Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra"

Transkript

1 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra

2 Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning Tallet e Sannsynlighetsregning Antall permutasjoner Antall kombinasjoner Sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling Hypergeometrisk fordeling Vektorregning Lengde av vektor Skalarprodukt Vinkel mellom vektorer Parameterframstilling Finne punkter på en parameterframstilling Finne fart og akselerasjon Algebra Faktorisering Forkorting og forenkling Polynomdivisjon Løse likninger Funksjoner Tabellverdier Nullpunkter Derivasjon Toppunkter og bunnpunkter Vendepunkt Tangent Geometri 21 2

3 Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Geogebra som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk R1», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk R1, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 12 Antall permutasjoner Antall kombinasjoner Summere sannsynligheter Tegne parameterframstilling Finne minimumsverdier Regne ut tabellverdier Løse tredjegradslikninger Regne med tallet e Derivere 6.3 3

4 1 Om Geogebra Dette heftet omtaler dataprogrammet Geogebra. Versjonen som er brukt er Regning Du kan gjøre utregninger flere steder i Geogebra, blant annet i inntstingsfeltet og i regnearket. Til vanlig er det imidlertid mest oversiktlig i CAS-feltet. Du taster inn regnestykker som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Programmet bruker sirkumfleks ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Det vises for øvrig til digitalt verktøy-heftet for Sigma 1T. 2.1 Tallet e Tallet e har i Geogebra riktig verdi, altså 2, , så du kan regne med e på vanlig måte. Eksempel: Vi har trykket på «Numerisk»-verktøyet. Så taster vi inn «e 3» og får 20, Taster vi inn «e 0.5», får vi 0, Legg merke til at det er to forskjellige tegn «e» i programmet. Tallet e 2, kommer fram hvis du taster alt-e (Windows) eller ctrl-e (Macintosh), eller om du velger e fra symbollista. Bokstaven «e», derimot, oppfører seg som en vanlig variabel, og kan tilordnes en hvilken som helst verdi. 3 Sannsynlighetsregning 3.1 Antall permutasjoner Vi bruker kommandoen «npr( )» for å finne antall permutasjoner av r objekter fra n objekter. Eksempel: Vi skal finne antall permutasjoner av 2 objekter fra 5 objekter, se læreboka side 156. Vi taster inn «npr(5, 2)», og får 20 til svar. 4

5 3.2 Antall kombinasjoner Antall kombinasjoner av r objekter fra n objekter, altså hvor mange måter vi kan trekke r objekter fra n objekter når rekkefølgen ikke spiller noen rolle, finner vi med kommandoen «ncr( )». Eksempel: Tallet 5 2 taster vi inn som «ncr(5, 2)» og får 10 til svar. 3.3 Sannsynlighetsfordelinger Når vi regner med binomisk eller hypergeometrisk sannsynlighet, kan vi bruke verktøyet «Sannsynlighetskalkulator», som vi finner verktøylinja. Når vi velger verktøyet «Sannsynlighetskalkulator», kommer det opp et nytt programvindu. Det kan ofte være hensiktsmessig å trykke på knappen «Vis i hovedvinduet», som du finner helt øverst til høyre i det nye programvinduet. Da blir sannsynlighetskalkulatoren overført til det vinduet du hadde, og du har tilgang til progammets vanlige menyer Binomisk fordeling Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren. Nederst i programvinduet, under grafen, velger vi «Binomisk fordeling». Vi stiller inn n og p. Enkeltverdier finner vi nå i tabellen. Når vi skal summere flere sannsynligheter, taster vi inn grensene nederst i programvinduet. Programmet bruker følgende notasjon: «P(X 8)» betyr «sannsynligheten for at vi får 8 eller færre suksess i den binomiske fordelingen». 5

6 «P(8 X 12)» betyr «sannsynligheten for at antall suksess i den binomiske fordelingen er mellom 8 og 12» «P(8 X)» betyr «sannsynligheten for at vi får 8 eller flere suksess i den binomiske fordelingen». Eksempel: Vi løser eksempel 18 på side 29 i læreboka. Kenneth tipper fotball og krysser av ett kryss på hver av 12 kamper tilfeldig. Hvor stor er sannsynligheten for åtte rette? Hvor stor er sannsynligheten for minst ti rette? Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Binomisk sannsynlighet». Vi setter n til 12 og p til 1/3. Vi leser av tabellen og ser at sannsynligheten for åtte rette er 0,0149. Vi klikker å den tredje av knappene nederst i programvinduet og taster inn «10». Da ser programvinduet vårt slik ut: Vi ser at sannsynligheten for minst 10 rette er 0,

7 3.3.2 Hypergeometrisk fordeling Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Hypergeometrisk fordeling». Vi stiller inn «populasjon», n og «utvalg». Enkeltverdier finner vi nå i tabellen. Når vi skal summere flere sannsynligheter, taster vi inn grensene nederst i programvinduet. Programmet bruker følgende notasjon: «P(X 8)» betyr «sannsynligheten for at antall med den bestemte egenskapen i utvalget er mindre enn lik 8» «P(8 X 12)» betyr «sannsynligheten for at antall med den bestemte egenskapen i utvalget er mellom 8 og 12» «P(8 X)» betyr «sannsynligheten for at antall med den bestemte egenskapen i utvalget er større enn eller lik 8» Eksempel: Vi løser eksempel 17 på s. 27 i læreboka. En eske inneholder 100 datakomponenter der er 10 defekte. Vi velger ut sju komponenter. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én er defekt? Hva er sannsynligheten for at minst én er defekt? Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Hypergeometrisk sannsynlighet». Vi setter «populasjon» til 100, n til 10 og «utvalg» til 7. Vi leser av tabellen og ser at sannsynligheten for en defekt er 0,389. Vi trykker på den midterste knappen på nederste knapperad i progamvinduet og taster inn «1» og «7». Da ser programvinduet vårt slik ut: 7

8 Vi ser at sannsynligheten for minst en defekt er 0, Vektorregning I vektorregningen nedenfor veksler vi mellom å bruke CAS-feltet, inntastingsfeltet, algebrafeltet og grafikkfeltet. Både punkter og vektorer på koordinatform tastes inn med de vanlige parentesene «(» og «)». Vi skiller mellom punkter og vektorer ved å bruke store bokstaver for punkter og små bokstaver for vektorer. Eksempel: Vi skal tegne punktet A(5, 3) og vektoren r = [2, 5], tegnet fra origo. Vi taster inn «A = (5, 3)» og «r = (2, 5)». Da får vi: 8

9 Vi legger merke til at algebravinduet viser punktet som A = (5, 3) og vektoren som r = 2 5. For å tegne en vektor mellom to punkter tegner vi først de to punktene. Deretter lager vi vektor mellom punktene med kommandoen «Vektor[A, B]». Eksempel: Vi har punktene A(5, 3) og B(2, 4) og skal tegne AB. Vi taster «A = (5, 3)», «B = (2, 4)» og «u = Vektor[A, B]». Da får vi: Vi har fått tegnet inn AB og fått regnet ut at AB = [ 3, 1]. 4.1 Lengde av vektor Lengden av en vektor u finner vi ved «Lengde[u]». Eksempel: Vi skal finne [ 3, 1]. 9

10 Vi taster inn «u = ( 3, 1)» og «Lengde[u]». Altså er [ 3, 1] = 10 3, Skalarprodukt Skalarproduktet av to vektorer finner du ved å bruke vanlig operasjon for multiplikasjon,. Eksempel: Vi skal regne ut skalarproduktet av u = [2, 3] og v = [ 4, 1]. Vi legger inn de to vektorene og skriver inn «u v». Vi ser at svaret er u v = Vinkel mellom vektorer Vinkler mellom vektorer vinkler angitt med punkter kan vi finne med vinkelverktøyet i grafikkfeltet eller med kommandoen «vinkel[ ]». Vi finner vinkelen mellom to vektorer med vinkelverktøyet, verktøy nummer fem fra høyre. 10

11 Vi klikker på vektorene. Programmet oppfatter at vi klikker i rekkefølge motsols. Dersom du får den ytre vinkelen, må du prøve på nytt og klikke på den andre vektoren først. Eksempel: Vi har gitt punktene A(0, 2), B(2, 1) og C( 2, 2), som i eksempel 24 på side 93 i læreboka. Vi skal finne ABC. Vi har lagt inn punktene og laget vektorene u = BA og v = BC. Vi klikker først på v og så på u og finner at vinkelen er på 70,3. For å gjøre dette i CAS, får vi en utfordring med vinkelmålet. Selv om vi har satt vinkelmålet til grader, gir Geogebra oss svaret et annet vinkelmål når vi bruker «vinkel[ ]»-kommandoen. Dersom vi legger til «/» bak kommandoen, sikrer vi at vi får grader. 11

12 4.4 Parameterframstilling Vi tegner parametriserte kurver med kommandoen «Kurve[x(t), y(t), t, a, b]». Her er a og b henholdsvis nedre og øvre grense for parameteren t. Eksempel: Vi skal tegne de to banene A og B fra eksempel 27 på side 98 i læreboka, altså banene gitt ved A : x = 3t y = 4t 0,5t 2 B : x = 4t + 21 y = 3t 0,5t 2 Vi skal tegne de to banene for t [0, 5]. Vi skriver inn «Kurve[3t, 4t 0.5t 2, t, 0, 5]» og «Kurve[ 4t + 21, 3t 0.5t 2, t, 0, 5]». Da får vi: 4.5 Finne punkter på en parameterframstilling Vi finner punkter på en parameterframstilling ved å sette inn t-verdier som i et vanlig funksjonsuttrykk. Dersom vi har lagt inn en parameterframstilling som a, finner vi punktet på kurven der t = 1 ved å taste «a(1)». Eksempel: Vi skal markere hvor t = 1 på kurven gitt ved: x = 3t y = 4t 0,5t 2 Først legger vi inn kurven med «a = Kurve[3t, 4t 0.5t 2, t, 0, 5]». Deretter taster vi «a(1)». Da får vi: 12

13 4.6 Finne fart og akselerasjon Vi finner fartsvektoren ved å derivere vektorfunksjonen r. Vi bruker kommandoen «Derivert[r]». Dette gir fartsvektoren r. Tilsvarende finner vi akselerasjonsvektoren ved å derivere fartsvektoren. Vi skriver inn «Derivert[r ]». Det gir akselerasjonsvektoren r. Eksempel: Et punkt beveger seg som i eksempel 26 i læreboka, nemlig etter parameterframstillingen x = t + 1 y = t 2 + 2t + 3 Vi skal tegne vektorfunksjonen med fartsvektor og akselerasjonsvektor etter 2 sekunder. Først legger vi inn vektorfunksjonen ved å taste «r = Kurve[t + 1, t 2 + 2t + 3, t, 2, 4]». Deretter taster vi «Derivert[r]» og får r i resultatvinduet. Dette er fartsvektoren. Så taster vi inn «Derivert[r ]» og får r i resultatvinduet. Dette er akselerasjonsvektoren. Nå skal vi tegne fartsvektoren og akselerasjonsvektoren for t = 2. Da tegner vi først punktet på kurven for t = 2 ved å taste inn A = r(2). Nå skriver vi «p = Vektor[r(2), r(2) + r (2)]». Dette gir vektoren som starter i punktet A og som går til punktet der fartsvektoren slutter hvis den starter i A. Til slutt skriver vi «q = Vektor[r(2), r(2) + r (2)]». Da ser det slik ut: 13

14 5 Algebra 5.1 Faktorisering Faktorisering gjøres med «Faktoriser[ ]». Eksempel: Vi skal faktorisere uttrykket 2x 2 + 3x 2 på side 120 i læreboka. Vi velger «Bruk inntasting» og taster først inn uttrykket slik at vi er sikre på å ha tastet riktig. Deretter klikker vi på «Regn ut» og skriver inn «Faktoriser[#]». Da ser programvinduet vårt slik ut: Så uttrykket kan faktoriseres som (x + 2)(2x 1). 14

15 5.2 Forkorting og forenkling For å forenkle et uttrykk, er det nok å velge «Regn ut» og trykke enter: Eksempel: Vi skal forenkle uttrykket 2x 1 fra side 120 i læreboka. 2x 2 +3x 2 Vi velger «Bruk inntasting» og skriver inn uttrykket. Deretter velger vi «Regn ut» og trykker enter: Eksempel: Vi skal trekke sammen og skrive så enkelt som mulig uttrykket i eksempel 2 på side 121 i læreboka, nemlig x2 +2x 8 x 2 4x+3 2x+1 2x 6. Vi taster inn uttrykket, velger «Regn ut» og trykker enter: 5.3 Polynomdivisjon Vi dividerer med kommandoen «Divisjon[ ]». Eksempel: Vi skal dividere 4x 3 28x x + 18 med x 6. For å kontrollere egen inntasting taster vi inn polynomene først og dividerer til slutt med «Divisjon[#1, #2]»: 15

16 Svaret viser at divisjonen ga polynomet 4x 2 4x 3 til svar med 0 i rest. 5.4 Løse likninger Mange likninger kan løses med kommandoen «Løs[ ]». Dersom vi ikke gir kommandoen mer enn ett argument, tolker programmet det slik at likningen skal løses med hensyn på x. Hvis likningen skal løses med hensyn på en annen variabel, må denne oppgis som andre argument. Eksempel: Vi skal løse tredjegradslikningen i eksempel 7 på side 126 i læreboka, nemlig x 3 6x 2 + 7x + 4 = 0 Vi taster inn likningen og gir kommandoen «Løs[#]»: Vi ser at løsningen på likningen er x = 1 ± 2 eller x = 4. Dersom en likning ikke har reelle løsninger, svarer programmet med et spørsmålstegn («?»). Eksempel: Vi skal løse likningen t 2 = 1. Vi taster inn «Løs[t 2=-1, t]»: 16

17 Dette betyr at likningen ikke har noen løsninger. 6 Funksjoner 6.1 Tabellverdier Når en funksjon f(x) er skrevet inn i programmet, finner vi funksjonsverdier for bestemte x-verdier ved å taste rett inn slik vi er vant til å skrive det. Eksempel: Vi har funksjonen f(x) fra side 126 i læreboka, nemlig funksjonen f(x) = x 3 6x 2 + 7x + 4 Vi skal regne ut verdien av funksjonen f for x-verdiene 1, 0, 3 og 5 som bakgrunn for et fortegnsskjema. Vi skriver inn funksjonsuttrykket. 1 Deretter skriver vi inn «f( 1)». I resultatvinduet ser vi at f( 1) = 10. Tilsvarende gjør vi for f(0), f(3) og f(5). 1 Hvis vi legger det inn i CAS-feltet, bruker vi kolon og likhetstegn, mens hvis vi legger det inn i inntastingsfeltet, bruker vi bare likhetstegn. 17

18 6.2 Nullpunkter Vi minner om kommandoen «Nullpunkt[f, a, b]». Eksempel: Vi skal finne nullpunktene til funksjonen f fra side 200 i læreboka gitt ved f(x) = 4x x Vi legger inn funksjonen og får tegnet grafen. Vi ser fra grafen at nullpunktet ligger i intervallet x [ 1, 1]. Vi skriver inn «Nullpunkt[f, 1, 1]» og får: Altså er nullpunktet (0, 0). For noen typer funksjoner er det ikke nødvendig å angi nedre og øvre grense for x-verdiene til nullpunktet. Da skriver vi inn «Nullpunkt[f]» og får opp nullpunktene. 6.3 Derivasjon Den deriverte av en funksjon f(x) finner du ved å bruke vanlig funksjonsnotasjon f (x). Alternativt kan du bruke kommandoen «Derivert[ ]». Eksempel: Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 2 +2x +3 fra side 162 i læreboka. Vi skriver inn «f(x) = x 2 + 2x + 3» og taster «f'(x)». Vi får at f (x) = 2x + 2. For å regne ut f (2) skriver vi nå inn «f (2)» og får at f (2) = 2: 18

19 6.4 Toppunkter og bunnpunkter Eksempel: Vi skal finne minste verdi av funksjonen f fra side 98 gitt ved f(t) = 50t 2 294t Vi legger inn funksjonen ved å taste «f(t) := sqrt(50t 2 294t + 441)». Vi ser at bunnpunktet ligger i intervallet t [2, 4]. Vi skriver inn «Ekstremalpunkt[f, 2, 4]». Vi får at bunnpunktet er (2,94, 2,970). Altså er laveste verdi for f omtrent 3,0. En alternativ framgangsmåte til å finne toppunkt eller bunnpunkt er å se på nullpunktene til den deriverte. Eksempel: Vi skal finne toppunktet til funksjonen f på side 202 i læreboka gitt ved f(x) = 4xe x Vi legger inn funksjonen i CAS-feltet. Vi setter den deriverte lik null ved å taste «f'(x)=0». Deretter taster vi «Løs#» og får x = 1 til svar. Vi regner ut funksjonsverdien f(1) og har funnet at toppunktet er (1, 4 ) (1, 1, 472). e 19

20 For å avgjøre om det er et toppunkt eller bunnpunkt, kan vi kikke på grafen. Vi ser at det er et toppunkt, altså med koordinater (1, 1,472). 6.5 Vendepunkt For enkle polynomfunksjoner finner vi vendepunkt med kommandoen «Vendepunkft[f]». For andre typer funksjoner regner vi ut den dobbeltderiverte og ser på nullpunktene til den. Eksempel: Vi skal finne vendepunktet til funksjonen f fra side 203 i læreboka gitt ved f(x) = e 2x 4e x + 3 Vi legger inn funksjonen med «f(x) := e (2x) 4e x + 3». Deretter skriver vi «f''(x)=0» og får den dobbeltderiverte lik null. Vi løser likningen med «Løs[#]» og får x = 0. Da regner vi ut f(0) og får at vendepunktet er (0, 0). Vi sjekker på grafen at krumningen skifter. 20

21 6.6 Tangent Vi finner tangenten til en funksjon f i punktet x = a ved kommandoen «Tangent[a, f]». Eksempel: Vi skal finne vendetangenten til funksjonen f(x) = e 2x 4e x + 3 Vi legger inn funksjonen og finner vendepunktet, jfr. avsnittet ovenfor om vendepunkt. Vendepunktet er (0, 0). Siden vendepunktet har x-verdi 0, skriver vi «Tangent[0, f]». Funksjonsuttrykket til tangenten er altså y = 2x. 7 Geometri Det opprinnelige hovedfokuset til Geogebra lå nettopp i geometri. Mulighetene for å bruke programmet til geometri er derfor mange. Vi viser til brukermanualen for en innføring i dette. Her tar vi kun med noe av de mest grunnleggende operasjonene. Punkter Du oppretter punkter ved å velge verktøyet «Nytt punkt» og klikke der du vil ha et punkt eller ved å skrive inn koordinatene med vanlige parenteser. Eksempel: For å tegne inn punktet P(3, 4), taster vi «P = (3, 4)». Vi bruker store bokstaver for å vise at det er et punkt. Når vi bruker små bokstaver tolker programmet det som en vektor. 21

22 Mangekanter Vi lager mangekanter, for eksempel trekanter og firkanter, med verktøyet «Mangekant». Dersom vi først har opprettet hjørnepunktene, klikker vi på disse når vi lager mangekanten. Skjæringspunkter For å finne skjæringspunkter mellom to objekter velger du verktøyet «Skjæring mellom to objekt» og klikker på de to objektene. Normaler For å opprette en normal til en linje gjennom et punkt velger du «Normal linje»-verktøyet og klikker på punktet og linja. Tangenter For å tegne en tangent til en kurve i et bestemt punkt velger vi verktøyet «Tangenter» og klikker på kurven og punktet. Alternativt kan vi bruke kommandoen «Tangent[a, f]», jfr. avsnitt 6.6 ovenfor. Vinkler For å måle en vinkel velger du verktøyet «Vinkel» og klikker på vinkelbeinene til vinkelen. (Alternativt klikker du på tre punkter hvor det midterste er vinkelens toppunkt.) For å tegne en bestemt vinkel bruker du verktøyet «Vinkel med fast størrelse». Linje gjennom punkter For å tegne en linje gjennom to punkter velger du verktøyet «Linje gjennom to punkt» og klikker på de to punktene. Konstruksjon Det er mulig å bruke programmet til å konstruere som med passer og linjal. Det legges imidlertid opp til at konstruksjon på eksamen i R1 kan skje på del 1 uten digitale hjelpemidler. Vi utelater derfor beskrivelsen av dette her. 22

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Regning 4 1.1 Tallet e...................................... 4 2 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet e......................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. wxmaxima

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. wxmaxima Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for wxmaxima Innhold 1 Om wxmaxima 4 1.1 Tilleggspakker................................. 4 2 Regning 5 2.1 Noen

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ]

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>] 442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma S1. TI-Nspire CAS

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma S1. TI-Nspire CAS Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. TI-Nspire

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. TI-Nspire Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Potenser.....................................

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R1

Manual for wxmaxima tilpasset R1 Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 1.1 Utvide området kopiere celler....................... 4 1.2 Vise formler i regnearket...........................

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-NspireCAS Innhold 1 Om TI-NspireCAS 4 1.1 Applikasjonene................................. 4 1.2 Dokumenter...................................

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima Innhold 1 Om wxmaxima 4 1.1 Tilleggspakker................................. 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

NYE OPPGAVETYPER OG KRAV TIL FØRING

NYE OPPGAVETYPER OG KRAV TIL FØRING CAS, Graftegner og regneark på eksamen Eksamen 1P, 2P og 2P-Y 2 timer uten hjelpemidler 3 timer med hjelpemidler Noen oppgaver i del 2 kreves løst med digitale verktøy Aktuelle verktøy er graftegner og

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8].

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. 413 GeoGebra i S2 Grafer Nullpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. GeoGebra

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima Innhold 1 Om wxmaxima 5 1.1 Tilleggspakker................................. 5 2 Regning 6 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013 Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Eksamen våren 2008 Løsninger

Eksamen våren 2008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

Lær å bruke wxmaxima

Lær å bruke wxmaxima Bjørn Ove Thue og Sigbjørn Hals Lær å bruke wxmaxima Et godt og gratis CAS-verktøy med enkelt brukergrensesnitt. Oppdatert versjon, november 2009 Lær å bruke wxmaxima. Eksempler fra Sinus-bøkene fra Cappelen

Detaljer

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser 1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1

Detaljer

Løsning eksamen 2T våren 2008

Løsning eksamen 2T våren 2008 Løsning eksamen 2T våren 2008 Del 2 løst med pc Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt

Detaljer

Matematikk R1. det digitale verktøyet. Kristen Nastad

Matematikk R1. det digitale verktøyet. Kristen Nastad Matematikk R1 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.4.11643 2008 07 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software

Detaljer

Oppgaver om derivasjon

Oppgaver om derivasjon Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1 Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x

Detaljer

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner løsninger Innhold. Funksjoner.... Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 5 Kontinuitet... 4 Funksjoner med delt

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Det digitale verktøyet. Matematikk R1. Kristen Nastad

Det digitale verktøyet. Matematikk R1. Kristen Nastad Det digitale verktøyet og Matematikk R1 Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.4.11643 2008 07 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer Software for Windows

Detaljer

Fagdag CAS-trening

Fagdag CAS-trening Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved a) b) f x x x ( ) 3 6 4 g x x x 3 ( ) 5ln( ) c) h( x) x x Oppgave (5 poeng) Polynomet P er gitt ved 3 P( x) x 7x 4x k a) Vis at P er

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011 Eksamen REA08 S, Høsten 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene ) f f 4 ) g e g e 6e ) h

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1.  Nynorsk/Bokmål Eksamen 9.05.013 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer