Eksempeloppgave REA3024 Matematikk R2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Transkript

1 Eksempeloppgave 014 REA04 Matematikk R Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin: Graftegner CAS Bokmål

2 Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn senest etter 5 timer. Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Del 1 har 1 oppgaver. Del har 6 oppgaver. Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling. Bruk av digitale verktøy som «graftegner» og «CAS» skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen. Veiledning om vurderingen: Poeng i Del 1 og Del er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger vurderer om svar er rimelige Andre opplysninger: Kilder for bilder, tegninger osv. Alle grafer og figurer (Utdanningsdirektoratet) Månefaser, ( ) Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side av 8

3 DEL 1: timer. 6 poeng Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) b) c) f( ) sin g ( ) e cos( ) 1 h ( ) Oppgave (4 poeng) Regn ut integralene a) e d b) 4e d c) d Oppgave ( poeng) Bestem den generelle løsningen for differensiallikningen y y 4 Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side av 8

4 Oppgave 4 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f( ) e, Df Nedenfor ser du grafen til f og grafen til den deriverte funksjonen f. f ( ), f ( ) f f Avgjør om påstandene A, B og C nedenfor er sanne. Begrunn svarene dine. A: B: 1 f( ) 0, f( ) 0 C: f( ) 0 f ( ) 0 Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 4 av 8

5 Oppgave 5 ( poeng) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved a) Bestem konvergensområdet for rekken. b) Bestem summen s ( ) av rekken. c) Vis at 1 s ( ) Oppgave 6 (4 poeng) En funksjon f er gitt ved f D 4 ( ), f a) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. b) Bestem eventuelle infleksjonspunkter til f. c) Lag en skisse av grafen til f. Oppgave 7 ( poeng) Løs likningen 1 sin cos 0, 0, 60 Oppgave 8 ( poeng) En funksjon f er gitt ved n f( ), D f Bruk induksjon og derivasjonsregel for produkt til å bevise påstanden n1 P( n) : f ( ) n, n Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 5 av 8

6 Oppgave 9 ( poeng) Likningen for en kuleflate er gitt ved y z y z Bestem ved regning sentrum og radius i kulen. Oppgave 10 ( poeng) Funksjonene f og g er gitt ved y f f( ) 5, Df g( ), Dg Grafene til f og g skjærer hverandre i tre punkter. A A 1 g Grafene avgrenser to områder, med arealer A 1 og A. Vis ved regning at A1 A Oppgave 11 ( poeng) En funksjon f er gitt ved y f( ) r, Df r, r f Grafen til f dreies 60 om -aksen. Regn ut volumet av omdreiningslegemet som da framkommer. Hva oppdager du? r O r Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 6 av 8

7 Oppgave 1 ( poeng) Vektorene u 1,, 1 og v 1, 1, er gitt. a) Bestem ( uv, ). Et plan går gjennom punktet P (, 0, 1). Videre er u og v. b) Vis at n 1, 1, 1 er en normalvektor til planet. c) Bestem likningen til planet. Oppgave 1 ( poeng) Bestem alle eksakte løsninger til likningen cos sin, 0, Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 7 av 8

8 DEL : timer. 4 poeng Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon Oppgave 1 (5 poeng) Tabellen nedenfor viser hvor stor del av månen som var synlig ved midnatt på noen utvalgte døgn på et bestemt sted i et bestemt år. Døgn nr. () Synlig del 0,5 0,18 0,11 0,06 0,0 0,00 0,11 0,57 0,99 1,00 Døgn nr. () Synlig del 0,80 0, 0,0 0,14 0,64 1,00 0,77 0,1 0,01 0,00 a) Lag en sinus-funksjon f som gir en god modell for dataene ovenfor. Bestem perioden, amplituden og likevektslinjen. b) Bruk graftegner til å bestemme i hvilke døgn det er halvmåne i denne perioden. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 8 av 8

9 Oppgave (4 poeng) En rett linje går gjennom punktene A(0, R ) og B( h, r ). Se figur 1. En rett, avkortet kjegle framkommer ved å rotere linjestykket AB 60 om -aksen. Se figur. A(0, R) O B( h, r ) r Figur 1 Figur a) Vis at linjen gjennom A og B har likningen r R y R h b) Bruk CAS til å vise at volumet V av den rett avkortede kjeglen er h V R Rr r ( ) c) Forklar kort hvilket omdreiningslegeme vi får dersom r 0 og dersom r R. Oppgave (4 poeng) Hvis en person blir liggende i vann med temperatur på 0C, kan endringen i kroppstemperaturen K C under visse betingelser kunne beskrives med følgende differensiallikning K ( t) 0,01 K( t ) der t er målt i minutter. En person faller i vannet, og vi antar at kroppstemperaturen synker etter modellen ovenfor. a) Bestem hvor lang tid det tar for kroppstemperaturen å synke fra 7 C til 5 C (5C antatt grense for å overleve). er b) Bestem hvor fort kroppstemperaturen endrer seg 0 min etter at personen faller i vannet. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 9 av 8

10 Oppgave 4 (4 poeng) I et kvadrat med side 1 er det innskrevet et annet kvadrat med hjørner midt på sidene i det første kvadratet. I det andre kvadratet er det innskrevet et tredje kvadrat med hjørner midt på sidene i det andre kvadratet. Slik fortsetter det i en uendelig prosess. Se figur 1 nedenfor. Vi lar A1, A, A, være en følge av arealer av rettvinklede trekanter. Disse danner en blå «spiral». Se figur nedenfor. A A 1 A A 4 Figur 1 Figur a) Vis at arealene A1, A, A, danner en uendelig, geometrisk og konvergent tallfølge. b) Bestem summen av rekken A1 A A på to måter: ved hjelp av relevante formler ved et geometrisk resonnement. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 10 av 8

11 Oppgave 5 (4 poeng) Thomas står i et punkt A på kanten av et sirkelformet svømmebasseng med diameter AB 40 m. Thomas vil komme seg raskest mulig over til punkt B. Thomas kan løpe med farten k m/s og svømme med farten k m/s. Et punkt C på bassengkanten er gitt ved at AOC der 0,. I punktet A er 0. I punktet B er. BOM der M er midtpunktet på BC. Se skissen nedenfor. C M B 0 m O 0 m A a) Vis at tiden som Thomas bruker for å løpe fra A til C og deretter svømme fra C til B kan beskrives av funksjonen T gitt ved 40 sin 10 T( ), DT 0, k k, k b) Bruk blant annet T( ) til å avgjøre hvordan Thomas på raskest mulig måte kan komme seg fra A til B. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 11 av 8

12 Oppgave 6 ( poeng) En funksjon f er gitt ved f( ) a b c, D f Et område er avgrenset av grafen til f og en rett linje. Skjæringspunktene mellom grafen til f og den rette linjen har -koordinater p og q. Se skissen nedenfor. y f p q Bruk CAS til å vise at arealet som er begrenset av grafen til f og den rette linjen bare er avhengig av differansen p q og a (eller differansen q p og a). Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 1 av 8

13 Læreplandekning for eksempeloppgaven i R 1 Hovedområder og kompetansemål Del 1 Del Geometri utføre beregninger med tredimensjonale vektorer som er representert både geometrisk og på koordinatform bruke og tolke skalar- og vektorproduktet i beregning av avstander, vinkler, areal og volum bruke vektorregning til å finne liknings- og parameterframstillinger til linjer, plan og kuleflater beregne lengder, vinkler og arealer i legemer avgrenset av plan og kuleflater Algebra finne og analysere rekursive og eksplisitte formler for tallmønstre med og uten digitale hjelpemidler, og gjennomføre og presentere enkle bevis knyttet til disse formlene gjennomføre og gjøre rede for induksjonsbevis 8 summere endelige rekker med og uten digitale hjelpemidler, utlede og bruke formlene for summen av de n første leddene i aritmetiske og geometriske rekker, og bruke dette til å løse praktiske problemer regne med uendelige geometriske rekker med konstante og variable kvotienter, bestemme konvergensområdet for disse rekkene og presentere resultatene Funksjoner forenkle og løse lineære og kvadratiske likninger i trigonometriske uttrykk ved å bruke sammenhenger mellom de trigonometriske funksjonene derivere sentrale funksjoner og bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte slike funksjoner omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin k + b cos k, og bruke dem til å modellere periodiske fenomener gjøre rede for definisjonen av bestemt integral som grense for en sum og ubestemt integral som antiderivert beregne integraler av de sentrale funksjonene ved antiderivasjon og ved hjelp av variabelskifte, ved delbrøkoppspalting med lineære nevnere og ved delvis integrasjon tolke det bestemte integralet i modeller av praktiske situasjoner og bruke det til å beregne arealer av plane områder og volumer av omdreiningslegemer formulere en matematisk modell ved hjelp av sentrale funksjoner på grunnlag av observerte data, bearbeide modellen og drøfte resultat og framgangsmåte Differensiallikninger modellere praktiske situasjoner ved å omforme problemstillingen til en differensiallikning, løse den og tolke resultatet løse lineære første ordens og separable differensiallikninger ved regning og gjøre rede for noen viktige bruksområder løse andre ordens homogene differensiallikninger og bruke Newtons andre lov til å beskrive frie svingninger ved periodiske funksjoner løse differensiallikninger og tegne retningsdiagrammer og integralkurver, og tolke dem ved å bruke digitale hjelpemidler , 1 1, 4, 6 5, 11 10, 11 6, 1,, 5 1 Læreplan programfag matematikk R, ( ) Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 1 av 8

14 Løsningsforslag Del 1 (6 poeng) NB! Eksamenskandidatene skal ikke ha tilgang til datamaskin under Del 1 av eksamen. Løsningsforslaget for Del 1 er utarbeidet med det formål å vise eksempler på hvordan oppgavene kan løses, om framgangsmåter, føring mv. Oppgave 1 (1+1+ poeng) a) b) f ( ) ( sin ) sin cos (sin cos ) g( ) (e ) e ( sin( )) sin( ) e cos( ) cos( ) cos( ) c) 1 ( ) ( 1) h( ) ( ) 4( 1) 4( 1) ( 1) Oppgave (1+1+ poeng) a) Delvis integrasjon: u, v e uvd uv uv d e 1 e d e e C e ( 1) C b) Variabelskifte: u du d d u u u u 4e d 4e e du e C e C c) Delbrøkoppspalting: 0 1 ( )( 1) A B ( )( 1) 1 A( 1) B( ) A A 1 ( 1) B ( ) B d d d ln ln 1 C 1 Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 14 av 8

15 Oppgave ( poeng) y y 4 Integrerende faktor: e e d ye e y 4 e ( ye ) 4e y e 4 e d ye e C (jf. oppgave b) ovenfor) C y e Oppgave 4 ( poeng) Jf. grafen til f og grafen til f. A: Grafen til f viser at f ( ) 0 når 0. Ekvivalensen er usann. B: f( ) 0 også når 0. Ekvivalensen er usann. C: Dersom f( ) 0, minker f ( ). Dette kan skje både når f( ) 0 og når f( ) 0. Implikasjonen er usann. Oppgave 5 (1+1+1 poeng) Geometrisk rekke der a1 1 med kvotient a) Rekken er konvergent når 1 k 1 1 k Konvergensområde:,. k a1 1 b) s ( ) 1k 1 c) 1 1 s( ). 1, s( ) Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 15 av 8

16 Oppgave 6 (+1+1 poeng) a) f ( ) ( 1) 4 ( 1)( 1) f ( ) Toppunkt: (0, f(0)) (0, ) Bunnpunkter: ( 1, f( 1)) ( 1, 1) og (1, f(1)) (1, 1) b) f ( ) 1 4 4( 1) f ( ) f ( ) 0 0 Infleksjonspunktene til f er 1, det vil si c) Skisse av grafen til f: y f Kommentar: I en skisse av grafen er det formen på grafen som er viktig. Navn og skala på koordinatakser må være med. Navn på graf bør være med, Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 16 av 8

17 Oppgave 7 ( poeng) 1 1 sin cos 0 sin 0 cos 0 1 sin cos Kommentar: Husk at 0, 60. Oppgave 8 ( poeng) n1 P( n) : f ( ) n, n n 1 gir at f( ) 1. Sjekker 0 P(1) : f( ) 1 1. P (1) stemmer fordi 1.. Setter n k. Vi må vise at P( k) P( k 1), dvs. k k1 k1 k ( ) k ( ) ( k 1) k1 k ( ) ( ) k k ( ) (derivasjon av produkt) k ( ) k1 k k P k k k k ( k1) k k (bruker ( )) Påstanden Pn ( ) er da sann n. Oppgave 9 ( poeng) y z y z y y 1 z 8z (fullstendige kvadraters metode) ( ) ( y 1) ( z 4) 5 Sentrum i kulen: S(, 1, 4) Radius i kulen: r 5 Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 17 av 8

18 Oppgave 10 ( poeng) -verdier i skjæringspunkter til grafene: f g ( ) ( ) 5 ( 4) A1 ( f( ) g( ))d ( 8 )d 4 0 ( ) 4( ) A ( g( ) f( ))d ( 8 )d 4 ( ) 4( ) Utregningene viser at A1 A. Oppgave 11 ( poeng) r r r V ( f( )) d ( r )d r r r r r r r r Omdreiningslegemet er en kule med radius r. Vi har funnet den vanlige volumformelen for en kule. Volumet av en kule med radius r kan altså regnes ut ved integralet r r ( r )d. r Oppgave 1 (1+1+1 poeng) a) La ( uv, ). uv 1 ( 1) 1 ( 1) ( ) 1 cos 60 u v b) Normalvektor til : n uv,,,, 1, 1, Dermed er 1, 1, 1. c) Likning for planet : a( ) b( y y ) c( z z ) ( ) 1( y 0) 1( z 1) 0 y z 1 0 : y z 1 0 a, b, c 1, 1, 1, P( 0, y0, z0) P(, 0, 1) Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 18 av 8

19 Oppgave 1 ( poeng) cos sin, 0, 1 sin sin 4 sin sin 4 sin 4 5 Kommentar: Husk at 0,. Alternativt løsningsforslag. Oppgave 1: cos sin, 0, cos sin (sin cos ) sin tan cos tan 4 5 Alternativt løsningsforslag. Oppgave 1: cos sin, 0, cos (1 cos ) 4 cos 1 1 cos 4 1 cos 4 5 Kommentar: Husk at 0,. Vi forutsetter at elevene kan utenat de mest kjente, eksakte trigonometriske verdiene. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 19 av 8

20 Løsningsforslag Del (4 poeng) NB! Alle hjelpemidler er tillatt under Del av eksamen. Internett og alle former for kommunikasjon er ikke tillatt. Eksamenskandidatene må ha tilgang til datamaskin med en graftegner og CAS som installert programvare. Det kan også være nyttig med en formeleditor, men dette er ikke et krav. Det som er gjort i graftegneren og CAS må dokumenteres enten med utskrift eller gjennom IKT-basert eksamen. Det kan da være hensiktsmessig å bruke «skjermdump» (Print Screen). Oppgave 1 (+ poeng) a) Kommandoren SinReg på GeoGebra gir: f( ) d asin( k ) 0,48 0,49sin(0,1,9) Periode: p 9,6 døgn k 0,1 Amplitude: a 0,49 Likevektslinje: y d 0,48 Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 0 av 8

21 Oppgave 1 fortsatt b) Grafen til f( ) 0,48 0,49sin(0,1,9) : Skjæring mellom grafen til f og linjen g ( ) 0,5 gir halvmåne i døgn nr. 14, 8, 44 og 58. Kommentar: Tegner vi grafen til f med fire desimaler får vi halvmåne i døgn 1, 8, 4 og 58. Begge varianter godtas på lik linje. Her kreves en nøyaktig tegning av grafen. Skala og navn på koordinataksene skal være med. Navn på grafene til f og g (gjerne hele funksjonsuttrykket som er tastet inn) bør være med. Graftegner på datamaskin skal brukes i denne oppgaven. Graftegning for hånd gir lav/noe uttelling. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 1 av 8

22 Oppgave (+ poeng) a) Den rette linjen har likningen y a b. Skjæring med y-aksen: b R. Stigningstall: a r R r R h 0 h Dermed er likningen for den rette linjen r R y R h b) Bruker CAS til å bestemme volumet av den rett, avkortede kjeglen: Kommentar: I denne oppgaven skal kandidaten bruke CAS. Hvis ikke, oppnås lav / noe uttelling ved sensuren. c) Hvis r 0, går linjen gjennom A(0, R ) og Bh (, 0). Omdreiningslegeme: Rett kjegle. Hvis r R, går linjen gjennom A(0, R ) og B( h, R ). Omdreiningslegeme: Rett sylinder. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side av 8

23 Oppgave (+ poeng) a) y( t) 0,01 y( t) Vi antar at y (0) 7. Det tar ca. min for kroppstemperaturen å synke fra 7 C til 5 C. b) Etter 0 min synker kroppstemperaturen med ca. 0,5 C per minutt. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side av 8

24 Oppgave 4 (+ poeng) a) Symmetrien i kvadratene gir at A1, A, A,,,, Denne tallfølgen er uendelig, geometrisk ( k ) og konvergent siden 1 k a1 1 b) Summen av rekken: s k (av stort kvadrat med areal 1) Geometrisk resonnement: Av figuren finnes det fire «spiraler» bestående av rettvinklede trekanter. Se nedenfor. Dermed må den ene spiralen utgjøre 1 4 av stort kvadrat med areal 1. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 4 av 8

25 Oppgave 5 (+ poeng) a) I sirkelsektoren AOC er buelengde AC r 0 BM Avstanden BC: sin BM 0 sin BC 40 sin BO 0 10 Tidsbruk for Thomas ved å løpe langs buen AC: T1 ( ) k k Tidsbruk for Thomas ved å svømme fra C til B: T ( ) 40 sin k Den samlede tidsbruken T( ) T1( ) T( ) for Thomas er dermed vist. Alternativt løsningsforslag oppgave 5 a): Dersom kandidaten bruker periferivinkelen OBC og får videre med dette uttrykket, godtas naturligvis dette. 40cos 10 T( ) og regner k k b) Lokalt ekstremalpunkt er : Vi sjekker endepunktene. Siden T( ) T(0) T, bruker Thomas minst tid når. Det er raskest for Thomas å løpe hele veien fra A til B langs bassengkanten. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 5 av 8

26 Oppgave 6 ( poeng) Vi bestemmer først likningen for den rette linjen mellom p og q. Deretter finner vi bestemte integralet mellom den rette linjen og grafen til f mellom p og q. Arealet mellom grafene er kun avhengig av differansen p q og a. Kommentar: Dersom kandidaten får svaret 1 ( ) 6 a q p godtas dette. I denne oppgaven skal kandidaten bruke CAS. Hvis ikke, oppnås lav / noe uttelling ved sensuren. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 6 av 8

27 Oppgave 6 fortsatt Alternativ løsningsforslag oppgave 6: A1: Arealet under den rette linjen mellom p og q er arealet av et trapes. A: Areal under grafen til f mellom p og q Det søkte areal blir da A = A1 A. En slik løsning godtas naturligvis på lik linje som løsningen ovenfor: Arealet mellom grafene er kun avhengig av differansen p q og a. Kommentar: Kompleksiteten i oppgaver som krever bruk av CAS kan variere. Når CAS kreves, vil vi ha en algebraisk løsning på et problem. Noen oppgaver kan prøve om kandidaten er i stand til å bruke CAS for eksempel til å løse en likning. I andre oppgaver må kandidaten selv sette opp en likning/likningssett eller bruke og kombinere matematiske setninger/metoder og deretter bruke CAS. Noen oppgaver kan være svært arbeidskrevde uten bruk av CAS. I dette tilfellet vil bruk av CAS være svært tids- og arbeidsbesparende. I andre oppgaver kan det være vanskelig å komme fram til et svar uten bruk av CAS. Eksempeloppgave REA04 Matematikk R Ny eksamensordning våren 015 Side 7 av 8

28 Schweigaards gate 15 Postboks 959 Grønland 015 OSLO Telefon