1 Geometri R2 Løsninger

Transkript

1 1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer Regning med vektorer Vektorer på koordinatform Vektorprodukt Linjer i rommet Plan i rommet Kuleflater Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen 1

2 1.1 Vektorer Regning med vektorer Gi eksempler på 3 vektorstørrelser og på 3 skalare størrelser. 10 km vest er en vektor Temperatur er en skalar Kraft er en vektor Volum er en skalar Forflytning er en vektor 30 kr er en skalar 1.1. Figuren viser en bil som er påvirket av to krefter. En rute svarer til en kraft på 100 N. Hvor store er kreftene? K er en kraft på 1000 N = 1,0 kn og virker mot høyre. R er en kraft på 550 N = 0,55 kn og virker mot venstre a) Hvilke vektorer har samme retning? Vektorene a og e har samme retning. Vektorene b og d har samme retning. b) Hvilke vektorer har samme lengde? Vektorene a og e har lik lengde. Vektorene c og f har lik lengde. c) Hvilke vektorer er like? Vektorene a og e har samme retning og lik lengde. Vektorene a og e er dermed like.

3 1.1.4 Figuren viser en rombe ABCD. Tegn vektorer mellom hjørnene. a) Hvilke vektorer er like? AB DC BC AD DA CB BA CD b) Hvilke vektorer er motsatt rettet? AB og BA er for eksempel motsatt rettet c) Hvilke vektorer er like lange? I en rombe er alle sider like lange. Vektorene er AB, BA, BC, CB, CD, DC, AD og DA dermed like lange a) Tegn en regulær femkant ABCDE (alle sidekantene er like lange) i for eksempel GeoGebra. b) Tegn vektorene mellom hjørnene i femkanten. c) Hvor mange ulike vektorer finnes det? Dersom vi tar med vektorene langs sidekantene er det i alt 0 ulike vektorer. 3

4 1.1.6 Tegn to vektorer i GeoGebra. Summer vektorene. Skjermbildet viser et eksempel på hvordan du kan gå frem. a) Flytt på vektorene du tegnet ved å dra i selve vektoren, og i endepunktene til vektoren. Hva observere du? Vektorsummen, lengden på den røde vektoren, endrer seg. b) La u og v være like. Hva observerer du? Lengden av w er lik summen av lengden til u og v. c) La u og v være like lange, men motsatt rettet. Hva observerer du? Lengden av w blir 0. d) La u og v stå vinkelrett på hverandre. Hva kan du nå si om lengden til w? Lengden av w kan finnes ved hjelp av Pytagoras læresetning. 4

5 Addisjon av vektorer En bil kjører 5 km mot øst. Så svinger den 90 mot nord og kjører i denne retningen i 4 km. Bilen dreier så 90 mot vest og kjører 8 km. a) Illustrer de aktuelle forflytninger ved vektorer. b) Hva er «resultantforflytningen», lengde og retning? Resultantforflytningen er representert ved den røde vektoren i figuren ovenfor. Lengden til denne vektoren er s km og retningen er mot nordvest. Vi kan angi retningen mer presist ved å bruke trigonometri. c) Vi kan også kalle «resultantforflytningen» for «summen av forflytningene». Kan du på dette grunnlag foreslå en måte å summere vektorer på? Vi summerer vektorer ved å «henge dem etter hverandre. Summen av forflytningene starter der den første starter og slutter der den siste slutter. 5

6 1.1.8 Vektorene AB, BC, CD, DE og EA danner en femkant slik figuren viser. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis mulig. a) AB BC AC b) DC CB BA DA c) EA AB EB d) EA AB BC EC e) BE ED BD f) AB CB AF g) BA AE BG 6

7 1.1.9 Gitt vektorene a og b Finn vektorene a b og b a. Hva oppdager du? Når vi adderer to vektorer, får vi samme resultat uansett hvilken rekkefølge vi adderer vektorene i. 7

8 Vi har gitt tre vektorer som vist figuren. Tegn vektorene a) a b b) c a c) b c 8

9 Gitt et rektangel ABCD. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis mulig. a) AB BC AC b) AD DC AC c) BC AC BA d) DC AC DA e) AB DC 0 9

10 1.1.1 Vi har gitt tre vektorer Tegn vektorene a) b) c) 1 a b 1 b c 3 3 a b c 10

11 Gitt vektorene Bruk for eksempel GeoGebra og finn: a) a b c d b) c) d) 1 a b c 1 a b c 1 a b c d 11

12 Gitt vektorene nedenfor. a) Uttrykk vektorene c, d, e og f ved hjelp av vektorene a og b. c 3a d b e a b f a b a b b) Uttrykk vektorene a og b ved hjelp av vektorene c og d. 1 a c 3 1 b d 1

13 Denne oppgavene egner seg godt for bruk av dynamisk programvare, for eksempel GeoGebra. a) Tegn en vilkårlig firkant ABCD. b) Finn midtpunktet på hver av sidene. Kall midtpunktet på AB for E, på BC for F, på CD for G og på AD for H. c) Tegn firkanten EFGH. d) Mål lengden på sidene i firkanten EFGH. e) Dra i hjørnene på den opprinnelige firkanten ABCD. Hva observerer du? Det ser ut at firkanten EFGH er et parallellogram uansett formen til firkanten ABCD. Vi setter nå AB a, BC b og CD c f) Vis at EF kan skrives som: EF 1 a b EF AB BC a b a b g) Vis at HD kan skrives som: HD 1 a b c 1 1 HD AD a b c h) Uttrykk HG ved hjelp av a, b og c HG HD CD a b c c a b 13

14 i) Hva kan du si om vektorene EF og HG? Vektorene er like, EF HG j) Vis at EH FG Vi går frem på samme måte som over. Uttrykket først vektor FG ved hjelp av vektorene b og c FG BC CD b c b c Vi har at: 1 1 AH AD a b c og får: EH AB AH a a b c b c Vi har dermed at EH FG Vi har dermed bevist at firkanten EFGH alltid vil være et parallellogram! Skalarproduktet Tegn en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader. Sett lengden til den korteste kateten lik 1. a) Finn de andre sidene i trekanten. I en «30, 60, 90» trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. I denne trekanten blir lengden. Den andre kateten blir 1 3 b) Bestem verdien til cos30 og cos60. 3 cos30 1 cos60 Disse resultatene får du bruk for i en del av oppgavene nedenfor. 14

15 Vi har gitt vektorene a og b. a 5, 4 Finn skalarproduktet mellom a og b b og ab Skalarproduktet er gitt ved a b a b cos a, b :, a b a b cos a, b 54cos Vi har gitt vektorene p og q. Lengden av p er 7, lengden av q er 3 og vinkelen mellom vektorene er 30 a) Regn ut pq pq p q cos p, q 73cos30 1 b) Regn ut q p q p q p cos q, p 37cos30 1 c) Hva er skalarproduktet mellom p og q? Samme som i oppgave a) og b). d) Hva er prikkproduktet mellom p og q? Samme som i oppgave a) og b). e) Finn p p p p p p p p cos, 77cos (Vinkelen mellom to like vektorer er 0 og cos0 1 ) f) Finn q q q q q q q q cos, 33cos

16 Gitt vektorene a og b der 1 Finn lengden av b. a og ab Skalarproduktet er gitt ved a b a b cos a, b 4 1 b cos60 4 b 1cos60 4 b 4 6, 60. Skalarproduktet mellom a og b er 4. og vi finner: Vi har gitt at u 16. Finn u. Skalarproduktet er gitt ved u u u u u cos u, u 16 u u cos 0 u u 16 cos0 16 u 16 4 og vi finner: Gitt vektorene a og b der a 1 og b 5. Skalarproduktet mellom a og b er 30. Finn vinkelen mellom vektorene a og b cos ab, 30 1 cos ab, 60 ab, 60 16

17 1.1. Tegn en likebeint rettvinklet trekant der lengden til katetene er 1. a) Finn lengden til hypotenusen. AC 1 1 b) Bestem cos cos45 Dette resultatet får du bruk for i en del av oppgavene nedenfor Gitt vektorene a og b der a 3 og b 8. Finn skalarproduktet mellom a og b når a) ab, 0 ab 38cos0 4 b) ab, 45 1 ab 38cos c) ab, 90 ab 38cos90 0 d) ab, 135 ab 38cos cos 45 1 e) ab, 180 ab 38cos180 4 f) Kan du se noe mønster i svarene dine på denne oppgaven? Skalarproduktet blir 0 når vektorene står vinkelrett på hverandre. Absoluttverdien av skalarproduktet har størst verdi når vektorene er parallelle og har samme retning. 17

18 1.1.4 Vi har gitt vektorene F og s. F 150, s 10. a) Finn skalarproduktet mellom F og s når vinkelen mellom vektorene er 30. Skalarproduktet er gitt ved a b a b cos a, b F s F s F s og vi finner: cos, cos La F være den kraften Magnus bruker når han drar kjelken sin over isen på fjorden. Siden en kraft måles i N(Newton), sier vi at F 150 N. Magnus drar kjelken sin 10 m. Vi sier at forflytningen er 10 m eller at lengden til forflyttingsvektoren, s, er 10 m, s 10 m. Magnus drar med en kraft som har retning 30 i forhold til forflytningen. Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom F og s. b) Hvor stort arbeid utfører Magnus? Arbeidet er definert som skalarproduktet mellom F og s. Arbeidet som Magnus utfører blir dermed Nm c) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Vis de aktuelle vektorene på tegningen d) Hva blir måleenheten for arbeidet? Måleenheten for arbeidet er Nm og kalles ofte joule, J. 18

19 1.1.5 Gitt vektorene a og b der a 5, b 4 og ab Regn ut a a b a 3b a a b a 3b a a b 6a b a 8ab Finner at ab 54cos60 10 og a 55cos0 5 Setter inn og finner: a 8a b , Gitt vektorene a og b der a 3 og b 4. Vinkelen mellom vektorene er 60. Vektorene u og v er gitt ved u a b og v 3a 4b. a) Finn a b, a og b. a b a b cos a, b 1 ab 34cos a a a a a cos, 33cos b b b b b cos, 44cos b) Finn u v 3 4 u v a b a b u v 3a 4a b 6a b 8b u v 3a a b 8b uv

20 c) Finn vinkelen mellom u og v Vi finner først lengden av vektorene. u a b a 4ab 4b v 3a 4b 9a 4ab 16b Så kan vi finne vinkelen mellom vektorene. uv 89 cos uv, u v uv, 130, La a 5, b 3 og ( ab, ) 60 Gitt u a b og v a b. a) Finn lengden av u og lengden av v. u Finner u u u a b a b a ab b 5 53cos Lengden av u blir dermed: u 49 7 v v Finner v v a b a b a ab b 5 53cos Lengden av v blir dermed: v 19 b) Finn vinkelen mellom u og v. Bruker skalarproduktet og finner vinkelen. u v u v cos u, v cos uv, cos uv, a b cos uv, cos uv, 7 19 uv u v uv, 58,4 a b a b

21 1. Regning med vektorer 1..1 a) Skriv vektorene i koordinatsystemet nedenfor uttrykt ved enhetsvektorene og på koordinatform. Vektoren skrevet med enhetsvektorene a e e x y a, b e x e y Vektoren skrevet på koordinatform b, 1 c 3, 0 c 3e 0e 3e d e e x y x d, x f e x e y y f, 1 g 0e e e g 0, x y y b) Hvilke vektorer er parallelle? b f siden b f a d siden a d c) Hvilke vektorer er like? b f 1

22 1.. Tegn følgende vektorer i et koordinatsystem a,5 b 3, c 5, 3 d 4, e 3,0 f 0, Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene a),5 e 5e x y b) 3 3, e e x y c) 4 4,0 e 0e x y

23 1..4 Gitt vektorene a,3, b 3, 5 og c 1, 6 Finn a) a b,3 3,5 3,3 5 1,8 b) ab,3 3,5 3,35 5, c) a b c,3 3,5 1, 6 31,3 56, d) c b a 1, 63,5,3 1 3, 6 530, a) Uttrykk a, b og c fra oppgave 1..4 ved hjelp av enhetsvektorene. a,3 e 3e b 3,5 3e 5e c 1, 6 1e 6e e 6e x y x y x y x y b) Gjør oppgave 1..4 a og c når vektorene skrives på denne formen. Får du samme resultat som i oppgave 1..4? a b e 3e 3e 5e e 3e 3e 5e e 8e x y x y x y x y x y a b c e 3e 3e 5e e 6e e 3e 3e 5e e 6e e e Ja vi får samme svar! x y x y x y x y x y x y x y 3

24 1..6 Gjør oppgavene i 1..4 ved å tegne vektorsummene. Sjekk om du får samme svar. Svarene blir like Multiplikasjon av vektor med tall 1..7 Gitt vektorene a,3, b 3,5 og 1, 6 c. Regn ut a) 3a b 4c 3,3 3,5 41, 6 6,96,10 4, , ,43 b) 5a 3c 4b 5,3 3 1, 6 4 3,5 10, 15 3, 18 1, , , 53 4

25 1..8 Gitt punktene A 4,0, B 3,5, C 0,7, D 3,5, E 4,0, F 3, 5 og G3, 5 a) Bestem vektorene AB, CD, EF, GC, FA og AB 3 4,5 0 1,5 CD 3 0,57 3, EF 3 4, 5 0 1, 5 GC 0 3,7 5 3,1 FA 4 3,0 5 7,5 EC 0 4,7 0 4,7 EC b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene. ( For eksempel: Start i punkt A og kom til punkt B ved hjelp av posisjonsvektorene.) AB OA OB OB OA CD OC OD OD OC EF OE OF OF OE GC OG OC OC OG FA OF OA OA OF EC OE OC OC OE c) Finn lengdene til vektorene i a) AB CD 3 13 EF GC FA EC

26 1..9 Gitt vektorene 3, og 1,4. a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene. 3, 3ex ey 1,4 ex 4ey b) Vis at 3ex ey ex 4ey kan skrives som 3ex 14exey 8ey. 3ex ey ex 4ey 3ex ex 1ex ey ey ex 8ey ey 3ex 14exey 8ey c) Vis at skalarproduktet e e e 1 og e e e 1. x x x y y y Vinkelen mellom to like vektorer er 0. Lengden av enhetsvektoren er 1. Vi får da: e e e e cos e, e 1 1 cos x x x x x x e e e e cos e, e 1 1 cos y y y y y y d) Vis at skalarproduktet e e 0. x Vinkelen mellom enhetsvektorene e og e er 90. Vi får da: y e e e e cos e, e 1 1 cos x y x x x y x y e) Regn ut skalarproduktet du fant i oppgave b) ex ey ex ey ex exey ey f) Forklar at skalarproduktet mellom vektorene 3, og 1,4 kan skrives som: 3,1, Dette har du vist i deloppgavene ovenfor 6

27 1..10 Vi har gitt vektorene a,3, b 3, 5 a) Finn skalarproduktet mellom vektorene b) Finn lengden til vektorene c) Finn vinkelen mellom vektorene Legg merke til «/ o» for å sikre grader i svaret. 7

28 1..11 Gitt koordinatsystemet og vektorene på figuren til høyre. Du ser for eksempel at vektoren c har koordinatene 4,3. a) Skriv alle vektorene på koordinatform. 6,0, 0, 4, 4,3, 3, 3 8, 6, 4,, 3,4 a b c d e f g b) Finn a b og c d 6,0 0, 4 6 0,4 4 6, 4 a b 4,3 3, 3 4 3,3 3 1,6 cd c) Finn lengdene av e og g e 8, g 3, d) Sjekk ved regning om c d. Bruker skalarproduktet og finner: 4,3 3, Skalarproduktet blir ikke 0. Vektor c står ikke vinkelrett på vektor d e) Sjekk ved regning om c e. Sjekker om c t e 4, 3 t 8, t og 3 6t 1 1 t og t 1 Vi kan skrive c e. Vektor c er dermed parallell med vektor e. 8

29 1.3 Vektorer på koordinatform Skriv vektorkoordinatene til følgende vektorer 3,, 3 4, 3,0 1, 4, 3,0 a b c d e f g 1.3. Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene,5,1 ex ey ez a) 5 1 3,,3 e e 3 e b) 3 x y z c) 4 4,0, e 0e e x y z 9

30 1.3.3 Vi har gitt vektorene a,3, 1, b 3,5, og 1, 6,4 Regn ut c. a) a b,3, 1 3,5, 3,3 5, 1 1,8,1 b) a b,3, 1 3,5, 3,35, 1 5,, 3 c) a b c,3, 1 3,5, 1, 6,4 31,3 56, 1 4,,5 d) c b a 1, 6,43,5,,3, 1 1 3, 6 53,4 1 0, 14,3 e) 3a b 4c 3,3, 13,5, 41, 6,4 6,9, 36,10,4 4, 4, ,9 10 4, ,43, 15 f) 5a 3c 4b 5,3, 131, 6,443,5, 10, 15,5 3, 18,1 1,0, , , , 53, 9 30

31 1.3.4 Gitt punktene A 4,0,, B 3,5,1, C 0,7,, D3,5, og E 4,0,9 a) Bestem vektorene AB, CD og EC. AB 3 4, 5 0, 1 1,5, 1 CD 0 3,5 7, 3,,0 EC 0 4,7 0, 9 4,7, 7 b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene. AB AO OB OA OB CD CO OD OC OD EC EO OC OE OC c) Finn lengdene til vektorene i a). AB CD EC

32 1.3.5 Vi har gitt vektorene a,3,4, b 3,5, a) Finn skalarproduktet mellom vektorene.,3,43,5, b) Finn lengden til vektorene. a b c) Finn vinkelen mellom vektorene. Bruker a b a b cos a, b cos ab, og får; ab, 59, 3

33 1.3.6 I ABC A B C er 1, 0, 1, 1, 1, 0 og 0, 1, 1. a) Regn ut omkretsen av trekanten. Hva slags trekant er dette? Finner sidene i trekanten ABC AB AB 1 ( 1), 1 0, 0 1, 1, AC AC 0 ( 1), 10, 1 1 1, 1, BC BC 0 ( 1), 1 1, 1 0 1,, Dette er en likesidet trekant med sidelengde 6. Omkretsen blir 3 6 b) Vis at arealet av trekanten er 3 3. Vinklene i en likesidet trekant er 60. h Høyden i trekanten er gitt ved sin60 h 6 sin Arealet blir Gitt punktene A1, 1, 1, B3, 3,, C, 1,. Finn BAC. ABAC AB AC cos AB, AC AB AC cosbac AB AC,,1 1,0,1 3 cosbac,,1 1,0,1 3 BAC 45 33

34 1.3.8 Gitt punktene A, 3, 7, B3, 5,, C 1, 1, 5 og 3, 5, D t. a) Bestem en verdi for t slik at AB AD. 3, 5 3, 7 1,, 5 AB 3, 5 3, 7 1,, 7 AD t t AB AD 1,, 5 1,, t t t t Hvis AB AD må skalarproduktet være lik null. ABAD t 0 5t 40 t 8 b) Undersøk om det finnes en verdi for t slik at AB CD. 3, 5 3, 7 1,, 5 AB 3 1, 5 1, 5, 4, 5 CD t t Vi ser at CD AB t 5 5 t 5 10 t 5 dersom Vi kunne også funnet dette ved å løse tre likninger med to ukjente AB CD CD s AB, 4, t 5 s1,, 5 s 4 s t 5 5s s t 5 5s t 5 5s

35 1.4 Vektorprodukt Regn ut vektorproduktene. ex ey ez a),5,11,, , 311,15 13, 5, ex ey ez b) 1,,3,5, , 113, 15 13,5,1 5 1 ex ey ez c) 3,,3 4,, , 36 43,3 4 6, 6, 4 6 ex ey ez , 4 3, d) 4,0, 3, 1, ex ey ez,,4 e) 3,,04,5, , 30 40,354 0,0, ex ey ez f) 0,,10, 3, , 0 0,0 0 11,0, ex ey ez g),0,3 4,0, , 1,0 0 0, 14, h) e e , , ,0,1 x y e e e x y z e z 35

36 e e e x y z i) e e , 11 00, , 1,0 10,1,0 e x z y j) e e , , ,0,0 y z e e e x y z e x e e e x y z k) , , ,0, 1 ey ex e z l) Bruk et digitalt verktøy til å kontrollere svarene i a) e) Gitt punktene A 4,0,, B 3,5,1 og 0,7, Finn arealet av Vi finner først ABC. AB og AC. C i et koordinatsystem. 3 4,5 0,1 1,5, 1 og AC 0 4,7 0, 4,7,0 AB Arealet av 1 ABC er gitt ved: Arealet trekant a b ex ey ez AB AC , , , 0 4, 7 0 7,4,13 1 1,5, 14,7,0 1 7,4,

37 1.4.3 Bruk et digitalt verktøy til å løse oppgave Gitt punktene A 4,0,, B 3,5,1, C 0,7, og 3,5,4 D i et koordinatsystem. Vi regner først ut koordinatene til de vektorene vi skal bruke videre i oppgaven. 3 4,5 0,1 1,5, 1 AB 0 4,7 0, 4,7,0 AC 3 4,5 0,4 1,5, AD a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av AB, AC og AD. AB ex ey ez AC 1,5, 1 4,7, , 0 4, 7 0 7,4, V AB AC AD 7,4,13 1,5, b) Finn volumet av pyramiden med firkantet grunnflate utspent av AB, AC og AD. ABAC AD V

38 c) Finn volumet av pyramiden med trekantet grunnflate (tetraederet) utspent av AB, AC og AD. 7,4,13 1,5, V 6, Bruk et digitalt verktøy til å løse oppgave Se løsning av Gitt punktene A 0,0,0, B 3,0,0, 0,4,0 D 0,0,5 i et koordinatsystem. C og Vi regner først ut koordinatene til de vektorene vi skal bruke videre i oppgaven. 3 0,0 0,0 0 3,0,0 AB 0 0,4 0,0 0 0,4,0 AC 0 0,0 0,5 0 0,0,5 AD a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av AB, AC og AD. 3,0,0 0,4,0 0,0,1 AB AC V AB AC AD 0,0,1 0,0,

39 b) Finn volumet av pyramiden med en firkantet grunnflate utspent av AB, AC og AD. ABAC AD 60 0 V 3 3 c) Finn volumet av pyramiden med trekantet grunnflate (tetraederet) utspent av AB, AC og AD. 0 V 10 d) Svar på oppgave a), b) og c) uten å bruke vektorregning. Grunnflaten ligger i xy - planet med punktet A i origo, punktet B på x - aksen og punktet C på y - aksen. Punktet D ligger på z - aksen, så AD står vinkelrett på grunnflaten. a. V G h V b. c. Gh V V V

40 1.4.7 Gitt punktene A,0,1, B4, 1,0, C 4,,3 og 6, 5, 4 D i et koordinatsystem. Vi regner først ut koordinatene til de vektorene vi skal bruke videre i oppgaven., 1, 1,, 4, 5, 5 AB AC AD a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av AB, AC og AD. AB AC, 1, 1,, 0, 6,6 V AB AC AD 0, 6,6 4, 5, b) Hva kan du si om punktene A, B, C og D ut fra svaret i a)? Siden volumet er lik null, må det bety at punktene ligger i det samme planet Gitt punktene A 4,0,, B 3,5,1, C 0,7, og D3,5,4 som i oppgave i et koordinatsystem a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av BA, BC og BD. 1, 5,1 3,,1 0,0,3 BA BC BD BABC 1, 5,1 3,,1 7, 4, 13 V BA BC BD 7, 4, 13 0,0, b) Finn volumet av parallellepipedet utspent av CA, CB og CD. 4, 7,0 3,, 1 3,, CA CB CD CACB 4, 7,0 3,, 1 7,4,13 V CA CB CD 7,4,13 3,, c) Finn volumet av parallellepipedet utspent av DA, DB og DC. 1, 5, 0,0, 3 3,, DA DB DC DADB 1, 5, 0,0, 3 15,3,0 V DA DB DC 15,3,0 3,,

41 1.4.9 AG, BH, CE og DF er diagonaler i parallellepipedet utspent av AB a, AD b og AE c. Vis at midtpunktene til diagonalene skjærer hverandre i ett punkt. Vi kaller midtpunktet av diagonalen BH for M. Da er BM 1 BH 1 a b c Vi vil vise at M også er midtpunktet på diagonalen AG AM a BM a a b c a b c AG Dette viser at M er midtpunktet på diagonalen AG. Tilsvarende gjelder at EM c a BM c a a b c c a b EC og FM c BM c a b c c a b FD Dette viser at alle diagonalene skjærer hverandre i samme punkt. Dette punktet er samtidig diagonalenes midtpunkt. 41

42 a) Tegn et rett prisme med sidekanter a, b og c. b) Vis at volumet av prismet er gitt ved V ab c. V G h G ab h c V ab c c) Vis på tegningen at vi kan dele opp prismet i 6 pyramider med firkantete grunnflater. Vi viste i forrige oppgave at alle diagonalene skjærer hverandre i samme punkt. Dette punktet er samtidig diagonalenes midtpunkt. Da får vi prismet oppdelt i seks pyramider som vist på tegningen. d) Lag en formel for volumet til hver av disse pyramidene. To pyramider får volumformet To pyramider får volumformet To pyramider får volumformet 1 1 ab c ac b bc a 3 e) Legg sammen formlene for pyramidevolumene og vis at du får samme formel for volumet til det rette prismet V ab c ac b bc a V ab c ac b bc a abc acb bca 3abc V abc 3 3 4

43 Gitt punktene A 4,0,, B 3,5,1 og 0,7, Finn avstanden fra C til linjen gjennom A og B. Vi lager først en hjelpefigur. C i et koordinatsystem. Avstanden fra C til linjen gjennom A og B er høyden i trekanten. Vi setter to uttrykk for arealet av trekanten lik hverandre og løser likningen men hensyn på høyden. gh Vi bruker vektorproduktet og formelen A. 43

44 1.4.1 Gitt punktene A 4,0,, B 3,5,1, C 0,7, og D 3,5,4 Finn avstanden fra D til planet gjennom A og B og C. (Tips: Tenk to metoder for å finne volumet til et tetraeder.) Vi regner ut koordinatene til de vektorene vi skal bruke videre i oppgaven. 1,5, 1 4,7,0 1,5, AB AC AD Vi setter så to uttrykk for volumet av tetraederet utspent av AB, AC og AD lik hverandre Gitt punktene A 4,0,, B 3,5,1, D 0,7, og E parallellepiped, der AE er en sidekant. 3,5,4. Punktene ABCD danner grunnflaten i et a) Finn koordinatene til punktet C. AB er parallell med og like lang som DC. Lar punktet C ha koordinatene x, y, AB DC 3 4,5 0,1 x 0, y 7, z 1, 5, 1 x, y 7, z z og vi ha da at: som gir x 1, y 1 og z 1 Punktet C har altså koordinatene 1, 1, 1. 44

45 b) Finn vinklene i trekanten ABE. Bruker skalarproduktet og finner først BAE. Finner ABE AEB blir dermed 180 3,5 78,9 68,6 c) Finn avstanden fra punktet E til grunnflaten ABCD. Volumet av parallellepipedet er gitt ved V G h hvor G AB AD og ved V AB AD AE Avstanden fra punktet E til grunnflaten ABCD er 6 Punktene EFGH danner toppflaten i parallellepipedet. d) Finn avstanden mellom grunnflaten og toppflaten I et parallellepiped er grunnflaten parallell med toppflaten. Avstanden er dermed den samme for alle punktene i toppflaten ned på grunnflaten. I oppgave c) fant vi at denne avstanden var 6. 45

46 1.5 Linjer i rommet a) En linje l går gjennom punktet S, 4, 4 og har retningsvektoren 1,,. Sett opp en parameterframstilling for l. x t l : y 4 t z4t b) Vis at linja l går gjennom origo. x t y 4 t z 4 t 0 t 0 4 t 0 4 t t t 4 t 4 t t t Når t vil linja l gå gjennom origo En linje m er gitt ved parameterframstillingen x 4 t m: y 1t z t a) Finn skjæringspunktet mellom linjen m og xy - planet. I xy planet er z 0. z 0 t 0t 1 x 6, y 0 Skjæringspunktet blir 6,0,0. 46

47 b) Finn avstanden fra origo til linja m. A4,1, er et punkt på linja m. En retningsvektor for linja er v,1,. Vi regner ut arealet av trekanten som spennes ut av v,1, og AO OA 4, 1,. Avstanden fra origo til linja m er høyden i denne trekanten. gh 1 Areal v AO hvor g v Lag en hjelpefigur! Oppgaven kan også løses ved at vi tar utgangspunkt i at P er et punkt på linja m, slik at OP v. Vi bruker da at OP v 0. OP v 0 t t t 4,1,,1, 0 8 4t 1 t 4 4t 0 9t 3 t 1 3 Vi får da OP 4,1,,, OP ,,

48 1.5.3 Gitt punktene A (, 0, 0), B (0, 4, 0), C (0, 0, 6) og D(1,, 6) i et koordinatsystem. a) Bestem lengdene AB, AC og BAC, når du får oppgitt at cos 81,9. 50 AB 0,4 0,0 0,4, AC 0,0 0,6 0,0, AB AC AB AC cosbac AB AC cosbac AB AC,4,0,0,6 cosbac cosbac BAC 81,9 b) Vis at ABCD er et trapes. AB,4,0 CD 1,,0 AB 1,,0 CD AB CD Hva er et trapes? Dette viser at ABCD er et trapes. 48

49 c) Finn avstanden fra A til linja gjennom B og C. En retningsvektor for linja gjennom B og C vil være BC. En vektor fra et punkt på linja til punktet A, er CA. Lag en hjelpefigur! CB 0,4, 6 0,0 0,0 6,0, 6 CA gh 1 Areal CACB gh 1 CACB g h CACB CACB h g CACB h CB 4, 1, 8 h 0,4, 6 h h

50 1.5.4 a) Finn en parameterframstilling for linja l som går gjennom punktet A1,,3 og har retningsvektoren v,1, 1. Lar Px, y, z være et punkt på linja l. En vektorfunksjon for linja l er da gitt ved OP OA t v 1,,3 t,1, 1 1,, 3 OP OP t t t Parameterfremstillingen kan vi da skrive som x1t l : y t z3t b) Finn hvor linja l skjærer xy -planet. Linja skjærer xy -planet når z 0. Da er 3t 0 t 3 x 13 7 y 3 5. Linja skjærer xy -planet i punktet 7,5,0 S. La Px, y, z være et vilkårlig punkt på linja l. Vis at SP 3 t, 3 t, 1 t. Punktet P ligger på linja l. Det betyr at P har koordinatene Px, y, z P1 t, t,3t SP 1t 4, t( 1), 3t 3 t, 3 t, 1t c) Punktet S er gitt ved (4, 1,) d) Bestem t slik at SP står vinkelrett på linja l. Hvis SP skal stå vinkelrett på linja l, må SP, 1, 1 0, der, 1, 1 t t t 3, 3, 1, 1, t 3 t 1 t 0 6t 4 0 t 3 er retningsvektor for l e) Hva blir avstanden fra S til linja l? SP , 3, 1,,

51 Avstanden fra S til linjen l blir SP = En linje er gitt ved vektorfunksjonen r t 1 t, 4 5 t, 3 t Finn avstanden fra punktet A3, 1, til linja. Vi finner først AP hvor P er et vilkårlig punkt på linja. 1 3, 4 5 ( 1), 3, 5 3, 1 AP t t t t t t Avstanden fra et punkt til en linje er lengden av normalen fra punktet til linja. Vi finner derfor t slik. at AP står normalt på retningsvektoren til l, som er r t v t, 5, 1 t, 5t 3, t 1, 5, 1 0 t t t t 4 5t 15 t t 18 t 3 5 t gir, 5 3, 1, 0, 5 AP AP Avstanden fra A til l er

52 1.5.6 Linjene m og n er gitt ved x1t m: y t z1t xs n: y s z1s a) Finn vinkelen mellom linjene m og n. Vi finner vinkelen mellom linjene ved å finne vinkelen mellom retningsvektorene til linjene Retningsvektorene er v, 1, 1 v 1,1, m n Vinkelen mellom to linjer er definert som den minste vinkelen vi kan måle mellom retningsvektorene. Vinkelen mellom linjene m og n blir dermed b) Finn vinkelen mellom linja m og x aksen. En retningsvektor for x aksen er 1,0,0 Vinkelen mellom to linjer er definert som den minste vinkelen vi kan måle mellom retningsvektorene. Denne vinkelen vil da ligge i intervallet 0, 90. Dersom vi får en vinkel, v, som er større enn 90, er 180 v den vinkelen vi er ute etter. Vinkelen mellom linja m og x aksen er dermed 35,3 c) Finn vinkelen mellom linja n og y aksen En retningsvektor for y aksen er 0,1,0 Vinkelen mellom linja n og y aksen er 65,9 5

53 1.5.7 Linjene m og n er gitt ved x1t m: y t z1t xs n: y s z1s Finn avstanden mellom linjene m og n. (NB! Uten hjelpemidler) Linjen m har retningsvektor v, 1, 1 og linjen n har retningsvektoren v 1, 1, m P(1 t, t, 1 t) er et vilkårlig punkt på m og Q( s, s, 1 s) er et vilkårlig punkt på n. n Vi finner først PQ 1,, 1 1 1,, PQ s t s t s t s t s t s t Vektoren PQ må stå vinkelrett på begge linjene. PQ v PQv 0 m m PQv m 0 1,,, 1, 1 0 s t s t s t s 4t s t s t 0 3s 6t 0 st 0 PQ v PQv 0 n n PQv n 0 1,, 1, 1, 0 s t s t s t s t 1 s t 4s t 0 6s 3t 3 0 s t1 0 Dette gir oss altså to likninger med to ukjente. Vi løser likningssettet og finner de verdiene for s og t som er slik at PQ vm og PQ vn. 53

54 s t 0 s t 1 0 st t t 1 0 4t t1 0 3t 1 t 1 3 st 1 s 3 s 3 Vi får at 1 t s. 3 3 Vi setter disse verdiene inn i utrykket for PQ, for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene. PQ s t 1, s t, s t ,, , 1, 1 Til slutt finner vi lengden av PQ PQ Avstanden mellom de to linjene er 3. 54

55 1.6 Plan i rommet Et plan har normalvektoren, 1, 3 Finn likningen for planet. En likning for et plan er gitt ved, der,, a x x b y y c z z og går gjennom punktet 1, 3, 1. a b c er normalvektoren og x0, y0, z 0 er et punkt i planet Likningen for planet blir x y z x y z x y 3 3z 3 0 x y 3z Gitt punktene A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) og C (0, 0, 4) i et koordinatsystem. a) Finn koordinatene til AB og AC. 0 3,4 0,0 0 3,4,0 AB 0 3,0 0,4 0 3,0,4 AC b) Vis at en likning for planet gjennom A, B og C er gitt ved 4x 3y 3z 1. Vi finner først en normalvektor n a, b, c En normalvektor står vinkelrett på både AB og til planet. AC 3,4,0 ` 3,0,4 16,1,1 44,3,3 n AB AC Da punktet 3,0,0 ligger i dette planet kan likningen for planet skrives som x y z x 3y 3z 1 c) Sjekk om punktet 3,, ligger i planet. Setter koordinatene inn i likningen og sjekker Punktet 3,, ligger i planet. 55

56 1.6.3 Finn skjæringspunktet mellom linjen l og planet gitt ved x5t l : y 6 t z15t : x 3y z 1 Vi finner en verdi for t som gjør at koordinatene til l passer i likningen for. t t t Dette gir 10 t 18 6t 1 5t 1 x 5 3 y 6 z t 6 t Skjæringspunktet er 3,, Planet er gitt ved x y 3z 4 0. Finn hvor planet skjærer koordinataksene. Planet skjærer x-aksen når y 0 og z 0. Da er x4 0 x 4 Planet skjærer y-aksen når x 0 og z 0. Da er y 4 0 y Planet skjærer z-aksen når x 0 og y 0. 4 Da er 3z 4 0 z 3 56

57 1.6.5 Gitt planene : x y 3z 3 0 og : x 3y z 1 0 Finn vinkelen mellom planene og når du får oppgitt at cos 85,9 14 Finner vinkelen mellom planene ved å finne den minste vinkelen mellom normalvektoren til planene. Normalvektorene er Dermed er cosu n, 1,3 og 1, 3,, 1, 31, 3,, 1, 3 1, 3, 3 6 cosu cosu 14 u 85,9 Vinkelen mellom planene er 85, Et plan går gjennom punktene A1,0,1, B0,1,1 og C 0,0, Et annet plan går gjennom punktene D1,1,0, E,0,1 og F 0,1,1 Finn vinkelen mellom planene og En normalvektor til plan er gitt ved: AB AC En normalvektor til plan er gitt ved: DE DF Vinkelen er større enn 90. Vinkelen mellom planene er dermed ,5 19,5 57

58 1.6.7 Linjen l er gitt ved parameterframstillingen x 4 t l : y 1t z t Finn vinkelen mellom linjen og planet gitt ved x 3y 4z 4 0 når du får oppgitt at 1 1 cos 93, Vi finner først vinkelen mellom en normalvektor til planet og en retningsvektor for linjen. Normalvektor til planet,3,4 Retningsvektor for linjen,1, Vi får cosu cosu cosu,3,4,1,,3,4,1, u cos 93,5 Denne vinkelen er større enn 90. Vinkelen mellom linjen og planet blir dermed 93,5 90 3,5 58

59 1.6.8 Et plan er gitt ved 4x 3y 3z 1. Finn avstanden fra planet til origo. Vektoren n 4, 3, 3 er en normalvektor til. Det betyr at denne vektoren også er en retningsvektor for en normal, n, som går gjennom origo 0,0,0. Vi setter opp en parameterframstilling for n. x 0 4t y 03t z 03t Vi finner skjæringspunktet S mellom n og ved å sette parameteruttrykket for n inn i likningen for 44t 33t 33t t 9t 9t t Vi setter 6 t inn i parameterframstillingen og får x y z Skjæringspunktet S har koordinatene,, , og OS,, Avstanden fra A til planet er OS Hvis du lærer deg «avstandsformelen», sparer du litt regning. q ax by cz d a b c

60 1.6.9 Gitt punktene A 3, 3, 0, B 0,, 4 og 0, 0, 6 C i et koordinatsystem. Finn en parameterfremstilling for planet bestemt av punktene A, B og C. Vektorfunksjonen for planet blir OP OA t AB s AC 3,3,0 0 3, 3, ,0 3,6 0 3,3,0 3, 1,4 3, 3, ,3 3,4 6 OP t s OP t s OP t s t s t s Parameterfremstillingen for planet blir x 33t 3s y 3t 3s z 4t 6s Gitt tre punkt A 3, 3, 0, B 0,, 4 og 0, 0, 6 C i et koordinatsystem. a) Vis at vektoren 1,1,1 står normalt på planet gjennom A, B og C. Vi viser at skalarproduktet mellom vektoren Vektorene AB 3, 1,4 1, 1, 1 og vektorene AB og AC er null. 1, 1, 1 er da en normalvektor til planet gjennom punktene A, B og C. AC 3, 3,6 AB 1,1,1 3, 1,4 1,1, AC 1,1,1 3, 3,6 1,1, b) Vis at planet gjennom punktene A, B og C er gitt ved likningen Vi har normalvektoren x y z 6 0 1, 1, 1 og bruker i tillegg at punktet C 0,0,6 x y cz a x x b y y c z z x y z 6 0 ligger i planet 60

61 c) Finn avstanden fra origo til planet. Bruker avstandsformelen og finner q ax by cz d a b c d) En rett linje l er gitt ved en vektorfunksjon r der 3, 1, 1 3 r t t t t e) Finn skjæringspunktet mellom linjen l og planet. For å finne skjæringspunktet mellom linjen l og planet setter vi planet. Setter t t t t 1 t 1 3t t 6 1 t inn i r t og får skjæringspunktet 1 7 x 3 1 y z 1 3 r t inn i likningen for Skjæringspunktet S har koordinatene 7 1,,. f) Finn vinkelen mellom linjen l og z aksen når du får oppgitt at cos 36,7. 14 Vi bruker formelen for skalarproduktet for å finne vinkelen mellom linjen l og z-aksen. En retningsvektor for z aksen kan skrives som 1 3 0,0,1. Linjen l har retningsvektoren 1,,3 61

62 0,0,1 1,,3 3 cosu cos 36,7 Vinkelen er 36, Planet er gitt ved x 3y 4z 1 0. a) Finn en parameterframstilling for linjen l som går gjennom (3,, 4) og står vinkelrett på α. En normalvektor til er, 3, 4. Dette er også en retningsvektor for linja l. Vektorlikningen for l blir: x, y, z 3,, 4 t, 3, 4 3 t, 3 t, 4 4t Parameterfremstillingen for linja l er dermed x3t l : y 3t z44t. b) Finn hvor linjen l skjærer xy -planet. Linjen skjærer xy -planet når z 0. Da er 4 4t 0t 1 x 31 5 y Linjen l skjærer xy -planet i 5,5,0 c) P er et punkt på linjen l. Gitt punktet D( 3, 5,3). Vis at DP 6 t,73 t,14t DP 3t 3, 3t 5, 4 4t 3 6 t,7 3 t,14t d) Bestem t slik at DP står vinkelrett på linjen l. Hvis DP skal stå vinkelrett på linjen l, må vi ha at 6

63 t t t 6,7 3,1 4,3, t 1 9t 4 16t 0 9t 9 0 t 1 e) Finn avstanden fra punktet D til linjen l. Når 1 t er DP 6 1,731,141 4,4,5. DP

64 1.6.1 En likningsfremstilling for en rett linje i rommet er gitt ved likningssettet x 3y 4z 4 0 6x 7y 8z 4 0 Finn en parameterfremstilling for linjen gitt ovenfor Vi trenger en retningsvektor for linjen og et punkt på linjen. En retningsvektor for skjæringslinjen mellom to plan må være parallell med begge planene. Retningsvektoren må derfor stå normalt på normalvektorene til begge planene. En slik vektor finner vi som vektorproduktet mellom planenes normalvektorer r,3,4 6, 7, 8 4,40, 3 41,10, 8 v Vi finner et punkt på linjen ved å velge en verdi for en av koordinatene, og så regne ut verdiene til de to andre koordinatene. Setter x 0 og bruker videre innsettingsmetoden. 0 3y 4z y 8z 4 0 3y 4z 4 0 7y 8z 4 0 4z 4 y 3 3 Setter y verdien inn i likningen 7y 8z4 0 og finner Dermed er 4z 4 7 8z z 8 4z z z y y En parameterframstilling for linjen blir da x t y 4 10t z 4 8t 64

65 a) Finn en likningsfremstilling for planet gitt ved parameterfremstillingen x 1t s y 4 3t s z 3 4t 4s Punktet 1,4, 3 og vektorene, 3,4 og,,4 Vi kan da finne en normalvektor til planet n, 3,4,,4 4,0,,0,1 ligger i planet. En likning for planet blir x y z x z 3 0 x z 5 0 En likning er x z 5 0 b) Finn en parameterfremstilling for planet gitt ved x 3y 4z 1 0 For å lage en parameterfremstilling av et plan, trenger vi to vektorer som ligger i planet og et punkt i planet. En normalvektor til planet er,3, 4. Da kan vi finne to vektorer som ligger i planet. Kjennetegnet på en vektor som ligger i planet er at skalarproduktet mellom en slik vektor og normalvektoren til planet er lik null. For å finne en vektor som ligger i planet, kan vi for eksempel «trikse litt» med koordinatene til normalvektoren. Vi bytter om på to av koordinatene, skifter fortegn på den ene og setter den tredje koordinaten lik null. Vi får 3,,0,3, 4,3, ,4, De to «røde» vektorene ligger i planet. Merk deg dagens lille «triks»! For å finne et punkt i planet, kan vi for eksempel finne skjæringspunktet mellom planet og z-aksen. Det gjør vi ved å sette x- og y-koordinatene lik null og regne ut verdien for z. Vi får 0304z 1 04z 1 z 3 En parameterfremstilling for planet blir x 3t y t 4s z 3 3s 65

66 1.7 Kuleflater Undersøk om likningene representerer kuleflater, og finn i så tilfelle sentrum og radius. a) x y z Dette er likningen for en kuleflate med sentrum i 1,,6 og radius lik 6. b) x x y y z z Vi lager fullstendige kvadrater x x y y z z x x y y z z x y z x y z Dette er likningen for en kuleflate med sentrum i,1,4 og radius. c) x x y z z Lager fullstendige kvadrater x x y z z x y z x y z 5 36 x x y z z Dette er likningen for en kuleflate med sentrum i, 0, 5 og radius 6. d) x x y y z z Lager fullstendige kvadrater x x y y z z x 8x y y z 6z x y z Dette kan ikke være likningen for en kuleflate siden vi får negativ kvadrert radius, som vi ikke kan ha for reelle tall (r kan ikke være negativ). 66

67 e) x x 3y y z 6z 4 Dette kan ikke være likningen for en kuleflate. Grunnen er at vi ikke har samme tall foran alle andregradsleddene Undersøk ved regning om kuleflaten gitt ved likningen likningen x 3y 4z 0 0 skjærer hverandre. x 1 y 3 z 3 og planet gitt ved Hvis avstanden fra kulas sentrum til planet er mindre enn eller lik kulas radius, vil planet skjære kula. Vi finner denne avstanden q, Kula har radius 3. Planet vil skjære kula. Vi kan også se dette ved å tegne kuleflaten og planet ved hjelp av et digitalt verktøy. Se nedenfor. 67

68 1.7.3 x 1 y 3 z 3 Gitt kuleflaten a) Undersøk ved regning om kuleflaten skjærer noen av koordinataksene. Finn eventuelle skjæringspunkter. Vi undersøker om kuleflaten skjærer x - aksen ved å sette y - og z - koordinatene lik null. y 0 z 0 Dette gir x x x x 1 Skjæringspunktet har koordinater 1, 0, 0. Vi undersøker om kuleflaten skjærer y - aksen ved å sette x - og z - koordinatene lik null. x 0 z 0 Dette gir y y y y 3 8 y 3 8 Skjæringspunktene har koordinater 0,3,0 0,3,0. Vi undersøker skjæring med z - aksen ved å sette x - og y -koordinatene lik null. x 0 y 0 Det gir z 3 z z Ingen skjæringspunkter med z - aksen. 68

69 b) Finn et punkt som ligger på kuleflaten. I oppgave a) fant vi tre punkter på kuleflaten. Men ikke alle kuleflater skjærer koordinataksene, så den generelle metoden blir prøving og feiling til vi finner et punkt som passer i likningen ,1,1 ligger på kuleflaten. c) Forklar hvordan du vil gå fram for å undersøke om et gitt punkt ligger inne i kula, på kuleflaten eller utenfor kula. For å undersøke om et gitt punkt ligger inne i kula, på kuleflaten eller utenfor kula, regner vi ut avstanden fra sentrum i kula til punktet. Hvis avstanden er mindre enn radius, ligger punktet inne i kula. Hvis avstanden er lik radius, ligger punktet på kuleflaten og hvis avstanden er større enn radius, ligger punktet utenfor kula. Hva er et tangentplan? x 1 y 3 z 3. I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet kuleflaten gitt ved Vi har også tegnet tangentplanet til kuleflaten i punktet 1,1,1. d) Finn likningen for dette tangentplanet. Kula har sentrum i punktet 1,3,0. En normalvektor til planet som tangerer kuleflaten i punktet 1,1,1 blir da vektoren fra sentrum i kula til punktet 1,1,1. Siden punktet 1,1,1 også må ligge i planet, får vi likningen for planet slik 1 1, 3 1, 0 1,,1 n x y z x y z 1 0 x y z 1 0 e) Hva kan du si om alle linjer som ligger i tangentplanet du fant i d)? Alle linjer som ligger i tangentplanet står vinkelrett på vektoren fra sentrum i kula til punktet 1,1,1. 69

70 1.7.4 x 1 y 3 z 3 Gitt kuleflaten En linje l er gitt ved parameterframstillingen x 4 t l : y 1t z t a) Undersøk om linjen skjærer kuleflaten og finn eventuelle skjæringspunkter. Hvis linjen skjærer kuleflaten, må det finnes verdier for t som gjør at koordinatene for linjen passer i likningen for kuleflaten t t t t t t t 1t 9 t 4t 4 4t 8t 4 9 9t 8t t t 9 Vi får negativt tall under rottegnet. Det betyr at linjen ikke skjærer kuleflaten Tips! Hva er likningen for et plan parallelt med xy-planet i høyden over xy-planet? x 1 y 3 z 3. I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet kuleflaten gitt ved Vi har også tegnet et plan parallelt med xy -planet i høyden over xy -planet. b) Finn likningen for skjæringskurven mellom kuleflaten og planet. Hva slags kurve får vi? Likningen for planet parallelt med xy -planet i høyden over xy -planet er z. Skjæringskurven med kuleflaten blir da x 1 y 3 3 z x 1 y 3 5 z Dette er likningen for en sirkel med radius 5 og sentrum i 1,3,. 70

71 1.7.5 I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet fem kuleflater plassert med sentrum på x -aksen og med radius 1. Kulene tangerer hverandre og den midterste kulen har sentrum i origo. a) Finn en parameterframstilling for hver av kuleflatene. x t y t z t 1 cos 1 sin x t y t z t 1 cos 1 sin x t y t z t 4 1 cos 1 sin x t y t z t 1 cos 1 sin x t y t z t 4 1 cos 1 sin 71

72 b) Gjør det samme for fem kuleflater som er plassert på tilsvarende måte med sentrum på y - aksen. x t y t z t 1 cos 1 sin x t y t z t 1 cos 1 sin x t y t z t 4 1 cos 1 sin x t y t z t 1 cos 1 sin x t y t z t 4 1 cos 1 sin 7

73 c) Gjør også det samme for fem kuleflater som er plassert på tilsvarende måte med sentrum på z - aksen. x t y t z t 1 cos 1 sin x t y t z t 1 cos 1 sin x t y t z t 1 cos 4 1 sin x t y t z t 1 cos 1 sin x t y t z t 1 cos 4 1 sin d) Lag likningsfremstillinger for kuleflatene i a). x 4 y z 1 x y z 1 x y z 1 x y z 1 x 4 y z 1 e) Lag parameterfremstillinger for kuleflatene i a) og b). x y z x t y t z t 1 36 cos 6 36 sin x y z x t y t z t 1 4 cos 4 4 sin 73