Eksamen R2, Våren 2015, løsning

Transkript

1 Eksamen R, Våren 05, løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f () =- 3cos f =- 3 - sin = 3sin ( ) ( ) b) g () = sin Vi bruker kjerneregelen på Vi får da ( ) = cos g ( ) = sincos = sin( ) h u u u sin og setter ( ) = og = sin hu u u 3 - c) h () = e uv = u v+ uv u= og v= e - 3 Vi bruker produktregelen for derivasjon ( ) der h ( ) = 3 e + e (- ) = 3 e - e = e ( 3- ) Oppgave (5 poeng) Regn ut integralene a) ( + -3)d ò 3 ò ( ) é ù æ8 ö æ ö d= ê + - 3ú = ç ç = ë 3 û è3 ø è3 ø 3 Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side av 7

2 3 b) ò d -- Vi bruker delbrøkoppspalting. - + og kan da skrive Vi kan faktorisere nevneren til ( )( ) ò 3 æ A B ö d = ç + d - - òè - + ø 3 d = A d + B d ò ò ò Vi finner koeffisientene A og B 4 B = A( + ) B( -) = ( )( ) 3 A + A + B -B = ( )( ) ( A+ B) + ( A-B) ( )( ) = A+ B= 3 Ù A- B= 0 B= 3-A Ù A= B B= 3-B Ù A= B B= Ù A= ( )( ) Vi setter A og B inn i det opprinnelige integralet og får 3 # -- d = A - d + B + d = - d + + d = ln - + ln + + C ò c) lnd Vi bruker delvis integrasjon. æ ö ln d= ln- d= ln- d= ln- + C = ç ln- + C è ø ò ò ò Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side av 7

3 Oppgave 3 (4 poeng) a) Bruk en integrasjonsmetode til å vise at ò e d= e + C Vi bruker metoden med variabelskifte du du Vi setter u= som gir = dermed er d = d u u du u u òe d= òe d = òe = e du = e+ C= e + C ò b) Løs differensiallikningen y + y = 4, y (0) = 8 Likningen ovenfor kan skrives som en lineær, førsteordens differensiallikning på formen y + p y= q ( ) ( ). Vi velger å bruke metoden med integrerende faktor for å løse likningen. Den integrerende faktor er gitt ved p ( ) e ò. I dette tilfellet blir integrerende faktor e y + y= 4 e e y + e y= 4 e ( ) e y = 4 e ò e y = 4 e d e y= 4 e + C e - y= + C e - Gitt y ( 0) = 8 8= + C e C = 8- C = 6-0 Dermed er y= + 6e - Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 3 av 7

4 Oppgave 4 (3 poeng) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved S () = !, ¹ 0 3 a) Bestem konvergensområdet til rekken. Rekken har kvotienten k = og konvergerer når - < k <. Ved å betrakte brøken ser vi at den vil ligge i området - < < når <- Ú > Konvergensområdet til rekken er,- È, b) Bestem slik at S= () 4 a Sumformelen for uendelig geometrisk rekke er gitt ved S = - k a Vi får da S( ) = = = -k - - S = ( ) 4 = 4 - = =-4 = Vi ser at = er med i konvergensområdet til rekken, og er dermed en løsning av likningen S( ) = 4. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 4 av 7

5 Oppgave 5 (6 poeng) Punktene A(3, 0, 0), B (0, 4, 0) og C (0, 0, ) er gitt.!!"!!!" a) Bestem AB AC. Bestem arealet av! ABC!!"!!!" AB =- [ 3, 4, 0] AC =- [ 3, 0,]!!! e ey ez ""! """! AB AC = = é ë( ),-((- 3) - 0 (- 3) ) + (- 3) 0-4 (- 3) ù û = 4,3, -3 0!!"!!!" Arealet F D av ABC! ABC FD ABC = AB AC 3 F! ABC = [ 4,3,] = = = 69 = 3= ( ) [ ] b) Punktene A, B og C ligger i et plan a. Bestem likningen for planet a. Vi setter punktet C og normalvektoren inn i likningen for et plan og finner likningen for planet a. ( ) ( y ) ( z ) = y+ z- = 0 En partikkel starter i origo O(0, 0, 0).!!" é t t ù OP = êt,, - ú ë 3 4 û, t ³ 0 Etter tiden t er partikkelen i et punkt P gitt ved c) Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet a? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer a. Punktet P har koordinatene ligger i planet a. t æ t ö 4t ç - - = 0 3 è 4ø Det er bare t = 3 Dermed er 4t+ t -3t- = 0 t!!" + t- = 0 æ t t ö Pç t,, -. Vi finner for hvilken t - verdi punktet P è 3 4ø - ± - - t = t =-4 Ú t = 3 ( ) 4 som er med i definisjonsmengden. 3 ê3,, ú. Partikkelen treffer i punktet P æ ç 3, 3, - ö ë 3 4û è 4 ø 3 OP = é - 3ù Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 5 av 7

6 Oppgave 6 ( poeng) En tallfølge { a n} er gitt ved at a =- og a = n a + + n n - Bruk induksjon til å bevise at nn ( -3) an =, nî Trinn, Induksjonsgrunnlaget Vi skal vise at formelen gjelder for n =. Bevis Venstre side: - Høyre side: Formelen gjelder for n = ( ) -3 - a = = =- Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n= t. Det betyr at ( -3) t t at = Vi må vise at formelen gjelder for n= t+. Vi må altså vise at ( t+ ) (( t+ ) - 3) ( t+ )( t-) at + t- = = Bevis. Vi viser at venstre side i likningen ovenfor blir lik høyre side av likningen. ( - 3) ( - 3) ( - ) t - 3t+ t- t -t- ( + )( - ) tt tt t t t at + t- = + t- = + = = = Vi har dermed vist at formelen gjelder for n= t+ I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av nî Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 6 av 7

7 Oppgave 7 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f p p = - -, Î -, () 3 3cos( ) a) Bestem nullpunktene til f ved regning. p p f( ) = 0 Î -, ( ) ( ) ( ) 3-3cos - = 0-3cos - =-3 cos - = - = 0+ n p = - n p =± - n p p p Vi har at Î -,. Det betyr at likningen kun har løsning når n = 0. Nullpunktene til f er dermed ±. b) Bruk f () til å bestemme -verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til f. cos - og setter gu ( ) = cos uog u= - Vi bruker kjerneregelen på ( ) Vi får da gu ( ) u =- sinu (- ) ( 3 3cos ) 3( sin( )) ( ) 6 sin( ) ( ) ( ) f = - - = =- - Vi setter f ( ) 0 grafen til f. ( ) f = 0 = for å bestemme -verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter på ( ) ( ) -6sin - = 0-6= 0 Ú sin - = n = Ú - = + p 0 n = Ú = - p = 0 Ú =± - n p p p Vi har at Î -,. Det betyr at =± - n p kun har løsning når n = 0. Det betyr at f ( ) 0 = for = 0 Ú =±. Vi finner ut hvilke av disse - verdier som gir toppunkt eller bunnpunkt ved å sette inn verdier for i de ulike intervallene og ser på fortegnet til f. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 7 av 7

8 Vi ser at grafen til f har bunnpunkt for =± og toppunkt for = 0. c) Nedenfor er det tegnet tre grafer. Én av dem er grafen til f. Avgjør hvilken. Begrunn svaret. () () (3) Graf () har bunnpunkter for =± og toppunkt for = 0. Dette stemmer med det vi fant tidligere i denne oppgaven. Graf () har riktignok nullpunkter for =±, men ikke bunnpunkt for disse verdien av. Graf (3) har toppunkt for =± og bunnpunkt for = 0, men =± er ikke nullpunkter i dette tilfellet. Oppgave 8 (4 poeng) En trigonometrisk formel er gitt ved cos( u+ v) = cosu cosv- sinu sinv a) Bruk formelen til å bestemme et uttrykk for cos( ). ( ) = ( + ) = - = - cos cos cos cos sin sin cos sin 4 4 b) Skriv uttrykket cos - sin så enkelt som mulig. Vi bruker konjugatsetningen og sammenhengen cos + sin = ( ) ( ) ( )( ) 4 4 cos - sin = cos - sin = cos - sin cos + sin = cos = cos Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 8 av 7

9 Oppgave 9 ( poeng) Løs likningen + =, Î [ 0,p ] sin cos Vi omformer uttrykket til et rent sinusuttrykk ved å bruke sammenhengen b j = a asin+ bcos = Asin( c+ j) der A= a + b og tan I vår oppgave er a= b= c=. Vi har dermed A a b tanj = p j = + 4 n p = + = + = og j skal ligge i samme kvadrant som punktet ( a, b ) = (, ). Vi ser at og punktet (,) ligger i. kvadrant. [ p ] sin+ cos =, Î 0, æ p ö sinç + = è 4 ø æ p ö sinç + = è 4 ø p p p æ p ö + = + n p Ú + = ç p - + n p è 4 ø p = n p Ú = + n p Vi skulle finne løsninger av likningen for [ 0,p ] Vi får løsninger når n= 0 og n= ì p ü L = í0,,p ý î þ Î. p j = 4 Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 9 av 7

10 Oppgave (6 poeng) Roger planlegger en sykkeltur. Han regner med å kunne starte med farten 6 km/h. Etter hvert vil farten avta etter formelen vt () = 6-0,08 st () vt () og st () er begge funksjoner som er avhengige av tiden t målt i timer vt () er farten målt i kilometer per time st () er den tilbakelagte veilengden målt i kilometer a) Bestem farten etter 5 km. v = 6-0,08 5 = 6 Farten etter 5 km er 6 km/h. Formelen ovenfor kan vi skrive som differensiallikningen st () = 6-0,08 st () b) Bestem st () når s (0) = 0. Vi bruker CAS i GeoGebra og løser differensiallikningen. Vi får ( ) 0.08 t st =- 35e Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 0 av 7

11 c) Hvor langt sykler Roger den første timen? Hvor lang tid bruker han på 5 km? s og s t = 5 Vi definerer st ( ) i CAS og regner ut ( ) ( ) Vi finner at Roger sykler omtrent 5 km den første timen, se linje 4 ovenfor. Han bruker omtrent 6 timer og 4 minutter på 5 km, se linje 5 og 7 ovenfor. Oppgave (6 poeng) Hjørnene i en pyramide ABCP er A (0,0,0), B(,0, - ), C (,,0) og Pt (,t+, t + ), t Î!. a) Bestem et uttrykk for volumet Vt () av pyramiden. Volum av pyramiden er gitt ved V =!!"!!!"!!" AB AC AP. Vi bruker CAS. 6 ( )!!"!!!" AB = [, 0, - ], AC = [,, 0 ] og é ët, t +, t + ù û Vi finner ( ) t - t+ V t = t - t+ = Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side av 7

12 7 b) Bestem koordinatene til P slik at Vt () =. Vi bruker CAS. Vi finner at det er to muligheter for punktet P. Koordinatene for disse to punktene er regnet ut i linje 5 og 6 ovenfor. c) Bestem koordinatene til P slik at volumet Vt () blir minst mulig. Vi bruker CAS og finner V ( t) = 0. I linje 7 ser vi at V har et ekstremalpunkt for t =. Uttrykket for volumet V( t ) er et andregradsuttrykk med positiv koeffisient foran andregradsleddet. Det betyr at vi har et bunnpunkt. Volumet blir minst mulig når P har koordinatene æ 9ö ç,,. è 4ø Kommentar: Vi kunne også tegnet grafen til V( t) denne oppgaven. og brukt denne til å finne svaret på Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side av 7

13 Oppgave 3 (6 poeng) London Eye er et pariserhjul med diameter lik 35 m. En runde tar 30 min. Passasjerene går ombord i pariserhjulet fra en plattform som ligger m over bakkenivå. Etter t min fra ombordstigning er en passasjer ht () m over bakkenivå. Det kan vises at æ p ö ht ( ) =- 67,5cosç t + 69,5 è5 ø a) Bruk graftegner til å tegne grafen til h for tî [ 0,30]. Bestem grafisk når passasjeren er 50 m over bakkenivå. Bruker kommandoen «Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]» i GeoGebra og tegner grafen i oppgitt intervall. Vi legger inn linjen y = 50 i samme koordinatsystem som grafen til h. Ved å bruke verktøyet «skjæring mellom to objekt» finner vi skjæringspunktene A og B, se graf. Vi finner at passasjeren er 50 meter over bakken etter 6 minutt og 6 sekund og etter 3 minutter og 56 sekund. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 3 av 7

14 b) Bestem vendepunktene på grafen til h. Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av h (7,5) og h (,5) gir. Vi får vendepunkt der funksjonen krysser likevektslinjen. I vårt tilfelle får vi 7.5, 69.5 og.5, 69.5, se punkt C og D nedenfor. vendepunktene ( ) ( ) Vi kunne også finner vendepunktene til h ved å løse likningen h ( t) = 0. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra vil vi kun få løsning t = 7,5 ved å bruke kommandoen «løs numerisk». Vi må da se at grafen til h har perioden t = 30. Det betyr at vi får vendepunkt ved t= 7,5+ n 5. h ( 7,5) og h (,5) viser den største endringshastigheten til pariserhjulet. Etter h ( 7,5) er hastigheten 4,4 meter/minutt oppover og etter (,5) hastigheten 4,4 meter/minuttet nedover. h er Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 4 av 7

15 Oppgave 4 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved = + +, D f =! f () a b Tangentene i punktene Qs (, fs ()) og Rt (, ft ()) skjærer hverandre i et punkt P. Se skisse. a) Vis at likningene for de to tangentene er Skisse g () ( a ) s b s = og h () = ( a+ ) t+ b- t Vi bruker CAS og definerer f i linje. Videre bruker vi kommandoen «Tangent[<Punkt>, <Funksjon>]» og finner likningen for tangentene i linje og 3. Ved å omforme litt på likningene får vi ( ) ( ) og ( ) ( ) g = a+ s + b- s h = a+ t + b- t b) Bruk CAS til å vise at -koordinaten til punktet P er gitt ved p s+ t = g Vi finner skjæringspunktet mellom tangentene ved å løse likningen ( ) = h( ) Vi finner at s+ t P = s+ t= Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 5 av 7

16 Den vertikale linjen = deler området p mellom grafen og tangentene i to områder. y Se skisse. c) Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av a og b. P Skisse Vi bruker kommandoen «IntegralMellom[<Funksjon>, <Funksjon>, <Start>, <Slutt>]» og finner arealene av de to områdene. Vi ser at uttrykkene i linje 6 og 8 ovenfor er like og uavhengig av parameterne a og b. Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 6 av 7

17 Bildeliste Bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA304 Matematikk R våren 05 Side 7 av 7