R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka"

Transkript

1 R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos 5 sin 5cos5 sin som er gitt i oppgaven. Aschehoug Side av 36

2 b c d e f g( ) 3 e u v u v u v u 3 u 6 v e v e g ( ) 6 e 3 e h ( ) g( ) 3 e sin 6 u u v u v v v u sin 6 u 6cos 6 v v 6 cos 6 sin 6 cos 6 sin 6 6 cos 6 sin 6 3 i( ) sin sin i( ) 3 sin sin 3sin j( ) e 3 cos sin3 sin3 j ( ) e sin 3 sin3 e 3cos 3 6cos3 e k( ) cos sin3 k( ) cos cos sin cos sin cos Aschehoug Side av 36

3 E3 Løsninger til oppgavene i boka Funksjonen skal skrives på formen f ( ) a sinc d Finner amplituden a. ymaks ymin a 5 a Finner c. c perioden 6,3 Finner likevektslinjen d. ymaks ymin d 5 6 d 3 Leser av faseforskyvingen der grafen skjærer likevektslinjen på vei oppover for første gang til høyre for y-aksen. Dette skjer ved -verdien 5,3. Siden c kan vi sette denne verdien rett inn for, og vi får 5,3, siden vi leste av verdien mot høyre. Funksjonsuttrykket blir: f ( ) sin 5,3 3 Hadde vi lest av faseforskyvingen mot venstre ville vi fått. Funksjonsuttrykket blir da: f ( ) sin 3 Aschehoug Side 3 av 36

4 E6 a e d e C e C b sin d cos cos cos ( ) c ln d ln d u v u v u v u u v v ln ln ln d ln d C ln C ln C Aschehoug Side av 36

5 d 0 d 5 6 u 5 6 u 5 u 0 ud du u d u ud u du u ln u C ln 5 6 C Aschehoug Side 5 av 36

6 e d d ( 3) ( ) A B ( 3) ( ) ( 3) ( ) 3 A ( ) B ( 3) Setter A 0 B ( ) B 8 Setter 3 3 A B 0 A 8 ( 3) ( ) 3 8 ( 3) ( ) 3 8 d 3 8 d d 3 ln 3 8ln C Aschehoug Side 6 av 36

7 f g ( 5 6) : ( ) 3 ( ) 5 6 d 3 6 (3 6) 0 3 d 3 C 8e d 8 e v 8 e e d 8 e d u v u v u v u e u e v 8 e e C 8 e ( ) C e d Aschehoug Side 7 av 36

8 h sin d sin d u v u v u v u sin u cos cos v v cos cos d cos cos d cos sin C cos sin C sin cos C Aschehoug Side 8 av 36

9 E7 a AB 0, 0, 0,, AC, 0, 0 0,, Løsninger til oppgavene i boka Finner vektorproduktet i CAS i GeoGebra med kommandoen Vektorprodukt. AB AC,, b Finner arealet av grunnflaten G. 3 G AB AC ( ) 9 Finner volumet av pyramiden. AD, 0, 3 0 3,, 3 V AB AC AD 6 V,, 3,, 3 3 ( ) ( 3) E5 a y ' y y ' y dy y d dy y ln d y C y e C y e e C y Ce ( der C e y Ce Vi kan sette y y fordi C ) 0 e for alle. b y ' y e Aschehoug Side 9 av 36

10 Integrerende faktor er e y ' e e y e e ( ye )' ye d ye C e y e Ce c y' 5y y(0) Integrerende faktor er y ' e 5e y e ( ye )' e. Multipliserer denne med likningen og får: 5 5 ye e 5 5 e d e e 5 5 ye e C e 5 5 y Ce Initialbetingelsen y(0) gir at 5 5 Ce C 5 50 C. Multipliserer denne med likningen og får: d C 5 Den spesielle løsningen på differensiallikningen er dermed y' y 0 y( 3) y e. Denne likningen er separabel, og vi finner først den generelle løsningen: Aschehoug Side 0 av 36

11 y' y 0 y' y dy y d y dy ( ) y d C C y y C Initialbetingelsen y( 3) gir at: 3 C 3 C C Den spesielle løsningen på differensiallikningen er dermed e y' sin y 0 y sin Integrerende faktor er e e cos cos y ' e sin e y 0 cos ( ye )' 0 cos cos cos ye C e y Ce cos Initialbetingelsen y gir at cos 3 Ce Ce y.. Multipliserer denne med likningen og får: e e C ee e e e e Dette gir den spesielle løsningen y cos e e e cos e e. Aschehoug Side av 36

12 f y'' y' 6y 0 y(0) 5 y'(0) 5 Finner nullpunktene til det karakteristiske polynomet: r r 6 0 ( ) r r 3 ( ) ( 6) r Vi har to reelle løsninger, så y Ce Ce. Finner de ukjente konstantene ved å bruke de to oppgitte initialbetingelsene: y(0) 5 C e C e C C 5 ( ) E y '(0) 5 C 3e C ( ) e 5 3C C 5 (II) (I) (II) gir oss likningen C C 3C C 0 5 5C 5 Dermed er den spesielle løsningen C C 5 (I) C 3 y e e. a Det n-te leddet i en aritmetisk rekke er gitt ved a a ( n ) d. Regner ut for n 5, a og d 3: a5 (5 )3 3 n Aschehoug Side av 36

13 b Antall seter øker med et fast tall for hver rad. Det betyr at antall seter i radene danner en aritmetisk rekke der a 30 og d. Regner ut a0 for å finne antall seter på rad 0: a0 a (0 ) d 30 (0 ) Antall seter totalt i salen blir da summen av de 0 første leddene i denne rekka. Bruker sumformelen og finner a a0 S Det er 68 seter på rad 0 og totalt 980 seter i salen. E3 a n n 5 Skal vise påstanden for alle n. Ser at påstanden stemmer for n : VS 5 HS Antar at påstanden stemmer for et naturlig tall n k. Dvs k k ( ) Skal vise at utsagnet da må stemme for et naturlig tall nk. Dvs at k k k Ser på VS k k k 5 k (*) k k 5 5 k k 5 5 k 55 k 5 som var det vi skulle vise. Påstanden må derfor stemme for alle n. Aschehoug Side 3 av 36

14 b Skal vise påstanden 3 n n n for alle n. Ser at påstanden stemmer for n : VS HS Antar at påstanden stemmer for et naturlig tall n k. Dvs (*) 3 k k k Skal vise at utsagnet da må stemme for nk. Dvs at 3 k k k k Ser på VS 3 k k k k k (*) k k k k ( k ) ( k ) ( k )( k ) k ( k )( k ) k som var det vi skulle vise. Påstanden må derfor stemme for alle n. Aschehoug Side av 36

15 c Vi har gitt den rekursive formelen a n a n n 3 og a og skal vise at den eksplisitte ( n )( n5) formelen an uttrykker den samme rekka. Sjekker først at den eksplisitte formelen stemmer for n. ( )( 5 ) ( )( ) a Antar at den eksplisitte formelen stemmer for et naturlig tall n k, dvs ( k)( k5) ak () * Skal nå vise at ( k )( k 5) ( k )( k ) k k k 5k a k k ved å bruke antakelsen og den rekursive formelen. Vi får a a k 3 k k (*) ( k)( k5) k 3 k k 5k 0 k 6 k 5k som var akkurat det vi skulle vise. De to formlene uttrykker derfor den samme rekka for alle n. k d Vi vet at den førstederiverte av f er f '( ) ke og ser at dette stemmer overens med formelen for den n-tederiverte for n. Antar at formelen stemmer for et naturlig tall n t, dvs () t t k f ( ) k e. Må vise at formelen stemmer for nt, dvs f ( ) ( f ( ))' ( t) ( t) t k ( ke )' k k e t k t ( k er en konstant) f ( ) k e ( t) t k t k k e som var det vi skulle vise. Formelen stemmer for alle n.. Ser på E36 Vi finner først uttrykket for funksjonen, f( ), som skal dreies om -aksen: y r y r Vi velger kun den positive løsningen, da det er den delen av kurven som ligger over -aksen som skal dreies, og vi får da: f ( ) r Volumet av et omdreiningslememe er gitt ved følgende formel: Aschehoug Side 5 av 36

16 b V f ( ) d a Vi setter inn øvre (b) og nedre (a) grense for i integralet, definerer f( ) i CAS og regner ut ved å bruke kommandoen: Integral[<Funksjon>, <Variabel>, <Start>, <Slutt>] 3 3 h 3h r h h h r h ( r ) som vi skulle vise E38 Vi definerer funksjonene f( ) og g ( ) i CAS, og finner deretter -koordinat for skjæringspunktene mellom de to funksjonene ved å bruke kommandoen: Løs[<Likning>, <Variabel>] Grafene skjærer hverandre når k 0 k. Her ser vi også grunnen til at k bare er definert for positive tall. Med et negativt tall ville det blitt negativt under kvadratrottegnet. For å regne ut arealene Aog Abruker vi CAS og kommandoen: IntegralMellom[ <Funksjon>, <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Vi legger inn den funksjonen som ligger øverst først, og deretter den som ligger underst. På denne måten får arealene positivt fortegn. Aschehoug Side 6 av 36

17 Vi ser her at A A k, som vi skulle vise. E39 Vi definerer først de tre funksjonene i CAS ved kommandoen: Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]. Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved følgende formel: b V f ( ) d a Vi må her regne ut et integralene for hver av funksjonene med tilhørende grenser og deretter summere disse. Vi bruker følgende kommando i CAS: Integral[<Funksjon>, <Variabel>, <Start>, <Slutt>] Vi får dermed at volumet blir 3 695cm 69 L Aschehoug Side 7 av 36

18 E0 a Vi tegner grafen til r i geogebra ved å bruke kommandoen : Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Løsninger til oppgavene i boka Deretter finner vi topp (A) og bunnpunkt (B) på grafen ved å bruke kommandoene: Maks[ <Funksjon>, <Start -verdi>, <Slutt -verdi> ] og Min[ <Funksjon>, <Start -verdi>, <Slutt -verdi>]. Ved å lese av y-koordinatene til topp og bunnpunktet finner vi at den minste innvendige radiusen blir,5 cm og den største blir 3,9 cm. b.5 V r( ) d 0 Dette integralet løser vi i CAS ved å bruke kommandoen: Integral[<Funksjon>, <Variabel>, <Start>, <Slutt>] c Vi ser at volumet av brus som kan fylles i glasser er 3 60cm =,6dL Dersom vi setter a = høyden som brusen står i glasset, må vi løse følgende likning: a 0 r ( ) d 50 Denne likningen kan vi løse i CAS ved å kombinere følgende kommandoer: Løs[ <Likning>, <Variabel> ] og Integral[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Aschehoug Side 8 av 36

19 Brusen vil stå 9,9cmhøyt i glassset. E a For halvsirkelen som ligger over -aksen har vi følgende funksjon: Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved følgende formel: b V f ( ) d a f ( ) r., der a og b er henholdsvis nedre og øvre grense for. I dette tilfellet er nedre grense r og øvre grense r. Integralet kan vi løse i CAS ved å bruke følgende kommando: Integral[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Vi har nå vist at formelen for volumet av kula er 3 r 3. b For øvre halvdel av ellipsen kan vi finne y uttrykt ved : y b a y b a y b f a ( ) Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved følgende formel: b V f ( ) d a, der a og b er henholdsvis nedre og øvre grense for. I dette tilfellet er nedre grense a og øvre grense a. Integralet kan vi løse i CAS ved å bruke følgende kommando: Integral[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Vi har nå vist at formelen for volumet av ellipsen er 3 ab. Aschehoug Side 9 av 36

20 E3 a Løsninger til oppgavene i boka Hvis vi ser på det lille kvadratet nederst til høyre, kan vi sette opp to likninger som må oppfylles: y y s y s s y y A s A s A Volumet av pyramiden er gitt ved: V G h V s h ( A ) A ( A A ) A V ( A A ) ( A ) A b Vi deriverer V( ) i CAS og kaller den deriverte funksjonen for G. ( ) Vi faktoriserer G ( ) i CAS og finner deretter løsningen på likningen G ( ) 0. Aschehoug Side 0 av 36

21 V() har enten toppunkt når A eller når A. Forå finne ut av dette kan vi enten lage 0 en fortegnslinje for den deriverte eller vi kan undersøke om den deriverte er positiv eller negativ like foran og etter disse to -verdiene. Vi prøver det siste i CAS: Vi ser her at den deriverte er positiv like før = 0,0 A og negativ like etter. Dette viser at V() har et toppunkt ved denne verdien. Vi ser også at den deriverte er negativ like før = 0,50 A og positiv like etter. Det betyr at funksjonen har et bunnpunkt for denne verdien. Volumet av pyramiden blir derfor størst når A. 0 Aschehoug Side av 36

22 E6 a b y sin v cos v sin v y cosv Arealet av rektangelet, A( v) y cos vsin v sin vcos v Vi tegner grafen i geogebra ved å bruke kommandoen: Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] Vi finner deretter toppunktet (B) på grafen ved å bruke kommandoen: Maks[ <Funksjon>, <Start -verdi>, <Slutt -verdi> ] Aschehoug Side av 36

23 Vi ser av toppunktet at dersom arealet skal bli størst mulig må vinkelen v 5. Arealet er da. E7 a Vi tegnet grafen til st ()) i geogebra ved å skrive inn kommandoen: Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ] b Vi tegner grafen til vt () i geogebra ved å skrive inn kommandoen: v( t) s( t) Vi finner så toppunktet (A) på grafen ved å skrive inn kommandoen: Maks[ <Funksjon>, <Start -verdi>, <Slutt -verdi> ] Aschehoug Side 3 av 36

24 Den største farten til stempelet kan vi lese av ved å se på y-koordinaten til A: 735 cm/s = 7,35 m/s c Vi tegner grafen til at () i geogebra ved å skrive inn kommandoen: a( t) s( t) Vi finner så toppunktet (B) på grafen ved å skrive inn kommandoen: Maks[ <Funksjon>, <Start -verdi>, <Slutt -verdi> ] Den størtse akselerasjonen til stempelet kan vi lese av ved å se på y-koordinaten til B: cm/s = 53,50 m/s Aschehoug Side av 36

25 E8 Løsning med digitale hjelpemidler (CAS i Geogebra): Bruker Pytagoras setning og får en sammenheng mellom s, h og r. Løser for s. Overflatearealet av kjegla er. Setter inn det positive uttrykket av s fra linje. (s er en lengde og er derfor positiv) Løser likningen i linje med hensyn på h. Volumet av en kjegle Bytter ut den positive løsningen av h i linje 5 med h i volumformelen. Har nå uttrykt volumet V som en funksjon av r. Merk at denne volumformelen har begrensningen at overflatearealet er. Finner radius som gir størst volum V. Ser på grafen til V at denne gir et toppunkt. Finner høyden h gitt ved r. Merk at Geogebra bruker absoluttverdien til r i flere av uttrykkene, men vi kan se bort fra dette fordi radien til kjegla alltid er positiv. Kjegla har størst volum når radius er 0, meter og høyden er h. meter Løsning uten bruk av hjelpemidler: Vi har begrensningen om at overflatearealet av kjegla skal være m. Dette gir oss sammenhengen r rs (I) Ved pytagorassetningen får vi følgende sammenheng mellom s, h og r s h r (II) Løser (II) for s og setter inn i (I) r r h r Aschehoug Side 5 av 36

26 Løser denne for h r r h r h r r r h r r h r h (kvadrerer hver side) r r r r r r h r (Vi er bare interessert i den positive løsninge) n Volumet av en kjegle er gitt ved V r h, men vi kan nå eliminere h ved hjelp av foregående 3 sammenheng. Da får vi en funksjon V som bare avhenger av r. V ( r) r 3 r Deriverer V med hensyn på r og setter lik null for å finne eventuelle ekstremalpunkter ( ) r 3 r r 3 r r 0 r r r r r r r r r 3 r r r ( 8) 3 r r Fordi vi regner på en praktisk oppgave om volum av kjegle med begrenset overflate, må dette være den verdien for r som gir størst volum V. Vi kan tenke oss det ekstreme ved veldig liten, eller veldig stor r at volumet blir lite. Denne verdien for r kan derfor ikke være et bunnpunkt, eller et terrassepunkt. Vi finner den verdien for h som maksimerer V ved å sette inn for r i sammenhengen vi fant tidligere Aschehoug Side 6 av 36

27 8 h Kjegla har størst volum når radius er 0, meter og høyden er h. meter. E9 a Vi vet at sammenhengen mellom vei (s), fart (v) og tid (t) er gitt ved s vt når en gjenstand s beveger seg med konstant fart. Dette omformer vi til t. For å regne ut tiden James Bond v bruker på avstanden s får vi ved hjelp av pytagorassetningen s t v 5 95, der har enheten km og tiden har enheten timer. Tilsvarende finner vi t ved s t v 60 Den totale tiden James Bond bruker på operasjonen blir da summen av disse f ( ) t t Aschehoug Side 7 av 36

28 b Vi bruker CAS i Geogebra til å finne bunnpunktet til funksjonen f Linje : Definerer f som gitt i oppgaven. Linje : Løser likningen f '( ) 0. Linje 3: Finner en tilnærmet verdi for -verdien til punktet P. Linje : Definerer bunnpunkt Q på grafen til f. Linje 5: Finner en tilnærmet verdi for antall timer James Bond bruker på operasjonen. James Bond må plassere motorsykkelen 3,69 kilometer unna B. Da vil operasjonen vare kortest tid: 0, timer. Aschehoug Side 8 av 36

29 E55 Løsninger til oppgavene i boka a Vi få oppgitt at f ( ) tan( u v) og at vi skal bruke sammenhengen tan u tan v tan( uv). Vi vet at i en rettvinklet trekant gjelder at tangens til en vinkel er tan u tan v motstående katet gitt ved. Bruker dette på ACB og ABD og får hosliggende katet f ( ) tan( u v) tan u tan v tan u tn a v b a b a b a ab b a ab ( b a) ab som var det vi skulle vise. Aschehoug Side 9 av 36

30 b Digital løsning: Bruker CAS i Geogebra til å løse likningen f '( ) 0 Fordi er en lengde (som må være positiv), velger vi den positive løsningen. Dette betyr at ab er den verdien som maksimerer f( ). Vi vet at tangens er strengt voksende i intervallet 0,, så f maks maksimerer også. Løsning uten bruk av hjelpemidler: Deriverer ( ab) ( ) f '( ) ( b a) ( ab ) ab ( ba) ( ab ) ab ( ba) ( ab ) Løser likningen f '( ) 0 for å finne eventuelle ekstremalpunkter ab ( b a) ( ab ) ab ( ab ) 0 ab 0 b a 0 ( ab ) ab Fordi er en lengde (som må være positiv), velger vi den positive løsningen. Vi vet at tangens er strengt voksende i intervallet 0,, så f maks maksimerer også. (Merk at begge faktorene vi multipliserer med over, ikke kan være 0 og vil derfor ikke gi oss noen ekstra løsninger) Aschehoug Side 30 av 36

31 E68 a Løsninger til oppgavene i boka Vi finner først en normalvektor til ved å regne ut vektorproduktet til AB og AC 0,0 0,0,0, 0, 0,,, 0 AB AC b e e y ez AB AC ( ),( ) 0, 0,, Setter inn punkt A og normalvektor AB AC i likningen for et plan: ( 0) ( y 0) ( z ) 0 y z 8 0 : y z 0 Vi ser at normalvektorene til og er parallelle, så planene må også være parallelle. Bruker formelen for avstand fra punkt til plan, og finner avstanden fra punkt A (som ligger i ) til planet. a by cz d 0 ( ) 0 6 a b c ( ) 9 Avstanden mellom og er c Linja l går gjennom skjæringspunktene D og E som ligger i hvert sitt parallelle plan og. Retningsvektoren til l er derfor parallell med normalvektorene til og. Vi kan derfor sette r [,,], og ved å bruke at l går gjennom P(5,,) får vi parameterframstillingen l 5t l : y t z t Aschehoug Side 3 av 36

32 d Vi finner koordinatene til D og E ved å regne ut skjæringspunktene mellom l og og. Ser først på skjæringen med og setter inn for, y og z inn i likningen for. (5 t) ( t) ( t) 0 0 t t t 0 9t 8 t Dette gir at D 5 ( ), ( ), ( ) (,3, ) Finner skjæringen med på samme måte (5 t) ( t) ( t) 0 0 t t t 0 9t t Dette gir E 5,, ,, ,, ,, Aschehoug Side 3 av 36

33 e Vi vet fra oppgave b at avstanden mellom og er. Det betyr at diameteren i kula er, og derfor at radius er r. For å finne sentrum S i kula, bruker vi at S må ligge midt mellom D og E. Dette betyr at OS OD DS og at OD DE 7 5 8,3, 3,, ,3,,, ,3,,, 3 3 3,3,,, ,, ,, ,, S,,. Likningen for kula er y z E70 a b N 0 (0) 0,8 0,88 N(0) 0 0,8 0, ,75 Dette betyr at antallet kreftceller øker med 60,75 millioner i døgnet etter 0 døgn. Løser differensialligningen i CAS. Vi forenkler uttrykket og bytter ut navnene på variablene. N( t) 588 e 0.3 ( 6,56) e Aschehoug Side 33 av 36

34 E7 a b Første differnsialligning forklares slik: 00 kg / s v v k v v 000kg 0 Andre differensialligning forklares ved hjelp av sammenhengen a v s : v v 0 s v 0 s s 0 s s 0 s s 0 Løser første differensialligningen i CAS i GeoGebra. Funksjonen blir: 0,t v( t) 5e 0, 3 v(3) 5e, Farten etter 3 sekunder er, m/s. Løser andre differensialligning i CAS i GeoGebra. Vi har to initialbetingelser. s(0) 0 og 0, 0 s(0) v(0) 5 e 5. c Funksjonen blir: 0,t s( t) 50e 50 0, 3 s(3) 50e Båten har beveget seg 39 meter på 3 sekunder. 0,t Vi ser på funksjonen s( t) 50e 0,t 50. Etter hvert som t øker, vil faktoren e nærme seg 0. Dermed vil st () nærme seg grensen 50, som er funksjonens konstantledd. Det betyr at båten maksimalt kan bevege seg 50 meter. Aschehoug Side 3 av 36

35 E73 a Tegner retningsdiagram i GeoGebra med kommandoen Retningsdiagram[ <f(, y)> ]. Skriver Retningsdiagram[ e ^(0.5*)+ ] i inntastingsfeltet. Tegner så inn integralkurven gjennom punktet (0, ). Skriver først inn punktet i GeoGebra. Taster A:=(0, ) i inntastingsfeltet. Bruker deretter kommandoen GeometriskSted[ <Retningsdiagram>, <Punkt> ]. Taster inn GeometriskSted[retningsdiagram, A] i inntastingsfeltet. Aschehoug Side 35 av 36

36 b Løser differensialligningen i CAS i GeoGebra. Funksjonsuttrykket blir f ( ) e. Finner stigningstallet for tangenten til integralkurven i punktet i CAS. Stigningstallet blir. Aschehoug Side 36 av 36

R2 kapittel 8 Eksamenstrening

R2 kapittel 8 Eksamenstrening R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i boka Uten hjelpemidler Oppgave E a F (4) = f (4) = 4 4 b f x x [ F x ] F F ( ) Oppgave E5 ( )d = ( ) = (4) () = 6 = 7 Grafen til f ligger over x-aksen

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når

Detaljer

Hjelpemidler på del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Hjelpemidler på del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1. Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

R2 Eksamen V

R2 Eksamen V R V011 R Eksamen V011-1.05.011 Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) 1) Kjerneregel: fx sin u, u x f x cosu 4 cosx ) Produktregel (og kjerneregel på cosx): g x x cosx x sin x xcosx x sin x ) Kjerneregel:

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

R2 Eksamen høsten 2014 ( )

R2 Eksamen høsten 2014 ( ) R Eksamen høsten 0 (8..) Løsningsskisser Versjon:.05.6 (Rettet feil i del i oppgave ) Del I - Uten hjelpemidler Oppgave a) Kjerneregel: f x cosu, u x f x 6 sin x b) Produktregel: g x 5e x sin x 5e x cos

Detaljer

Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )

Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( ) Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3024 Matematikk R2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3024 Matematikk R2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 REA04 Matematikk R Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

Eksamen våren 2008 Løsninger

Eksamen våren 2008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (

Detaljer

R2 - Eksamen Løsningsskisser

R2 - Eksamen Løsningsskisser R - V0 R - Eksamen 04.06.0 - Løsningsskisser Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Kjerneregel: fx 3 sin u, u x f x 3 cosu 6 cosu 6 cosx ) 3) Produktregel: g x x sin x x cosx x sin x x cosx Kjerneregel:

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen høsten 2009 Løsninger

Eksamen høsten 2009 Løsninger Eksamen høsten 009 Løsninger Eksamen høsten 009 Løsninger DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave a f( ) = 5 e f () = 5e = 5e b

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,,

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x) DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 3

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 3 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel.a cos + + sin + = cos cos sin sin + sin cos + cos sin = cos sin + sin + cos = cos + = cos = cos b sin + = sin sin sin = sin = sin = sin =,7 =,7 +

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri

R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri R - Funksjoner, integrasjon og trigonometri Løsningsskisser Del I - Uten hjelpemidler Oppgave 1 Regn ut integralene: a) x cosx dx b) x x 3x dx c) ex cose x dx a) Delvis integrasjon: x cosx dx x sin x sin

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

UDIRs eksempeloppgave høsten 2008

UDIRs eksempeloppgave høsten 2008 UDIRs eksempeloppgave høsten 008 Løsningsskisser Del Oppgave f x cos3x x sin3x 3 cos3x 6x sin3x fx 3u, u e 4x (Produktregel og kjerneregel på cos3x.) u e 4x 4 (Kjerneregel enda en gang...) d) f x 6uu 6u4e

Detaljer

Løsningsskisser eksamen R

Løsningsskisser eksamen R R 9.. Løsningsskisser eksamen R 9.. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x sin u, u x g x cosu cosx ) Kjerneregel: h x u, u sin x h x u cosx sin x cosx

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD

R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD Løsningsskisser Oppgave Løs differensialligningene: a) y x cosx b) y yx x c) y y x a) Eksakt DL, løses direkte: y cosx x y cosx x dx sin x 2 x2 C b) Lineær: y xy x (Kan løse

Detaljer

Fagdag CAS-trening

Fagdag CAS-trening Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i

Detaljer

R2 eksamen våren ( )

R2 eksamen våren ( ) R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

Terminprøve R2 våren 2014

Terminprøve R2 våren 2014 Terminprøve R2 våren 2014 Magne A. Myhren 30. april 2014 Delprøve 1 må leveres etter 2 timer. Det er da lov å benytte seg av hjelpemidler. Oppgavesettet er på totalt 12 oppgaver fordelt på 6 sider. Kontroller

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013 Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet

Detaljer

Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag

Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag Oppgave a) Oppgaven sier at Fredrik stoler på erfaringen sin med positive ele tall. Fredrik ar sannsynligvis sett at dersom an ar et elt tall k >, vil den oppgitte

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Løsning eksamen R1 høsten 2009

Løsning eksamen R1 høsten 2009 Løsning eksamen R høsten 009 Oppgave a) b) f( ) 5e 3 f ( ) 5 e (3 ) 5e 35e 3 3 3 3 ( ) ln( ) g 3 3 3 g( ) ln( ) ln( ) 3 ln( ) ( ) 3 3 ln( ) 3 ln( ) (3ln( ) ) c) La 3 f( ) 0 0. Da er 3 f () 0 0 0 0 0 Dermed

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir x, 5 2, eksamensoppgaver.org 5 a.ii) Vi har ulikheten og ordner den. 10 x 2

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

GeoGebra i R2. Grafer. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt polynomfunksjon f.

GeoGebra i R2. Grafer. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt polynomfunksjon f. 491 Grafer Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt polynomfunksjon f. Å tegne grafer med argumentet gitt i grader GeoGebra finner eventuelle topp-

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved a) b) f x x x ( ) 3 6 4 g x x x 3 ( ) 5ln( ) c) h( x) x x Oppgave (5 poeng) Polynomet P er gitt ved 3 P( x) x 7x 4x k a) Vis at P er

Detaljer

Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag

Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Eksamen Fag: AA6526 Matematikk 3MX Eksamensdato: 3. mai 2005 Vidaregåande kurs II /Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Privatistar / Privatister Oppgåva ligg

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 4. a Vi tegner grafene til y = og y = + 3 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ).

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi inn for = 00

Detaljer

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER.

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER. TENTAMEN, VÅR 017. FASIT MED KOMMENTARER. DELPRØVE 1. OPPG 1 556 + 1555 = 111 3 85 = - (85 3) 85-3 6 3 85 = - 6 C: 30. 9 718 108 = 1798 D: 68 : 3 = 16 6 3 18 18 OPPG 3 50 mm = 3,50 m 0, h = 0,. 60 = 1

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Prøve i R2. Innhold. Differensiallikninger. 29. november Oppgave Løsning a) b) c)...

Prøve i R2. Innhold. Differensiallikninger. 29. november Oppgave Løsning a) b) c)... Prøve i R2 Differensiallikninger 29. november 2010 Innhold 1 Oppgave 3 1.1 Løsning..................................... 3 1.1.1 a).................................... 3 1.1.2 b)....................................

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet e......................................

Detaljer

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Innledning... 3 Typeoppgave 1... 3 Oppgaven... 3 Fremgangsmåten... 4 Løsningen... 4

Detaljer