Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Transkript

1 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra

2 Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning Tallet e Sannsynlighetsregning Antall permutasjoner Antall kombinasjoner Sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling Hypergeometrisk fordeling Vektorregning Lengde av vektor Skalarprodukt Vinkel mellom vektorer Parameterframstilling Finne punkter på en parameterframstilling Finne fart og akselerasjon Algebra Faktorisering Forkorting og forenkling Polynomdivisjon Løse likninger Funksjoner Tabellverdier Nullpunkter Derivasjon Toppunkter og bunnpunkter Vendepunkt Tangent Geometri 21 2

3 Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Geogebra som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk R1», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk R1, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 12 Antall permutasjoner Antall kombinasjoner Summere sannsynligheter Tegne parameterframstilling Finne minimumsverdier Regne ut tabellverdier Løse tredjegradslikninger Regne med tallet e Derivere 6.3 3

4 1 Om Geogebra Dette heftet omtaler dataprogrammet Geogebra. Versjonen som er brukt er Regning Du kan gjøre utregninger flere steder i Geogebra, blant annet i inntstingsfeltet og i regnearket. Til vanlig er det imidlertid mest oversiktlig i CAS-feltet. Du taster inn regnestykker som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Programmet bruker sirkumfleks ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Det vises for øvrig til digitalt verktøy-heftet for Sigma 1T. 2.1 Tallet e Tallet e har i Geogebra riktig verdi, altså 2, , så du kan regne med e på vanlig måte. Eksempel: Vi har trykket på «Numerisk»-verktøyet. Så taster vi inn «e 3» og får 20, Taster vi inn «e 0.5», får vi 0, Legg merke til at det er to forskjellige tegn «e» i programmet. Tallet e 2, kommer fram hvis du taster alt-e (Windows) eller ctrl-e (Macintosh), eller om du velger e fra symbollista. Bokstaven «e», derimot, oppfører seg som en vanlig variabel, og kan tilordnes en hvilken som helst verdi. 3 Sannsynlighetsregning 3.1 Antall permutasjoner Vi bruker kommandoen «npr( )» for å finne antall permutasjoner av r objekter fra n objekter. Eksempel: Vi skal finne antall permutasjoner av 2 objekter fra 5 objekter, se læreboka side 156. Vi taster inn «npr(5, 2)», og får 20 til svar. 4

5 3.2 Antall kombinasjoner Antall kombinasjoner av r objekter fra n objekter, altså hvor mange måter vi kan trekke r objekter fra n objekter når rekkefølgen ikke spiller noen rolle, finner vi med kommandoen «ncr( )». Eksempel: Tallet 5 2 taster vi inn som «ncr(5, 2)» og får 10 til svar. 3.3 Sannsynlighetsfordelinger Når vi regner med binomisk eller hypergeometrisk sannsynlighet, kan vi bruke verktøyet «Sannsynlighetskalkulator», som vi finner verktøylinja. Når vi velger verktøyet «Sannsynlighetskalkulator», kommer det opp et nytt programvindu. Det kan ofte være hensiktsmessig å trykke på knappen «Vis i hovedvinduet», som du finner helt øverst til høyre i det nye programvinduet. Da blir sannsynlighetskalkulatoren overført til det vinduet du hadde, og du har tilgang til progammets vanlige menyer Binomisk fordeling Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren. Nederst i programvinduet, under grafen, velger vi «Binomisk fordeling». Vi stiller inn n og p. Enkeltverdier finner vi nå i tabellen. Når vi skal summere flere sannsynligheter, taster vi inn grensene nederst i programvinduet. Programmet bruker følgende notasjon: «P(X 8)» betyr «sannsynligheten for at vi får 8 eller færre suksess i den binomiske fordelingen». 5

6 «P(8 X 12)» betyr «sannsynligheten for at antall suksess i den binomiske fordelingen er mellom 8 og 12» «P(8 X)» betyr «sannsynligheten for at vi får 8 eller flere suksess i den binomiske fordelingen». Eksempel: Vi løser eksempel 18 på side 29 i læreboka. Kenneth tipper fotball og krysser av ett kryss på hver av 12 kamper tilfeldig. Hvor stor er sannsynligheten for åtte rette? Hvor stor er sannsynligheten for minst ti rette? Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Binomisk sannsynlighet». Vi setter n til 12 og p til 1/3. Vi leser av tabellen og ser at sannsynligheten for åtte rette er 0,0149. Vi klikker å den tredje av knappene nederst i programvinduet og taster inn «10». Da ser programvinduet vårt slik ut: Vi ser at sannsynligheten for minst 10 rette er 0,

7 3.3.2 Hypergeometrisk fordeling Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Hypergeometrisk fordeling». Vi stiller inn «populasjon», n og «utvalg». Enkeltverdier finner vi nå i tabellen. Når vi skal summere flere sannsynligheter, taster vi inn grensene nederst i programvinduet. Programmet bruker følgende notasjon: «P(X 8)» betyr «sannsynligheten for at antall med den bestemte egenskapen i utvalget er mindre enn lik 8» «P(8 X 12)» betyr «sannsynligheten for at antall med den bestemte egenskapen i utvalget er mellom 8 og 12» «P(8 X)» betyr «sannsynligheten for at antall med den bestemte egenskapen i utvalget er større enn eller lik 8» Eksempel: Vi løser eksempel 17 på s. 27 i læreboka. En eske inneholder 100 datakomponenter der er 10 defekte. Vi velger ut sju komponenter. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én er defekt? Hva er sannsynligheten for at minst én er defekt? Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Hypergeometrisk sannsynlighet». Vi setter «populasjon» til 100, n til 10 og «utvalg» til 7. Vi leser av tabellen og ser at sannsynligheten for en defekt er 0,389. Vi trykker på den midterste knappen på nederste knapperad i progamvinduet og taster inn «1» og «7». Da ser programvinduet vårt slik ut: 7

8 Vi ser at sannsynligheten for minst en defekt er 0, Vektorregning I vektorregningen nedenfor veksler vi mellom å bruke CAS-feltet, inntastingsfeltet, algebrafeltet og grafikkfeltet. Både punkter og vektorer på koordinatform tastes inn med de vanlige parentesene «(» og «)». Vi skiller mellom punkter og vektorer ved å bruke store bokstaver for punkter og små bokstaver for vektorer. Eksempel: Vi skal tegne punktet A(5, 3) og vektoren r = [2, 5], tegnet fra origo. Vi taster inn «A = (5, 3)» og «r = (2, 5)». Da får vi: 8

9 Vi legger merke til at algebravinduet viser punktet som A = (5, 3) og vektoren som r = 2 5. For å tegne en vektor mellom to punkter tegner vi først de to punktene. Deretter lager vi vektor mellom punktene med kommandoen «Vektor[A, B]». Eksempel: Vi har punktene A(5, 3) og B(2, 4) og skal tegne AB. Vi taster «A = (5, 3)», «B = (2, 4)» og «u = Vektor[A, B]». Da får vi: Vi har fått tegnet inn AB og fått regnet ut at AB = [ 3, 1]. 4.1 Lengde av vektor Lengden av en vektor u finner vi ved «Lengde[u]». Eksempel: Vi skal finne [ 3, 1]. 9

10 Vi taster inn «u = ( 3, 1)» og «Lengde[u]». Altså er [ 3, 1] = 10 3, Skalarprodukt Skalarproduktet av to vektorer finner du ved å bruke vanlig operasjon for multiplikasjon,. Eksempel: Vi skal regne ut skalarproduktet av u = [2, 3] og v = [ 4, 1]. Vi legger inn de to vektorene og skriver inn «u v». Vi ser at svaret er u v = Vinkel mellom vektorer Vinkler mellom vektorer vinkler angitt med punkter kan vi finne med vinkelverktøyet i grafikkfeltet eller med kommandoen «vinkel[ ]». Vi finner vinkelen mellom to vektorer med vinkelverktøyet, verktøy nummer fem fra høyre. 10

11 Vi klikker på vektorene. Programmet oppfatter at vi klikker i rekkefølge motsols. Dersom du får den ytre vinkelen, må du prøve på nytt og klikke på den andre vektoren først. Eksempel: Vi har gitt punktene A(0, 2), B(2, 1) og C( 2, 2), som i eksempel 24 på side 93 i læreboka. Vi skal finne ABC. Vi har lagt inn punktene og laget vektorene u = BA og v = BC. Vi klikker først på v og så på u og finner at vinkelen er på 70,3. For å gjøre dette i CAS, får vi en utfordring med vinkelmålet. Selv om vi har satt vinkelmålet til grader, gir Geogebra oss svaret et annet vinkelmål når vi bruker «vinkel[ ]»-kommandoen. Dersom vi legger til «/» bak kommandoen, sikrer vi at vi får grader. 11

12 4.4 Parameterframstilling Vi tegner parametriserte kurver med kommandoen «Kurve[x(t), y(t), t, a, b]». Her er a og b henholdsvis nedre og øvre grense for parameteren t. Eksempel: Vi skal tegne de to banene A og B fra eksempel 27 på side 98 i læreboka, altså banene gitt ved A : x = 3t y = 4t 0,5t 2 B : x = 4t + 21 y = 3t 0,5t 2 Vi skal tegne de to banene for t [0, 5]. Vi skriver inn «Kurve[3t, 4t 0.5t 2, t, 0, 5]» og «Kurve[ 4t + 21, 3t 0.5t 2, t, 0, 5]». Da får vi: 4.5 Finne punkter på en parameterframstilling Vi finner punkter på en parameterframstilling ved å sette inn t-verdier som i et vanlig funksjonsuttrykk. Dersom vi har lagt inn en parameterframstilling som a, finner vi punktet på kurven der t = 1 ved å taste «a(1)». Eksempel: Vi skal markere hvor t = 1 på kurven gitt ved: x = 3t y = 4t 0,5t 2 Først legger vi inn kurven med «a = Kurve[3t, 4t 0.5t 2, t, 0, 5]». Deretter taster vi «a(1)». Da får vi: 12

13 4.6 Finne fart og akselerasjon Vi finner fartsvektoren ved å derivere vektorfunksjonen r. Vi bruker kommandoen «Derivert[r]». Dette gir fartsvektoren r. Tilsvarende finner vi akselerasjonsvektoren ved å derivere fartsvektoren. Vi skriver inn «Derivert[r ]». Det gir akselerasjonsvektoren r. Eksempel: Et punkt beveger seg som i eksempel 26 i læreboka, nemlig etter parameterframstillingen x = t + 1 y = t 2 + 2t + 3 Vi skal tegne vektorfunksjonen med fartsvektor og akselerasjonsvektor etter 2 sekunder. Først legger vi inn vektorfunksjonen ved å taste «r = Kurve[t + 1, t 2 + 2t + 3, t, 2, 4]». Deretter taster vi «Derivert[r]» og får r i resultatvinduet. Dette er fartsvektoren. Så taster vi inn «Derivert[r ]» og får r i resultatvinduet. Dette er akselerasjonsvektoren. Nå skal vi tegne fartsvektoren og akselerasjonsvektoren for t = 2. Da tegner vi først punktet på kurven for t = 2 ved å taste inn A = r(2). Nå skriver vi «p = Vektor[r(2), r(2) + r (2)]». Dette gir vektoren som starter i punktet A og som går til punktet der fartsvektoren slutter hvis den starter i A. Til slutt skriver vi «q = Vektor[r(2), r(2) + r (2)]». Da ser det slik ut: 13

14 5 Algebra 5.1 Faktorisering Faktorisering gjøres med «Faktoriser[ ]». Eksempel: Vi skal faktorisere uttrykket 2x 2 + 3x 2 på side 120 i læreboka. Vi velger «Bruk inntasting» og taster først inn uttrykket slik at vi er sikre på å ha tastet riktig. Deretter klikker vi på «Regn ut» og skriver inn «Faktoriser[#]». Da ser programvinduet vårt slik ut: Så uttrykket kan faktoriseres som (x + 2)(2x 1). 14

15 5.2 Forkorting og forenkling For å forenkle et uttrykk, er det nok å velge «Regn ut» og trykke enter: Eksempel: Vi skal forenkle uttrykket 2x 1 fra side 120 i læreboka. 2x 2 +3x 2 Vi velger «Bruk inntasting» og skriver inn uttrykket. Deretter velger vi «Regn ut» og trykker enter: Eksempel: Vi skal trekke sammen og skrive så enkelt som mulig uttrykket i eksempel 2 på side 121 i læreboka, nemlig x2 +2x 8 x 2 4x+3 2x+1 2x 6. Vi taster inn uttrykket, velger «Regn ut» og trykker enter: 5.3 Polynomdivisjon Vi dividerer med kommandoen «Divisjon[ ]». Eksempel: Vi skal dividere 4x 3 28x x + 18 med x 6. For å kontrollere egen inntasting taster vi inn polynomene først og dividerer til slutt med «Divisjon[#1, #2]»: 15

16 Svaret viser at divisjonen ga polynomet 4x 2 4x 3 til svar med 0 i rest. 5.4 Løse likninger Mange likninger kan løses med kommandoen «Løs[ ]». Dersom vi ikke gir kommandoen mer enn ett argument, tolker programmet det slik at likningen skal løses med hensyn på x. Hvis likningen skal løses med hensyn på en annen variabel, må denne oppgis som andre argument. Eksempel: Vi skal løse tredjegradslikningen i eksempel 7 på side 126 i læreboka, nemlig x 3 6x 2 + 7x + 4 = 0 Vi taster inn likningen og gir kommandoen «Løs[#]»: Vi ser at løsningen på likningen er x = 1 ± 2 eller x = 4. Dersom en likning ikke har reelle løsninger, svarer programmet med et spørsmålstegn («?»). Eksempel: Vi skal løse likningen t 2 = 1. Vi taster inn «Løs[t 2=-1, t]»: 16

17 Dette betyr at likningen ikke har noen løsninger. 6 Funksjoner 6.1 Tabellverdier Når en funksjon f(x) er skrevet inn i programmet, finner vi funksjonsverdier for bestemte x-verdier ved å taste rett inn slik vi er vant til å skrive det. Eksempel: Vi har funksjonen f(x) fra side 126 i læreboka, nemlig funksjonen f(x) = x 3 6x 2 + 7x + 4 Vi skal regne ut verdien av funksjonen f for x-verdiene 1, 0, 3 og 5 som bakgrunn for et fortegnsskjema. Vi skriver inn funksjonsuttrykket. 1 Deretter skriver vi inn «f( 1)». I resultatvinduet ser vi at f( 1) = 10. Tilsvarende gjør vi for f(0), f(3) og f(5). 1 Hvis vi legger det inn i CAS-feltet, bruker vi kolon og likhetstegn, mens hvis vi legger det inn i inntastingsfeltet, bruker vi bare likhetstegn. 17

18 6.2 Nullpunkter Vi minner om kommandoen «Nullpunkt[f, a, b]». Eksempel: Vi skal finne nullpunktene til funksjonen f fra side 200 i læreboka gitt ved f(x) = 4x x Vi legger inn funksjonen og får tegnet grafen. Vi ser fra grafen at nullpunktet ligger i intervallet x [ 1, 1]. Vi skriver inn «Nullpunkt[f, 1, 1]» og får: Altså er nullpunktet (0, 0). For noen typer funksjoner er det ikke nødvendig å angi nedre og øvre grense for x-verdiene til nullpunktet. Da skriver vi inn «Nullpunkt[f]» og får opp nullpunktene. 6.3 Derivasjon Den deriverte av en funksjon f(x) finner du ved å bruke vanlig funksjonsnotasjon f (x). Alternativt kan du bruke kommandoen «Derivert[ ]». Eksempel: Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 2 +2x +3 fra side 162 i læreboka. Vi skriver inn «f(x) = x 2 + 2x + 3» og taster «f'(x)». Vi får at f (x) = 2x + 2. For å regne ut f (2) skriver vi nå inn «f (2)» og får at f (2) = 2: 18

19 6.4 Toppunkter og bunnpunkter Eksempel: Vi skal finne minste verdi av funksjonen f fra side 98 gitt ved f(t) = 50t 2 294t Vi legger inn funksjonen ved å taste «f(t) := sqrt(50t 2 294t + 441)». Vi ser at bunnpunktet ligger i intervallet t [2, 4]. Vi skriver inn «Ekstremalpunkt[f, 2, 4]». Vi får at bunnpunktet er (2,94, 2,970). Altså er laveste verdi for f omtrent 3,0. En alternativ framgangsmåte til å finne toppunkt eller bunnpunkt er å se på nullpunktene til den deriverte. Eksempel: Vi skal finne toppunktet til funksjonen f på side 202 i læreboka gitt ved f(x) = 4xe x Vi legger inn funksjonen i CAS-feltet. Vi setter den deriverte lik null ved å taste «f'(x)=0». Deretter taster vi «Løs#» og får x = 1 til svar. Vi regner ut funksjonsverdien f(1) og har funnet at toppunktet er (1, 4 ) (1, 1, 472). e 19

20 For å avgjøre om det er et toppunkt eller bunnpunkt, kan vi kikke på grafen. Vi ser at det er et toppunkt, altså med koordinater (1, 1,472). 6.5 Vendepunkt For enkle polynomfunksjoner finner vi vendepunkt med kommandoen «Vendepunkft[f]». For andre typer funksjoner regner vi ut den dobbeltderiverte og ser på nullpunktene til den. Eksempel: Vi skal finne vendepunktet til funksjonen f fra side 203 i læreboka gitt ved f(x) = e 2x 4e x + 3 Vi legger inn funksjonen med «f(x) := e (2x) 4e x + 3». Deretter skriver vi «f''(x)=0» og får den dobbeltderiverte lik null. Vi løser likningen med «Løs[#]» og får x = 0. Da regner vi ut f(0) og får at vendepunktet er (0, 0). Vi sjekker på grafen at krumningen skifter. 20

21 6.6 Tangent Vi finner tangenten til en funksjon f i punktet x = a ved kommandoen «Tangent[a, f]». Eksempel: Vi skal finne vendetangenten til funksjonen f(x) = e 2x 4e x + 3 Vi legger inn funksjonen og finner vendepunktet, jfr. avsnittet ovenfor om vendepunkt. Vendepunktet er (0, 0). Siden vendepunktet har x-verdi 0, skriver vi «Tangent[0, f]». Funksjonsuttrykket til tangenten er altså y = 2x. 7 Geometri Det opprinnelige hovedfokuset til Geogebra lå nettopp i geometri. Mulighetene for å bruke programmet til geometri er derfor mange. Vi viser til brukermanualen for en innføring i dette. Her tar vi kun med noe av de mest grunnleggende operasjonene. Punkter Du oppretter punkter ved å velge verktøyet «Nytt punkt» og klikke der du vil ha et punkt eller ved å skrive inn koordinatene med vanlige parenteser. Eksempel: For å tegne inn punktet P(3, 4), taster vi «P = (3, 4)». Vi bruker store bokstaver for å vise at det er et punkt. Når vi bruker små bokstaver tolker programmet det som en vektor. 21

22 Mangekanter Vi lager mangekanter, for eksempel trekanter og firkanter, med verktøyet «Mangekant». Dersom vi først har opprettet hjørnepunktene, klikker vi på disse når vi lager mangekanten. Skjæringspunkter For å finne skjæringspunkter mellom to objekter velger du verktøyet «Skjæring mellom to objekt» og klikker på de to objektene. Normaler For å opprette en normal til en linje gjennom et punkt velger du «Normal linje»-verktøyet og klikker på punktet og linja. Tangenter For å tegne en tangent til en kurve i et bestemt punkt velger vi verktøyet «Tangenter» og klikker på kurven og punktet. Alternativt kan vi bruke kommandoen «Tangent[a, f]», jfr. avsnitt 6.6 ovenfor. Vinkler For å måle en vinkel velger du verktøyet «Vinkel» og klikker på vinkelbeinene til vinkelen. (Alternativt klikker du på tre punkter hvor det midterste er vinkelens toppunkt.) For å tegne en bestemt vinkel bruker du verktøyet «Vinkel med fast størrelse». Linje gjennom punkter For å tegne en linje gjennom to punkter velger du verktøyet «Linje gjennom to punkt» og klikker på de to punktene. Konstruksjon Det er mulig å bruke programmet til å konstruere som med passer og linjal. Det legges imidlertid opp til at konstruksjon på eksamen i R1 kan skje på del 1 uten digitale hjelpemidler. Vi utelater derfor beskrivelsen av dette her. 22