Heldagsprøve. Matematikk - R April 2009 Løsningsskisser Ny versjon:

Transkript

1 R -Heldagsprøve V10 Heldagsprøve Matematikk - R 9. April 009 Løsningsskisser Ny versjon: Del 1 Oppgave 1 a) Deriver funksjonen f sinln Deriver funksjonen f 3sin 1 c) Bestem summen av rekken d) 1) Vis at ) Finn det ubestemte integralet 1 3 d e) Vinkelen v ligger i andre kvadrant og sinv 3 5. Finn ved eksakte verdier for cos v, tan v og cos v. f) f lnn n 1) Vis at f lnn1 ) Regn ut 1 ln 4 d g) Løs differensialligningen y y 0, der y1 h) Løs differensialligningen y y 3y 0, der y0 0 og y 0 1 i) En rekke er gitt ved a 1 og a n1 a n n 1, der n. 1) Bevis med induksjon at det generelle leddet er a n n 3n6 ) Differansefølgen d n a n1 a n blir d n n 1 Forklar hvorfor a n a 1 n1 i1 d n. 3) Bruk ) til å vise det samme som i 1): a n n 3n6 a) Produktregel: f cos ln sin 1 lncos 1 sin Kjerneregel: f 3u, u sin 1 Ulven av 9 r_hd_v10_ls.te

2 R -Heldagsprøve V10 f 6u cos 0 6sin 1cos c) Geometrisk rekke med a 1, k 3 S a k d) 1) Polynomdivisjon: ) 1 d 1 31 d 3 3 d 5 d d (Delbrøkoppspaltning) 1 5ln ln 1 C ln 5 C 1 3 e) cos v 1 sin v Andre kvadrant: cos v 4 5 tanv sinv cosv f) cosv 1 sin v ) Kjerneregel: f 1 n u n, u ln f 1 n nu n1 1 lnn1 ) 1) gir oss: lnn1 d lnn n C ln n 1 4 n 5 og vi får: 5 C 5 ln 4 ln 1 d 5 1 ln5 0 ln g) Separabel: y y d 1 d ln y ln C 1 y C 1 Integrerende faktor: y 1 y 0, IF e 1 d e ln y 0 y C y C 1 Eller direkte hvis man ser at venstre side er derivasjonen av et produkt: y 0 y C y C 1 (Generell løsning) Initialbetingelse: y1 C 1 1 C Spesiell løsning: y h) Karakteristisk ligning: r r 3 0 r 1 i Generell løsning: y e C sin D cos Ulven av 9 r_hd_v10_ls.te

3 R -Heldagsprøve V10 Initialbetingelser: y0 0 e 0 Csin0 D cos 0 0 D 0 y e Csin (Da D 0) y e 1Csin e C cos (Produktregel) e Ccos Csin y e 0 C 0 1 C C 1 Spesiell løsning: y 1 e sin i) 1) n 1 : a ok n n 1 : Må vise: a n1 n1 3n16 n n4 a n1 a n n 1 n 3n6 n 1 n 3n6n n n4 ) Det nte leddet kan lages ved å starte med første ledd, a 1, og deretter legge til n 1 differanser til vi er kommet til a n. 3) Differansene er en aritmetisk følge med d 1 0,d n1 n 1 1 n så summen blir:s n1 d 1 d n1 n1 0 n n 1/ n1n Formelen i ) gir da: a n a 1 S n1 n1n n 3n4 n 3n6 Oppgave Et plan skjærer koordinataksene i A a,0,0,b 0,b,0 og C 0,0, c. a) Vis at ligningen for planet blir: a y b z c 1 Finn avstanden h fra sideflaten ABC til O og bruk dette til å vise at 1 h 1 a 1 b 1 c a) AB a,b,0, AC a,0, c Lager normalvektor: n AB AC e e y e z a b 0 a 0 c bc,ac,ab AP a,y 0, z 0 a,y,z AP n 0 a,y,z bc,ac,ab 0 bc abc acy abz 0 Ulven av 9 r_hd_v10_ls.te

4 R -Heldagsprøve V10 bc acy abz abc a y b z c 1 (Etter divisjon med abc.) Alternativt: Sett inn koordinatene til A, B og C og vise at disse tre punktene ligger i planet. Avstand: h AOn n a,0,0bc,ac,ab abc bc ac ab a b a c b c a b a c b c abc h Kvadrering gir: a b a c b c abc h a b c h (Etter divisjon med abc.) Del Oppgave 3 Trekanten ABC har hjørner i A1,,0,B,1, 3 og C1,0,. Sammen med punktet D5,3,7 danner trekanten pyramiden ABCD. a) Finn vinkel A i ABC. Finn arealet av ABC. c) Finn parameterfremstillingen til en linje l gjennom C og D. d) Finn ligningen for det planet som inneholder A,B og C. e) Finn ligningen for planet gjennom A,C og D. f) Finn vinkelen mellom grunnflaten ABC og sideflaten ACD. g) Finn vinkelen mellom sidekanten DC og grunnflaten ABC. h) Finn avstanden fra grunnflaten ABC til D. i) Finn volumet av pyamiden. j) Finn avstanden mellom sidekanten AB og sidekanten CD. A1,,0,B,1, 3 og C1,0,. Sammen med punktet D5,3,7 AB 3,1,3, AC,,, AD 6,1,7, CD 4,3,5 a) cos A ABAC AB AC 3,1,3,, A 8.4 Ulven av 9 r_hd_v10_ls.te

5 R -Heldagsprøve V10 e e y e z A ABC ABAC 8,1,4 4,3, c) Retningsvektor: CD 4,3,5,y,z OC tcd 1,0, t4,3,5 4t 1,3t,5t ): 4t 1 y 3t z 5t d) Normalvektor: AB AC 8, 1, 4 4,3,1 (Se. ) Velger: n,3,1 Gjennom A: AP n 0 1,y,z 0,3,1 0 3y 6 z 0 3y z 4 0 e) Tilsvarende d): AC AD,, 6,1,7 16,,14 8,1, 7 Velger: n 8,1,7 1,y, z 0 8,1, y 7z 0 8 y 7z 6 0 f) Vinkelen mellom normalvektoren til planene: cos,3,18,1, g) 7.5 cos 33.7 Søkt vinkel: CD,3,1 CD,3,1 4,3,5,3, h) Som projeksjon av AD på normalvektor: d ADn n 6,1,7,3, i) Ulven av 9 r_hd_v10_ls.te

6 R -Heldagsprøve V10 V ABCD ABCd Eller: ABACAD 6 8,1,46,1, j) Vindskjeve linjer: Projeksjonen av AC,, (for eksempel...) på vektor normalt på retningsvektorene AB og CD : n AB CD 3, 1, 3 4,3,5 4,7,13 e ACn n,,4,7, Oppgave 4 Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. I og II er likeverdige i vurderingen. Alternativ I En bjørnebestand utvikler seg etter den logistiske funksjonen 400 bt, t 0, [år] 13e 0.4t a) Hvor stor var bestanden i utgangspunktet? Hvor stor blir bestanden i det lange løp? c) Når øker bestanden mest? d) Hva er den største veksthastigheten i bestanden? e) Sett opp en differensialligning som har bt som løsning. (Kall bt for y.) a) b e [bjørner] lim t e 0.4t [bjørner] c) Som sagt, den logistiske funksjonen er symmetrisk om vendepunktet: e 0.4t 1 e 0.4t 1 13e 0.4t 3 t ln 1 3 ln1ln3 ln Bestanden øker mest i vendepunktet, dvs. etter ca. 3 år. d) Brøkregel: Maksimal veksthastighet: f.75 f 013e0.4t 40003e 0.4t e 0.4t 480e0.4t 13e 0.4t 480e e [bjørner/år] Ulven av 9 r_hd_v10_ls.te

7 R -Heldagsprøve V10 Alternativt: Bruk differensialligningen (se e) ): y 0.001y400 y for vendepunktet der y : y vp [bjørner/år] (Går uten å kjenne vp.75...) e) Logistisk differensialligning med begrensning 400: y ky400 y For å finne k, må vi finne y og y for en t-verdi, velger t 0: f 0 480e e 0 f0 100 Dette gir ligningen: 30 k k ): y 0.001y400 y og en intialbetingelse, feks. y0 100 Alternativ II Med solhøyden mener vi tallet på grader mellom horisonten og solen. Solhøyden er derfor et mål for hvor høyt solen står på himmelen. Vi skal finne en funksjon på formen ht a bcoskt [ ], t 0,4 [timer] som gir solhøyden ht målt i grader ved klokkeslett t. a) Finn k. Et sted måles solhøyden en dag til kl og til 46 kl Bestem funksjonsuttrykket til ht. c) Når endrer solhøyden seg mest per tidsenhet? d) Vis at ht er en spesiell løsning av differensialligningen y k y a 0 a) k T h0 a bcos0 a b I h1 46 a bcos 1 a b 46 II 1 I II : a 48 a 4 Innsatt i I : b a 4 ht 4 cos t 1 c) I vendepunktet, når cos t 0 t 1 1 ): Kl og kl n t 6 n1 d) y k y a 0 Ulven av 9 r_hd_v10_ls.te

8 R -Heldagsprøve V10 h t bsinktk kbsinkt h t kbcosktk k bcoskt VS h t k ht a k bcoskt k a bcoskt a k bcoskt k bcoskt 0 Oppgave 5 Når en bil kjører over en hump i veien, er det ønskelig at støtdemperne sørger for at den vertikale svingebevegelsen som oppstår, blir dempet mest mulig.hvis massen til bilen er m, den samlede fjærkonstanten til støtdemperne k og dempningskonstanten i støtdemperne er q, vil den vertikale posisjonen y ft til bilen til enhver tid t i sekunder være gitt ved en løsning av differensialligningen my qy ky 0 a) En bil med masse m 1000 kg kjører på en horisontal vei. Den samlede fjærkonstanten for de fire støtdemperne setter vi til k N/m og dempningskonstanten til q Ns/m. Bilen kjører over en hump. 1) Finn det generelle uttrykket for posisjonen y til bilen etter t sekunder. ) Tegn et par integralkurver. 3) Er støtdemperne gode? En gammel bil med masse m 1000 kg kjører på en horisontal vei. Den samlede fjærkonstanten for de fire støtdemperne setter vi til k N/m. Dempningskonstanten er her q Ns/m. 1) Finn det generelle uttrykket for posisjonen y til bilen etter t sekunder. ) Tegn et par integralkurver. 3) Bør støtdemperne skiftes? a) DL: 1000y 0000y y 0 y 0y Karakteristisk ligning: r 0r r 10 0 r 10 1) Generell løsning: y C Dte 10t ) 3) Vi ser at f0 C, slik at C sier hvor stor utslag vi fikk for dumpen. Hvis vi deriverer ser vi at D sier noe om hvor stor den deriverte er rett etter dumpen. Tegn noen kurver for forskjellige verdier av C og D, slik at du har grunnlag for å si: Vi ser at uansett hvordan vi varierer C og D, så ser vi at y oppfyller standardkravene til en støtdemper på et motorkjøretøy: -Ikke svinge forbi likevektspunktet, eller enda verre svinge forbi flere ganger. -Tilbake til likevektspunktet etter maksimalt ett sekund Stødemperne er derfor tilsynelatende "gode", men; dette er kritisk dempning, så vi har ingen marginer, hvis for eksempel dempningen blir dårligere pga. slitasje! Ulven av 9 r_hd_v10_ls.te

9 R -Heldagsprøve V10 DL: 1000y 10000y y 0 y 10y Karakteristisk ligning: r 10r r ) Generell løsning: y e 5t Csin8.66t D cos 8.66t ) Tegn noen kurver for forskjellige C og D i i 3) Vi ser av kurvene i ) og av løsningsuttrykket i 1), at vi har svingninger, selv om de er dempede. Systemet har ikke sluttet å svinge etter ett sekund og passerer likevektspunktet flere ganger, støtdemperne er med andre ord livsfarlige. Bilen må ikke kjøres før støtdemperne er skiftet. Ulven av 9 r_hd_v10_ls.te