Funksjoner med og uten hjelpemidler

Transkript

1 Funksjoner med og uten hjelpemidler

2 Plan for i dag og i morgen Dag 1: Del 1: teori Lunsj Del 2: bruk av GeoGebra Oppgaveregning, del 1. Dag 2: Del 2: vekst og regresjon Del 2: bruk av regresjon for å løse oppgaver om figurtall Lunsj Oppgaveregning.

3 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45 Økt 3: 11:00-11:45 Tema: Koordinatsystemet Funksjonsbegrepet Funksjonstabeller og grafer Lineære funksjoner og tolkning av disse Andregradsfunksjoner Eksponentialfunksjoner og eksponentiell vekst (Tallmønstre og figurtall)

4 Koordinatsystemet Den vannrette aksen er x-aksen (førsteaksen), den loddrette er y-aksen (andreaksen). Punktet A har førstekoordinaten -4 og andrekoordinaten 3. Vi sier at punktet A har koordinatene (-4, 3). Kan også si at A er punktet (-4, 3). Punktet med koordinater (0, 0) kaller vi origo. Snakk med sidemannen: Hvilke koordinater har punktene B-I? Snakk med sidemannen: Hvor ligger de punktene som har førstekoordinat 2,5? Hvor ligger punktene som har andrekoordinat 1?

5 Funksjonsbegrepet En funksjon er en sammenheng mellom x- verdier og y-verdier slik at hver verdi av x gir én (og bare én) verdi av y. Snakk med sidemannen om oppgaven til høyre. For Kines svømmetur er hennes avstand fra start (i meter) en funksjon av tiden hun har svømt (i sekunder). Kan vi også fremstille tiden hun har svømt som en funksjon av hennes avstand fra start? Spesielle punkter: I et toppunkt er funksjonsverdien større enn i nabopunktene. I et bunnpunkt er funksjonsverdien lavere enn i nabopunktene. I et nullpunkt er funksjonsverdien lik null. (Felles navn på toppunkter og bunnpunkter: ekstremalpunkter.) (Oppgave 9 fra del 1 fra eksempelsettet til eksamen i 2P, vår 2015.)

6 Funksjonsuttrykk og funksjonstabell En funksjon kan være gitt ved et funksjonsuttrykk, en graf, en tabell, eller en sammenheng uttrykt i ord. I oppgaven til høyre er h navnet på funksjonen, og skrivemåten h(t) viser at h er en funksjon av t. Uttrykket h t = 5t t + 15 kalles funksjonsuttrykket. I deloppgave a) skal vi fylle ut en funksjonstabell, der noen verdier alt er gitt. (Kalles også verditabell, og kan også skrives vertikalt.) Tabellen vil i dette tilfellet ikke inneholde h(t) for alle verdier av t, for eksempel ikke for 2,9. Gjør punkt a) og c), og diskuter med sidemannen. (Fra del 1 av eksamen i 2P våren 2015.)

7 Lineære funksjoner Lineære funksjoner er funksjoner som har en graf som er en rett linje. En lineær funksjon f(x) kan skrives på formen f x = ax + b, der a er stigningstallet og b er konstantleddet. Stigningstallet a viser hvor mye y øker når x øker med 1. Konstantleddet b viser hva y-verdien er når x=0. Hva er stigningstallet og konstantleddet for den lineære funksjonen vi skal finne i deloppgave a)? (Fra del 1 av eksamen i 2P høsten 2015.)

8 Lineære funksjoner (Fra del 1 av eksempeloppgavesettet til 1P+2P 2016.)

9 Lineære funksjoner skjæring mellom grafer (Fra del 1 av eksamen i 1P høsten 2015.)

10 Proporsjonale størrelser: gjennomgått uke 28 To størrelser x og y er proporsjonale dersom grafen som viser sammenhengen er en rett linje gjennom origo. Kan skrive y = kx, der k er stigningstallet, som i denne sammenhengen også kalles proporsjonalitetskonstanten. Proporsjonalitet er altså et eksempel på lineær vekst.

11 Polynomfunksjoner andregradsfunksjoner Grafen til en andregradsfunksjon, som har funksjonsuttrykk f x = ax 2 + bx + c, kalles en parabel. Parabler har enten et topp- eller et bunnpunkt. Hvis a > 0 er det et bunnpunkt, og hvis a < 0 er det et toppunkt. En andregradsfunksjon kan ha enten ingen, ett eller to nullpunkter. Hva er a, b og c for funksjonene h(x), g(x), r(x) og p(x)?

12 Grafer til funksjoner (Fra del 1 av eksamen i 1P høsten 2015.)

13 Eksponentialfunksjoner eksponentiell vekst Prosentvis vekst blir også kalt eksponentiell vekst. Vi har eksponentiell vekst når y-verdien endrer seg med like mange prosent i hver periode.

14 Eksponentiell vekst eksempel I en bakteriekultur er det bakterier, og antallet øker med 10% hver time. La f x være antall bakterier etter x timer. Etter 1 time er det f 1 = ,10 = bakterier. Etter 2 timer er det f 2 = ,10 1,10 = ,10 2 = bakterier. Etter 3 timer er det f 3 = ,10 3 = bakterier. Etter x timer er det f x = ,10 x bakterier.

15 Eksponentialfunksjoner eksponentiell vekst En eksponentialfunksjon kan vi skrive på formen f x = a b x, med b > 0. Hva blir f(0)? Hvis vekstfaktoren b er større enn 1 blir funksjonsverdien større når x øker. Hvis 0 < b < 1 blir funksjonsverdien mindre når x øker. (I de to siste punktene har vi forutsatt a > 0.) (Fra Matematikk 2P, av Heir, Borgan, Engeseth og Skrede.)

16 Eksponentialfunksjoner eksponentiell vekst (Fra del 1 av eksamen i 2P høsten 2015.)

17 Andre typer funksjoner Tredjegradsfunksjoner: f x = ax 3 + bx 2 + cx + d Potensfunksjoner: f x = a x b

18 Tallmønstre og figurtall Tallmønstre er eksempler på funksjoner der x-verdiene er positive heltall 1, 2, 3, osv., og der y-verdien er bestemt av et «mønster» man skal oppdage. Snakk med sidemannen om oppgaven til høyre. (Fra del 1 av eksempelsettet til eksamen i 2P vår 2015.)

19 Tallmønstre og figurtall Oppgaven til høyre kan løses både med og uten digitale hjelpemidler. Vi vil komme tilbake til hvordan den kan løses med digitale hjelpemidler i morgen. (Oppgave 7 i del 2, eksamen i 2P høsten 2015.)