Eksamen 1T, Høsten 2010

Transkript

1 Eksamen 1T, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (16 poeng) a) Løs likningssystemet xy4 3x y 8 xy4 3xy8 4x 1 x 3 y4 x y 43 y 1 Løsning x 3 y1 1

2 b) Løs likningen 1 x x 5 4 1) grafisk 1 5 Vi tegner de to rette linjene y1 x og y x i et koordinatsystem og finner 4 skjæringspunktet. x ) ved regning 1 5 x x 4 4 x 8 8x10 9x 18 x c) Regn ut og skriv svaret på standardform 4 3 5,710 3, ,710 3, ,010

3 d) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig 3 4 x4 x ( x 4) 4 x 4 x 16 ( x 4)( x 4) ( x 4)( x 4) 3x 1 4 ( x4)( x4) 3x 1 ( x4)( x4) 3( x 4) ( x4)( x4) 3 x 4 e) Løs ulikheten x x 8 0 Vi løser først likningen x x 8 0 x x x 1 6 x x 4 1 x Vi vet nå at uttrykket x x 8 er lik 0 når x 4 og når x. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x -verdier i intervallene, 4, 4, og,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. x x 8 x 4 x 3

4 Vi setter inn x 10 Vi setter inn x Uttrykket er positivt Uttrykket er negativt. Vi setter inn x Uttrykket er positivt. Vi kan da sette opp fortegnslinjen x - verdier 4 x x x x 8 0 for x, 4, f) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tan C 5. 1 AB tanc 5 AC 1 4

5 g) I en twistpose er det 5 twistbiter. Per liker 16 av disse. Vi trekker tilfeldig to twistbiter fra posen. 1) Finn sannsynligheten for at Per liker begge twistbitene vi trekker P(Per liker begge twistene vi trekker) ) Finn sannsynligheten for at Per bare liker én av twistbitene vi trekker P(Per liker bare én av twistene vi trekker) Oppgave (8 poeng) En funksjon f er gitt ved 1 f x x x a) Finn den momentane vekstfarten til f når x f x x x 7 3 f x x x f b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet fra x 0 til x 3. Kan du ut fra dette avgjøre om grafen til f har ekstremalpunkt i intervallet 0,3? Begrunn svaret. f f Siden den gjennomsnittlige vekstfarten til tredjegradsfunksjonen f er null, må vekstfarten være positiv for noen x - verdier i intervallet og negativ for noen x - verdier i intervallet. Grafen til f har da et ekstremalpunkt i intervallet. 5

6 c) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f ved regning. x 1 3 f x x x 7 3 f x x x f x 0 x0 x x 0 x 0 x 1 Vi vet nå at den deriverte er lik null når x 0 og når x. Det er da for disse x - verdiene at grafen til f har eventuelle topp- og bunnpunkter. For å finne ut om grafen har topp- eller bunnpunkter i for disse x -verdiene, sjekker vi fortegnet til den deriverte i intervallene,0, 0, og,. f x x x x x Vi setter inn Vi setter inn x 10 x Uttrykket er positivt Uttrykket er negativt. Vi setter inn x Uttrykket er positivt. Vi kan da sette opp fortegnslinjen x - verdier 0 fx 0 0 6

7 Grafen til f har toppunkt Grafen til f har bunnpunkt 0, f 0 0, , f, 7, 3, Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 3 (6 poeng) Funksjonen T gitt ved 100 0,55730 T x x viser hvor mange prosent av opprinnelig mengde C-14 det er igjen i en plante x år etter at planten er død. 7

8 a) Tegn grafen til T for x 0, b) Hvor lang tid tar det før opprinnelig mengde C-14 i en plante er halvert? Vi tegner linjen y 50 i samme koordinatsystem som grafen til T. Vi bruker så kommandoen «Skjæring mellom to objekt» i GeoGebra. Det tar 5730 år før opprinnelig mengde C-14 er halvert. På bildet ser du rester av en gammel trebrønn som ble funnet under utgravinger i Vestfold. Målinger viste at treverket inneholdt 86,5 % av opprinnelig mengde C-14. c) Omtrent hvor gammel var brønnen da målingene ble gjort? Vi tegner linjen y 86,5 i samme koordinatsystem som grafen til T. Vi bruker så kommandoen «Skjæring mellom to objekt» i GeoGebra. Brønnen var omtrent 100 år gammel da målingene ble gjort. 8

9 Oppgave 4 (6 poeng) Anders, Hilde og Petter har valgt 1T. De har et prosjekt der de skal bruke trigonometri til å løse praktiske problemstillinger. Anders vil finne ut hvor høy flaggstanga på skoleplassen er. Han måler avstand og vinkel som vist på figuren ovenfor. a) Bruk opplysningene på figuren og regn ut hvor høy flaggstanga er. Vi bruker tangens og regner i wxmaxima. Flaggstanga er ca. 1,5 meter høy. Hilde er på tur og kommer til en innsjø. Hun står i punkt A og vil finne ut hvor langt det er til punkt B på den andre siden av innsjøen. Hun måler avstanden AC, A og C. 9

10 Se figuren ovenfor. b) Bruk opplysningene på figuren og regn ut hvor langt det er fra A til B. Vi bruker sinussetningen og regner i wxmaxima. Det er ca. 150 meter fra A til B. På skoleplassen står det tre trær. Trærne danner hjørnene i en trekant. Petter måler avstandene mellom trærne til å være henholdsvis 0, 4 og 14 m. c) Regn ut arealet av trekanten som trærne danner. Vi bruker først cosinussetningen for å finne vinkelen mellom sidene som er 0 og 4 meter. Vi regner i wxmaxima. Vinkelen må være mindre enn 180, og er derfor ca. 35,7. Vi kan så regne ut arealet ved å bruke arealsetningen. Vi regner i wxmaxima. Arealet er ca. 140 m. 10

11 Oppgave 5 (8 poeng) Fotballgruppa i et idrettslag ønsker seg en ny ballbinge. De gjennomfører en spørreundersøkelse for å finne ut hva medlemmene i idrettslaget mener om dette. Alle de 40 medlemmene i idrettslaget blir spurt. 45 % av medlemmene er kvinner. 63 av mennene ønsker ballbinge. Til sammen 110 av medlemmene ønsker ikke ballbinge. a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk opplysningene ovenfor og fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene. Vi regner i wxmaxima og fyller ut tabellen. Mann Kvinne Totalt Ønsker ballbinge Ønsker ikke ballbinge Totalt b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem i idrettslaget ønsker ballbinge. Sannsynligheten for at et tilfeldig valt medlem ønsker ballbinge er 0,54. 11

12 Et medlem blir valgt tilfeldig. Det viser seg at dette medlemmet ønsker ballbinge. c) Finn sannsynligheten for at dette medlemmet er en mann. Sannsynligheten for at dette medlemmet er en mann er 0,48. Styret i idrettslaget setter som krav at minst 75 % av medlemmene må ønske ballbinge dersom de skal godkjenne planene. Fotballgruppa prøver å verve nye medlemmer som ønsker ballbinge. d) Hvor mange slike medlemmer må fotballgruppa verve for at kravet fra styret skal innfris? Det er 130 medlemmer som ønsker ballbinge. Vi antar at det blir vervet x nye medlemmer som ønsker ballbinge. Det blir da 130 x medlemmer som ønsker ballbinge. Til sammen er det da 40 x medlemmer. 75 % av medlemmene må ønske ballbinge. Vi setter opp en likning som vi løser i wxmaxima Fotballgruppa må verve 00 nye medlemmer. 1

13 Oppgave 6 (6 poeng) Et telefonabonnement har ofte en fast månedspris. I tillegg betaler du for hvert minutt du ringer. a) Grafen til høyre viser kostnader per måned med et gitt telefonabonnement. Bruk grafen og finn den faste månedsprisen og prisen for hvert minutt du ringer. Grafen starter i ca. punktet (0,90). Fast månedspris er ca. 90 kroner. Grafen går gjennom punktet (100,140). Prisen for hvert minutt du ringer er ca. 50 øre. Tabellen nedenfor viser kostnader per måned med tre ulike telefonabonnementer, A, B og C. Abonnement Fast månedspris Pris per minutt du ringer A 0 kroner 1,59 kroner per minutt B 100 kroner De første 100 minuttene er gratis, deretter 1,19 kroner per minutt C 50 kroner 0,49 kroner per minutt 13

14 b) Tegn grafer som viser de månedlige kostnadene med hvert av de tre telefonabonnementene i ett nytt koordinatsystem. Velg x - verdier fra og med 0 minutter til og med 500 minutter. Vi bruker GeoGebra og tegner grafene til funksjonene A, B 1, B og C gitt ved 1,59 0, , , , ,49 0,500 A x x x B x x 1 B x x x C x x x c) Hvor mye må du ringe for at det skal lønne seg å bruke hvert av de tre abonnementene A, B og C? Vi finner skjæringspunkt ved å bruke kommandoen «Skjæring mellom to objekt» i GeoGebra. Abonnement A lønner seg dersom du ringer i mindre enn ca. 63 minutt per måned. Abonnement B lønner seg hvis du ringer mellom ca. 63 og ca. 384 minutt hver måned. Abonnement C lønner seg dersom du ringer mer enn ca. 384 minutt hver måned. 14

15 Oppgave 7 (4 poeng) En undersøkelse viser at 95 % av elevene ved de videregående skolene i et fylke har profil på Facebook. Vi velger tilfeldig 5 elever fra disse skolene. a) Finn sannsynligheten for at alle 5 elevene har profil på Facebook. Sannsynligheten for at alle 5 elevene har egen profil er ca. 7,7 %. b) Finn sannsynligheten for at flere enn 0 av de 5 elevene har profil på Facebook. Dette er en binomisk sannsynlighetsfordeling. Vi bruker wxmaxima. Sannsynligheten for at flere enn 0 av de 5 elevene har egen profil er ca. 99,3 %. 15

16 Oppgave 8 (6 poeng) I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren. Alternativ I En funksjon f er gitt ved f x x ax 4 a) Finn fx. Bruk den deriverte til å finne toppunktet til f når a. f x 4x a Når f a er x 0 4x 0 4x Når x 4 1 x f x 4x a er f x x x f Toppunktet er, 16

17 b) Bestem verdien av a slik at x - koordinaten til toppunktet er 1. f x f x 4x a 0 4x a 0 4x a a x 4 Dersom x-koordinatenskalvære 1, må a 4 c) For hvilken verdi av a har y - koordinaten til toppunktet lavest verdi? y - koordinaten til toppunktet er a a a f a a a a a a 4 8 y - koordinaten har lavest verdi når a 0 17

18 Alternativ II a) Sidene i en trekant er 7 cm, 0 cm og 1 cm lange. Er trekanten rettvinklet? Vi bruker Pytagoras setning for å avgjøre om trekanten er rettvinklet. Trekanten er ikke rettvinklet. Rolf har en 6,0 m lang jernstang. Han vil bruke stangen til å lage en rettvinklet trekant. Den ene kateten skal være,0 m lang. b) Regn ut lengden av de to andre sidene i trekanten. Vi bruker Pytagoras setning og setter opp en likning som vi løser i wxmaxima. 18

19 De to andre sidene er 1,5 m og,5 m. Rolf finner en ny stang som er 6,0 m lang. Av denne stangen vil han lage en trekant der en vinkel er 10 og en av de tilstøtende sidene er,0 m lang. c) Regn ut lengden av de to andre sidene i denne trekanten. Vi bruker cosinussetningen og setter opp en likning som vi løser i wxmaxima. De to andre sidene i denne trekanten er,8 m og 1, m. Bildeliste Twist Foto: Utdanningsdirektoratet Kaupang-undersøkelsen Foto: UiO Facebook Foto: JanErik Henriksson/Scanpix Sweden Rettvinklet trekant Foto: Utdanningsdirektoratet 19