R2 - Trigonometri

Transkript

1 R - Trigonometri Del I - Uten andre hjelpemidler enn lommeregner Oppgave 1 Gjør om vinklene til radianer: a) 18 b) 33 (Regn eksakt!) a) b) Oppgave Gjør om vinklene til grader: a) 16 b) 9 (Regn eksakt!) a) b) Oppgave 3 Løs ligningene ved regning, regn eksakt så langt det går: a) cosx 0, x 0, b) cos x cosx 1 0, x 0, c) tan x cosx cosx 0, x 0, d) cos x 3 sin x cosx 1 0, x 0, a) cosx 0 cosx x k x k L, 7 b) u u 1 0, u cosx u 1 u 1 cosx 1 cosx 1 x k x k x k 3 3 L 3,, 5 3 c) tan x cosx cosx 0, cosx 0 (tan x ikke definert når cosx 0!) cosxtan x 1 0 cosx 0 (Forkastes!) tan x 1 (Alternativt: sin x cos x cosx cosx 0 sin x cosx 0 tan x 1) x k L, 5 Viktig å skille mellom: Forutsetning som gjelder i utgangspunktet. (Som i denne oppgaven.) Forutsetning vi må ta i en omforming. (Som i neste oppgave.) H-P Ulven 1 av 6 r_171116_ls.tex

2 d) cos x 3 sin x cosx 1 0 cos x 3 sin x cosx sin x cos x 0 sin x 3 sin x cosx cos x 0 cosx 0 : (cosx 0 gir ingen løsning) Oppgave sin x sin xcos x 3 cos x 0 tan x 3 tan x 0 cos x cos x cos x u 3u 0, u tan x tan x tan x 1 x. 03 k x 3 k L. 03, 3, 5. 17, 7 En funksjon på formen fx LA sincx har et toppunkt i 1, 3. Det første bunnpunktet etter toppunktet ligger i 5,1. a) Finn funksjonsuttrykket til fx. b) Finn nullpunktene til fx i intervallet 0,. a) Likevektslinje: L maxmin 31 1 Amplitude: A maxmin 31 Periode/bølgelengde: Avstand mellom toppunkt og bunnpunkt er : c 8 ): fx 1 sin x Første skjæringspunkt med likevektslinjen ligger en kvart bølgelengde før toppunktet i 1, 3: x Faseforskyvningen er derfor 1 til venstre, slik at faseforskyvningen blir ff 1, som gir oss: fx 1 sin x 1 1 sin x (Alternativt kan vi tenke oss faseforskyvning 7 enheter mot høyre, og får i så fall: fx 1 sin x 7 1 sin x 7 ) H-P Ulven av 6 r_171116_ls.tex

3 b) Nullpunkt for: 1 sin x 1 0 sin x 1 1 x 1 7 k 11 x 1 k 6 6 x 11 k x 19 k 3 3 Oppgave 5 ): Nullpunkt i 0, er Vinkelen x ligger i 3dje kvadrant og tan x 3. a) Vis at sin x. b) Finn eksakte verdier for cosx, tan x og tanx. 5 a) Vi kan lage en trekant med kateter lik 3 og. Phytagoras gir da hypotenus: 3 5 Ut fra trekanten og med fortegnskorrigering for 3dje kvadrant får vi: sin x 5 Har også formelen: sin x tan x tan x (Forkaster positivt fortegn pga. plassering i kvadrant 3.) b) cosx 1 sin x (Forkaster i tredje kvadrant.) tan x allerede regnet ut, trykkfeil... tan x tan x 1tan x Oppgave 6 Gitt trekanten ABC, der A 15, B 90 og BC 1. I tillegg er : BEC 30 ogade 90 a) Forklar hvorfor AE EC. H-P Ulven 3 av 6 r_171116_ls.tex

4 b) Bruk trekanten til å vise at sin (Hint: Du trenger: ) a) BCE 60 (Vinkelsum 180 i EBC) BCD 75 (Vinkelsum 180 i ABC) ECD BCDBCE Som igjen er lik vinkel A! AED CED : -DE felles side -Begge rettvinklede da ADE 90 -ECD A sinbec BC EC BC EC 1 sin 30 1 Da AED CED, må AE EC ): AE EC QED b) cosbec BE EC BE EC cosbec cos30 3 AB AE EB 3 Pythagoras gir: AC AB BC (For å benytte hintet i oppgaven!) sin 15 BC AC QED Del II - Med hjelpemidler Oppgave 7 Temperaturen et sted i Norge varierte gjennom et døgn som en sinusfunksjon Tt LA sinct [ C], t 0, [timer] Temperaturen kl. :00 (t 0) var 18. Utover natten sank temperaturen til minimumstemperaturen Maksimumstemperaturen dette døgnet var 19.. a) Finn et uttrykk for funksjonen Tt. b) Finn ut på hvilke tidspunkter vi hadde miminums- og maksimumstemperaturer. a) L maxmin H-P Ulven av 6 r_171116_ls.tex

5 A maxmin Periode T [timer] (Indirekte gitt i oppgaven, kan ikke være noe annet...) c T Så langt: Tt sin0. 6t Vinkelen finner vi ved å bruke betingelsen: T sin sin k k (Inntasting av sin( og i CAS gir { 0.796,.35}) Ved å tegne grafen ser vi at vi må bruke.35 for å få temperaturen til å synke utover natten: Tt sin0. 6t. 35 (Alternativt kunne vi brukt sin 0. 6t sin0. 6t , men vi liker å ha positivt fortegn både foran amplituden. 0 og t-leddet 0. 6t...) b) Ekstremalpunkter når 0. 6t. 35 t.35 k. 97 k k Bunnpunkt for t ): ca. kl. 09:0 Toppunkt for t ):ca. kl. 1:0 Kan også bruke kommandoen Ekstremalpunkt[T,0,] i grafisk del av GGB for å finne topp- og bunnpunkter. Oppgave 8 H-P Ulven 5 av 6 r_171116_ls.tex

6 Figuren over viser en sirkel med diameter AB og radius r. Et punkt C flytter seg på sirkelen avhengig av vinkelen x OAC som er uavhengig variabel. Det markerte grønne området er et sirkelsegment S. Det markerte blå området er summen av en trekant AOC og en sirkelsektor med bue BC. a) Forklar og vis at sirkelsegmentet S har arealet Sx r x sin x cosx, der x 0,. b) Bestem x slik at det grønne sirkelsegmentet S blir like stort som det blå arealet. a) Vinkelsummen i AOC gir v AOC x Arealet av sirkelsektoren AOC: S 1 br vrr r r v x r x Arealet av trekant AOC: T gh ACh AOcos xaosin x AO sin x cosx r sin x cosx Sx S 1 T r x r sin x cosx r x sin x cosx QED b) I CAS: S(x):r^(pi/-x-sin(x) cos(x)) S(x)pi r ^/ (Hvis grønn og blå like store er de en fjerdedel av en sirkel!) gir da: Løs: {x0.16, x.00 k } x 0, krever at løsningen blir x (ca. ) (Litt mer tungvindt: S TsektorBOC r x sin x cosx r sin x cosx xrr x sin x cosx sin x cosx x x sin x cosx som løses i CAS Dette er samme ligning som kommer ut av den første løsningen: r x sin x cosx r x sin x cosx x sin x cosx H-P Ulven 6 av 6 r_171116_ls.tex