Funksjoner med GeoGebra

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Funksjoner med GeoGebra"

Transkript

1 Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0

2 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4 Større skrift og tykkere linjer... 4 Fra funksjonsuttrykk til graf... 5 Endre egenskaper... 6 Fra graf til koordinater og tabell... 8 Punkt på grafen... 8 Å finne funksjonsverdier grafisk når vi kjenner x-verdien... 9 Å skrive inn koordinatene til et punkt på grafen... 9 Å tegne en loddrett linje og finne skjæringspunktet... 9 Å finne x-verdier grafisk når vi kjenner funksjonsverdien Praktisk situasjon som beskrives ved hjelp av en funksjon Å tegne grafen i et intervall Enheter og forklarende tekst på aksene Lineære funksjoner: Stigningstall og konstantledd Å regne ut verdien av en variabel Likningen til en rett linje Konstantledd Stigningstall Variable koeffisienter, bruk av glider Lineære funksjoner: Fra tabell til graf og funksjonsuttrykk Løse likningssett... Feil! Bokmerke er ikke definert. Arbeid med flere typer funksjoner Største og minste verdi - ekstremalpunkt Nullpunkt og skjæringspunkt Oppgaver, blanding... Feil! Bokmerke er ikke definert. 1

3 Funksjonstegner GeoGebra er et program som har mange bruksområder innenfor matematikk. Her skal vi først og fremst fokusere på de mulighetene vi har til å jobbe grafisk med funksjoner og likninger. Ordet GeoGebra er sammensatt av to deler: Geo som kommer fra geometri og Gebra som kommer fra algebra. GeoGebra kan også brukes til arbeid med algebra og funksjoner. Nå er det imidlertid funksjoner som er i fokus. I opplæringen leser du beskrivelser av hvordan noe skal gjøres og løser en eller flere oppgaver for å øve selv. For å gjøre oppgavene i GeoGebra, trenger du GeoGebra 4.0 eller nyere. Skjermbildene som vises her er fra GeoGebra 5.0. Du kan laste ned GeoGebra fra Programmet er gratis. Skjermbildet i GeoGebra Når du starter GeoGebra ser skjermbildet vanligvis slik ut: Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Algebrafelt Grafikkfelt Velge oppsett Inntastingsfelt 2

4 Oppsett av skjermbildet Når vi bruker GeoGebra til arbeid med funksjoner, er det som oftest smart å velge oppsettet Algebra og grafikk. Da har vi de funksjonene vi trenger lett tilgjengelig, nemlig verktøylinja, algebrafeltet, inntastingsfeltet og grafikkfeltet. Vinduet for valg av oppsett vises på nytt om du klikker på den lille pilen i høyre kant av grafikkfeltet. Du kan også om du ønsker, vise rutenettet. Høyreklikk i grafikkfeltet og klikk på Rutenett. Verktøylinja Verktøylinja inneholder verktøyikoner utformet som knapper. Under hver knapp er det flere verktøy. Hvis vi klikker på den lille pilen i nederste høyre hjørne av en knapp, vises en liste med de verktøyene som finnes under knappen. Vi kan da velge hvilket verktøy knappen skal representere. Legg også merke til at når du holder musepekeren over et verktøy, vises en forklaring på hvordan verktøyet brukes. 3

5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene Når vi jobber med funksjoner og likninger har vi ofte behov for å flytte tegneflaten eller å endre på enheten på aksene. Vi kan da bruke verktøyet Flytt grafikkfeltet. Mens dette verktøyet er valgt kan du endre enhet på aksene ved å «dra» i aksene med musepekeren mens du holder venstre museknapp nede. Å holde nede shift-tasten (den tasten du holder nede for å få store bokstaver) har samme virkning som å velge verktøyet Flytt grafikkfeltet. Mens du holder shift-tasten nede kan du både flytte grafikkfeltet og endre enhet på aksene med musepekeren. Oppgave 1 Velg oppsett Algebra og vis rutenett. Plasser origo midt i grafikkfeltet. Vis enheter fra -15 til 15 på førsteaksen, enheter fra -100 til 100 på andreaksen. Flytt inntastingsfeltet øverst Når GeoGebra skal brukes på Smartboard eller prosjektør er det lurt å plassere inntastingsfeltet øverst i skjermbildet. Klikk på ikonet for Egenskaper, velg Utforming, og marker at du vil ha inntastingsfeltet øverst. Større skrift og tykkere linjer Det kan også være en fordel å øke skriftstørrelsen for at elevene skal se bedre. Velg Innstillinger fra menylinja, deretter Skriftstørrelse. Du velger så hva skriftstørrelsen skal være. Linjetykkelse kan du velge i stilmenyen i Grafikkfeltet når ei linje er markert. Du kan også velge tykkelse på linja ved å høyreklikke på den og velge Egenskaper. Det kan være en god ide å lagre disse innstilingene, Klikk på Innstillinger i menylinja og velg Lagre innstillinger. 4

6 Fra funksjonsuttrykk til graf Vi kan skrive funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet og GeoGebra vil tegne grafen til funksjonen i grafikkfeltet. Funksjonsuttrykket vises i algebrafeltet. Ofte bruker vi x som navn på variabelen i likninger og funksjoner. Det betyr at x vil svare til en verdi på førsteaksen. Verdiene på andreaksen vil svare til den verdien som regnes ut når vi setter inn x i likningen eller funksjonsuttrykket. GeoGebra gir funksjoner navn med små bokstaver og starter med bokstaven f. For å markere at f får verdi ved å regne ut funksjonsuttrykket med en verdi for x skrives navnet til funksjonen slik: f(x). Du kan enten la GeoGebra gi funksjonene dine navn eller du kan selv velge navn ved å kalle funksjonene f(x), g(x), h(x), p(x), osv. Vi skal tegne grafen til f(x) = 2x + 1. Vi skriver i inntastingsfeltet: Du ser nå i algebrafeltet at funksjonen har fått navnet f(x) og i grafikkfeltet at grafen er ei rett linje. Hvis variabelen skal hete noe annet enn x eller vi ønsker å velge hvilken bokstav som skal brukes som navn på funksjonen må vi skrive inn for eksempel slik: s(t)=60t Vær oppmerksom på at i GeoGebra bruker vi punktum som desimalskilletegn. Du må dermed skrive for eksempel k(x) = 0.2x + 4 5

7 Oppgave 2 Tegn grafen til disse tre funksjonene i samme koordinatsystem f(x) = x + 3 g(x) = 2x + 4 p(x) = x v(t)=0,3t Lagre På filmenyen finner vi valget for å Lagre GeoGebra-filen vi har jobbet med. Den lagres med filtypen ggb, for eksempel oppgave2.ggb Et nyttig verktøy: «Flytt eller velg objekt» Vi bruker dette verktøyet for å velge hvilket objekt som skal være det aktive objektet. Det kan være smart å ha dette verktøyet som det valgte verktøyet når vi ikke er i ferd med å tegne noe. Å trykke på escape-tasten (esc) er det samme som å velge dette verktøyet. Slette og angre Når vi tar i bruk et nytt verktøy med mange muligheter må vi regne med at vi ikke alltid lykkes i første forsøk. Det er derfor viktig å kunne angre og slette når vi har gjort noe feil. I GeoGebra kan du angre med Ctrl + Z. Alternativt kan du bruke knapp for å angre. Den finner du helt til høyre på verktøylinja. For å slette et objekt, velger du objektet med og trykker Delete. Når du sletter et objekt, vil eventuelle andre objekt som er avhengige av det objektet du sletter også forsvinne. Endre egenskaper Det kan være flere grunner til at du vil endre egenskapene til en graf, for eksempel at du har skrevet feil eller at du vil endre navn, farge eller linjestil. Da høyreklikker du på funksjonen, enten i grafikkfeltet eller i algebrafeltet og velger Egenskaper. 6

8 I feltet Verdi kan du endre funksjonsuttrykket. På fanen Farge kan du velge hvilken farge grafen skal ha og på fanen Stil kan du velge hva slags linje grafen skal tegnes med. Oppgave 3 Tegn de tre funksjonene i samme koordinatsystem. De tre grafene skal ha hver sin farge. Den siste skal være stiplet. k(x) = 0,2x + 4 p(x) = 4x s(x) = 5 7

9 Tips: Ved å vise stilmenyen øverst i grafikkfeltet kan du raskt skifte farge på grafene. Vis stilmenyen Velg, klikk deretter på den grafen du vil endre på. Da vises relevante valg i stilmenyen. Fra graf til koordinater og tabell Vi skal se på flere muligheter vi kan bruke i ulike situasjoner når vi skal finne koordinater til punkt på grafen. I noen situasjoner bruker vi koordinatene til disse punktene til å sette opp en verditabell. Punkt på grafen Ved å plassere punkt på linja kan vi lese av x-verdien og funksjonsverdien som hører til punktets x- verdi. Tegn grafen til den funksjonen du skal arbeide med. Velg verktøyet Punkt flere punkt på linja. og plasser ett eller I eksemplet har vi tegnet grafen til f(x ) = 2x + 1 og plassert punktene A, B og C på linja. Legg merke til at når punktene er plassert på linja kan de flyttes med slik at de havner der vi vil ha dem. Vi ser punktenes koordinater i algebrafeltet, og disse endres når punktet flyttes. 8

10 Vil du se koordinatene til et punkt i stedet for punktets navn i grafikkfeltet, høyreklikk på punktet, enten i algebrafeltet eller i grafikkfeltet, velg Egenskaper og velg deretter Verdi eller Navn og Verdi fra nedtrekkslista ved Vis navn. Oppgave 4 Finn koordinatene til 4 punkt som ligger på grafen til denne funksjonen: f(x) = 2,8x 5 Oppgave 5 Finn koordinatene til følgende punkt som ligger på grafen til g(x) = 4 5x a) Punktet der x-koordinaten = 0 b) Punktet der y-koordinaten = 0 c) Punktet der y-koordinaten = 20 d) Punktet der x-koordinaten = 10 Å finne funksjonsverdier grafisk når vi kjenner x-verdien Vi har to metoder å velge mellom. Å skrive inn koordinatene til et punkt på grafen Av og til kan det være vanskelig å plassere punkt på grafen nøyaktig nok. Da kan vi i stedet plassere punktene ved å skrive dem inn i inntastingsfeltet. Denne metoden kan vi bruke dersom vi kjenner x- koordinaten til punktet. Som du har sett gir GeoGebra punkt navn som er store bokstaver. Hvis vi har en funksjon som heter f og skal plassere punktet A på grafen til f slik at x-koordinaten er 8 skriver vi i inntastingsfeltet: A = (8,f(8)). Eksempel Funksjonen f(x) = 2,71x beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi tegner grafen til f(x). Vi skal bruke grafen til å finne ut hva det koster å lage 2000 kopper. Skriv i inntastingsfeltet: Den verdien vi skal finne er andrekoordinaten til A. Du kan se den i algebrafeltet, eller du kan vise verdien til punktet A slik at koordinatene vises i grafikkfeltet. Å tegne en loddrett linje og finne skjæringspunktet En alternativ metode til å sette inn et punkt på grafen er å tegne en loddrett linje som illustrerer den x-verdien vi skal ha. Skriv i inntastingsfeltet 9

11 Marker skjæringspunktet mellom den loddrette linja og x-aksen ved hjelp av koordinatene til punktet i grafikkfeltet ved å velge å vise Verdi i stedet for Navn.. Vis Å finne x-verdier grafisk når vi kjenner funksjonsverdien Funksjonen f(x) = 2,71x beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi tegner grafen til f(x). Vi skal finne hvor mange kopper vi kan lage for kr. Da tegner vi linja g(x) = Marker deretter skjæringspunktet mellom g(x) og f(x) ved hjelp av. Vis koordinatene til punktet i grafikkfeltet ved å velge å vise Verdi i stedet for Navn. 10

12 Oppgave 6 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x)= 1100x der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). Hva blir overskuddet når det produseres 20 enheter? Hvor mange enheter produserer de når overskuddet er kr? Praktisk situasjon som beskrives ved hjelp av en funksjon Funksjonen f(x) = 2,71x beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi skal tegne grafen til funksjonen. Vi kan ikke bruke negative tall for x her da x betyr et antall kopper kaffe. Vi regner med at kaffemaskinen er utslitt etter å ha laget kopper kaffe. Å tegne grafen i et intervall For å begrense grafen til de gyldige verdiene av x bruker vi kommandoen Dersom. Skriv følgende i inntastingsfeltet: Vi kan alternativt bruke kommandoen Funksjon slik: Etterpå må vi tilpasse aksene i grafikkfeltet slik at vi ser funksjonen. Vi kan vise funksjonsforskriften i grafikkfeltet ved å velge funksjonen i algebrafeltet og dra den over til grafikkfeltet. (Alternativ: høyreklikk på funksjonen, velg Egenskaper og Vis, Navn og verdi) 11

13 Enheter og forklarende tekst på aksene Høyreklikk et sted du ikke har tegnet noe i grafikkfeltet. Velg Grafikkfelt. På fanen xakse skriver vi x (Antall kopper) i feltet Navn på aksen (se neste side). I noen tilfeller kan det også være smart å angi ved hvilken verdi x-aksen skal krysse y-aksen eller å feste x-aksen til kanten av grafikkvinduet. På fanen yakse skriver vi som Navn på aksen K(x) og som Enhet kr. 12

14 Som et alternativ kan du sette på navn på aksene ved å legge inn en tekst. Velg verktøyet Tekst, skriv inn den teksten du ønsker og plasser tekstboksen et passende sted ved siden av aksen. Oppgave 7 Månedsprisen for et mobilabonnement er gitt ved funksjonen s(x) = 0,99x+49 der x er antall ringeminutt. Tegn grafen til s(x). Vi snakker ikke mer enn 500 minutt hver måned. Bruk grafen til å finne ut hvor mange minutt en kan ringe for 200 kr. 13

15 Lineære funksjoner: Stigningstall og konstantledd Oppgave 8 Tegn grafen til funksjonene a) x b) 2x c) 10x d) 3x Hva er felles for alle disse grafene? Å regne ut verdien av en variabel Vi tegner grafen til f(x) = 4,5x og plasserer tre punkt på grafen ved hjelp av. Vi skal nå få beregnet y koordinat for disse tre punktene. Under ser du hvordan du oppgir x- og y- x koordinat koordinaten til punkt A. Svaret lagres i variabelen a. Divisjonstegnet er / og * brukes som multiplikasjonstegn i GeoGebra. 14

16 Oppgave 9 Tegn grafen til f(x) = 3x Plasser tre punkt på grafen. Fyll ut tabellen: Punkt x f(x) f(x)/x A B C Hvordan er verdien til f(x)/x? Hva skjer med f(x)/x dersom du flytter på ett eller flere av punktene? Hva kaller vi en slik funksjon? Likningen til en rett linje Vi kan tegne en linje som går gjennom to faste punkt ved først å avsette punktene med verktøyet Linje gjennom to punkt. Vi tenger linja gjennom ( 2,1) og (4,4). Nå må du legge merke til to ting. For det første så oppgir GeoGebra formelen som en likning, ikke som en funksjon. Likningen for ei rett linje har formen y = ax + b Legg også merke til at GeoGebra ikke nødvendigvis ordner likningen i algebrafeltet på formen y = ax + b. For å vise likningen på denne formen høyreklikker du på linja i algebrafeltet eller i grafikkfeltet og klikker på Likning y = ax + b. 15

17 Oppgave 10 Tegn linjene gjennom de to punktene. Kan du ut fra grafen se hvordan likningen blir på formen y = ax + b? Hva bestemmer a? Hva bestemmer b? a) (0,4) og (6, 3) b) (0,0) og (4,12) Konstantledd Likningen for en rett linje kan skrives på formen y = ax + b. Vi kaller b konstantleddet, a kalles stigningstallet. Vi finner konstantleddet ved å finne det punktet der linja skjærer andreaksen (y-asken). til å finne konstantleddet. Konstantleddet er andre- Bruk verktøyet Skjæring mellom to objekt koordinaten til skjæringspunktet. 16

18 Stigningstall Når grafen er laget som en likning, og ikke som en funksjon, kan vi finne stigningstallet med verktøyet Stigning. Vi kan alltid se stigningstallet som koeffisienten foran x i likningen. Oppgave 11 Tegn grafen til a) en lineær funksjon med stigningstall 2 og konstantledd 4 b) en lineær funksjon som har graf som er parallell med grafen tegnet i a) og som går gjennom (0,2) c) en lineær funksjon som går gjennom origo og som har stigningstall 1,5 Oppgave 12 Merk av to punkter i koordinatsystemet. Bruk verktøyknappen Linje gjennom to punkt til å tegne den rette linjen. Bruk verktøyknappen Skjæring mellom to objekt til finne skjæringspunktet med y-aksen og skjæringspunktet med x-aksen. Finn linjas stigningstall ved hjelp av verktøyet Stigning (Alternativ: Skriv i inntastingsfeltet der a er linjas navn). Sjekk at verdiene stemmer med likningen for linja som du ser i algebravinduet. Oppgave 13 Tegn linja som går gjennom A ( 2,1) og B (4,3). Vis konstantledd og stigningstall på grafen. Bruk og flytt på linja. Følg med på hvordan konstantleddet endrer seg. Plasser linja slik at konstantleddet er 1. Flytt deretter på A eller B og se hvordan stigningstallet endrer seg. a) Beskriv linja når stigningstallet er et positivt tall. b) Beskriv linja når stigningstallet er et negativt tall. c) Hva er forskjellen på linja når stigningstallet er 1 og når det er 5? d) Hva er forskjellen på linja når stigningstallet er 1 og når det er 5? 17

19 e) Beskriv linja når stigningstallet er 0. Variable koeffisienter, bruk av glider Vi kan gjøre likninger og funksjoner dynamiske ved å bruke variabler som koeffisienter og variere disse ved hjelp av glidere. Eksempel Vi skal undersøke sammenhengen mellom stigningstallet til en rett linje og grafen. 1 Start med å definere en variabel ved å skrive s = 2 i inntastingsfeltet. 2 Skriv deretter inn likningen for linja f(x) = sx Gjør variabelen synlig som en glider ved å klikke på den lille sirkelen foran den i algebrafeltet. 4 Bruk og dra i glideren. Observer hva som skjer med linja og likningen. 5 Du kan endre største og minste verdi ved å høyreklikke på glideren og velge Egenskaper. Oppgave 14 Opprett en variabel, og bruk den til å utforske hva som skjer med en rett linje når du endrer konstantleddet. Oppgave 15 Opprett fire variabler ved å skrive i innskrivingsfeltet: a = 1, b = 2, c = 1 og d = 1. Skriv deretter inn fuksjonen f slik : f(x) = ax+b. Gjør variablene synlige som glidere, enten ved å høyreklikke på dem i algebrafeltet og velge Vis objekt, eller ved å klikke på den lille sirkelen foran variabelen i algebrafeltet slik at den blir farget. 18

20 Skriv g(x) = cx + d Endre farge på grafene til f og g slik at de får hver sin farge. Hvilket punkt har de to grafene felles? Finn koordinatene til skjæringspunktet. Hva er det som kjennetegner koordinatene til dette punktet? Bruk gliderne og finn ut: Når overlapper grafen til f grafen til g? Forklar. Når har ikke grafen til f og grafen til g noe skjæringspunkt? Forklar 19

21 Lineære funksjoner: Fra tabell til graf og funksjonsuttrykk I noen tilfeller har vi en tabell som inneholder koordinater til mer enn to punkt som vi regner med at ligger på en rett linje. GeoGebra kan finne den linja som passer best til punktene slik: Start med å vise Regneark slik at vi kan skrive inn tabellen med punktenes koordinater. Skriv inn første-koordinaten i A-kolonnen og andre-koordinaten i B-kolonnen. Merk deretter området med tallene du har skrevet inn, høyreklikk i det merkede området og velg Lag, Liste med punkt. Nå ser du punktene i grafikkfeltet og som Liste1 i algebrafeltet. Klikk i grafikkfeltet slik at de vanlige verktøyene dukker opp igjen, og velg verktøyet Beste tilpasset linje. 20

22 Klikk på Liste1 i algebrafeltet. Da blir linjen tegnet og likningen vises i algebrafeltet. Oppgave 16 Finn likningen for linja som går gjennom punktene (0, 5), (10,2), (20,9) og (30,16). Oppgave 18 Per, Pål og Espen har samme type mobilabonnement. En måned betaler Per 66 kr for 40 samtaleminutt, Pål 111 kr for 155 samtaleminutt og Espen 84,60 kr for 89 samtaleminutt. Finn en funksjon som beskriver hva dette telefonabonnementet koster. 21

23 Arbeid med flere typer funksjoner Oppgave 20 Tegn funksjonene i figuren over i samme koordinatsystem. Marker grafene med hver sin farge. Hvis du vil skrive x 2 skriver du enten slik: x^2 eller du holder alt-tasten nede mens du skriver 2-tallet. Brøkstreken skrives med /. Brøkfunksjoner, asymptoter Funksjoner som har x i nevner kalles brøkfunksjoner. Disse har asymptoter, linjer de ikke krysser. Vi finner likningen til asymptotene og får dem tegnet i grafikkfeltet ved å bruke kommandoen Asymptote. Tegn grafen til funksjonen 20 gx ( ) 5. Skriv deretter i inntastingsfeltet: x 22

24 Oppgave 21 a) Tegn grafen til funksjonen f(x) = 1 x. b) Tegn asymptotene til grafen. c) Plasser et punkt på den greina av grafen som er til høyre for y-aksen. d) Beregn første-koordinat andre-koordinat (husk at * brukes som multiplikasjonstegn). e) Flytt punktet langs grafen. Hva shvordan går det med produktet av koordinatene? f) Prøv å gjøre tilsvarende med g(x) = 3 x. g) Hva kaller vi funksjoner som har denne egenskapen? Oppgave 22 v Bruk variabelen v til å undersøke hvordan grafen til ex ( ) endrer seg når v endres. x Største og minste verdi - ekstremalpunkt Noen funksjoner har en maksimalverdi og/eller en minimalverdi. Slike punkt kaller vi ekstremalpunkt og verdien ekstremalverdi. Vi tegner først grafen til f(x) = 2x 2 2x

25 Vi finner ekstremalpunkt ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt. Skriv i inntastingsfeltet: (funksjonen heter f i dette eksemplet). Vis koordinatene til bunnpunktet ved å vise verdien til bunnpunktet. Oppgave 23 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x) = 10x x der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). Tegn grafen til O(x). Vi antar at x ikke kan være mer enn 150. Finn hvor mange enheter en må produsere for å få størst mulig overskudd og hvor stort dette overskuddet er. Nullpunkt og skjæringspunkt Vi er ofte spesielt interessert i å vite for hvilke x-verdier funksjonen skjærer x-aksen. Dette kalles funksjonens nullpunkt. Vi tegner funksjonene f(x) = 0,7x + 2 og g(x) = x 2 4 For å finne nullpunktene bruker vi kommandoen Nullpunkt. Skriv i inntastingsfeltet: og tilsvarende for g. 24

26 Vis verdiene i stedet for navnet til nullpunktene. Vi kan også få markert skjæringspunktene mellom de to grafene ved å bruke kommandoen Skjæring: Oppgave 24 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x) = 10x x der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). Vi går ut fra at vi ikke selger mer enn 150 stk. av denne varen. Tegn grafen til O(x). Hvilke verdier kan x ha? Finn hvor mange varer en må produsere og selge for at overskuddet skal være 0. Oppgave 25 Bruk variabelen k til å undersøke hvordan grafen til f(x)= kx 2 endrer seg når k endres. 25

27 Oppgave 26 Du har fått deg jobb på en gård og skal lage en rektangulær innhegning ved å bruke 20 meter gjerde. Innhegningen skal ligge inntil en vegg, se figur under. Du lurer på hvordan innhegningen bør være for at arealet skal bli størst mulig. a) La bredden av innhegningen være x og lengden y. Finn y uttrykt ved x, og finn A av innhegningen uttrykt ved x og y. b) Finn arealet av innhegningen som en funksjon A(x) og skisser grafen til A(x). Hva må x være for at innhegningen skal gi størst mulig areal? 26

28 Oppgave 27 (fra eksamen v13) 27

29 Eksempel på føring av en oppgave som løses ved bruk av GeoGebra En potetprodusent får 3,09 kr per kg han leverer til Gartnerhallen. a Kall antall kg poteter produsenten selger for x. Sett opp et funksjonsuttrykk, i(x), som viser hva hun får betalt på salg av x kg poteter. b Tegn grafen til i(x). La x variere mellom 0 og 5000 kg. c Hva får produsenten betalt hvis hun leverer 2800 kg? d Hvor mange kilo må produsenten levere for å få betalt kr? Løsning: a Vi finner hva bonden får betalt ved å multiplisere kiloprisen med antall kilo hun leverer. Da har vi i(x) = 3,09x b Vi skriver i inntastingsfeltet: i(x)=dersom[0<x<5000,3.05x] Vi tilpasser grafikkfeltet slik at vi ser hele grafen. Vi setter navn på aksene, x på førsteaksen og i(x) på andreaksen. På førsteaksen kan vi sette på enheten kg og på andreaksen enheten kr. Se grafen under. c Vi markerer at hun har levert 2800 kg ved å avsette et punkt på grafen. Det gjør vi ved å skrive i inntastingsfeltet: (2800, i(2800)). Vi ser at punktet har koordinatene (2800,8652). Hun får betalt 8652 kr når hun leverer 2800 kg. d For å finne hvor mye hun må levere for å få betalt kr tegner vi en horisontal linje som skjærer andreaksen i Vi skriver i inntastingsfeltet: y = og finner skjæringspunktet mellom den horisontale linja og grafen ved hjelp av verktøyet Skjæring mellom objekt. Skjæringspunktet har koordinatene (6472,49,20 000). Hun må levere 6472 kg for å få betalt kr. 28

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

Geometri med GeoGebra

Geometri med GeoGebra Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

S1 kapittel 3 Lineær optimering

S1 kapittel 3 Lineær optimering S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Undervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål

Undervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål Undervisningsopplegg 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 10 Bruk av GeoGebra i eksamensoppgaver I dette undervisningsopplegget skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner i eksamensoppgaver

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) 1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet GeoGebra 3.2 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhold: Hva er GeoGebra?... 3 Hvor kan jeg få tak i dette programmet?... 3 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet?... 4 Å hente og legge til

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter: Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Kapittel 5. Lineære funksjoner

Kapittel 5. Lineære funksjoner Kapittel 5. Lineære funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. I dette kapitlet repeterer vi stoffet om lineære funksjoner

Detaljer

Opplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet

Opplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet Opplæringshefte i GeoGebra for mellomtrinnet og ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals Bokmål 1 Innhold: Del 1. Generell informasjon om GeoGebra...3 Kva er GeoGebra?...3 Kvar kan eg få tak i dette programmet?...3

Detaljer

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Læreplanmål Matematikk S1 lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi tegne grafen til polynomfunksjoner,

Detaljer

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ]

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>] 442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt

Detaljer

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals 1 Dersom du vil ha en fullstendig oversikt over det som er nytt i versjon 3.0, kan du gå til denne nettsida: http://www.geogebra.org/static/geogebra_release_notes_prerelease.txt

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL Matematikk P forenklet 0 Funksjoner Funksjoner Koordinatsstemet Andreaksen (-aksen) På figuren til venstre ser du et vanlig koordinatsstem. Den vannrette

Detaljer

13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 13.03.2013 Manual til Excel 2010 For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innholdsfortegnelse Huskeliste... 3 Lage en formel... 3 Når du får noe uønsket som f.eks. en dato i en celle... 3

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Brukermanual i GeoGebra

Brukermanual i GeoGebra Brukermanual i GeoGebra for Vg1T, Vg1P, Vg2T, Vg2P, R1 og R2. GeoGebra er et program for Geometri og AlGebra. GeoGebra er en dynamisk matematisk programvare, som binder sammen geometri, algebra og utregninger.

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

GeoGebra på vgs. Versjon 3.0

GeoGebra på vgs. Versjon 3.0 GeoGebra på vgs. Versjon 3.0 Bokmål Lær å bruke et gratis program for graftegning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals GeoGebra på vgs. Innhold: HVA ER GEOGEBRA?... 3 HVOR KAN JEG FÅ

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Høsten 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 500000000 0,00,0 10,0 4 8 3,0 10 5,0 10 3,0 5,0 4 8 ( 3) 7 3 10 7,5 10 Oppgave (1 poeng) Prisen

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 2P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Kapittel 9. Funksjoner

Kapittel 9. Funksjoner Kapittel 9. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. Dette kapitlet handler blant annet om: Hva en funksjon er. Lineære

Detaljer

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + =

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + = 6. Lineær modell I modell A (foregående side) la vi til grunn en tanke om like stor tilvekst pr. tidsenhet. Vi kan lage tabell: År 989 990 99 992 993 994 År etter 989 0 2 3 4 5 Antall elever 00 5 30 År

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Løsningsforslag for 1P høsten 2015

Løsningsforslag for 1P høsten 2015 Løsningsforslag for 1P høsten 015 Dette løsningsforslaget er mest en veiledning til hvordan oppgaven kan løses og forstås. Noen av forklaringene som er gitt kan greit utelates i en besvarelse. Del 1 Oppgave

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene. 10 5 22 28 2 8 50 15 40 10 Bestem gjennomsnittet

Detaljer

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Innledning... 3 Typeoppgave 1... 3 Oppgaven... 3 Fremgangsmåten... 4 Løsningen... 4

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-NspireCAS Innhold 1 Om TI-NspireCAS 4 1.1 Applikasjonene................................. 4 1.2 Dokumenter...................................

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Eksempler på bruk av IKT i matematikk i videregående skole

Eksempler på bruk av IKT i matematikk i videregående skole Eksempler på bruk av IKT i matematikk i videregående skole FORORD Formålet med dette heftet er å vise noen anvendelser av digitale hjelpemidler til å løse matematikk oppgaver i videregående skole. Du kan

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 8.11.013 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Klarer dere disse abel-nøttene fra 2011?

Klarer dere disse abel-nøttene fra 2011? 2: Lineære funksjoner VG1-T - teoretisk retning En del av dere synes nok at innføringa i kapittel 1 er i vanskeligste laget. Trass i at vi stort sett har repetert foreløpig, ser jeg at dere merker overgangen

Detaljer

Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS.

Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Oppgave 1 En bonde har et 20 meter langt gjerde og skal sperre av et rektangulært område der en av sidene i rektangelet er en fjøsvegg. Finn maksimalt areal som

Detaljer

Kapittel 6. Funksjoner

Kapittel 6. Funksjoner Kapittel 6. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. Dette kapitlet handler blant annet om: Hva en funksjon er. Lineære

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Eksamen 31.05.2012. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 31.05.2012. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 31.05.01 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Regning 4 1.1 Tallet e...................................... 4 2 Sannsynlighetsregning

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

18.07.2013 Manual til Excel. For mellomtrinnet. Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

18.07.2013 Manual til Excel. For mellomtrinnet. Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 18.07.2013 Manual til Excel 2010 For mellomtrinnet Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Husk... 2 1. Det kan bare være tall i cellene som skal brukes i formelen.... 2 2. En

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4. Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals

Lær å bruke GeoGebra 4. Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals Lær å bruke GeoGebra 4 Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals Lær å bruke GeoGebra 4 Innhaldet i denne økta: 1. Kort presentasjon av nye verktøy i GeoGebra 4 2. Jobbing med sjølvinstruerande hefte 3. Spørsmål

Detaljer

Lineære funksjoner - Elevark

Lineære funksjoner - Elevark Lineære funksjoner - Elevark -Navn: Oppgave 1 a) Hva koster det å reise for to personer? b) Hvor mange kan reise for 160 kr? c) Hva koster en billett? d) Vi kaller antall personer for x, og utgiftene for

Detaljer

Algebra Vi på vindusrekka

Algebra Vi på vindusrekka Algebra Vi på vindusrekka Utsagn... 2 Åpne utsagn... 3 Den ukjente... 4 Likhetstegnet... 5 Likninger... 6 Løs likninger... 7 Matematiske uttrykk... 8 Formel... 9 Tilordning... 10 Funksjon... 11 Koordinatsystem...

Detaljer

Følgende funksjon er gitt: f(x) = 2x 3 a) Lag en tabell med funksjonsverdier, og tegn opp grafen i et koordinatsystem.

Følgende funksjon er gitt: f(x) = 2x 3 a) Lag en tabell med funksjonsverdier, og tegn opp grafen i et koordinatsystem. Funksjoner Oppgavesettene i funksjonslære inneholder oppgaver om lineære funksjoner, andregradsfunksjoner og brøkfunksjoner. Det er to oppgavesett på hvert av temaene. For alle tre temaene er oppgavene

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Skriv tallet 2460000 på standardform. b) Regn ut: 3 3 3 2 81 4 + 12 5 + 8 + 4 3 c) Løs likningssystemet: 2x y = 3 x+ 2y = 4 d) Løs ulikheten: 2 2x + 2x+ 4 0 e) Løs

Detaljer

På reise Nivå: Formål: Program: Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: Tall og algebra: Grafer og funksjoner:

På reise Nivå: Formål: Program: Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: Tall og algebra: Grafer og funksjoner: På reise Nivå: 8. og 9. klasse Formål: Arbeide med lineære funksjoner og verktøyprogram Program: Regneark, kurvetegningsprogram Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: registrere og formulere

Detaljer

Perspektivtegning med Paint

Perspektivtegning med Paint Perspektivtegning med Paint Hvis du bruker Microsoft Windows, har du tilgang til programmet Paint. Paint finner du som regel ved å velge Start, Alle programmer og Tilbehør. Med Paint kan du bl.a. lage

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Windows XP. Skrivebord

Windows XP. Skrivebord Windows XP En datamaskin må ha et operativsystem for å kunne virke. Det er operativsystemet som sørger for at de forskjellige enhetene, som enheter som sentralenhet, skjerm, tastatur, mus og skriver arbeider

Detaljer