Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Transkript

1 Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til punktet A er 125, og andrekoordinaten er 10. Koordinatene til punktet A er altså ( 125,10). B har koordinatene ( 0, 12, 5). C har koordinatene ( 125, 10). D har koordinatene ( 125, 17, 5). E har koordinatene ( 150, 10) Aschehoug Side 1 av 28

2 3.4 a Punktene som har 2 til førstekoordinat, ligger på en linje gjennom x = 2 som er parallell med y-aksen. b Punktene som har 4 til andrekoordinat, ligger på en linje gjennom y = 4 som er parallell med x-aksen. c Punktene som har 0 til førstekoordinat, ligger på y-aksen. d Punktene som har 0 til andrekoordinat, ligger på x-aksen. 3.5 a Toppunktet har koordinatene (7,1, 3,9). b Bunnpunktet har koordinatene (3, 1). c Grafen skjærer førsteaksen i punktene ( 1, 0) og (5, 0). Nullpunktene for funksjonen er altså 1 og a Vi leser av verdien for y når x = 8, og ser at y = 500. Den 8. april var det 500 passeringer gjennom bomstasjonen. b Av figuren ser vi at toppunktet på grafen er 12. april. Antallet passeringer var 600. c Av figuren ser vi at bunnpunktet på grafen er 3. april. Antallet passeringer var 350. d Vi ser at y = 500 når x = 8, x = 16, x = 23 og x = 27. Det var akkurat 500 passeringer 8., 16., 23. og 27. april. (12, 600). Det var altså flest passeringer (3, 350). Det var altså færrest passeringer e Det var minst 500 passeringer gjennom bomstasjonen fra og med 8. april til og med 16. april, og fra og med 23. april til og med 27. april. f Hver verdi av x gir én bestemt verdi for y. Kurven er derfor grafen til en funksjon. 3.7 a y = x + 3 x y Aschehoug Side 2 av 28

3 b y = 2x 3 x y Aschehoug Side 3 av 28

4 c y = 2x 3 x y Aschehoug Side 4 av 28

5 d y = 1, 5x+ 3, 5 x y e Vi ser av grafene hvor mye y øker eller minker når x øker med 1. a y øker med 1. b y øker med 2. c y minker med 2. d y øker med 1, a y = 5x+ 20 x y Aschehoug Side 5 av 28

6 b y = 10x+ 50 x y a y = 2,5x+ 0,5 x y 0,5 10,5 20,5 30,5 Aschehoug Side 6 av 28

7 b y = 3x 2 x y c y = 4,5x+ 20 x y 25 2, ,5 65 Aschehoug Side 7 av 28

8 d y = 50x+ 200 x y Løsninger til innlæringsoppgavene e y = 7, 4x+ 25,5 x y 48,5 11,5 25,5 62,5 99, a Konstantleddet viser hvor linja skjærer y-aksen. Her er konstantleddet 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). b Stigningstallet er tallet foran x i formelen for y. Altså er stigningstallet 3. c Stigningstallet viser hvor mye y øker når x øker med 1. Når x øker fra 2 til 3, øker derfor y med 3. d Når x øker fra 4 til 5, øker y med 3. Når x øker fra 5 til 6, øker også y med 3. Altså øker y med 6 når x øker fra 4 til 6. Aschehoug Side 8 av 28

9 3.11 a Linjene y = 3x+ 1 og y = 3x 1 har forskjellige konstantledd, nemlig 1 og 1. Linjene skjærer derfor ikke andreaksen i det samme punktet. b Vi ser at linjene er parallelle, fordi stigningstallet er det samme a Linja skjærer y-aksen for y = 3. Konstantleddet b er derfor 3. b Av figuren ser vi at y øker med 2 når x øker med 1. Stigningstallet a er derfor 2. c Likningen for linja er y = ax + b, altså y = 2x + 3. Aschehoug Side 9 av 28

10 3.13 a Stigningstallet er 1. Konstantleddet er 2, som betyr at linja skjærer y-aksen for y = 2. Vi bruker dette til å tegne linja. b Linja går gjennom punktet (0, 3), som betyr at konstantleddet er 3. Stigningstallet er 3. Vi bruker dette til å tegne linja a Konstantleddet b viser hvor grafen skjærer andreaksen. Av tabellen ser vi at grafen går gjennom punktet (0, 4). Konstantleddet er derfor 4. b Vi ser at y øker med 4 når x øker med 1. Stigningstallet a er derfor 4. c Likningen for funksjonen er y = ax+ b, altså y = 4x a Linja skjærer andreaksen for y = 2. Konstantleddet er derfor b = 2. Når x øker fra 0 til 2, minker y fra 2 til 0. Stigningstallet er derfor økning i y a = = = = 1 økning i x Likningen for linja er y = x + 2. Aschehoug Side 10 av 28

11 b Linja skjærer andreaksen for y = 3. Konstantleddet er derfor b = 3. Når x øker fra 0 til 1, minker y fra 3 til 1. Stigningstallet er derfor økning i y a = = = = 2 økning i x Likningen for linja er y = 2x a Funksjonene 1, 3 og 4 har positive stigningstall. Disse funksjonene har derfor grafer som stiger mot høyre. b Funksjonene 1 og 4 har samme stigningstall. Disse funksjonene har derfor parallelle grafer. c Funksjonene 3 og 4 har samme konstantledd, som betyr at de skjærer y-aksen i samme punkt a b c d y = 2x 2 Stigningstallet er nummer 3. 2, og grafen skjærer y-aksen for y = 2. Dette stemmer med graf y = 2 Funksjonen er konstant, og grafen er derfor parallell med x-aksen. Grafen skjærer y-aksen for y = 2. Dette stemmer med graf nummer 2. y = x 3 Stigningstallet er 1, og grafen skjærer y-aksen for nummer 1. y = 2x 2 Stigningstallet er 2, og grafen skjærer y-aksen for nummer 4. y = 3. Dette stemmer med graf y = 2. Dette stemmer med graf 3.18 a Aschehoug Side 11 av 28

12 Når x øker fra 5 til 10, øker y fra 250 til 350. økning i y Stigningstallet = = = = 20 økning i x b Når x øker fra 0 til 5, avtar y fra 300 til 50. økning i y Stigningstallet = = = = 50 økning i x c 1 Stigningstallet er 20. Linja skjærer y-aksen for y = 150, som betyr at konstantleddet er 150. Likningen for linja er derfor y = 20x Stigningstallet er 50. Linja skjærer y-aksen for y = 300, som betyr at konstantleddet er 300. Likningen for linja er derfor y = 50x a f ( x) = 2x+ 5 f ( 4) = 2 ( 4) + 5= 8+ 5= 3 f (0) = = 0+ 5= 5 f = 2 + = + = b 3 f( x) = 2x f ( 4) = 2 ( 4) = 8 = f (0) = 2 0 = 0 = f = 2 4 = 4 = 15 4 Aschehoug Side 12 av 28

13 3.20 a Av figuren ser vi at f ( 0,5) = 2,5 f (2) = 0 f (3) = 1 b Av figuren ser vi at f( x ) = 1,5 når x = 0,5. c Grafen går gjennom punktene ( 0, 2) og ( 2, 0). Stigningstallet er derfor y2 y a = = = = 1 x x d Grafen skjærer y-aksen for y = 2, som betyr at konstantleddet er b = 2. Funksjonsuttrykket for f er derfor f( x) = x a ,90 10 = 51 Det er 51 liter igjen på tanken etter at han har kjørt 10 mil ,90 20 = 42 Det er 42 liter igjen på tanken etter at han har kjørt 20 mil ,90 30 = 33 Det er 33 liter igjen på tanken etter at han har kjørt 30 mil. b Etter at Lars har kjørt x mil, er antall liter på tanken 60 0,90 x. Altså er V( x) = 60 0,90x. c Vekstfarten er 0,90 liter/mil. d Lars kan kjøre helt til tanken er tom. Vi løser derfor likningen V( x ) = ,90x = 0 0,90x = x = = 66,7 0,90 Lars kan kjøre litt mindre enn 67 mil før han må fylle bensin. Vi kan også finne svaret ved å tegne grafen til V( x ), og løse likningen V( x ) = 0 grafisk. Aschehoug Side 13 av 28

14 Vi ser at grafen skjærer x-aksen for x = 66, a Konstantleddet står for startprisen for en samtale a b Stigningstallet er prisen per minutt for samtalen. c Funksjonen er på formen ax + b. Derfor er prisen et eksempel på lineær vekst. d Vi løser likningen Px ( ) = 10. 0,49 + 1,40x = 10 1, 40x = 9,51 9,51 x = = 6,793 1, 40 0, = 47, 58 Samtalen kan være inntil 6 minutter og 47 sekunder når prisen ikke skal bli større enn 10 kr. Vi ser at punktene ligger på en rett linje. Det er derfor rimelig å anta at promillen i blodet følger en lineær modell. b Av figuren i oppgave a ser vi at linja skjærer y-aksen for y = 1, 40. Promillen var altså 1,40 da mannen sluttet å drikke. c Konstantleddet er 1,40. Når t øker fra 2 til 3, avtar promillen fra 1,10 til 0,95. Stigningstallet er altså 0,15. Dermed er uttrykket for promillen gitt ved Pt ( ) = 1,40 0,15t Aschehoug Side 14 av 28

15 d Vekstfarten er 0,15 per time. e Vi løser likningen Pt ( ) = 0,2. 1, 40 0,15t = 0,2 0,15t = 1, 20 1, 20 t = = 8 0,15 Promillen er 0,2 etter 8 timer. (Vi kan også løse oppgaven grafisk. Av figuren i oppgave a ser vi at t = 8.) Pt ( ) = 0,2 når 3.24 a De faste utgiftene er på kr. I tillegg koster det 1,80 kr per kilometer. Når Andreas kjører x kilometer, blir dermed de samlede utgiftene (i kroner) K( x) = ,80x. b 1 Vi leser av K (15 000) fra grafen og finner at K (15 000) = Totalprisen når Andreas kjører km, er kr. 2 Vi leser av K (25 000) fra grafen og finner at K (25 000) = Totalprisen når Andreas kjører km, er kr. Aschehoug Side 15 av 28

16 c Av figuren ser vi at K( x ) = når x = Andreas kan kjøre inntil km i løpet av et år hvis de samlede kostnadene ikke skal overstige kr. Ved regning: K( x ) = ,80x = ,80x = x = = , a Grunnleien er 500 kr. I tillegg koster det 4,50 kr per km. Med x km blir derfor totalprisen i kr F( x) = ,50x b Aschehoug Side 16 av 28

17 c Vi leser av F (300) fra grafen og finner at F (300) = Totalprisen når du kjører 300 km er 1850 kr. d Av figuren ser vi at F( x ) = 2500 når x = 444. Du kan kjøre 444 km for 2500 kr a Totalprisen i kr for en måned med Spar-abonnementet er , 60x når samtaletiden er x minutter. Tilsvarende er totalprisen for Spesial-abonnementet , 49x Kirsten må derfor løse likningen , 60x = , 49x for å finne ut når abonnementene er like dyre. Hvis samtaletiden er lengre enn dette, vil det lønne seg å bytte til Spesial-abonnementet, siden Spesial-abonnementet har lavest minuttpris. Aschehoug Side 17 av 28

18 b Vi tegner grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. Løsninger til innlæringsoppgavene Av figuren ser vi at de to abonnementene er like dyre når samtaletiden er 71 minutter per måned. Hvis samtaletiden er kortere enn 71 minutter, lønner det seg å beholde Sparabonnementet. Hvis samtaletiden er lengre enn 71 minutter, lønner det seg å bytte til Spesial-abonnementet. Vi løser også likningen ved regning , 60x = , 49x 1, 60x 0, 49x= ,11x = x = = 71 1,11 Abonnementene er like dyre når samtaletiden er 71 minutter per måned a Vi utvider tabellen med en rad der vi regner ut forholdet mellom pris og vekt. Vekt i kg 1,5 2,5 10 Pris i kr 6,60 11,00 44,00 Pris i kr Vekt i kg 4,40 4,40 4,40 Siden forholdet er konstant, er prisen og vekten proporsjonale størrelser. b Proporsjonalitetsfaktoren står for prisen per kg for potetene. c Potetene koster 4,40 kr per kg. Prisen y kr for x kg poteter er derfor gitt ved y = 4, 40x 3.29 Vi utvider tabellen med en rad der vi regner ut forholdet mellom pris og vekt. Vekt i kg 0,5 0,8 1,2 Pris i kr 20,00 34,00 48,00 Pris i kr Vekt i kg 40,00 42,50 40,00 Forholdet mellom pris og vekt er ikke konstant. Prisen og vekten er derfor ikke proporsjonale størrelser. Aschehoug Side 18 av 28

19 14,85 kr 3.30 a 9,90 kr/liter 1,5 liter = 24,75 kr 9,90 kr/liter 2,5 liter = Forholdet mellom pris og mengde er konstant. Prisen er derfor proporsjonal med mengden. b I oppgave a fant vi at juicen koster 9,90 kr/liter. c Juicen koster 9,90 kr per liter. Prisen y kr for x liter juice er derfor gitt ved y = 9,90x. d 300 kr 3.31 a = 37,50 kr 8 Prisen per tur er 37,50 kr. b Hvis Hans Jacob dobler antall turer, blir prisen per tur halvert. Prisen per tur er derfor omvendt proporsjonal med antall turer. c Prisen for dagskortet er 300 kr. Med x turer er derfor prisen y kr per tur gitt ved 300 y = x 300 d Med f.eks. x = 4 får vi y = = Antall turer (x) Pris per tur (y) , Aschehoug Side 19 av 28

20 e 3.32 a Vi utvider tabellen med en rad der vi regner ut produktet x y. x y x y Siden produktet er konstant, er y omvendt proporsjonal med x. b x er antall treninger per måned, og y er prisen per trening. Produktet x y er derfor den totale prisen per måned for treningen. I oppgave a fant vi at x y = 480. Medlemskapet koster 480 kr per måned. c Siden x y = 480, er 480 y = x Vi tegner derfor grafen til denne funksjonen. Aschehoug Side 20 av 28

21 3.33 Vi utvider tabellen med en rad der vi regner ut produktet x y. x y x y Løsninger til innlæringsoppgavene Produktet er ikke konstant. Derfor er y ikke omvendt proporsjonal med x a Av figuren ser vi at funksjonen har et bunnpunkt i ( 1, 4). b Grafen skjærer førsteaksen i punktene ( 3,0) og (1, 0). Nullpunktene til funksjonen er altså 3 og 1. c Av figuren ser vi at y = 5 når x = 4. Altså er f ( 4) = 5. d Grafen går gjennom punktene ( 2, 3) og (0, 3). Altså er f( x ) = 3 for x = 2 og x = a For eksempel får vi f ( 2) = ( 2) 2 2 ( 2) 2 = = 6. b x y Aschehoug Side 21 av 28

22 3.36 a 2 ( ) = Ox x x b Grafen til Ox ( ) har et toppunkt i (50, 3000). Den største verdien overskuddet kan ha, er altså 3000 kr. Dette overskuddet får vi når prisen på varen er 50 kr a 2 ( ) = Bx x x 3.38 a b Bunnpunktet er ( 11,1801). Det var færrest besøkende 11. mars. Antall besøkende var da Aschehoug Side 22 av 28

23 b Produksjonen går med overskudd når inntekten er større enn kostnaden. Vi ser at grafene skjærer hverandre for x = 50 og x = 180. Mellom disse x-verdiene ligger grafen til I over grafen til K. Produksjonen går altså med overskudd når det produseres mellom 50 og 180 enheter. c Produksjonen går med underskudd når kostnaden er større enn inntekten, altså når det produseres under 50 eller over 180 enheter. d Av figuren leser vi av K (100) = 400 og I (100) = 800. Overskuddet er lik inntekten minus kostnaden. 800 kr 400 kr =400 kr Overskuddet er 400 kr hvis det blir produsert og solgt 100 enheter a 2 ( ) = + 40 Ox x x b 1 Grafen til Ox ( ) har et toppunkt i ( 20, 400). Overskuddet er altså størst når det produseres 20 enheter. Overskuddet er da kr. Aschehoug Side 23 av 28

24 2 Overskuddet er kr når Ox ( ) = 300. Vi tegner inn linja y = 300. Linja skjærer grafen til Ox ( ) for x = 10 og x = 30. Overskuddet er kr når det produseres 10 eller 30 enheter a b 3 2 V (3) = 0, , , ,0 = 1,1338 1, V (9) = 0, , , ,0 = 1,3528 1,35 Etter tre uker var vekten av planten 1,13 kg. Etter ni uker var vekten 1,35 kg. c Av figuren ser vi at V( x ) = 1,3 når x = 7,5. Vekten av planten var 1,3 kg etter 7,5 uker a Av figuren ser vi at vekten er 4200 gram når alderen er lik null. Barnet veide altså 4200 gram ved fødselen. b Etter én uke veide barnet 3830 gram. c Vekten avtar den første uken, og når en bunn. Deretter øker vekten. Fra ca. 5 uker er økningen tilnærmet konstant. d Alder i uker Vekt i gram Aschehoug Side 24 av 28

25 e Vektøkningen er tilnærmet konstant fra 5 uker. Fra 5 uker til 10 uker øker vekten fra 4450 gram til 5500 gram. Vekstfarten i gram per uke er dermed = = Vi antar at denne veksten fortsetter til barnet er 15 uker gram gram = 6550 gram 6600 gram Barnet veier ca gram etter 15 uker a Vi setter x = 5 inn i formelen. P (5) = 0, ,90 = 3, 40 En samtale som varer 5 minutter, koster 3,40 kr. b P (10) = 0, ,90 = 5,90 En samtale som varer 10 minutter, koster 5,90 kr. 5,90 kr 0,59 kr/min 10 min = Samtalen koster 0,59 kr/min. c Prisen i kroner for en samtale som varer x minutter, er gitt ved Px ( ) = 0,50x+ 0,90. Vi finner prisen per minutt ved å dele prisen Px ( ) på antall minutter x. Altså er Px ( ) 0,50x+ 0,90 0,90 0, 90 Ex ( ) = = = 0,50 + = + 0,50 x x x x d Av figuren ser vi at prisen per minutt er 0,75 kr når samtalen varer 3,6 minutter. Prisen per minutt blir lavere enn 0,75 kr når samtalen varer over 3,6 minutter. Aschehoug Side 25 av 28

26 e Vi tegner grafen til E for større verdier av x. Av figuren ser vi at E( x ) nærmer seg 0,50 når x blir større og større a Volumet øker fra 11,1 liter til 19,9 liter. Volumøkningen er dermed 19,9 liter 11,1 liter = 8,8 liter. b endring i volum 8,8 liter Gjennomsnittlig vekstfart = = endring i tid (3 1) minutter 8,8 = liter/minutt = 4,4 liter/minutt 2 Den gjennomsnittlige vekstfarten er 4,4 liter/minutt a Kl er x = 0, og kl er x = T (0) = 0, , , ,0 = 19,0 3 2 T (3) = 0, , , , 0 = 20,8 Kl er temperaturen 19,0 C. Kl er temperaturen 20,8 C. b (20,8 19, 0) C 1,8 Gjennomsnittlig vekstfart = = C/time = 0,6 C/time (3 0) timer 3 Den gjennomsnittlige vekstfarten er 0,6 C/time. c Kl er x = 4, og kl er x = T (4) = 0, , , ,0 = 21, (8) 0, , , , 0 19,96 T = + + = (19,96 21, 08) C Gjennomsnittlig vekstfart = (8 4) timer 1, 12 = C/time = 0,28 C/time 0,3 C/time 4 Den gjennomsnittlige vekstfarten er 0,3 C/time. Aschehoug Side 26 av 28

27 d Fra kl til kl stiger temperaturen i gjennomsnitt, med 0,6 C/time. Fra kl til kl synker temperaturen i gjennomsnitt, med 0,3 C/time a 3 2 h (0) = 0, , ,0 = 50,0 Planten var 50,0 mm høy da den ble plantet ut. b Vi tegner tangenten til grafen for x = 3 og for x = 12. Den momentane vekstfarten er gitt ved stigningstallet til tangenten. Vi finner stigningstallet av figuren. endring i y x = 3: Stigningstall = = = = 9,9 endring i x 14, 0 0, 6 13, 4 endring i y x =12 : Stigningstall = = = = 7,2 endring i x 13, , 4 Den momentane vekstfarten etter 3 dager er 9,9 mm/døgn. Den momentane vekstfarten etter 12 dager er 7,2 mm/døgn. Aschehoug Side 27 av 28

28 c Vi finner det punktet på grafen der stigningstallet er størst, dvs. der grafen vokser brattest. Av figuren ser vi at stigningstallet er størst for x = 7. Planten vokser raskest etter 7 dager. Aschehoug Side 28 av 28