Eksamen S1, Hausten 2013

Transkript

1 Eksamen S1, Hausten 013 Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 ( poeng) Funksjonen f er gjeve ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f x x x f x 6x 3 f Oppgåve (3 poeng) Løys likningane a) xx x x x 5x x x x 7 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 1

2 b) 3 10 x x x 5 3x 5 x 5 3 Oppgåve 3 ( poeng) Løys likningssettet ved rekning yx yx 4 y x yx 4 x x 4 x x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 3 x1 y1 3 Oppgåve 4 ( poeng) Ei rørsle skjer langs ei rett linje. Startfarten var v 0, og akselerasjonen er konstant lik a. Etter tida t er farten v blitt v v0 at. a) Bestem ein formel for t uttrykt ved v, v 0 og a. vv v v0 at at v v0 t a 0 b) Kor lang tid tek det før farten v er blitt 5 når akselerasjonen a 3 og startfarten v0 1? Eg set dei oppgjevne verdiane inn i formelen eg fann i a) vv0 51 t 8 a 3 Etter tida 8 er farten blitt 5. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side

3 Oppgåve 5 (4 poeng) a) Skriv så enkelt som mogleg 9 a 3 3ab b a b 3 a b a b 3 a b 4 3ab 3 a b b b) Vis at a b lg lg lg lg b a a ba ab a b lg lg lg a b lga lg b b a lg b lga lga b lga lga lg a b lga lg a b lg a a b lg a ab a b b a Vi har då vist at lg lg lga blga ab Oppgåve 6 ( poeng) Løys ulikskapen x x x x x x x x x x x Eg set x x6 0. Då er x 3 Då er x x 6 x x 3 Eg tek stikkprøvar og sjekkar forteiknet til uttrykket for x verdiar mindre enn 3, mellom 3 og og større enn Løysinga på ulikskapen blir: x3 x Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 3

4 Oppgåve 7 ( poeng) Figuren under viser eit utsnitt av tre påfølgjande rader av Pascals taltrekant. Bruk figuren til å bestemme x og y ved å setje opp og løyse eit likningssystem. yx1 yx16 x 1 x 16 3x 105 x 35 y Oppgåve 8 (4 poeng) Funksjonen f er gjeve ved 3 f x x 6 x, Df a) Bestem nullpunkta til f. 3 f x 0 x 6x 0 x x 3 0 x 0 x 3 Nullpunkta til funksjonen er 0 og 3. b) Bruk f x 3 f x x 6x f x 6x 1x 6x x til å bestemme eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. Eg ser av uttrykket at den deriverte er null for x 0 og x. Eg tek stikkprøvar og sjekkar forteiknet til den deriverte for x verdiar mindre enn 0, mellom 0 og og større enn f f f Grafen har toppunkt 0, f 0 0,0 og botnpunkt, f, 8 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 4

5 c) Lag ei skisse av grafen til f. Oppgåve 9 ( poeng) Grafen til funksjonen under. f x ax b cx 1 er teikna Bruk figuren til å bestemme verdiane til a, b og c. Grafen til funksjonen har loddrett asymptote for x 1. For denne x verdi er nemnaren lik null. Det vil seie at c11 0 c 1. Funksjonen går mot når x går mot uendeleg. Funksjonsuttrykket går mot a c når x går mot a a uendeleg. Då er a c 1 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 5

6 Grafen viser at f 1 0. Då er c a1 b 1 b b b 0 b Oppgåve 10 (1 poeng) Ein funksjon f er gjeve ved f x x D, f Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at fx x. y f x f x lim lim x0x x0 lim x0 lim x0 x0 x x x x xx lim x0 x lim xx x lim x x x x f x x x x xx x xx 0 x x Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 6

7 Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillet kommunikasjon. Oppgåve 1 (4 poeng) I ei øskje ligg det 50 lyspærer. Av desse er 7 defekte. Du vel tilfeldig ut 10 lyspærer frå øskja. a) Bestem sannsynet for at akkurat av lyspærene er defekte. Dette er ein hypergeometrisk situasjon med eit utval på 10 lyspærer av ein «populasjon» på 50 lyspærer. Eg set n 7 i sannsynskalkulatoren i GeoGebra, som svarar til at 7 av lyspærene er defekte. X står for talet på defekte lyspærer i utvalet. Eg reknar ut sannsynet for at X. Sannsynet for at det er akkurat defekte lyspærer i utvalet er 9,64 %. b) Bestem sannsynet for at du vel ut minst 3 defekte lyspærer. Eg reknar ut sannsynet for at X 3. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 7

8 Sannsynet for at det er minst 3 defekte lyspærer i utvalet er 13,6 %. Oppgåve (5 poeng) Ein fabrikk produserer lyspærer. Fabrikken garanterer at det er 75 % sannsyn for at ei lyspære vil lyse i 1000 h (timar). Ein kunde kjøper 0 slike lyspærer. a) Bestem sannsynet for at akkurat 18 lyspærer lyser når det har gått 1000 h. Dette er ein binomisk situasjon med p 0,75, som er sannsynet for at ei tilfeldig lyspære vil lyse i 1000 timar. Eg brukar sannsynskalkulatoren i GeoGebra, og let X vere talet av 0 lyspærer som lyser når det har gått 1000 timar. Eg reknar ut sannsynet for at X 18. Sannsynet for at akkurat 18 lyspærer lyser når det har gått 1000 h er 6,69 %. b) Bestem sannsynet for at minst 15 lyspærer lyser i 1000 h. Eg reknar ut sannsynet for at X 15 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 8

9 Sannsynet for at minst 15 lyspærer lyser i 1000 h er 61,7 %. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 9

10 Kunden ønskjer at det skal vere sannsynleg med 95 % eller meir for at minst 15 av 0 lyspærer framleis lyser når det har gått 1000 timar. c) Bestem kva sannsyn kvar lyspære då må ha for å lyse i 1000 h. Eg prøvar meg fram med aukande verdiar av p heilt til det aktuelle sannsynet kjem over 95%. Når kvar lyspære har eit sannsyn på minst 86,1 % for å lyse i 1000 timar, er sannsynet for at minst 15 lyspærer lyser i 1000 timar, minst 95 %. Oppgåve 3 ( poeng) Vi har gjeve likninga x 900 1, x k Bestem k slik at x 10 er ei løysing av likninga. Eg set inn 10 i staden for x i likninga og løyser likninga med omsyn på k ved å bruke CAS i GeoGebra. Eg får k1,05 k 1,05 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 10

11 Oppgåve 4 (8 poeng) Figuren viser grafen til funksjonen f gjeve ved 1 f x 6 x, D f Under grafen og over x-aksen er det skrive inn eit rektangel ABCD slik figuren viser. Punkta A og B ligg på x-aksen, og C og D ligg på grafen. Punktet B har førstekoordinaten x, der x 0. a) Forklar at arealet F av rektangelet kan skrivast som ein funksjon av x gjeve ved Bestem 3 1 F x x x D F. Grunnlinja AB x sidan f er symmetrisk om y aksen. Høgda BC f x sidan punktet 3 C x, f x. Arealet av rektangelet er difor: F x x f x x 6 1 x 1x x For å få eit rektangel som skildra, må punktet B liggje til venstre for f sitt positive nullpunkt. 1 f x 0 6 x 0 x 1 x 3 Eg set Det vil seie at DF 0, 3 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 11

12 b) Det finst to verdiar av x som gjer at arealet av rektangelet blir lik 9. Bestem desse to verdiane. Eg løyser likninga Fx 9 i GeoGebra. Arealet av rektangelet blir lik 9 når x 0,79 x 3 c) Bestem den verdien av x som gjer at arealet av rektangelet blir størst mogleg. Kva blir det største arealet? Eg set den deriverte til arealfunksjonen lik null og finn at det berre finst éin verdi for x i definisjonsområdet som gjev ein ekstremalverdi. Det er for x. Sidan F er større enn ein tilfeldig annan F 16 arealverdi i definisjonsområdet, må vere det største arealet. d) Bestem eit uttrykk for omkrinsen av rektangelet. Bestem den verdien av x som gjer at omkrinsen av rektangelet blir størst mogleg. Kommenter svaret. Eg kallar omkrinsen til rektangelet for O x AB BC O x x f x 1 Ox x x O x 4x 1 x 4 6 Eg brukar same metode på oppgåve c). Ox. Ox som på Fx i Omkrinsen blir størst mogleg når x Dette er den same verdien for x som også gjer arealet størst mogleg. Rektangelet er då eit kvadrat med side 4 fordi AB x 4 og 1 BC f() Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 1

13 Oppgåve 5 ( poeng) a) Avgjer om implikasjonen under er riktig. x 4 x x x x 4 Implikasjonen er riktig. b) Avgjer om den motsette implikasjonen er riktig. x vil seie at x til dømes kan vere lik 5. Men Implikasjonen er ikkje riktig. 5 5 og er ikkje mindre enn 4. Oppgåve 6 (8 poeng) Eit bakeri lagar x kaker per dag, i tillegg til andre bakarvarer. Bakeriet har funne ut at dei totale kostnadene Kx i kroner ved kakeproduksjonen avhenger av talet på kaker, slik tabellen viser. a) Bruk regresjon til å bestemme ein polynomfunksjon av tredje grad som passar best mogleg med tala i tabellen. I reknearket laga eg ei liste med punkt frå tabellen. Så laga eg funksjonen f ved kommandoen Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 13

14 Polynomfunksjonen av 3. grad som passar best med tala i tabellen er 3 f x 0,001x 0,3107x 30,743x,431 I resten av oppgåva vil vi bruke kostnadsfunksjonen K gjeve ved 3 0,001 0,3 30, 0,50 K x x x x x Bakeriet sel alle kakene for 15 kroner per stykk. Inntektsfunksjonen I er då gjeve ved 15 I x b) Teikn grafane til K og I i same koordinatsystem. Bestem kva for produksjonsmengder som gjev overskot, og kva slags som gjev underskot. x Eg har brukt kommandoen «Skjering mellom to objekt» for å finne skjeringspunkta mellom grafane. For x -verdiar mellom 63 og 37 ligg grafen for inntektsfunksjonen over grafen for kostnadsfunksjonen. For dei andre x -verdiane er det motsett. Det vil seie: Det blir overskot når det produserast mellom 63 og 37 kaker per dag. Det blir underskot når det produserast mindre enn 63 eller fleire enn 37 kaker per dag. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 14

15 c) Bruk derivasjon til å bestemme kor mange kaker ein bør produsere om overskotet skal bli størst mogleg. Eg definerer overskotsfunksjonen Ox som Eg finn ved rekning i CAS, sjå utklypp, at ein bør produsere 171 kaker for at overskotet skal bli størst mogleg. Kva er det største overskotet bakeriet kan oppnå per dag når vi berre ser på kakeproduksjonen? Rekninga i CAS viser at det største overskotet er på 107 kroner Som eit ekstra tilbod til kundane vurderer bakeriet å setje ned prisen per kake. d) La prisen per kake vere p kroner. Bestem den minste verdien p kan ha om det skal vere mogleg å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter? Kor mange kaker bør ein lage og selje per dag når p har denne verdien? Eg definerer glidaren p 15. Eg omdefinerer inntektsfunksjonen slik at Ix p x. Når p 15 har vi same situasjon som over. Sjå grafen under der også grafen til overskotsfunksjonen er teikna. Når vi reduserer prisen, til dømes set p 9, ser vi at området som gjev overskot skrumpar inn og overskotet avtek. Grafane tangerer når p 7,5. Når prisen er redusert til 7,5 kroner, er overskotet redusert til null, og kakeproduksjonen går Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 15

16 akkurat i balanse. Det blir då produsert og seld 150 kaker per dag. Oppgåve 7 (7 poeng) Silje lagar to typar syltetøy. Type 1 inneheld 90 % bær og 10 % sukker. Type inneheld 40 % bær og 60 % sukker. Syltetøyet skal fyllast på glas, og eit fullt glas skal innehalde 1 kg syltetøy. Ho har 0 kg bær og 5 kg sukker som ho skal lage syltetøy av. a) Kor mange glas av kvar type må ho lage for å få brukt opp 0 kg bær og 5 kg sukker? Eg lagar ein tabell for å få oversikt Type 1 x Type y Sum Bær 90 % 40 % 0 kg Sukker 10 % 60 % 5 kg Eg let x vere talet på glas av type 1 og y talet på glas av type. For å få brukt opp 0 kg bær og 5 kg sukker må 0,9x 0,4y 0 og 0,1x 0,6y 5 Punktet 0,5 stettar begge likningane som grafen viser. For å få brukt opp 0 kg bær og 5 kg sukker må Silje lage 0 glas av type 1 og 5 glas av type. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 16

17 b) Ho kan selje syltetøyet av type 1 for 80 kroner per glas og syltetøyet av type for 40 kroner per glas. Kva for inntekt får ho i dette tilfellet? Ho får då inntekta I0, kroner Forklar ved å bruke lineær optimering at dette er den største inntekta ho kan oppnå. Eg skraverer området for moglege verdiar av x og y. Det vil seie det området som stettar krava 0,9x0,4y 0 0,1x0,6y 5 x0 og y 0 Eg set inntekta i 000 som ein glidar i GeoGebra. Så set eg i 80x 40y Eg endrar glidaren og ser grafisk at når grafen som viser inntekta skal skjere det skraverte området, så blir inntekta størst når x 0 og y 5 Det viser at den største inntekta ho kan oppnå er 1800 kroner. Helsestyresmaktene gjer framlegg om å auke sukkerprisen slik at syltetøy av type blir dyrast. c) Når Silje skal lage meir syltetøy, kjøper ho bær for 30 kroner per kilogram. Det skal koste 5 kroner meir per glas å lage syltetøy av type enn av type 1. Undersøk kva prisen per kilogram sukker då må vere. Eg set prisen per kg sukker til z kroner. Prisen for å lage eitt glas av type 1 blir då 0,930 0,1 z kroner. Prisen for å lage eitt glas av type blir då 0,430 0,6 z kroner. Når det skal koste 5 kroner meir å lage eitt glas av type, må 0,930 0,1z50,430 0,6 z Eg løyser likninga ,6 z 0,1z 0 0,5z z 40 Prisen per kg sukker må vere 40 kroner. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 17

18 Kjelder Oppgåvetekst med grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 18