GeoGebra for Sinus 2T

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "GeoGebra for Sinus 2T"

Transkript

1 GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side 93 med GeoGebra Binomiske modeller eksempelet på side 100 med GeoGebra Hypergeometriske modeller med GeoGebra Lineær regresjon eksempelet på side med GeoGebra Polynomregresjon eksempelet på side med GeoGebra Eksponentialregresjon eksempelet på side med GeoGebra Potensregresjon eksempelet på side med GeoGebra

2 1.6 Vektorer på koordinatform Vi kan tegne vektorer ved hjelp av GeoGebra. Når vi skal tegne vektoren 1, 3 kan vi skrive dette i GeoGebra: a, Da får vi dette resultatet: Vi ser at vektoren blir tegnet med utgangspunkt i origo. I algebrafeltet ser vi at vektoren blir skrevet på en annen måte enn den vi ellers bruker. Navnet er en liten bokstav uten pil over, og koordinatene er skrevet som ei søyle med vanlig parentes rundt. På figuren ovenfor har vi skrevet a ved siden av vektoren. Det har vi fått til ved å legge inn en tekst der vi skriver dette: Det er viktig at du merker av for LaTeX-formel. Teksten blir da oversatt til et matematisk symbol. Oppgave 1.61 a) Tegn uten hjelpemidler vektorene a = [2, 3], b = [ 1, 2], c = [ 3, 2], d = [ 2, 1] og e = [3, 2] med utgangspunkt i origo. b) Finn koordinatene til endepunktene for vektorene. c) Tegn vektorene i oppgave a ved hjelp av GeoGebra.

3

4 1.7 Regning med vektorkoordinater EKSEMPEL La u = [3, 2] og v = [ 1, 3]. a) Finn u + v ved å tegne vektorene. b) Finn u + v ved regning. c) Finn u + v digitalt. Løsning: a) Vi tegner u med utgangspunkt i origo og deretter v fra endepunktet for u. Vektoren u + v går nå fra utgangspunktet for u til endepunktet for v. Av figuren ser vi at u + v = [2, 1] b) Ved å bruke formelen for vektorsummen får vi u + v = [3, 2] + [ 1, 3] = [3 + ( 1), 2 + ( 3)] = [2, 1] c) I GeoGebra skriver vi først inn begge vektorene slik: Vektorene får da automatisk navnene u og v. Vi skriver nå Det gir dette resultatet:

5 Alle vektorene er tegnet med utgangspunkt i origo. Hvis vi vil ha tegnet v med utgangspunkt i endepunktet til u, som er (3, 2), må vi finne ut hvor endepunktet til v må bli. Når v skal ha utgangspunkt i (3, 2) og gå 1 bakover og 3 nedover, må den ha endepunkt i (2, 1). Når vi skal legge inn vektor v, kan vi i stedet skrive dette: Det gir dette resultatet: I algebrafeltet finner vi nå disse vektorene: Vi ser at v har de riktige koordinatene, og at summen ( w ) er u + v = [2, 1]

6 Oppgave 1.70 Finn u + v ved regning, ved tegning og digitalt. a) u = [ 1, 2] v = [2, 3] b) u = [3, 2] v = [1, 2] c) u = [1, 1] v = [ 2, 3] Oppgave 1.72 Finn u v ved regning, ved tegning og digitalt. a) u = [2, 2] v = [4, 3] b) u = [3, 2] v = [1, 2] c) u = [2, 2] v = [ 2, 3] 1.8 Vektoren mellom to punkter Vi kan også finne vektoren mellom to punkter i GeoGebra. Da legger vi først inn punktene A og B fra eksempelet ovenfor. Deretter skriver vi Det gir dette resultatet i algebrafeltet: Vi ser at AB [4, 2]. 1.9 Lengde og avstand Vi kan finne lengden av vektoren v i eksempelet på side 40 i GeoGebra på denne måten: Først legger vi inn vektoren ved å skrive Deretter skriver vi Da får vi dette svaret i algebrafeltet:

7 Vektoren v har lengden 5. Løsninger Oppgave 1.61 c) Oppgave 1.70 a) 1, 2 2,3 1 2, 2 3 1,5 u v

8 b) 3, 2 1, 2 3 1, 2 2 4, 0 u v c) d) 1,1 2, 3 1 2,1 3 1, 2 u v 2,3 2, 3 2 2,3 3 0, 0 u v Oppgave 1.72

9 a) 2, 2 4,3 2 4, 2 3 2, 1 u v b) 3, 2 1, 2 3 1, 2 2 2, 4 u v c) 2,2 2, 3 2 2,2 3 4,5 u v

10 2.3 Bruk av skalarproduktet EKSEMPEL I ABC har hjørnene koordinatene A( 1, 3), B(2, 3) og C(5, 1). Finn koordinatene til et punkt D på linja gjennom AB som er slik at CD står vinkelrett på AB. Løs oppgaven både uten og med hjelpemidler. Løsning: Uten hjelpemidler: Side 54 og 55 i læreboka Med hjelpemidler: I GeoGebra legger vi inn hjørnene i trekanten ved å skrive ( 1, 3), (2, 3) og (5, 1) i skrivefeltet. Deretter trekker vi opp linjestykkene mellom hjørnene. Nå bruker vi verktøyet Normal linje ved å trykke på. Vi klikker på punktet C og på linjestykket AB og får fram denne figuren: Nå finner vi skjæringspunktet D mellom normalen og linje stykket AB ved å bruke verktøyet Skjæring mellom to objekt. Så trekker vi linjestykket CD og skjuler normalen ved å høyreklikke på den og trykke på Vis objekt. Til slutt får vi skrevet koordinatene til punktet D i stedet for navnet ved å høyreklikke på punktet, velge Egenskaper og sette Vis navn til Verdi i fanen Basis. Vi kan også bruke

11 vinkelverktøyet linjestykket AB. og få fram et vinkelsymbol på vinkelen mellom normalen og Skjæringspunktet har koordinatene (1, 1). EKSEMPEL Finn vinkelen mellom vektorene u = [2, 1] og v = [1, 4] både ved hjelp av skalarproduktet og ved hjelp av GeoGebra. Løsning: Uten hjelpemidler: Side 55 og 56 i læreboka Med hjelpemidler: I GeoGebra skriver vi inn vektor u slik: Den får da automatisk navnet u. Vi legger så inn v på tilsvarende måte. Vi skriver nå For å få den riktige vinkelen må vi legge inn vektorene i rekkefølge mot urviseren. Vi finner nå vinkelen i algebrafeltet. Vi finner den også i grafikkfeltet om vi setter

12 Vis navn til Verdi. x 49,4 Vi kunne også ha funnet vinkelen mellom vektorene ved hjelp av vinkelverktøyet.

13 2.6 Parameterframstillinger for rette linjer Nå skal vi lære å finne skjæringspunktet mellom to rette linjer der vi kjenner parameterframstillingene. I skjæringspunktet må begge linjene ha samme x- og y- koordinater. Men parameterverdien trenger ikke være den samme i skjæringspunktet. Dermed kan vi ikke bruke samme navn på parameteren i begge parameterframstillingene når vi skal finne skjæringspunktet ved regning. Når vi skal finne skjæringspunktet mellom to parameterframstillinger ved regning, må vi skifte navn på parameteren i den ene framstillingen. EKSEMPEL Linjene l og m har disse parameterframstillingene: x 1 t l : y 1 2t x 1 3t m : y 3 2 t Finn koordinatene til skjæringspunktet S mellom de to linjene a) grafisk b) ved regning c) digitalt Løsning: a) Vi tegner de to linjene i et koordinatsystem. Skjæringspunktet har koordinatene (2,5, 2). b) Når vi skal finne skjæringspunktet ved regning, kan vi ikke ha det samme navnet på parameteren for begge linjene. Vi bruker symbolet s om parameteren til linja m. Det gir disse parameterframstillingene: x 1 t l : y 1 2t x 1 3s m : y 3 2 s I skjæringspunktet har begge linjene samme x-verdi og samme y-verdi. Det gir dette likningssettet:

14 1 t 1 3s 1 2t 3 2s Den første likningen gir t = 3s Vi setter det inn i den andre likningen: 1 2 3s 3 3s 6s 2s 3 1 8s s 8 2 Vi bruker nå parameterframstillingen til m for å finne koordinatene til S. 1 5 x 1 3s y 3 2s c) I GeoGebra skriver vi dette når vi skal tegne linja l: 5 Skjæringspunktet har koordinatene S (, 2). 2 Vi skriver altså først uttrykkene for x og y. Deretter må vi skrive navnet på parameteren, som her er t. Til slutt står den minste og den største verdien for t. Noen ganger må vi prøve oss fram med forskjellige minste og største verdier for t for å få grafen til å fylle koordinatsystemet. I algebrafeltet har GeoGebra denne parameterframstillingen: Vi legger inn linja m på tilsvarende måte: Nå har vi fått fram linjene. Skjæringspunktet finner vi nå ved å bruke verktøyet Skjæring mellom to objekt.

15 Skjæringspunktet har koordinatene (2,5, 2). Oppgave 2.51 Linjene l og m er gitt ved x 1 2t l : y 2 t og x 2 t m : y 1 2 t Finn skjæringspunktet mellom linjene grafisk, ved regning og digitalt. Løsning Oppgave 2.51 t 0 2 x 1 2t 1 5 y 2 t 2 0 x 2 t 2 4 y 1 2t 1 5 Skjæringspunkt 2,2, 1,4

16 x 1 2t x 2 s I 1 2t 2 s l : og m : I s 2t 1 y 2 t y 1 2s II 2 t 1 2s 3 I inn i II : 2 t 1 2 2t 1 2 t 1 4t 2 5t 3 t x Skjæringspunkt, y 2 5 5

17 Ordnede utvalg eksempel side 89 med GeoGebra Sju elever skal bruke et grupperom med ti pulter. Hvor mange måter kan elevene plassere seg på? Løsning: Dette blir et ordnet utvalg uten tilbakelegging. I GeoGebra gjør vi det slik: I algebrafeltet får vi da svaret slik:

18 Uordnede utvalg eksempel side 93 med GeoGebra EKSEMPEL I en kortstokk er det 52 kort. I bridge skal hver spiller ha 13 kort, som kalles en hånd. Hvor mange forskjellige hender er det i bridge? Løsning: Når kortene deles ut, har det ikke noe å si hvilken rekkefølge spilleren får kortene i. En hånd er derfor et uordnet utvalg. Hvert kort kan bare deles ut én gang. Det er 52 derfor uten tilbakelegging. Det fins i alt slike utvalg. Denne binomialkoeffisienten egner seg ikke for håndregning. Vi må finne den digitalt. I 13 GeoGebra gjør vi slik: Svaret er 52 = = Det fins i alt 635 milliarder forskjellige hender i bridge.

19 Binomiske modeller eksempelet på side med GeoGebra Sannsynligheter i binomiske modeller kan vi finne digitalt. Vi viser framgangsmåten i GeoGebra gjennom et eksempel. Eksempel Vi regner med at sannsynligheten for at en ungdom skal få kyssesyke, er 0,15. Vi plukker 30 tilfeldig valgte ungdommer og lar X være hvor mange av disse som får kyssesyke. a) Finn P(X = 5). b) Finn P(X 6). c) Finn P(X > 3). d) Finn P(3 < X < 9). Løsning: a) Vi åpner GeoGebra og velger sannsynlighetskalkulatoren i rullegardinmenyen under symbolet. Der velger vi Binomisk fordeling i rullegardinmenyen og stiller inn skjermbildet slik: I tabellen til høyre ser vi svaret: P(X = 5) = 0,186 b) For å finne P(X 6) trykker vi først på og stiller inn skjermbildet slik: P(X 6) = 0,847

20 c) Ettersom X er et helt tall, er X > 3 X 4 Dermed er P(X > 3) = P(X 4) Vi trykker nå på symbolet og velger denne innstillingen: d) Ettersom P(X > 3) = 0,678 P(3 < X < 9) = P(4 X 8) trykker vi på symbolet og fyller ut skjermbildet slik: P(3 < X < 9) = 0,651

21 Hypergeometriske modeller med GeoGebra Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å finne sannsynligheter i hypergeometriske modeller. Her viser vi hvordan vi bruker GeoGebra. EKSEMPEL I en klasse er det 30 elever. En dag hadde klassen oppgave 7.52 i lekse. 18 av elevene hadde gjort denne leksa. Læreren kontrollerte leksa for 10 tilfeldig valgte elever. La X være antallet elever blant de 10 som hadde gjort leksa. a) Finn PX ( 6). b) Finn P(4 X 7). c) Finn PX ( 6). d) Finn PX ( 4). Løsning: a) Vi åpner GeoGebra og velger sannsynlighetskalkulatoren. Vi finner dette valget under menyen. Der velger vi først Hypergeometrisk fordeling. Populasjonen er alle de vi trekker blant. Det er 30. Tallet n er antallet av den typen vi teller opp. Her vil det si hvor mange som har gjort leksa, og da er n = 18. Utvalget er antallet vi trekker ut. Her er utvalget 10. Vi fyller derfor ut skjemaet på denne måten: I tabellen til høyre ser vi at PX ( 6) 0, 3058

22 b) For å finne P(4 X 7) trykker vi på symbolet og skriver slik: P(4 X 7) 0,8588 c) Sannsynligheten PX ( 6) kan vi finne ved å trykke på og fylle ut dette: PX ( 6) 0, 6500 d) Sannsynligheten PX ( 4) kan vi finne ved å trykke på og skrive dette: PX ( 4) 0, 9758

23 Lineær regresjon eksempelet på side med GeoGebra Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å finne den rette linja som passer best til et datasett. Da bruker vi regresjon. Her viser vi hvordan vi bruker programmet GeoGebra til å finne slike likninger. På sinussidene på nettet finner du framgangsmåten for annen programvare. Bak i boka finner du oppskrifter for de grafiske lommeregnerne. Som eksempel bruker vi utviklingen av folketallet i Norge fra 1905 til Se avisutklippet på side og eksempelet på side Denne tabellen viser folketallet i tusen x år etter 1900: Årstall x (år) Folketall (tusen) Vi bruker programmet GeoGebra. På den øverste linja velger vi Vis og trykker på Regneark. Da får vi fram et regneark. Der legger vi inn verdien for x og folketallet i tusen som vist her: Nå markerer vi punktene i tabellen ved hjelp av musen og høyreklikker. Vi velger der Lag og deretter Liste med punkt. Nå finner vi punktene i algebrafeltet med navnet liste1: Vi ser ikke punktene i koordinatsystemet. Derfor høyreklikker vi i koordinatsystemet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram alle punktene, men ennå ser vi ikke koordinataksene. Det kan vi ordne ved at vi flytter koordinatsystemet ved å trykke på symbolet og deretter dra i aksene. Vi kan også skrive (0, 0) i inntastingsfeltet. Da får vi et punkt A med koordinatene (0, 0). Hvis vi nå høyreklikker i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt, får vi fram punktene nedenfor. Her har vi også valgt avstand mellom tallene på aksene og satt inn rutenett. I tillegg har vi høyreklikket på punktene og tatt bort navnet på dem ved å trykke på Vis navn.

24 Nå skriver vi RegLin[liste1] i inntastingsfeltet. Da får vi tegnet den linja som passer best med punktene. Vi finner likningen for linja i algebrafeltet. Likningen er ikke skrevet slik vi vanligvis skriver den. Men hvis vi høyreklikker på den og velger y = ax + b, får vi den skrevet på vanlig form. Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge, er y 23,7 x 2244 Dette er en god lineær modell for utviklingen. I stedet for å skrive RegLin[liste1] i inntastingsfeltet i eksempelet ovenfor, kan vi skrive RegPoly[liste1, 1]. Da får vi en polynomfunksjon av grad 1. Grafen til en slik funksjon er ei rett linje. Det er den samme linja som i eksempelet, men nå får vi skrevet resultatet som et funksjonsuttrykk f(x). I algebrafeltet står det nemlig Hvis vi nå skal finne finne folketallet i 2021 med denne modellen, må vi sette x = 116. Vi inntastingsfeltet skriver vi da f(116). I algebrafeltet finner vi da dette svaret: Dette er folketallet regnet i 1000, altså er folketallet i året 2021 på ifølge denne modellen. Jamfør eksempelet på side 115.

25 Polynomregresjon eksempelet på side med GeoGebra EKSEMPEL Avisutklippet på side viser hvor stor del av den norske befolkningen som arbeider i jordbruk, skogbruk, jakt og fiske. Vi ser at i 1904 var det 41 % som arbeidet i disse primærnæringene. I 2004 var det 3,5 %. Vi lar f(x) være prosentdelen som arbeider i primærnæringene x år etter a) Finn den polynomfunksjonen som passer best for f(x). Hvilken grad er den beste? b) Utklippet viser at det var 36 % som arbeidet i disse næringene i I 1960 var det 19 %. Hvordan stemmer dette med modellen i oppgave a? Løsning: a) Vi går fram omtrent som med lineær regresjon og legger inn tallene fra figuren i GeoGebra. Vi markerer nå alle tallene i tabellen, høyreklikker og velger Lag og deretter Liste med punkt. Deretter skriver vi (0, 0) i inntastingsfeltet. Nå høyreklikker vi i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram koordinatsystemet med alle punktene. Vi må kanskje flytte litt på koordinatsystemet for se alle tallene på aksene.

26 Dette kan se ut som en del av en kurve som har både et toppunkt og et bunnpunkt. Derfor velger vi å finne den tredjegradsfunksjonen som passer best til punktene. I inntastingsfeltet skriver vi Regpoly[liste1,3] slik: Tallet 3 forteller at vi får en funksjon av grad 3. Vi får nå tegnet kurven sammen med punktene: Kurven passer godt til punktene. I algebrafeltet finner vi uttrykket for funksjonen. Der står det 0 foran x 3. Grunnen er at vi har for få desimaler. Vi trykker da på Innstillinger, velger Avrunding og 3 gjeldende siffer. Da får vi dette: Nå ser vi at den beste tredjegradsfunksjonen er gitt ved f x x x x 3 2 ( ) 0, , , , 6 b) For å finne prosenten i 1930 setter vi x = 30. I inntastingsfeltet skriver vi da f(30) og får dette svaret: Modellen gir at 35,5 % arbeidet i primærnæringene i Det stemmer godt ettersom det riktige var 36 %. I 1960 er x = 60. Vi skriver da f(60) i inntastingsfeltet og får: Modellen gir 19,3 % i Det riktige er 19 %. Det stemmer godt.

27 Eksponentialregresjon eksempelet på side med GeoGebra Vi kan finne den eksponentialfunksjonen som passer best til et datasett. Her viser vi hvordan vi gjør slik eksponentialregresjon i GeoGebra. På nettsidene finner du framgangsmåten for annen programvare, og bak i boka står det oppskrifter for de grafiske lommeregnerne. EKSEMPEL Tallet på mobiltelefonabonnement økte kraftig i 1990-årene. Tabellen nedenfor viser tallet A(x) på abonnement i tusen, der x er tallet på år etter Alle tallene gjelder for 1. januar i det aktuelle året. Årstall x (år) A(x) (tusen) 180,6 234,4 368,5 981,3 1676,7 2663,5 3593,2 a) Finn digitalt den eksponentialfunksjonen som passer best med tallene i tabellen. Tegn grafen sammen med dataene. b) Hvor mange prosent økning var det per år? c) 1. januar 2001 var det registrert abonnement. Hvordan passer det med modellen i oppgave a? d) 1. januar 2006 var det registrert abonnement. Hvordan passer det med modellen i oppgave a? Løsning: a) Vi går fram omtrent slik vi gjorde ved lineær regresjon. Først velger vi Vis og Regneark. Deretter legger vi inn tallene fra tabellen slik: Vi markerer nå alle tallene i tabellen, høyreklikker og velger Lag og deretter Liste med punkt. Deretter skriver vi (0, 0) i skrivefeltet. Nå høyreklikker vi i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram koordinatsystemet med alle punktene.

28 For å finne den eksponentialfunksjonen som passer best, skriver vi RegEksp[Liste1] slik: Vi får nå tegnet grafen sammen med punktene: Grafen passer greit til punktene. I algebrafeltet finner vi uttrykket for funksjonen. Hvis vi går på Innstillinger og Avrundinger og velger 3 desimaler, får vi dette funksjonsuttrykket: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er dermed Ax ( ) 158,0 1,315 x b) Funksjonen A(x) = 158,0 1,315 x viser at vekstfaktoren er 1,315. Prosentfaktoren er da 0,315 og prosenten 31,5 %. Antallet mobiltelefonabonnement har økt med 31,5 % per år.

29 c) Etter modellen i oppgave a er tallet på abonnement i tusen 1. januar 2001 A(11) = 158,0 1, = 3212 Ifølge modellen skulle det være abonnement i Norge 1. januar Det riktige tallet var Modellen gir en ganske riktig verdi. d) 1. januar 2006 svarer til x = 16. Etter modellen ovenfor er tallet på abonnement i tusen da A(16) = 158,0 1, = Ifølge modellen skulle det være mobiltelefonabonnement i Norge 1. januar Det riktig tallet er Modellen gir en altfor høy verdi. Grunnen er at tallet på abonnement har passert folketallet i Norge. Veksten har derfor stoppet opp.

30 Potensregresjon eksempelet på side med GeoGebra EKSEMPEL Tabellen nedenfor viser tallet på fasttelefonabonnement i Norge i perioden fra 1950 til 2000, registrert per 1. januar. I tabellen står tallet på abonnement i tusen. Videre er x antallet år etter Årstall x (år) y (tusen) a) Finn den potensfunksjonen som passer best med tallene i tabellen. Tegn grafen sammen med dataene. b) Bruk modellen i oppgave a og finn hvor mange telefonabonnement det var i c) I 1982 var tallet på telefonabonnement Hvordan stemmer det med resultatet fra oppgave b? d) 1. januar 2006 var det fasttelefonabonnement i Norge. Hvordan passer det med modellen i oppgave a? Løsning: a) I GeoGebra går vi fram som ved polynomfunksjoner. Først legger vi inn tallene for x og y i kolonne A og B i regnearket. Vi markerer så alle tallene i tabellen, høyreklikker og velger Lag og deretter Liste med punkt. Deretter skriver vi (0, 0) i inntastingsfeltet. Nå høyreklikker vi i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram dette skjermbildet: Vi har tatt bort punktet A(0, 0) og navnet på punktene. I inntastingsfeltet skriver vi nå RegPot[liste1] slik: Det gir denne grafen:

31 Vi har fått fram en potensfunksjon som passer godt med punktene. For å se hvordan uttrykket er, må vi trykke på Innstillinger, velge Avrunding og 5 gjeldende siffer. Da finner vi dette uttrykket i algebrafeltet: Vi kan endre navnet på funksjonen ved å høyreklikke på uttrykket i algebrafeltet og velge Egenskaper. Der skriver vi navnet T i stedet for f og får dette: Da ser vi at den beste potensfunksjonen er gitt ved T( x) 0, x 3,226 b) Vi finner tallet på abonnement i 1982 ved å skrive T(82) i innskrivingsfeltet. Det gir Ifølge modellen skulle det være telefonabonnement i Norge i c) Etter modellen skule det være telefonabonnent i Det virkelige tallet var Modellen passer godt. d) For å finne tallet på fasttelefonabonnement i tusen 1. januar 2006 skriver vi T(106) og får Det skulle være fasttelefonabonnement i Norge i Det virkelige tallet var Modellen passer ikke for Tallet på fasttelefoner var gått ned. Det er mobiltelefonene som har tatt over.

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 2P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Regresjon med GeoGebra 4.0

Regresjon med GeoGebra 4.0 Regresjon med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk regresjon...

Detaljer

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser 1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger

Detaljer

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>] 442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt

Detaljer

Sinus Påbyggingsboka T

Sinus Påbyggingsboka T Sinus Påbyggingsboka T Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS Innhold Litt om programmene... 4

Detaljer

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Fra Prøveveiledning, Matematikk 1P + 2P, Sentralt gitt skriftlig prøve etter forkurs i lærerutdanningene, 2016 1.6.2.1 Graftegner (programvare på datamaskin).

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 1 Framgangsmåten med GeoGebra Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d. Åpne GeoGebra.

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Løsning eksamen 2T våren 2008

Løsning eksamen 2T våren 2008 Løsning eksamen 2T våren 2008 Del 2 løst med pc Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...

Detaljer

Eksamen våren 2008 Løsninger

Eksamen våren 2008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (

Detaljer

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8].

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. 413 GeoGebra i S2 Grafer Nullpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. GeoGebra

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk

Detaljer

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra:

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra: GeoGebra 6 Den vanlige GeoGebra brukeren må bruke litt tid til å sette seg inn i GeoGebra 6. Noen viktige endringer blir vist i dette dokumentet. Tema er valgt spesielt med tanke på arbeid med elever.

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Matematikk 2T. det digitale verktøyet. Kristen Nastad

Matematikk 2T. det digitale verktøyet. Kristen Nastad Matematikk 2T og det digitale verktøyet Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.4.11643 2008 07 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor.

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. Tall og figurer Eksamensoppgaver Våren 016 OPPGAVE 4 (MED HJELPEMIDLER) Figur 1 Figur Figur 3 Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. a) Skriv av tabellen nedenfor, og

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Innføring i GeoGebra (2 uv-timer)

Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) 03/06/17 1/5 Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram for skolebruk som forener geometri, algebra og funksjonslære. Programmet er utviklet

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

Matematisk visualisering

Matematisk visualisering 02/01/17 1/5 Matematisk visualisering Matematisk visualisering GLU 1.-7. trinn: Matematisk visualisering og konstruksjon - GeoGebra Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) Denne delen er direkte knyttet til

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra

GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra http://www.geogebra.no/ eller http://www.geogebra.org/ Du kan velge å kjøre GeoGebra som en applikasjon i nettleseren, men jeg anbefaler

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel

MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel Utstyr: Mynter, hyssing, tape, stoppeklokke Mål: 1. Hva påvirker svingtiden til en pendel? Lag hypoteser a. Lengden på hyssingen? b. Antall mynter (vekt)?

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer