GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra

Transkript

1 GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra eller Du kan velge å kjøre GeoGebra som en applikasjon i nettleseren, men jeg anbefaler å installere programmet på egen maskin. Programmet er gratis! Kan også hentes her men foreløpig er appene noe begrenset sammenlignet med fullversjonen til PC. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 1 av 28

2 Innhold INNLEDNING... 3 SKJERMBILDET... 4 GEOMETRI... 4 NAVN PÅ OBJEKTER... 5 KONSTRUKSJON. KLASSISK VINKLER... 6 VINKELHALVERING... 6 VISNING AV OBJEKT - AV/PÅ GRUPPEN o -VINKEL o -VINKEL GRUPPEN... 9 NORMALER... 9 NORMAL I ET PUNKT PÅ EI LINJE... 9 MIDTNORMAL... 9 NEDFELLING AV NORMAL FRA ET PUNKT TIL EI LINJE PARALLELLER PARALLELL TIL EI LINJE I GITT AVSTAND FRA LINJA PARALLELL TIL EI LINJE GJENNOM GITT PUNKT EN SAMMENSATT KONSTRUKSJON. ET EKSEMPEL MÅLEVERKTØY TEGNING «KONSTRUKSJON» MED GEOGEBRAS VERKTØY VERKTØY PUNKTVERKTØY LINJEVERKTØY NORMALER/PARALLELLER MANGEKANTVERKTØY SIRKELVERKTØY VINKEL OG MÅLINGSVERKTØY KONGRUENSAVBILDNING. SPEILING-, ROTASJON OG PARALLELLFORSKYVING ALGEBRA FUNKSJONER LINEÆRE GRAFER f(x) IKKE-LINEÆRE GRAFER IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 2 av 28

3 DEFINISJONSOMRÅDE SKALERE OG ZOOME MAKS- OG MINIMUMSPUNKTER REGNE UT FUNKSJONSVERDIER SKJÆRINGSPUNKTER KRAV TIL EKSAMEN LIKNINGER GRAFISK LØSNING AV LIKNINGER MED EN UKJENT LIKNINGER MED TO UKJENTE. GRAFISK LØSNING EGNE NOTATER INNLEDNING Programnavnet er en sammentrekning av Geometri og Algebra og har en rekke anvendelser innenfor disse områdene. I ungdomsskolen har vi først og fremst bruk for programmet i forhold til: GEOMETRI o Klassisk konstruksjonsgeometri o Tegning av geometriske figurer ALGEBRA o Funksjoner o Likninger Programmets dynamiske egenskaper gir oss mange muligheter til å utforske egenskaper ved de objektene vi arbeider med. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 3 av 28

4 SKJERMBILDET MENYLINJE VERKTØYLINJE ALGEBRAFELT GRAFIKKFELT INNTASTINGSFELT Skjermbildet består av Menylinje. Her finner du (som vanlig) muligheter for å lagre, åpne, skrive ut, eksportere, endre innstillinger osv. Verktøylinje med knapper der det ligger en mengde verktøy som er anvendelige i tegning og konstruksjon av geometriske figurer. Det er også mulig å lage egne verktøy. Grafikkfelt. I dette vinduet vises punkter, linjer, figurer, grafer.. Rutenettet og koordinatsystemet kan slås av og på ved hjelp av knappene i overkant til venstre i grafikkfeltet. Algebrafelt kan vi lese av egenskapene til de objektene vi har i grafikkfeltet. Inntastingsfelt. Her skriver vi inn kommandoer, funksjonsuttrykk, formler, utregninger etc. Syntaksen her er i stor grad den samme som vi bruker i regneark. Merk spesielt at desimaltegn er:. (punktum). I tillegg er det mulig å hente fram et Regneark og et vindu som viser Fremgangsmåte ved tegning/konstruksjon av objekter. Disse hentes fra Vis i menylinja. GEOMETRI I forhold til bruk på eksamen og tentamener er det viktig å holde fast på skillet mellom konstruksjon og tegning. KONSTRUKSJON innebærer at vi må tenke klassisk: Alt foregår ved hjelp av passer, linjal og blyant. I GeoGebra innebærer det at vi kun trekker linjer, avmerker punkter og slår sirkler. Mange vil hevde at det er mer tungvint å gjennomføre klassisk konstruksjon ved hjelp av GeoGebra. Spesielt vil det oppleves som et problem at det framkommer en mengde sirkler og hjelpelinjer. I IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 4 av 28

5 motsetning til manuell konstruksjon tegnes det alltid hele sirkler. Det fører nærmest garantert til at man mister oversikt i større konstruksjoner. Imidlertid kan man (underveis) skjule disse linjene/sirklene for å bevare oversikten. I tillegg er det en fordel at programmet selv genererer en konstruksjonsforklaring. Den finner du slik: Vis -> Fremgangsmåte. Den kan skrives ut for levering f.eks. til eksamen. TEGNING innebærer at vi fullt ut kan ta i bruk GeoGebras innebygde verktøy og funksjoner. Det betyr at vi kan gjøre store konstruksjonselementer med et museklikk eller tre. Vi kan f.eks. speile en figur om ei linje ved å klikke på verktøyknappen Speil objekt om linje, deretter på figuren som skal speiles, tilslutt på linja som figuren skal speiles over. Det er også mulig å lage egne verktøy. NAVN PÅ OBJEKTER Når du setter av punkter, konstruerer sirkler, trekker linjer etc. vil GeoGebra automatisk sette navn på objektene. De vil bli skrevet ved siden av objektet og det kan være til bryderi. I tillegg er det ikke sikkert at GeoGebra velger det navnet du ønsker. Denne funksjonen kan skrus av på følgende måte: Innstillinger -> Navn på objekt -> Ikke på nye objekt. Du kan, når det måtte passe, selv sette navn på objektene. Da høyreklikker du objektet og velger Gi nytt navn. GeoGebra har et forslag, men det kan du endre. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 5 av 28

6 KONSTRUKSJON. KLASSISK. Vi ser nærmere på de elementene som klassisk konstruksjon består av og begynner med: VINKLER VINKELHALVERING Utgangspunktet er en tilfeldig tegnet vinkel. To stråler (a og b) fra samme utgangspunkt. Tegnet med verktøyet Stråle gjennom to punkt. Slår en sirkel med sentrum i vinkelens toppunkt og med tilfeldig periferipunkt. Her brukes et av sirkelverktøyene: Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Slår nye sirkler med det samme verktøyet, men nå med sentrum i skjæringspunktene mellom vinkelbeina og den første sirkelen. Radius i disse to sirklene må være lik. Derfor brukes vinkelens toppunkt som periferipunkt. Tilslutt trekkes ei linje gjennom vinkelens toppunkt og skjæringspunktet mellom de to siste sirklene: Verktøy: Linje. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 6 av 28

7 Rotete? Ja! Det er på sin plass å rydde litt. Ved å peke på f.eks. en av sirklene og høyreklikke, får man valgmuligheten Vis objekt. Klikk på den og sirkelen «forsvinner». Gjenta for alle sirklene. (Og eventuelt også for uønskede punkter). VISNING AV OBJEKT - AV/PÅ Alternativt kan objektene skrus av/på for visning i Algebrafeltet. Alle objektene beskrives her; punkter med koordinater sirkler med likninger. Umiddelbart foran navnet på objektet er et felt som kan klikkes for å skru visning av/på. Klikk i dette feltet fører til at visning skrus av/på 180-GRUPPEN Utgangspunktet her er en 180 o -vinkel. Det vil si at vi har ei rett linje med et punkt. Dette punktet er toppunktet for vinkelen. Halvering foregår etter prinsippene over. Først en sirkel som definerer to skjæringspunkter med vinkelbeina, deretter to nye sirkler (lik radius) med sentrum i de to skjæringspunktene. Tilslutt brukes skjæringspunktet mellom de to siste sirklene til å trekke halveringslinja. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 7 av 28

8 90 o -VINKEL Etter «opprydding»: 45 o -VINKEL. Hvis man ønsker 45 o, er det bare å gå videre herfra. Nye sirkler (Vi kunne for så vidt ha beholdt den ene på forrige figur). Her er det i prinsippet mulig å fortsette for å konstruere 22,5 o, 67,5 o, 135 o (har vi allerede laget med åpning mot venstre) IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 8 av 28

9 60-GRUPPEN Utgangspunktet her er en 60 o -vinkel. Du husker vel metoden vha passer. To sirkler med samme radius. Forskjellen er først og fremst at vi i GeoGebra må slå hele sirkelen. Utgangspunktet er en stråle med startpunkt i A. Der skal det konstrueres en vinkel på 60 o. Toppunkt i A og åpning mot høyre. Sirkel med sirkel med sentrum i A og tilfeldig avsatt periferipunkt. Dette punktet brukes som sentrum i ny sirkel med periferipunkt i A. (Det betyr at sirklene har samme radius). Trekker strålen gjennom A og skjæringspunktet mellom sirklene. NORMALER NORMAL I ET PUNKT PÅ EI LINJE Fullført. Dette er prinsipielt det samme som å konstruere en 90 o -vinkel. MIDTNORMAL Vi konstruerer midtnormalen til linjestykket AB. Verktøyet er Linjestykke mellom to punkt. Deretter Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 9 av 28

10 Midtnormalen trekkes mellom skjæringspunktene mellom sirklene. Linje NB! Viktig at sirklene har lik radius! Her er radius = AB. NEDFELLING AV NORMAL FRA ET PUNKT TIL EI LINJE. Verktøy: Linje Nytt punkt Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt Utgangspunktet er ei linje med et punkt (P) utenfor linja. Slår en sirkel med så stor radius at vi får to skjæringspunkter med linja. Skjæringspunktene mellom sirkelen og linja blir sentrum i to nye sirkler. De to nye må ha lik radius! IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 10 av 28

11 Normalen trekkes opp mellom punktet (P) og skjæringspunkt(ene) mellom de to siste sirklene. Opprydding... PARALLELLER PARALLELL TIL EI LINJE I GITT AVSTAND FRA LINJA Utgangspunktet er ei linje. Oppgaven går ut på at vi skal konstruere en parallell til linja i avstand 4 cm. Vi velger å konstruerer parallellen på oversida av den gitte linja. Starter med å konstruere en normal i et tilfeldig punkt på linja. Dette har vi gjort tidligere ta det som repetisjon Rydder opp. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 11 av 28

12 Bruker verktøyet Sirkel definert ved sentrum og radius. Slår sirkel med sentrum i fotpunktet for normalen som ble konstruert Oppgir 4 cm som radius. Slår to nye sirkler med samme radius og trekker parallellen. Ser du hvorfor det ble en parallell? (TIPS! Det «skjuler seg» et kvadrat i figuren og kvadrater har parallelle sider Opprydding Så er konstruksjonen fullført. PARALLELL TIL EI LINJE GJENNOM GITT PUNKT Utgangspunktet er ei linje og et tilfeldig punkt (P) utenfor linja. Vi skal konstruere en parallell til linja gjennom dette punktet. Starter med å merke av et tilfeldig linjestykke AB på linja. Tar i bruk nytt verktøy: Passer. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 12 av 28

13 Måler opp AB i passeren. Slår sirkel om P med denne radien (= AB). Deretter ny avstand i passeren: AP. Slår sirkel om B med denne radien. Trekker parallellen gjennom skjæringspunktet mellom sirklene. Du bør sjekke dette litt nærmere for å overbevise deg om at det faktisk blir en parallell. (TIPS: Det «skjuler seg» et parallellogram i figuren; to og to sider like lange dermed også parallelle.) Dette er en elegant konstruksjon som du muligens ikke har sett før? EN SAMMENSATT KONSTRUKSJON. ET EKSEMPEL. I denne konstruksjonen er hensikten å ta i bruk noen av de elementene vi har sett på i det foregående. Oppgave: I trekant ABC er AB = 8,0 cm, vinkel A = 30 o og vinkel B = 90 o. Trekanten er en del av firkant ABCD der CD =7,0 cm og D ligger like langt fra A som fra C. Verktøy: Linjestykke med bestemt lengde. Husk punktum som desimaltegn. Hjelpefigur: IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 13 av 28

14 Konstruerer 60 o i A og halverer den. Forlenger AB ved å trekke linje gjennom A og B. Konstruerer 90 o i B. Markerer C ved å bruke punktverktøyet: Skjæring mellom to objekt. Rydder litt ved å «fjerne» objekter. Siden D ligger like langt fra A som fra C, betyr det at den ligger på midtnormalen til AC. Konstruerer den og slår en sirkel om C med radius 7,0 cm. (Et alternativ er selvsagt å konstruere to sirkler med radius 7,0 cm. En med sentrum i C og en med sentrum i A.) Verktøy: Linjestykke mellom to punkt. Trekker opp CD og AD. Du kan også trekke opp sidene ved å bruke verktøyet Mangekant (som jeg har gjort her). IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 14 av 28

15 Etter opprydding ble den endelige figuren seende ut som dette: Samtidig med konstruksjonen ble det automatisk generert en konstruksjonsforklaring. Utskrift av denne vil bli godkjent til en eksamen! OPPGAVE 1.1: Konstruer en trekant ABC der AB = 6,0 cm, BC = 4,0 cm og AC = 5,0 cm. Trekanten er en del av firkant ABCD der vinkel CAD = 30 o. CD er parallell med AB. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 15 av 28

16 MÅLEVERKTØY I denne verktøykassa finner du et par verktøy som kan være nyttige for å måle avstander og arealer. I de fleste sammenhenger må du beregne slike størrelser, men her har du en mulighet for å kontrollere de resultatene du har regnet eller resonnert deg fram til. TEGNING «KONSTRUKSJON» MED GEOGEBRAS VERKTØY. GeoGebra er et dynamisk konstruksjonsverktøy. Vi kan konstruere figurer kjapt med tilgang på mange kraftige «verktøy». Etter konstruksjonen vil vi ofte ha mulighet til å dra i og endre egenskapene til figurene. Dette gir oss mulighet til å eksperimentere og utforske direkte på de geometriske objektene. VERKTØY Verktøyene finner du i knapperaden. Under hver knapp dukker det opp en rekke av nye verktøy. Det aktive verktøyet er det som er markert med blå kant. I denne oversikten skal vi se litt på de viktigste til vårt bruk. Budskapet må være klart: Her er det bare å sette i gang å eksperimentere! Utforsk mulighetene! Når du peker på en verktøyknapp får du samtidig en instruksjon om hvordan du bruker verktøyet. Som her: Verktøyet for Normal linje brukes ved å klikke på punkt (som normalen skal gå gjennom og linja som den skal være normal til). Det betyr at vi må ha avsatt både linje og punkt før verktøyet kan benyttes. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 16 av 28

17 PUNKTVERKTØY Særlig tre verktøy om brukes mye: Nytt punkt. Skjæring mellom to objekt. Vi er ofte på jakt etter skjæringspunkter mellom linjer og buer dette verktøyet markerer slike punkter. Objektene utheves når du peker på dem. Midtpunkt eller sentrum. Gir punkt midt mellom to gitte punkter eller sentrum i en gitt sirkel. Husk at du kan skru av visning av navn på punktene. Du kan også bestemme utseendet til punktet: x, +, o osv. Det valget gjør du i feltet umiddelbart i overkant av Grafikkfeltet (når Punktverktøy er aktivt verktøy). LINJEVERKTØY Disse er ganske selvforklarende. De fire første bruker vi mye. OPPGAVE 1.2: Merk av tre punkter og trekk linjestykker mellom dem slik at det dannes en trekant. Bruk Flytt-verktøyet til å dra i hjørnene slik at trekanten endrer form nå ser du dynamikken! Bruk Midtpunkt eller sentrum-verktøyet til å finne midtpunktet på alle sidene. Trekk linjestykker mellom de tre midtpunktene og du får en ny trekant. Finn midtpunktene til sidene i den nye trekanten. Trekk linjestykker mellom disse midtpunktene også. Endre form på den opprinnelige trekanten. Hva kan du si om trekantene? Hva er forholdet mellom sidene i de ulike trekantene? IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 17 av 28

18 NORMALER/PARALLELLER Her ser du at de fire øverste verktøyene kan brukes i temaer som går igjen i den konstruksjonsgeometrien som vi kjenner. OPPGAVE 1.3: Sett av et linjestykke AB. Konstruer midtnormalen til AB. Sett av et punkt på midtnormalen og konstruer en parallell til AB gjennom dette punktet. Sett av et punkt på parallellen og konstruer en normal fra dette punktet til AB. Sett av skjæringspunktet mellom denne normalen og AB. Bruk Flytt-verktøyet til å dra i de ulike punktene. Ser du at punktene ikke er like flyttbare? MANGEKANTVERKTØY Det er særlig de to første verktøyene vi får bruk for. OPPGAVE 1.4: Sett av tre punkter. Aktiviser Mangekant-verktøyet og klikk deg rundt på punktene. Du vil se at det avtegnes/fargelegges en trekant. (Avslutt med klikk på punktet du startet med). Åpne Algebrafeltet (Vis -> Algebrafelt). Legg merke variabelen Mangekant1. Den viser deg arealet av figuren. Dra i hjørnene og se hvordan arealet endrer seg. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 18 av 28

19 SIRKELVERKTØY Mange gode verktøy i denne boksen. Vi har allerede brukt de tre øverste i klassisk konstruksjon. Her får vi i tillegg flere nye og sterke verktøy. OPPGAVE 1.5: Tegn en vilkårlig trekant. Konstruer midtnormalen til alle sidene i trekanten. Observer skjæringspunktet mellom midtnormalene! Ett punkt!? Konstruer en sirkel med sentrum i skjæringspunktet og periferipunkt i ett av hjørnene. Dra i hjørnene. Vil sirkelen alltid gå gjennom alle hjørnene? I så fall, hvorfor? Konklusjonen er at vi har en metode for å konstruere en sirkel som omskriver trekanten. VINKEL OG MÅLINGSVERKTØY OPPGAVE 1.6: Sett av et linjestykke (tilfeldig lengde). Tegn en halvsirkelbue med AB som diameter. Merk av et punkt (C) på halvsirkelen. Bruk Vinkel-verktøyet til å måle vinkel C. Bruk Flytt-verktøyet til å dra i punkt C. Punktet flytter seg langs sirkelbuen. Hva skjer med størrelsen på vinkel C? Læreboka (Sirkel) kaller dette for Det femte geometriske sted. Andre vil kalle det Thales teorem. Kan du formulere denne «regelen»? IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 19 av 28

20 KONGRUENSAVBILDNING. SPEILING-, ROTASJON OG PARALLELLFORSKYVING OPPGAVE 1.7: Hent inn koordinatsystemet (egen knapp) og tegn en trekant ved hjelp an Mangekant-verktøyet i 1. kvadrant. Bruk verktøyet Speil objekt om linje og speil trekanten om x-aksen og y-aksen. Speil (den opprinnelige) trekanten om Origo. (Verktøy: Speil objekt om punkt.) Dra i hjørner prøv å endre figurenes form og størrelse Hvilke punkter er det mulig å dra i? Kan du tenke deg hvorfor det er slik? ALGEBRA Når vi jobber med Algebra har vi som regel aktivisert koordinatsystemet og rutenettet i Grafikkfeltet. Som regel er det gunstig å ha Algebrafeltet åpent samtidig. Der finner vi ofte informasjon som er relevant til det vi foretar oss i Grafikkfeltet. Vi bruker Punkt-verktøyet til å sette av punkter i koordinatsystemet. De får automatisk navn og i Algebrafeltet kan vi lese av koordinatene. (Det er mulig å få skrevet koordinatene ved siden av selve punktet også). FUNKSJONER LINEÆRE GRAFER Lineære grafer kan avbildes på to måter Tegne direkte ved hjelp av verktøyet Linje. Du må da tolke funksjonsuttrykket selv og vurdere konstantledd (b) og stigningstall (a) som du kjenner fra den generelle formen y = ax + b. Legg merke til at funksjonsuttrykket automatisk kommer fram i Algebrafeltet. Skriv inn funksjonsuttrykket i Inntastingsfeltet. OPPGAVE 2.1: Lag grafene til disse funksjonene. Varier mellom de to metodene som er beskrevet. o y= 2x +3 o y=-3x + 4 o y = -x 2 o y = 5 o y = 2/3x + 1 IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 20 av 28

21 f(x) Vi er vant til å skrive funksjonene som y = <et eller annet> (som i oppgaven over) mens det er svært vanlig å skrive det på følgende måte: f(x) = 2x + 3. Dette leses som «f av x er lik» og betydningen er at f er en funksjon av x. Det innebærer at x varierer og f(x) er resultatet vi får når vi regner ut funksjonsuttrykket med den aktuelle x-verdien. Et eksempel: f(x) = 2x + 4 f(2) = = 8 Ønsker vi å skille flere funksjoner fra hverandre bruker vi f(x), g(x), h(x) osv. I mange tilfeller vil det være mest hensiktsmessig å bruke denne skrivemåten i GeoGebra. IKKE-LINEÆRE GRAFER Disse avbildes som regel ved å skrive inn Inntastingsfeltet. Ved inntasting følger vi stort sett de samme reglene som vi er vant til fra Regneark. Divisjon: / Multiplikasjon: * OPPGAVE 2.2: Lag grafene til disse funksjonene. o y = x o f(x) = 2x 3 5x + 1 o g(x) = 3 2x o y = - 2x 2 4x + 3 Potens: ^ (legg merke til at dette er en «stum» tast). Du husker vel at desimaltegnet er :. (punktum). y = 3x 2 + 2x må tastes inn som y = 3x^2+2x. La du merke til noe problem med denne: g(x) = 3 2x? Hvis vi skriver inn slik det står: g(x) = 3/2x får vi en lineær funksjon og det er det jo ikke! Her må vi overstyre med parentes: g(x) = 3/(2x) DEFINISJONSOMRÅDE Av og til har vi behov for å begrense det området som vi kan velge x verdier fra. For å få med dette må vi ta i bruk kommandoen Funksjon. Den har syntaksen: f(x)=funksjon[<funksjonsuttrykk>,<startverdi for x>,<sluttverdi for x>] IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 21 av 28

22 Denne gir grafen i området for x mellom startverdi og sluttverdi. Et eksempel: Tenk deg en situasjon der en elev påtar seg plenklipp mot betaling. Hun vil ha betalt 50,- kr for oppmøte (dekke reiseutgifter etc.) og 1,50 kr pr m 2 som klippes. Vi ser at prisen hun tar for en jobb er avhengig av hvor stor plenen er. Vi kan sette opp følgende funksjon P(x) = 1.5x + 50 der P(x) er prisen for jobben og x er antall m 2. Det vil vel ikke være fornuftig å beregne pris for et negativt antall kvadratmeter. Ei heller kan plenen være urimelig stor. Vi velger å si at prisen beregnes for et antall m 2 mellom 0 og 200. Dette får vi til ved å skrive inn funksjonen på følgende måte: P(x)=funksjon[1.5x+50,0,200] Prøv å skrive inn dette uttrykket i Inntastingsfeltet. Her opplevde du antakelig problemer med skala på aksene. La oss finne en løsning på det. OPPGAVE 2.3: Lag grafen til f(x) = 2x 3 5x + 1, men begrens (definisjons)området til x fra og med -2 til og med 2. SKALERE OG ZOOME Vi vil ofte ha behov for å endre enheter på aksene. Et «vanlig» skjermbilde vil vise oss rundt 20 enheter på aksene. Vi kan zoome ved å «scrolle» med musa. Zooming gir samme forhold mellom enhetene på aksene. Ved å høyreklikke musa i grafikkfeltet får du fram denne menyen med muligheter for å velge forholdet mellom enhetene på aksene. Du kan også hente Forstørr eller Forminsk fra knapperaden. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 22 av 28

23 MAKS- OG MINIMUMSPUNKTER Vi har fra tid til annen behov for å finne maksimums- og minimumsverdier for funksjonsuttrykket. Dette kan vi ofte finne ved å betrakte grafen. Det laveste punktet gir minimumsverdien og det høyeste gir maksimumsverdien. Vi kan få GeoGebra til å gjøre dette for oss. En fordel kan være at vi får et rimelig nøyaktig svar. Legg merke til at vi må angi det området vi skal søke maks- og minimumspunkter i. Syntaksen er: maks[<funksjon>,<startverdi for x>,<sluttverdi for x>] og min[<funksjon>,<startverdi for x>,<sluttverdi for x>] Punktene markeres på grafen og verdiene kan leses av i Algebrafeltet. Tips: Skriv inn funksjonen først: f(x)=.. I kommandoen kan du da skrive: maks[f(x),..] OPPGAVE 2.4: Tegn grafen til funksjonen f(x)=2x 3-2x+1 Finn maksimum- og minimumspunktene når x er området fra -1 til 1. REGNE UT FUNKSJONSVERDIER Når du har skrevet inn en funksjon, f. eks. f(x) = 3x 1, vil du se den i algebrafeltet. Du kan få beregnet funksjonsverdier. For å regne ut funksjonsverdien til x = 3 skriver du i Inntastingsfeltet: f(3). Verdien kommer i Algebrafeltet. OPPGAVE 2.5: Tegn grafen til funksjonen g(x)=x 4-5x 3 +5 Finn funksjonsverdiene for g(-1), g(0), g(4). SKJÆRINGSPUNKTER Når du skal finne skjæringspunkter mellom to grafer, gjøres det best med bruk av Punktverktøyet Skjæring mellom to objekt. Klikk på de to grafene. Koordinatene til punktet finner du i Algebrafeltet. OPPGAVE 2.6: Tegn grafene til funksjonene: f(x) = 3x-2 og g(x) = -2x Finn skjæringspunktene! OPPGAVE 2.7: Sirkel 10B, Modellen y = 50x kan brukes til å regne ut hvor lang strekning vi trenger for å passere en bil som kjører i x km/h når vi holder farten x km/h. a: Tegn grafen til funksjonsuttrykket i et koordinatsystem. Bestem selv aktuelt definisjonsområde for x. b: Hvor lang strekning trenger vi hvis vi kjører i 80 km/h? c: Hvor fort må vi kjøre for å komme forbi på 250 m? IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 23 av 28

24 KRAV TIL EKSAMEN Utdrag fra Eksamensveiledningen 2014: Digitale graftegnere finnes i mange varianter og kan være nyttig å bruke ved alle skriftlige eksamenskoder i matematikk. Dersom elevene bruker en graftegner, er det viktig at de tar med skala og navn på aksene når de tegner grafer. Hvis elevene bruker en slik graftegner, trenger de ikke å oppgi verken verditabell eller framgangsmåte (hvordan de har gått fram for å tegne grafen). Elevene må derimot forklare hvilke kommandoer som er brukt for å finne for eksempel skjæringspunkter og ekstremalpunkter. Navn på aksene settes ved Høyreklikk i Grafikkfeltet -> Grafikkfelt i menyen som kommer fram velger du xakse -> Navn på aksen. Skriv inn og gjør tilsvarende for yakse. Kommandoer som er brukt kan være f. eks. maks[], min[]. For skjæringspunkter brukes oftest verktøyet Skjæring mellom to objekt. I tillegg er det gunstig å få skrevet koordinatene til viktige punkter og funksjonsuttrykk i Grafikkfeltet. Det gjør du enklest ved å dra fra Algebrafeltet til Grafikkfeltet. (Det gir en «kopi» i Grafikkfeltet.) IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 24 av 28

25 LIKNINGER GRAFISK LØSNING AV LIKNINGER MED EN UKJENT Løs likningen: 2x + (3 - x) = 4 (x 2) Utgangspunktet vårt er at en likning viser en venstre- og en høyreside som er lik hverandre. Vi utnytter det ved å avbilde en graf for hver av sidene. Dersom grafene skjærer hverandre, har vi funnet en verdi for x som gjør VS = HS! y = 2x + (3-x) y = 4 (x 2) y = y (!) Vi skriver inn funksjonene slik de står og det tegnes to grafer. Du ser i Algebrafeltet at GeoGebra har forenklet de to uttrykkene til vanlig funksjonsform. Skjæringspunktet markeres og vi leser av løsningen som er x-koordinaten til punktet. I dette tilfellet ser vi at x = 1,5. (Se Algebrafeltet!) OPPGAVE 2.8: Løs likningen grafisk: 2(2x +1) (3 x) = 3(x + 3) (Bruk zoom-funksjonen hvis du skal se løsningen.) Som du, forhåpentlig, nå skjønner, er GeoGebra et fleksibelt og kraftig verktøy. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 25 av 28

26 LIKNINGER MED TO UKJENTE. GRAFISK LØSNING. Kort sagt løser vi et likningssystem med to ukjente rett og slett ved å skrive inn de to likningene og deretter finne skjæringspunktet. (Forutsatt at det er løsning på likningssystemet.) Et par eksempler: Løs likningssystemet: I: y = -3x - 3 II: y = 2x + 2 Skriv begge likningene inn Inntastingsfeltet. Bruk Verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne løsningen. Les av x og y-verdi. Løsning: x = -1, y = 0 Løs likningssystemet: I: 3x + 2y = 8 II: x 2y = 5 Likningene tastes inn slik de står, uten endringer. Bruk Skjæring mellom to punkt for å finne løsningen på likningssystemet. IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 26 av 28

27 Legg merke til at du kan bestemme visningen av likningene i Algebrafeltet. Høyreklikk på en av funksjonene velg Likning For øvrig ser vi løsning: x = 3,25, y = -0,88. Formen på likningene har ingen betydning f. eks. kan likningene i oppgaven under skrives inn nøyaktig slik det står. Prøv! OPPGAVE 2.9: Løs likningssettet: I: 3 x + 2y = 0 II: 2y + 8 = -4x IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 27 av 28

28 EGNE NOTATER IVAR RICHARD LARSEN/geogebra Side 28 av 28