Løsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P

Transkript

1 Løsninger Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 9 Modul 3. Mer om lineær vekst Modul 4. Andregradsfunksjoner... 5 Modul 5. Andre funksjoner Polynomfunksjoner Rasjonale funksjoner Eksponentialfunksjoner Bildeliste Oppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen 1

2 Modul 1. Funksjonsbegrepet 1.1 Sett dere sammen i grupper. a) Skriv ned alle ord og uttrykk som dere husker fra ungdomsskolen og som dere mener hører hjemme i funksjonslæren. b) Tegn et koordinatsystem. Sett navn på delene. Hvis det er mulig, fyll på med ord og uttrykk fra a). Merk av noen punkt, skriv opp koordinatene for punktene. c) Lag en presentasjon av det dere har kommet fram til og presenter resultatet for de andre gruppene. 1. Et mobilabonnement koster 59 kroner i faste utgifter i måneden. I tillegg koster det 0,49 kroner for hver tekstmelding. Antall tekstmeldinger settes som x og kostnadene en måned som K. Utgiftene en måned er da gitt ved funksjonsuttrykket 0,49x 59 K x a) Forklar med dine egne ord hva funksjonsuttrykket viser. Funksjonsuttrykket viser kostnadene ved å sende x antall tekstmeldinger en måned. Det koster 0,49 kr for hver tekstmelding. Kostnadene for x antall tekstmeldinger blir derfor 0,49 x. I tillegg koster det 59 kroner hver måned i faste utgifter. b) Lag en verditabell for x-verdiene 100, 00, 300, 400 og 500. Antall tekstmeldinger, x Kostnaden, K x c) Forklar hva verditabellen forteller deg. Verditabellen viser totale kostnader når det blir sendt henholdsvis 100, 00, 300, 400 og 500 tekstmeldinger.

3 1.3 Figuren ovenfor viser radien og arealet til tre sirkler. a) Hvilken størrelse er det som bestemmer arealet til en sirkel? Radien bestemmer størrelsen på arealet til en sirkel. b) Kan vi si at arealformelen for en sirkel, A r er en funksjon? Forklar i så fall hvorfor. Arealet av sirkelen bestemmes av radien. Til enhver verdi av radien, r, finnes nøyaktig en verdi av arealet til sirkelen. Vi kan da si at arealet til en sirkel er en funksjon av radien, r. 1.4 Tenk deg at du er på butikken og handler smågodt. a) Skriv ned et funksjonsuttrykk som viser sammenhengen mellom pris og antall hg smågodt du kjøper. La prisen, P, på smågodt være 9,90 per hg og x hvor mange hg du kjøper. P x x Funksjonsuttrykket kan være 9,90 b) Sammenlikn funksjonsuttrykket du laget med en medelev. Drøft om utrykkene dere har er realistiske. 1.5 Du husker sikkert at formelen for areal av et kvadrat er A side side s a) Lag en tabell i Excel der du finner arealet til kvadrater med sidelengder, 4, 6, 8, 10, 1, 14 og 16. Bruk kopiering og formel når du lager tabellen. 3

4 b) Kan du et navn på tallene som viser de ulike arealene. Kvadrattall 1.6 En familie betalte 000 kroner i etableringsgebyr for å abonnere på et utvalg TV-kanaler. I tillegg betaler familien 10 kroner per måned for abonnementet og 70 kroner per måned for å leie en omformer. a) Hvor mye betaler familien det første året for dette abonnementet? Familien betaler 000 kroner i etableringsgebyr. I tillegg kommer det kostnader på 10 kr + 70 kr hver måned. I alt blir dette: 000 kr 80 kr kr b) Forklar at abonnementsutgiftene etter x måneder kan uttrykkes som funksjonen U gitt ved U( x) 80x er de månedlige utgiftene, mens 000 er engangsbeløpet for etablering av abonnementet. Etter x antall måneder kan vi da finne utgiftene ved å multiplisere 80 kr med antall måneder, x. I tillegg må etableringsgebyret på 000 kr legges til. c) Tegn grafen til U i et koordinatsystem. Velg x - verdier mellom 0 og 36. Jeg skriver i GeoGebra U(x)=funksjon[80x+000,0,36] d) Bruk grafen til å finne ut hvor mye familien har betalt etter to års abonnement. Jeg skriver inn punktet 4, U 4. Se punkt A på grafen. Etter år (4 måneder) har familien hatt utgifter på 8 70 kr. 4

5 1.7 Du og din familie er på ferie og vil leie en bil. Dere tar en tur for å undersøke pris og får dette tilbudet: Fastpris 650 kr og 6,0 kr per kilometer. a) Bruk disse opplysningene til å skrive opp en funksjon som kan brukes for å regne ut kostnadene ved å leie en bil. En funksjon som viser kostnadene, K, som en funksjon av antall kilometer, x, kan skrives som 6,0 x 650 K x b) Velg 5 forskjellige turlengder, for eksempel 50 km, 100 km osv. Regn ut kostnadene for hver av dem og sett opp tallene i en verditabell. Antall kilometer, x Kostnadene K x c) Bruk resultatene fra b) til å tegne en graf til K. Legger punktene inn i et koordinatsystem. Punktene ligger på en rett linje. Tegner grafen som en rett linje gjennom punktene. d) Bruk grafen og finn ut hvor mye det koster å kjøre 18 mil. Jeg tegner linjen x 180 og finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til K med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punkt F. Det koster 1766 kr å kjøre 18 mil (180 kilometer). 5

6 1.8 Camilla har et mobilabonnement. Hun betaler 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som 0,49t 99 k t der t varierer fra og med 50 til og med 00. a) Lag en verditabell for k. Verditabell: t k t 13,50 148,00 17,50 b) Tegn grafen til k. c) Finn grafisk hvor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner. Camilla har ringt i ca. 15 minutt når kostnaden er 160 kroner. Se grafen i b). 6

7 1.9 Temperatursvingningene gjennom et romjulsdøgn er gitt ved funksjonen 3 T x 0,005x 0,1x der x er antall timer etter midnatt. a) Forklar at x varierer fra og med 0 til og med 4. Antall timer i et døgn er 4. Funksjonen gjelder for et døgn. b) Tegn grafen til funksjonen T. c) Bruk grafen og finn når temperaturen er 6C. Jeg tegner linjen y 6. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til T med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punktene A og B på grafen. Temperaturen er 6 C omtrent kl. 11:00 og kl. 0:00 d) Hva er den laveste temperaturen, og hva er den høyeste temperaturen gjennom døgnet? Av grafen ser vi at den laveste temperaturen er C. Jeg finner toppunktet på grafen med kommandoen «Ekstremalpunkt[T, 10, 0]». Den høyeste temperaturen er ca. 8, C. Se punkt C. 7

8 1.10 Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker ca. timer og 4 minutt på en maraton (4 195 meter). a) Hvor mange meter tilbakelegger disse løperne per minutt? timer og 4 minutt er 14 minutt. Distanse per minutt: 4 195m 340m 14 b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, d, løperne tilbakelegger og tiden, t. d t t 340 c) Lag en verditabell for følgende t-verdier 30, 60, 90, 10 t d t d) Tegn grafen og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet. Jeg skriver inn punktet 45, d 45. Se punkt på grafen. De har løpt meter, dvs. 15,3 km på 45 minutt. 8

9 Modul. Lineære funksjoner.1 a) Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til de tre funksjonene nedenfor. 1. f xx Stigningstall er og konstantleddet er.. g x 3x Stigningstall er 3 og konstantleddet er. 3. h x x Stigningstall er 1 og konstantleddet er 0. b) Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en funksjon? Stigningstallet forteller hvor raskt grafen til funksjonen vokser eller avtar. Jo større stigningstallet er, jo brattere er grafen. Konstantleddet forteller hvor grafen skjærer andreaksen. Når grafen skjærer andreaksen, er variabelen x lik 0.. For hver av de tre funksjonen som er gitt nedfor skal du - Lage en verditabell som inneholder 3 ulike x-verdier. - Markere punktene du finner i et koordinatsystem. - Tegne en rett linje gjennom punktene. a) f x0,5x Verditabell x f x Punkter og linje b) g x x 9

10 x g x Verditabell Punkter og linje 6 0 c) h x x x h x Verditabell Punkter og linje Tegn grafen til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem a) f x g x h x x 1 x x 3 b) Hvor skjærer disse grafene andreaksen? Konstantleddet til f x er 1. Grafen til f x skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet til g x er. Grafen til g x skjærer dermed andreaksen i punktet 0,. Konstantleddet til h x er 3. Grafen til h x skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 3. 10

11 c) Kan du si noe om hvordan disse linjene går i forhold til hverandre og hvorfor det er slik? Linjene er parallelle fordi funksjonene har samme stigningstall..4 Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene gitt ved a) f xx Grafen til f har stigningstall 1 og konstantledd, dvs. at grafen skjærer andreaksen i. Tar utgangspunkt i på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen så stiger grafen med 1 enhet. Setter av to punkter til og tegner en rett linje gjennom punktene. b) g x x Grafen til g har stigningstall 1 og konstantledd dvs. at grafen skjærer andreaksen i. Tar utgangspunkt i på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen så synker grafen til med 1 enhet. Setter av to punkter til og tegner en rett linje gjennom punktene. c) h xx 0,5 Grafen til h har stigningstall og konstantledd 0,5 dvs. at grafen skjærer andreaksen i 0,5. Tar utgangspunkt i 0,5 på andreaksen. Stigningstallet på forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen så stiger grafen med enheter. Setter av to punkter til og tegner en rett linje gjennom punktene. 11

12 .5 På figuren til høyre ser vi to rette linjer i et koordinatsystem. Hva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til hver av disse to linjene? Konstantleddet er der grafene skjærer andreaksen. Den røde linja skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet er dermed 1. Den blå linja går gjennom origo. Konstantleddet er da lik 0..6 a) Finn stigningstallet til grafen som er tegnet i koordinatsystemet til høyre. Tar utgangspunkt i et punkt på grafen, for eksempel punktet 1, 1. Når vi beveger oss 1 enhet langs førsteaksen så stiger grafen med enheter. Stigninstallet er 1 b) Skriv opp funksjonsuttrykket til grafen. Kaller funksjonen for f. Grafen til funksjonen f skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet er dermed 1 Funksjonsuttrykket kan dermed skrives som f xx 1 c) Hva er nullpunktet til funksjonen? Nullpunktet finnes der grafen skjærer førsteaksen. 1 Grafisk ser vi at nullpunktet er x. Ved regning setter vi: f x 0 x 1 0 x 1 1 x 1

13 .7 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire grafer. Forklar hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor som hører sammen med hvilken graf. a) f xx 1 Blå graf: Stigningstall og skjærer andreaksen i punktet 0, 1. b) g x x Gul graf: Stigningstall og skjærer andreaksen i punktet 0,. c) h x x Rød graf: Stigningstall 1 og skjærer andreaksen i origo 0,0. d) i x Grønn graf: Stigningstall 0 og skjærer andreaksen i punktet 0,. 13

14 .8 Skriv ned funksjonsuttrykket f til en rett linje som har: a) Stigningstall og konstantledd 3. x 3 f x b) Stigningstall -1 og konstantledd 1. x 1 f x c) Stigningstall 0 og konstantledd 3. f x 3 d) Stigningstall - og konstantledd 0. f x x e) Tegn grafene til de fire funksjonsuttrykkene du fant ovenfor..9 Ei rett linje går gjennom punktene 0, 1 og 1, 1. a) Hva er stigningstallet til denne rette linja? Jeg tegner linjen gjennom de to punktene i GeoGebra. Vi starter i punktet 0, 1 på linjen, går én enhet til høyre, og ser at vi må gå to enheter opp for igjen å treffe linjen. Det betyr at stigningstallet er a. b) Finn likningen for linja gjennom disse punktene. Linja skjærer y-aksen i punktet 0, 1. Det betyr at b 1. Alle rette linjer kan skrives på formen y ax b. Det betyr at likningen for linjen er y x 1 14

15 .10 Ei rett linje har stigningstall og går gjennom punktet (, ). Finn likningen for linja. Jeg tegner linjen i GeoGebra Linja skjærer andreaksen i og har stigningstall Det betyr at likningen for linjen er y x.11 Gitt funksjonen f der f x 3x 1 går gjennom punktet 1,. Finn funksjonsuttrykket til g.. Grafen til en annen funksjon g er parallell med grafen til f og Når grafen til f og g er parallelle, har de samme stigningstall. Jeg starter i punktet A 1,. Jeg går så én enhet til høyre parallelt med førsteaksen og tre enheter nedover langs andreaksen og havner i punktet B 0, 5. Det betyr at konstantleddet b 5. Funksjonen g kan dermed skrives som g x 3x 5 15

16 Modul 3. Mer om lineær vekst 3.1 Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner, i tillegg får han 10 kroner for hvert salg han oppnår. a) Lag en funksjon L som viser timelønnen i kroner når han oppnår s antall salg. 10s 105 L s b) Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem. La s variere mellom 0 og 15. c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner? Jeg tegner linjen y 175. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til L med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punkt A. Med en timelønn på 175 kroner har Per har hatt 7 salg. 16

17 3. På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var 5 C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 C i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer. a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet etter x antall minutt. 5,4 C Temperaturstigningen blir 0,09 C per minutt. 60min T x x 0,09 5 b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer? T 90 0, ,1 C c) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. La x variere fra 0 til 180. d) Når var temperaturen i vannet 14 C? Jeg tegner linjen y 14. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til T med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punkt A. Temperaturen var 14 C etter 100 minutt altså etter 1 time og 0 minutt. Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i vannet til Anette x antall minutt etter at prøven startet 0,08x 6,5 e) Hva var temperaturen i vannflasken til Anette da prøven startet? Da prøven startet var x 0. Temperaturen i vannflasken til Anette var dermed 6,5 C ved prøvestart. f x 17

18 3.3 Gitt funksjonene f x x og g x x 4 a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. b) Finn grafisk skjæringspunktet mellom grafene. Jeg bruker kommandoen«skjæring[ f, g ]» i GeoGebra. Finner grafisk at skjæringspunktet mellom grafene er 0,67,,67. c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning. f x g x x x 4 3x x 3 Dette gir f Skjæringspunktet blir,

19 d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Jeg bruker kommandoene «Nullpunkt[f]» og «Nullpunkt[g]» i GeoGebra. Jeg leser av grafisk at funksjonen f har nullpunkt for x og at funksjonen g har nullpunkt for x. Nullpunkt for f ved regning: 0 f x x 0 x Nullpunkt for g ved regning: 0 g x x 4 0 x 4 x 19

20 3.4 Gitt funksjonene f og g der 3 x 5 og g xx f x a) Tegn grafene til funksjonene i samme koordinatsystem. b) Finn grafisk skjæringspunktet mellom grafene. Jeg bruker kommandoen«skjæring[ f, g ]» i GeoGebra. Ser grafisk at skjæringspunktet mellom grafene er (, ). c) Finn skjæringspunktene mellom grafene ved regning. f x g x 3 x 5 x 3x 10 4x 4 3x 4x4 10 7x 14 x Dette gir g 4 (Velger å bruke funksjonen g da dette gir enklest regning.) Skjæringspunktet blir,. 0

21 d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Jeg bruker kommandoene «Nullpunkt[f]» og «Nullpunkt[g]» i GeoGebra. Leser av grafisk at funksjonen f har nullpunkt x 3,3 og funksjonen g har nullpunkt x 1. Ved regning for f: Ved regning for g: 0 f x 3 x 5 0 3x 10 x g x x 0 x x 1 1

22 3.5 Anette og Bjørnar jobber som telefonselgere i hvert sitt firma. Anette jobber i firma A. Hun har en fast timelønn på 100 kroner, og et tillegg på 10 kroner per salg. Total timelønn i kroner, A, for Anette kan beskrives ved funksjonsuttrykket 10x 100 A x der x er antall salg per time. Bjørnar jobber i firma B. Han har en fast timelønn på 90 kroner, og et tillegg på 1 kroner per salg. Total timelønn i kroner, B, for Bjørnar kan beskrives ved funksjonsuttrykket 1x 90 B x der x er antall salg per time. a) Tegn grafene til funksjonene i samme koordinatsystem. b) Finn grafisk og ved regning skjæringspunktet mellom grafene. Jeg bruker kommandoen«skjæring[ A, B ]» i GeoGebra. Jeg ser grafisk at skjæringspunktet mellom grafene er 5, 150. Ved regning: A x B x x 90 1x x 10 Det gir x 5 A Skjæringspunktet er 5, 150. c) Hva forteller skjæringspunktet? Skjæringspunktet forteller at timelønnen til Anette og Bjørnar er den samme ved 5 salg. Timelønnen er da 150 kroner.

23 3.6 År Folkemengde Tabellen viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000. a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt hjelpemiddel. La x være antall år etter 1950 og f x folkemengden i millioner. Jeg valgte «Regneark». La punktene fra tabellen nedenfor inn i kolonne A og B. x f x 3, 3,6 3,9 4,1 4, 4,5 Merket området A1:B6. Jeg valgte så «Regresjonsanalyse» og «Analyser». Som regresjonsmodell valgte jeg «Lineær» Funksjonen f kan beskrives med uttrykket f x0,04x 3,315 Jeg valgte «Kopier til grafikkfeltet» 3

24 b) Hvor mye øker folkemengden per år ut fra uttrykket du fant i a)? Av funksjonsuttrykket ser vi at stigningstallet er 0,04. Økningen i folkemengde per år er 0,04 millioner altså individer. c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 050? Variabelen x er antall år etter Vi setter da x lik 100 i funksjonen vi fant ovenfor og finner folkemengden i Norge i år 050. f 100 0, ,315 5,715 Folkemengden i Norge vil være i år 050 etter denne modellen. 4

25 Modul 4. Andregradsfunksjoner 4.1 I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til funksjonen f x x 4x 3og markert noen punkter på grafen. a) Skriv ned koordinatene til punktene A, B, C og D. A, 1 B 3, 0 C 0, 3 D 4, 3 b) Regn ut f 0, f, f 3 og f 4. f f f f c) Forklar at koordinatene til punktene på grafen kan skrives som, 3, 3 0, 0 4, 4 A f B f C f D f Når vi regner ut f finner vi funksjonsverdien for x f 4 3 1, dvs. punktet A på grafen. 5

26 4. Bestem hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil eller sur ), og hvor de skjærer andreaksen, uten å tegne grafene. a) f x x 7x 1 Tallet foran andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 1. b) g x x x 4 Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4. c) h x x 8 Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 8. d) i x 3x 1x Tallet foran andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0. e) Sjekk svarene med å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem. 6

27 4.3 Funksjonen f er gitt ved a) Tegn grafen til f. f x x x 6 for x verdier fra og med 4 til og med 3. b) Finn bunnpunktet på grafen til f. Jeg bruker kommandoen «Ekstremalpunkt[f]» i GeoGebra. Bunnpunktet er 0.5, 6.5. c) Finn nullpunktene til f. Jeg bruker kommandoen «Nullpunkt[f]» i GeoGebra. Nullpunktene er x3 og x d) Finn hvor grafen til f skjærer x-aksen. Hva kalles disse skjæringspunktene? Grafen skjærer x-aksen for x3 og x. Skjæringspunktene kalles nullpunkter. 7

28 4.4 Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen h t 14,1t 4,9t 1,8. a) Tegn grafen til h for de første 3 sekundene. b) Når er ballen 10 meter over bakken? Jeg tegner linjen y 10. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til h med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punktene D og E. Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter,1 sekund. c) Når treffer ballen bakken? Jeg finner nullpunktet med kommandoen «Nullpunkt[h]». Se punkt C. Ballen treffer bakken etter 3 sekund. d) Når er ballen 15 meter over bakken? Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høyden! e) Hvor høyt når ballen og når er ballen på sitt høyeste punkt? Jeg finner toppunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[h]». se punkt A. Ballen når sitt høyeste punkt etter ca. 1,4 sekund og har da en høyde på 1,0 meter over bakken. 8

29 4.5 Gitt grafene nedenfor. Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører graf A, graf B og graf C. Prøv deg uten å tegne grafene. OBS! Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene. B A C x f x x x f x x x f x x x f x x x f x f 0,5 0,5x x 6 x x 4 6 9

30 Modul 5. Andre funksjoner Polynomfunksjoner 5.1 a) Tegn grafen til funksjonen 3 f x 0,5x 3x 3x 3 b) Finn eventuelle nullpunkter til f. Jeg finner grafisk, med kommandoen «Nullpunkt[ f ]» i GeoGebra, at det er ett nullpunkt i x 5. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til f. Jeg finner grafisk bunnpunktet «Ekstremalpunkt[ f ]» i GeoGebra. 0,6,, og toppunktet 3,4, 7,8 med kommandoen 30

31 5. a) Tegn grafen til funksjonen 3 g x 0,0x 0,60x 4 b) Finn eventuelle nullpunkter til g. Jeg finner grafisk, med kommandoen «Nullpunkt[ g ]» i GeoGebra, at det er et nullpunkt i x c) Finn toppunktet og bunnpunktet til g. Jeg finner grafisk toppunktet «Ekstremalpunkt[g ]» i GeoGebra. 0,4 og bunnpunktet, 3, med kommandoen 31

32 5.3 Grafen viser temperaturen fra midnatt frem til kl. 1 et døgn i mars. a) Finn eventuelle topp- og bunnpunkter til grafen. b) Når har vi den høyeste temperaturen, og hvor høy er temperaturen da? Den høyeste temperaturen har vi kl. 1. Leser av grafen at temperaturen da er nesten C. c) Finn når grafen har nullpunkt. Vi har nullpunkt for x 0, x 4 og x 10 3

33 Rasjonale funksjoner 5.4 Tegn grafen til funksjonen x f x. x 33

34 5.5 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives K x 0,49x 59 x a) Tegn grafen til K for x-verdier mellom 0 og b) Hva nærmer kostnadene seg per minutt når Morten ringer svært mye? Når Morten ringer svært mye vil den faste månedsavgiften bety svært lite og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. Se linjen y 0,49. c) Hva blir prisen per minutt dersom Morten en måned ringer 300 minutt? Jeg skriver inn punktet 300, K 300. Se punkt A på grafen. Prisen per minutt blir 69 øre når Morten ringer 300 minutt en måned. d) Hvor mye må Morten ringe dersom det skal koste 60 øre per minutt? Jeg tegner linjen y 0,60. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til K med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punkt B på grafen. Han må ringe 536 minutt dersom prisen per minutt skal bli 60 øre. 34

35 Eksponentialfunksjoner 5.6 Miriam kjøpte en scooter for kroner i begynnelsen av 008. Vi regner med at verdien S synker med 15 % per år. Vi kan da skrive verdien x år etter 008 som ,85 x S x a) Tegn grafen til S. Velg x-verdier mellom 0 og 8. b) Finn grafisk scooterens verdi når den er 3 år gammel. Jeg skriver inn punktet 3, S 3 Scooterens verdi etter 3 år er kroner.. Se punkt A på grafen. c) Finn grafisk når scooterens verdi er kroner. Jeg tegner linjen y Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til S med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punkt B. Det tar ca. 7,4 år før scooterens verdi er kr. 35

36 5.7 Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved T x3 1,15 x der x er antall timer etter strømbruddet. a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet? Da strømbruddet skjer, er x lik 0. Vi setter inn i uttrykket og får 0 T(0) 3 1, Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet er 4 C. b) Tegn grafen til T. La x variere mellom 0 og 0. c) Hvor lang tid går det før temperaturen er 10 grader i kjøleskapet? Jeg tegner linjen y 10. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til T med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punkt A. Det tar ca. 14 timer før det er 10 grader i kjøleskapet. d) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn 1 døgn)? Begrunn svaret ditt. Setter x lik for eksempel 4 og 30 timer og finner temperaturen i kjøleskapet T(4) 31,63 T(30) 69,1 Vi ser at temperaturen etter modellen, stiger sterkt etter et døgn, og at modellen er urealistisk å bruke dersom strømbruddet er over en lengre periode. 36

37 Bildeliste Smågodt Foto: Elisabet Romedal/NDLA Scooter Foto: Elisabet Romedal/NDLA 37