5 Matematiske modeller

Transkript

1 Løsning til KONTROLLOPPGAVER 5 Matematiske modeller OPPGAVE 1 a) Endringen i lengden på lyset i løpet av de 100 minuttene er 12 cm 27 cm = 15 cm Endringen per minutt blir da 15 cm 0,15cm/ min 100 min Når vi forutsetter at modellen er lineær, må funksjonsuttrykket være f ( t) 0,15t 27 der stigningstallet er a = 0,15 og konstantleddet er b = 27 (t = 0). b) Vi legger inn verdiene i regnearket i GeoGebra, markerer og velger regresjonsanalyse. Ved lineær regresjon får vi dette resultatet: y 0,15t 27 c) Vi kopierer til grafikkfeltet og får opp linja sammen med tabellverdiene.

2 d) Lyset er helt nedbrent når y = 0. Grafisk: y = 0 når linja skjærer førsteaksen. Da er t = 180 min = 3 h. Lyset er helt nedbrent etter 3 h. Ved regning: Vi må løse likningen 0 = 0,15 t ,15 t = t = = 180 0,15 Lyset er helt nedbrent etter 3 h. e) Stigningstallet til linja forteller oss hvor fort lyset brenner per minutt. Her er a = 0,15 cm/min. Det betyr at lyset minker med 0,15 cm/min = 1,5 mm/min. Lyset brenner 1,5 mm per minutt. OPPGAVE 2 a) Vi bruker GeoGebra og får tegnet grafen når x er mellom 0 og 18 timer. Bruker Ekstremalpunkt[T] for å finne toppunkt og bunnpunkt og her brukte vi NullpunktIntervall[T, 0, 18] for finne nullpunktene til T i intervallet der T er definert. b) Vi bruker grafen fra oppgave a og leser av 1) Lavest temperatur kl. 03. Temperaturen er da ca. 3,5 C. 2) Høyest temperatur kl.14. Temperaturen er da ca. 9,8 C. c) Vi bruker på nytt grafen fra oppgave a. Temperaturen er 0 C der grafen skjærer x-aksen. Temperaturen er 0 C kl. 00 eller ca. kl

3 OPPGAVE 3 a) Ettersom tabellen gir prisene i tusen kroner må vi multiplisere prisene i tabellen med ) 3, kr = 3920 kr 2) 19, kr = kr b) Vi bruker regresjonsanalyse og finner den eksponentialfunksjonen P som passer best med tabelltallene Px ( ) 0, x der x er vekten av diamanten i karat. Vi bruker den funksjonen P som vi fant i oppgave b. 0,50 P(0,50) 0, ,3 Prisen på en diamant med vekten 0,50 karat er ca kr. c) Vi velger to priser fra tabellen der endringen i vekten på diamantene er 0,10 karat.. Vi velger prisene ved 0,30 karat og 0,40 karat. Vekstfaktoren ved prisøkningen er da 6,66 1,70 3,92 Prisen øker med 70 % når størrelsen på diamanten øker med 0,1 karat. OPPGAVE 4 a) Vi legger x-verdiene inn i regnearket i GeoGebra og bruker regresjonsanalyse. Resultatet blir f ( x) 4,99 x 0,60 1) Den potensfunksjonen som passer best med måleresultatene, er f(x) = 5,0 x 0,60. 2) 0,60 f (15) 5, , 4 Den totale nedbørsmengden kl var 25,4 mm. b) 0,5 S(1) ,5 S(9) Snødybden kl var 12 cm, og kl var snødybden 36 cm. c) Løst i GeoGebra, se graf. Vi ser av grafen at snødybden var 48 cm kl

4 OPPGAVE 5 a) 2 ( 4) 4 12 f ( 4) f (0) f (3) b) Funksjonsuttrykket er null når telleren er null. f( x) 0 2x 4 0 2x 4 x 2 Funksjonen f har nullpunkt når x = 2. c) Bruddpunktet finner vi ved å sette nevneren lik null. x 2 0 x 2 d) Den rasjonale funksjonen er definert i alle punkter bortsett fra bruddpunktet. D \ 2 f e) Funksjonen har vertikal asymptote i bruddpunktet dersom ikke teller er lik null her. I b) viste vi at telleren i det rasjonale uttrykket ikke er null for x 2. Dermed har funksjonen en vertikal asymptote i bruddpunktet. Den vertikale asymptoten har likningen x = 2. f) Når x er stor i tallverdi vil 2x 4 2x 2 f( x) 2 x 2 x 1 Den horisontale asymptoten har likningen y = 2. g) Løst i GeoGebra. På figuren viser vi funksjonsuttrykket til f og likningene til asymptotene. Asymptotene finner vi ved å skrive Asymptote[f] i inntastingsfeltet i GeoGebra.

5 OPPGAVE 6 a) Vi lager likninger ut av opplysningene i oppgaven slik. f har vertikal asymptote x 2 nevner er lik null når x 2 2c d 0 f skjærer x-aksen når x 3 f (3) 0 3 a 6 0 3c d f skjærer y-aksen når y 3 f (0) d Vi løser likningssettet ved hjelp av CAS. Funksjonen f er gitt ved f( x) 2x 6. x 2 b) Når x er stor i tallverdi, er 2x 6 2x f( x) x 2 x 2 f har horisontal asymptote y = 2. c)

6 OPPGAVE 7 a) 1, 2 0, 5 0, 2 b) 1, 1 3, 0 3, 1 c) 2, 3 2, 0, 3 2, 3