overflatearealet av kjegla skal være m. Dette gir oss sammenhengen r rs (I) Ved pytagorassetningen får vi følgende sammenheng mellom s, h og r s h r (II) Løser (II) for s og setter inn i (I) r r h r Aschehoug Side 5 av 36

26 Løser denne for h r r h r h r r r h r r h r h (kvadrerer hver side) r r r r r r h r (Vi er bare interessert i den positive løsninge) n Volumet av en kjegle er gitt ved V r h, men vi kan nå eliminere h ved hjelp av foregående 3 sammenheng. Da får vi en funksjon V som bare avhenger av r. V ( r) r 3 r Deriverer V med hensyn på r og setter lik null for å finne eventuelle ekstremalpunkter ( ) r 3 r r 3 r r 0 r r r r r r r r r 3 r r r ( 8) 3 r r Fordi vi regner på en praktisk oppgave om volum av kjegle med begrenset overflate, må dette være den verdien for r som gir størst volum V. Vi kan tenke oss det ekstreme ved veldig liten, eller veldig stor r at volumet blir lite. Denne verdien for r kan derfor ikke være et bunnpunkt, eller et terrassepunkt. Vi finner den verdien for h som maksimerer V ved å sette inn for r i sammenhengen vi fant tidligere Aschehoug Side 6 av 36

27 8 h Kjegla har størst volum når radius er 0, meter og høyden er h. meter. E9 a Vi vet at sammenhengen mellom vei (s), fart (v) og tid (t) er gitt ved s vt når en gjenstand s beveger seg med konstant fart. Dette omformer vi til t. For å regne ut tiden James Bond v bruker på avstanden s får vi ved hjelp av pytagorassetningen s t v 5 95, der har enheten km og tiden har enheten timer. Tilsvarende finner vi t ved s t v 60 Den totale tiden James Bond bruker på operasjonen blir da summen av disse f ( ) t t Aschehoug Side 7 av 36

28 b Vi bruker CAS i Geogebra til å finne bunnpunktet til funksjonen f Linje : Definerer f som gitt i oppgaven. Linje : Løser likningen f '( ) 0. Linje 3: Finner en tilnærmet verdi for -verdien til punktet P. Linje : Definerer bunnpunkt Q på grafen til f. Linje 5: Finner en tilnærmet verdi for antall timer James Bond bruker på operasjonen. James Bond må plassere motorsykkelen 3,69 kilometer unna B. Da vil operasjonen vare kortest tid: 0, timer. Aschehoug Side 8 av 36

29 E55 Løsninger til oppgavene i boka a Vi få oppgitt at f ( ) tan( u v) og at vi skal bruke sammenhengen tan u tan v tan( uv). Vi vet at i en rettvinklet trekant gjelder at tangens til en vinkel er tan u tan v motstående katet gitt ved. Bruker dette på ACB og ABD og får hosliggende katet f ( ) tan( u v) tan u tan v tan u tn a v b a b a b a ab b a ab ( b a) ab som var det vi skulle vise. Aschehoug Side 9 av 36

30 b Digital løsning: Bruker CAS i Geogebra til å løse likningen f '( ) 0 Fordi er en lengde (som må være positiv), velger vi den positive løsningen. Dette betyr at ab er den verdien som maksimerer f( ). Vi vet at tangens er strengt voksende i intervallet 0,, så f maks maksimerer også. Løsning uten bruk av hjelpemidler: Deriverer ( ab) ( ) f '( ) ( b a) ( ab ) ab ( ba) ( ab ) ab ( ba) ( ab ) Løser likningen f '( ) 0 for å finne eventuelle ekstremalpunkter ab ( b a) ( ab ) ab ( ab ) 0 ab 0 b a 0 ( ab ) ab Fordi er en lengde (som må være positiv), velger vi den positive løsningen. Vi vet at tangens er strengt voksende i intervallet 0,, så f maks maksimerer også. (Merk at begge faktorene vi multipliserer med over, ikke kan være 0 og vil derfor ikke gi oss noen ekstra løsninger) Aschehoug Side 30 av 36

31 E68 a Løsninger til oppgavene i boka Vi finner først en normalvektor til ved å regne ut vektorproduktet til AB og AC 0,0 0,0,0, 0, 0,,, 0 AB AC b e e y ez AB AC ( ),( ) 0, 0,, Setter inn punkt A og normalvektor AB AC i likningen for et plan: ( 0) ( y 0) ( z ) 0 y z 8 0 : y z 0 Vi ser at normalvektorene til og er parallelle, så planene må også være parallelle. Bruker formelen for avstand fra punkt til plan, og finner avstanden fra punkt A (som ligger i ) til planet. a by cz d 0 ( ) 0 6 a b c ( ) 9 Avstanden mellom og er c Linja l går gjennom skjæringspunktene D og E som ligger i hvert sitt parallelle plan og. Retningsvektoren til l er derfor parallell med normalvektorene til og. Vi kan derfor sette r [,,], og ved å bruke at l går gjennom P(5,,) får vi parameterframstillingen l 5t l : y t z t Aschehoug Side 3 av 36

32 d Vi finner koordinatene til D og E ved å regne ut skjæringspunktene mellom l og og. Ser først på skjæringen med og setter inn for, y og z inn i likningen for. (5 t) ( t) ( t) 0 0 t t t 0 9t 8 t Dette gir at D 5 ( ), ( ), ( ) (,3, ) Finner skjæringen med på samme måte (5 t) ( t) ( t) 0 0 t t t 0 9t t Dette gir E 5,, ,, ,, ,, Aschehoug Side 3 av 36

33 e Vi vet fra oppgave b at avstanden mellom og er. Det betyr at diameteren i kula er, og derfor at radius er r. For å finne sentrum S i kula, bruker vi at S må ligge midt mellom D og E. Dette betyr at OS OD DS og at OD DE 7 5 8,3, 3,, ,3,,, ,3,,, 3 3 3,3,,, ,, ,, ,, S,,. Likningen for kula er y z E70 a b N 0 (0) 0,8 0,88 N(0) 0 0,8 0, ,75 Dette betyr at antallet kreftceller øker med 60,75 millioner i døgnet etter 0 døgn. Løser differensialligningen i CAS. Vi forenkler uttrykket og bytter ut navnene på variablene. N( t) 588 e 0.3 ( 6,56) e Aschehoug Side 33 av 36

34 E7 a b Første differnsialligning forklares slik: 00 kg / s v v k v v 000kg 0 Andre differensialligning forklares ved hjelp av sammenhengen a v s : v v 0 s v 0 s s 0 s s 0 s s 0 Løser første differensialligningen i CAS i GeoGebra. Funksjonen blir: 0,t v( t) 5e 0, 3 v(3) 5e, Farten etter 3 sekunder er, m/s. Løser andre differensialligning i CAS i GeoGebra. Vi har to initialbetingelser. s(0) 0 og 0, 0 s(0) v(0) 5 e 5. c Funksjonen blir: 0,t s( t) 50e 50 0, 3 s(3) 50e Båten har beveget seg 39 meter på 3 sekunder. 0,t Vi ser på funksjonen s( t) 50e 0,t 50. Etter hvert som t øker, vil faktoren e nærme seg 0. Dermed vil st () nærme seg grensen 50, som er funksjonens konstantledd. Det betyr at båten maksimalt kan bevege seg 50 meter. Aschehoug Side 3 av 36

35 E73 a Tegner retningsdiagram i GeoGebra med kommandoen Retningsdiagram[ <f(, y)> ]. Skriver Retningsdiagram[ e ^(0.5*)+ ] i inntastingsfeltet. Tegner så inn integralkurven gjennom punktet (0, ). Skriver først inn punktet i GeoGebra. Taster A:=(0, ) i inntastingsfeltet. Bruker deretter kommandoen GeometriskSted[ <Retningsdiagram>, <Punkt> ]. Taster inn GeometriskSted[retningsdiagram, A] i inntastingsfeltet. Aschehoug Side 35 av 36

36 b Løser differensialligningen i CAS i GeoGebra. Funksjonsuttrykket blir f ( ) e. Finner stigningstallet for tangenten til integralkurven i punktet i CAS. Stigningstallet blir. Aschehoug Side 36 av 36