Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014

Transkript

1 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,5 10 3, ( 5) 10,5 3,0 10 7,5 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig Oppgave 3 (1 poeng) Løs likningen x 1 x 3 Alternativ løsning: x 1 x 3 x 3 3 x 3 lg lg 3 ( x 3) lg lg3 lg3 x 3 lg 5 lg x 3 lg 5 lg x 3 lg x 3 5 x 5 3 x x 1 x 5 x 3 5 x 3 5 x x x x Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

2 Oppgave 4 (1 poeng) Bestem c slik at uttrykket x 8x c blir et fullstendig kvadrat. Må finne c slik at uttrykket kan faktoriseres ved hjelp av første kvadratsetning: a ab b ( a b) a x ab 8x x b 8x 8x b x b 4 c b 4 16 x 8x 16 ( x 4) Uttrykket blir et fullstendig kvadrat når c = 16. Oppgave 5 ( poeng) Løs likningssystemet x 3y 7 3x y 7 3x y 7 y 3x 7 x 3y 7 x 3 (3x 7) 7 x 9x 1 7 7x 7 1 7x 8 x 8 7 x 4 y 3x 7 y y 1 7 y 5 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

3 Oppgave 6 (3 poeng) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig 6 5 x ( x 3) 6 5 x x 3 x 1 1 x 3 x 9 x 3 ( x 3)(x 3) x 3 (x 3) x 3 x 3 x 3 Oppgave 7 (4 poeng) I en klasse er det 5 elever. 15 av elevene har eldre søsken. 18 av elevene har yngre søsken. av elevene har ikke søsken. a) Systematiser opplysningene ovenfor i et venndiagram. Må først finne ut hvor mange som har både eldre og yngre søsken: elever har både eldre og yngre søsken. Venndiagram: 5 Eldre søsken 5 10 Yngre søsken 8 Vi velger tilfeldig én elev fra klassen. b) Bestem sannsynligheten for at eleven har eldre, men ikke yngre, søsken. 5 1 P (eldre søsken) 5 5 Sannsynligheten for at eleven har eldre, men ikke yngre søsken er ⅕. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

4 Vi velger tilfeldig én av elevene som har eldre søsken. c) Bestem sannsynligheten for at eleven også har yngre søsken. 10 P (yngre søsken eldre søsken) 15 3 Sannsynligheten for at eleven har eldre, men ikke yngre søsken er ⅔. Oppgave 8 (3 poeng) I ABC er AC 10, BC 7 og B 90. Lag en skisse, gjør beregninger, og avgjør om følgende påstander er riktige 1) Arealet av trekanten er større enn 4,5 ) sina cos A Finner AB ved hjelp av Pytagoras setning: AB 10 7 AB AB 51 AB , så 51 må være litt større enn 7. Areal ,5 Påstand 1 er riktig. Arealet er større enn 4,5. 7 sin A 10 7 cos A 10 Påstand er feil. cosa>sina. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

5 Oppgave 9 (5 poeng) Funksjonen F er gitt ved f( x) x x 3 a) Bestem nullpunktene til f ved regning. Må løse andregradslikningen x x 3 0 : Bruker ABC-formelen: 4 1 ( 3) x x 16 x 4 x x 1 x 3 1 Nullpunktene til f er x = 1 og x = 3. b) Grafen til f har en tangent med stigningstall. Bestem likningen til denne tangenten. I punktet der tangenten tangerer grafen er Finner først x- og y-verdien til dette punktet: f ( x) x f ( x ). x x x 0 x 0 y f(0) y y 3 Bruker så ettpunktformelen for å finne likningen til tangenten i dette punktet: y y a( x x ) 1 1 y ( 3) (x 0) y 3 x y x 3 Likningen til tangenten gjennom punktet (0, -3) er y = x 3. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

6 c) Tegn grafen til f sammen med tangenten fra oppgave b). Jeg kjenner nullpunktene til grafen, og punktet (0, -3). For å tegne grafen må jeg også regne ut bunnpunktet (andregradsleddet er positivt, dermed har grafen bunnpunkt). For å finne dette deriverer jeg funksjonen f og setter det deriverte uttrykket lik 0: f ( x) x x 0 x x x 1 f ( 1) ( 1) ( 1) 3 f ( 1) 1 3 f ( 1) 4 Bunnpunktet har koordinatene (-1, - 4). Tegner så grafen (blå kurve) og tangenten (grønn linje): Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

7 Oppgave 10 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f() x x bx c Grafen til f skjærer y-aksen i punktet (0, 4) og har ett nullpunkt. Bestem b og c. Finner først c ved å sette f(0) = 4: 0 0 x c 4 c 4 Finner nullpunktet ved å sette f(x) = 0 og løse denne med ABC-formelen: x bx 4 0 b b 414 x 1 b x b 16 Funksjonen har kun ett nullpunkt. Da må b 16 0, som igjen betyr at b 4. Det er to funksjoner som skjærer y-aksen i punktet (0, 4) og har ett nullpunkt. Vi får: b = 4 og c = 4 b = - 4 og c = 4 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

8 Oppgave 1 (4 poeng) Uke (x) Lengde (y) 3,4 km 5,1 km 8,5 km 15,5 km 18,0 km Tabellen ovenfor viser hvor langt Janne jogget noen uker etter at hun begynte å trene. Den første uka jogget hun 3,4 km, den tredje uka jogget hun 5,1 km, og så videre. a) Bestem den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen ovenfor. Legger inn tallene som punkter i et koordinatsystem ved å skrive (1, 3.4), (3, 5.1) osv. i innskrivingsfeltet i GeoGebra. Bruker så kommandoen «beste tilpasset linje» for å finne den lineære funksjonen som passer best med tallene: Den lineære funksjonen som passer best med tallene er y = 0,8x +,47. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

9 b) Hvor langt vil Janne jogge i uke 5 ifølge funksjonen i oppgave a)? Tegner linja x = 5 (rød linje) og finner skjæringspunktet mellom denne og linja fra a) ved å bruke kommandoen «skjæring mellom to objekt»: I følge funksjonen fra a) vil Janne jogge,3 km i uke 5. c) I hvilken uke jogget Janne for første gang mer enn 10 km ifølge funksjonen i oppgave a)? Tegner linja y = 10 (grønn linje) og finner skjæringspunktet mellom denne og linja fra a) ved å bruke kommandoen «skjæring mellom to objekt»: I uke 10 jogget Janne for første gang mer enn 10 km ifølge funksjonen fra a). Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

10 Oppgave (9 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f( x) 0,0017x 0,13x,3x 7, x [0,5] viser hvor mange kilogram f(x) en idrettsutøver veide x uker etter 1. januar 013. a) Tegn grafen til f. Tegner grafen i GeoGebra: b) Hvor mye veide idrettsutøveren 1. januar 013, og hvor mye veide han ett år (5 uker) senere? Regner ut f(0) og f(5) i CAS i GeoGebra: 1. januar veide idrettsutøveren 7 kg. Etter ett år veide han 79,1 kg. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

11 c) Omtrent hvor mange uker i løpet av 013 veide han mer enn 70 kg? Tegner linja y = 70, og finner skjæringspunktene mellom denne og grafen i a) ved å bruke kommandoen «skjæring mellom to objekt»: Idrettsutøveren veier mer enn 70 kg hele året bortsett fra mellom uke 30 og 47, dvs. i 5 17 = 35 uker. Idrettsutøveren veide mer enn 70 kg i omtrent 35 uker i løpet av 013. d) Når veide idrettsutøveren mest, og når veide han minst? Hvor mye gikk han i gjennomsnitt ned i vekt per uke i den perioden han gikk ned i vekt? Finner topp- og bunnpunkt ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunkt[f(x)] i innskrivingsfeltet. Finner så den gjennomsnittlige vekstfarten ved å tegne en linje mellom toppunktet og bunnpunktet. Stigningstallet til denne linja er den gjennomsnittlige vekstfarten, og forteller hvor mye idrettsutøveren gikk ned i vekt i gjennomsnitt per uke: Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

12 Idrettsutøveren veide mest omtrent halvveis mellom uke 11 og 1, og minst omtrent halvveis mellom uke 39 og 40. I gjennomsnitt gikk han ned med 0,7 kg per uke i den perioden han gikk ned i vekt. e) Bestem f (3) og f (5). Hva forteller disse to svarene om vekten til idrettsutøveren? Jeg regner ut f (3) og f (5) i CAS i GeoGebra: f (3) = 1,6. Dette forteller oss at vekten økte med en hastighet på 1,6 kg i uka i uke 3. f (5) = -1. Dette forteller oss at vekten gikk ned med en hastighet på 1 kg i uka i uke 5. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

13 Oppgave 3 (4 poeng) En bedrift produserer to ulike typer soveposer. Undersøkelser viser at 10 % av soveposene av type 1 og 15 % av soveposene av type har en feil med glidelåsen. På lageret ligger 1000 soveposer av type 1 og 4000 soveposer av type. a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell. Finner først hvor mange soveposer av type 1 og type det er feil med: Type 1: , Type : , Type 1 Type Sum Feil Ikke feil Sum Bjarne har tilfeldig tatt to soveposer fra lageret. Det viser seg at begge soveposene har feil med glidelåsen. b) Bestem sannsynligheten for at én av soveposene er av type 1 og at én er av type. Det er to måter han kan ha trukket på. Enten har han først tatt en sovepose av type 1, og så en av type, eller så har han først tatt en av type, og så den av type P (èn av hver feil med glidelåsen) Begge tilfellene er like sannsynlige. Regner ut i CAS i GeoGebra: Sannsynligheten for at én er av type 1 og den andre av type er 0,. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

14 Oppgave 4 (4 poeng) I en skål er det åtte hvite og seks røde kuler. Du skal trekke tre kuler tilfeldig. a) Systematiser de ulike utfallene i et valgtre. b) Bestem sannsynligheten for at du trekker to hvite og én rød kule. Marker hvordan du finner løsningen i valgtreet i oppgave a). Det er tre måter dette kan skje på: Rød, hvit, hvit Hvit, rød, hvit Hvit, hvit, rød P (to hvite og en rød) Alle de tre kombinasjonene er like sannsynlige. Regner ut i CAS i GeoGebra: Sannsynligheten for å trekke to hvite og én rød kule er 0,46. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

15 Oppgave 5 ( poeng) Et trestykke er 35 cm langt. Trestykket skal deles i fire deler. To deler skal være like lange. Den tredje delen skal være dobbelt så lang som de to like delene til sammen, og halvparten så lang som den fjerde delen. Bestem lengden av hver av de fire delene. Jeg lar x være de to delene som skal være like lange. Den tredje delen blir da 4x, og den fjerde blir 8x. Regner i CAS i GeoGebra: De fire delene er henholdsvis,5,,5, 10 og 0 meter lange. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

16 Oppgave 6 (3 poeng) Regn ut arealet av ABC Bruker først Cosinussetningen for å finne vinkel A. Regner i CAS i GeoGebra: Bruker så arealsetningen: Arealet av ABC er 8,. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

17 Oppgave 7 (4 poeng) En båt ligger fortøyd ved en brygge med et stramt tau som går fra C til B. Tauet er 3,0 m langt. Se skissen ovenfor. a) Bestem avstanden AB fra båten til bryggen når v 5. Regner i CAS i GeoGebra: Avstanden AB fra båten til bryggen er 1,9 m Vannstanden synker med 30 cm. b) Bestem avstanden fra båten til bryggen nå. Finner først AC før vannstanden synker: Etter at vannstanden har sunket med 30 cm, blir AC =,66 m, mens BC fortsatt er 3,0 m. Bruker Pytagoras setning: Avstanden fra bryggen til båten er nå 1,4 m. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

18 Oppgave 8 (4 poeng) ABC har grunnlinje AB 8. Punktet D ligger på AB. CD 6 og BDC 90. Se skissen til høyre. Vi setter BD x a) Vis at sammenhengen mellom lengden x og omkretsen fx ( ) av ABC er gitt ved f( x) 8 x 36 x 16x 100, x [0,8] Bruker Pytagoras setning, og finner sidene BC og AC: BC x BC 6 x 36 AC (8 x) 6 AC 64 16x x 36 AC x 16x 100 Omkretsen, f(x), blir da: f( x) 8 x 36 x 16x 100 x er en lengde, og må derfor være et tall større enn 0. x må være mindre enn 8, ettersom lengden x ikke kan være lengre enn grunnlinjen. b) Bestem x slik at omkretsen av ABC blir minst mulig. Forklar at trekanten da vil være likebeint. Jeg løser oppgaven grafisk, ved å tegne grafen til f i GeoGebra, og deretter finne bunnpunktet ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunkt[f(x)] i innskrivingsfeltet. Omkretsen er minst når x = 4. Grunnlinja deles da i to like store deler, og AC og BC vil dermed være like lange. Trekanten er likebeint. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

19 Oppgave 9 ( poeng) Petter får i oppgave å vise at når omkretsen av trekanten i oppgave 8 er minst mulig, er trekanten likebeint. Han løser oppgaven med figurer. Se nedenfor. Ved hjelp av figurene viser han hvor punktet D må plasseres på linjestykket AB for at lengden AC + CB i figur 1 skal bli kortest mulig. Forklar hva Petter har gjort, og at han har løst oppgaven riktig. Petter tegner først av figuren i oppgaveteksten (figur 1). Deretter speiler han BDC om midtnormalen på BD og ADC om midtnormalen på AD (figur ), før han så speiler BDC om linjestykket BD (figur 3). Omkretsen av trekanten vil være summen av linjestykkene AB, DF og DG. Linjestykket AB vil alltid være 8, men lengden av DF og DG vil variere avhengig av hvor punktet D plasseres. De to lengdene blir kortest hvis D plasseres slik at de begge ligger på en rett linje gjennom F og G. Da måles avstanden AD og BD til å være 4. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning

20 Bildeliste Båt: ( ) Tegninger, grafer og figurer i oppgaveteksten: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løsning