R1 - Eksamen V Løsningsskisser. Del 1

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "R1 - Eksamen V Løsningsskisser. Del 1"

Haakon Gundersen
7 år siden
Visninger:

1 Oppgave 1 R1 - Eksamen V Løsningsskisser Del 1 1) Produktregel: f x 3x lnx x 3 1 x 3x lnx x x 3lnx 1 ) Kjerneregel: f x 4e u, u x 3x f x 4e u x 3 4 x 3 e x 3x 1) P P 0 P x x Q x x 3 4x 4x 16 x x x 8 x 3 x x x 4x 4x 8x 8x Andregradsuttrykket Q x : x x 8 0 x 4 x Q x x 4 x ): P x x x 4 x (Kunne gjort direkte med felles faktor: x 3 4x 4x 16 x x 4 4 x 4 x 4 x 4 x x x 4 men må vel bruke polynomdivisjon når de ber om det...) ) x x 4 x 0-4 x o x o x o Uttrykk o o o L,,4 Ulven av 8 r1_eks_v10_ls.tex

2 PererfraBergen PererfraNorge Hvis påstanden "Per er fra Bergen" er sann, må også påstanden "Per er fra Norge" være sann, altså en implikasjon. (Løsningsmengden for det første utsagnet er dessuten inkludert i løsningsmengden til det andre utsagnet.) d) a 3,5 1) b a 3,5 6, 10 ) c 1,y (Velger x koordinat 1, da vi selv kan bestemme lengde.) a c 0 3,5 1, a 0 3 5a 0 a 3 5 Kan bruke 1, 3, men velger en som er 5 ganger større for å unngå brøk: c 5, 3 5 (Kan bruke regel direkte: "Bytt om koordinater og skift fortegn på en av dem.") e) 4 1 x x x x x 100 x 300 f) Starter med sentrum S. Sirkel med radius r om S. Velger A på sirkel. Konstruerer 3 r: (Flere måter å gjøre dette på...) Stråle gjennom A og S, som skjærer sirkel i P. Konstruerer midtpunktet M til S og P. Ulven av 8 r1_eks_v10_ls.tex

3 AM er da 3 r Finner B ved å slå sirkel om A gjennom M.(DablirAB AM 3 r.) Thales: ABP er 90 BC må da halvere vinkel ABP, så vi konstruerer halveringslinjen for vinkel ABP. Halveringslinjen skjærer da sirkelen i C. (Alternativt konstruere en normal på AS gjennom S,da ASC er sentralvinkel til periferivinkelen ABC, ogderformåvære ABC C som skjæring av sirkel og denne normalen.) Oppgave f x x 1 x 3 Tall-linjer gir: -1 3 f x : o o f x voksende i, 1 og 3, f x avtagende i 1,3 Bunnpunkt: Toppunkt: 3, f 3 1, f 1 f x x 4x 6 f x 4x 4 f x 0 4x 4 0 x 1 Vendepunkt: 1, f 1 g x a x b x c ax abx acx abc ax a b c x abc g x ax a b c g x 0 ax a b c 0 x a b c a b c Vendepunkt for x b c. Bare en løsning, så bare ett vendepunkt. Her er b x maks og c x min eller omvendt, så x x maks x min, altså midt mellom x maks og x min. Del Ulven av 8 r1_eks_v10_ls.tex

4 Oppgave 3 1 Trekker 5 av 1 kamper, uordnet, uten tilbakelegging: 79 5 muligheter på hver av de 7 siste, multiplikasjonsregelen: 7 18 (Eller trekke fra {U,B} 7 ganger, ordnet, med tilbakelegging.) Muligheter i alt: (mulige) Muligheter med 5H: (gunstige) Sannsynlighet: P 5H gunstige mulige Oppgave 4 Slike oppgaver bør si noe om hva slags benevninger som gjelder. Praktisk anvendelse med partikkel, fart og akselerasjon er rimelig meningsløst uten benevning... Lommeregner: MODE, Par X 1T T^3 1 Y 1T T 1 WINDOW: T min - T max Aksene må ha piler og enhetsinndeling. Grafen må også være såpass nøyaktig at den stemmer med hva man regner ut ellers i oppgaven. Hastighet: v t r t 3t,1 Akselerasjon: a t v t 6t,0 v 1 3,1 a 1 6,0 Punkt: r 1 4, P 4, Ulven av 8 r1_eks_v10_ls.tex

5 Pass på å markere såpass nøyaktig at v 1 ser ut som den tangerer kurven. v t y akse v 0,1 3t 0 t 0 Punkt: r 0 3,1 Q 3,1 Oppgave 5 Alternativ I f x x 3 f x 3x P 1,1 T 1 : Stigningstall: st f 1 3 Ett-punkts-formel: y y P st x x P y 1 3 x 1 y 3x QED Skjæring T 1,f x : 3x x 3 x 3 3x 0 P 1,1 gir en løsning: x 1, så x 1 må være en faktor i x 3 3x : x 3 3x x 1 x x (Polynomdivisjon.) x x 0 x 1(P er dobbel løsning på grunn av tangering!) x (Q) (Egentlig gir P 1,1 en dobbel løsning x 1, så x 1 må være en faktor i x 3 3x 0. Vi kunne derfor gjort polynomdivisjonen x 3 3x x x 1 x Ulven av 8 r1_eks_v10_ls.tex

6 og fått x Q direkte.) ): Q, f, 8 Egentlig tungvindt å gjøre dette med regning, f x x 3 er symmetrisk om Origo, så T og R må også være symmetrisk om Origo! Da får vi direkte: R 1, 1 Men, når eksamensoppgaver befaler oss å gjøre dette med regning, så må vi gjøre det, dum oppgave spør du meg... :-( R x R, x R 3 T : Stigningstall: st f x R 3x R 3 x R 1 x R 1 (Positiv løsning er P!) ): R 1, f 1 1, 1 Alternativ II Del for kvadrat: l 10 x Side i kvadrat: s l 10 x 4 4 Areal kvadrat: F 1 x s 10 x x QED Side i trekant: s T x 3 Areal trekant: F x ab sinc x x 3 3 sin 60 x 3 QED 36 F x x 3 36 x x 5 x F x x x 5 4 Minst areal når F x x x ): Ledningen må kuttes i to deler på ca m og 4.35 m. Oppgave 6 Ulven av 8 r1_eks_v10_ls.tex

7 Trekant ASD : AD SD r Likebenet trekant SAD ASD x SDC 180 ADS x x Trekant DSC er også likebenet med SD SC r, så her er SDC SCD x Vinkelsum: ASD DSC CSB 180 Her er: ASD x DSC 180 x (Vinkelsum i DSC) CSB y Så vi får: x 180 4x y 180 3x y 0 y 3x Kommentar: Dette resultatet er egentlig en egen setning; Setningen om Toppvinkler. BAC kaller vi en utvendig topp-vinkel til sirkelen. (Toppvinkler dannes av linjer som skjærer en sirkel.) Setningen sier at toppvinkelen er halvparten av differansen mellom de mellomliggende buene vinkelbenene skjærer ut av sirkelen: u m n, der u BAC, m er buen BC tilhørende sentralvinkelen BSC og n er buen tilhørende sentralvinkelen ASD Vi ser at dette gir resultatet direkte: BAC BSC ASD x y x x y x 3x y QED Hvis toppvinkelen ligger inne i sirkelen, får isteden summen: u m n. Oppgave 7 n 1: n : n 3: n 4: n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 (Potensregler) n 1 n 1 (Konjugatsetningen) QED Differansene mellom første og andre, og andre og tredje tall er en, sådemå være heltall som ligger etter hverandre på tallinjen. Ulven av 8 r1_eks_v10_ls.tex

8 Tredje hvert tall på tallinjen er delelig med 3. (3,6,9,1,...) n har bare som faktor og kan derfor ikke være delelig med 3. d) n 1 eller n 1 må være delelig med 3. (Se ) Da må produktet n 1 n 1 være delelig med 3, da en av faktorene er delelig med 3. Da n 1 n 1 4 n 1 (Se ) må 4 n 1 være delelig med 3, QED. Ulven av 8 r1_eks_v10_ls.tex

Like dokumenter

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e