GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "GeoGebra-opplæring i Matematikk S2"

Transkript

1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen Den naturlige logaritmen Logistisk vekstmodell 3.6 Kostnadsoptimal produksjonsmengde 4.1 Grensekostnad 4.1 Grensekostnad og enhetskostnad 4.1 Vinningsoptimal produksjonsmengde 4. Logistisk regresjon 4.4 Eksponential- og potensregresjon 4.4 Areal under grafer 4.5 Fakultet. Binomialkoeffisient i regneark 5.1 Binomiske sannsynligheter 5.1 Kumulative binomiske sannsynligheter 5.1 Binomisk / kumulativ binomisk i regneark 5.1 Normalfordeling 5.4 Invers normalfordeling 5.4 Aschehoug

2 Faktorisering med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Du skal faktorisere x 3x. Skriv Faktoriser[x +3x] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 3) x. Du skal faktorisere x 3x 10. Skriv Faktoriser[x -3x-10] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 5)( x ). Du skal faktorisere x 4x 4. Skriv Faktoriser[x +4x+4] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. x Du skal faktorisere 3x 1. Skriv Faktoriser[3x -1] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså 3( x )( x ).

3 0BGrafisk løsning av likningssett I med GeoGebra Du skal løse likningssettet x+ y = 1 (1) 3x y = 3 () Skriv x+y=1 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på Sett inn tekst (, knapp nr. fra høyre), og detter et sted i Grafikkfeltet. Skriv a i tekstboksen som dukker opp og klikk på OK. Klikk på F-pila og flytt teksten bort til grafen. Da får du dette bildet: (Hvis du høyreklikker på likningen i Algebrafeltet og klikker på Likning y = ax + b, får du dette bildet: Du ser at GeoGebra kan omforme uttrykket til formen y = x+ 1.) Skriv -x+y=-4 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gjør det samme som du gjorde for likning (1) ovenfor. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene til likningene har koordinatene (1,, 1,4). Likningssettet har løsningen x = 1, og y = 1,4.

4 Størst mulig overskudd med GeoGebra Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved f( x) 1,5x 60x 400 x 5, 35 Her er f(x) overskuddet i hundre kroner ved produksjon og salg av x enheter av varen. Du skal finne hvor mange enheter det må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst mulig. Finne størst overskudd ved å lese av på grafen til f Skriv Funksjon[-1.5x +60x-400,5,35] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv Ekstremalpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Du får toppunktet A. Høyreklikk på A og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Toppunktet på grafen til f har koordinatene (0, 00). Overskuddet er størst ved produksjon og salg av 0 enheter. Overskuddet er da kroner. Finne størst overskudd ved bruk av den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) = 3x Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Skriv Nullpunkt[f ] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Du får nullpunktet B for f. Høyreklikk på B og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at f ( x) er positiv til venstre for nullpunktet 0 og negativ til høyre. f har altså sin største verdi for x = 0. Overskuddet er størst ved produksjon og salg av 0 enheter. Overskuddet er da kroner.

5 Å finne vendepunkter med GeoGebra 3 Du har gitt funksjonen f ( x) x 3x x 1. Du skal finne eventuelle vendepunkter på grafen til f ved å bruke GeoGebra. Å finne vendepunktet ved å lese av på grafen til f Skriv x 3 +3x -x+1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv Vendepunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Du får vendepunktet A på grafen. Høyreklikk på A og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Vendepunktet på grafen til f har koordinatene (1, ). Å finne vendepunktet ved bruk av den andrederiverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den andrederiverte, f (x) = 6x + 6. Grafen for den andrederiverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Skriv Nullpunkt[f ] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Du får nullpunktet B for f. Høyreklikk på B og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at f ( x) er positiv til venstre for nullpunktet 1 og negativ til høyre. f ( x) skifter altså fortegn for x 1. Da er (1, f(1)) et vendepunkt på grafen til f. Vendepunktet er (1, ).

6 Den naturlige eksponentialfunksjonen med GeoGebra Du har gitt funksjonen f( x) e x. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv e^(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 1 som enhet på begge aksene. Da får du dette bildet: Bildet viser grafen til funksjonen f( x) e x. Legg merke til at det i Algebrafeltet står f(x) =.7^x..7 er e avrundet til to desimaler. Å finne den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) =.7^xln(.7). Legg merke til at ln(.7) er tilnærmet ln e, der e er avrundet til to desimaler. ln(.7) blir derfor ikke eksakt lik 1. Den deriverte til f( x) e x er f ( x) e x. Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at grafen til f faller sammen med grafen til f. Dette er i samsvar med at f ( x) f( x) e x.

7 Den naturlige logaritmen med GeoGebra Du har gitt funksjonen f ( x) lnx. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv ln(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 1 som enhet på begge aksene. Da får du dette bildet: Bildet viser grafen til funksjonen f ( x) ln x. Å finne den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) = 1/x. 1 Den deriverte til f ( x) ln x er f ( x). x Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Da får du dette bildet: Legg merke til at grafen til f ligger over x-aksen i hele definisjonsområdet for f. Den deriverte er altså positiv for alle verdier av x.

8 Logistisk vekstmodell med GeoGebra En harepopulasjon følger en logistisk vekstmodell f(x) i et avgrenset område. 500 f( x) 0,05x 1 4e x er antall år. f(x) er antall harer. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv 500/(1+4e^(-0.05x)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 10 som enhet på x-aksen og 100 på y-aksen. Da får du dette bildet: 500 Bildet viser grafen til funksjonen f( x) 0,05x 1 4e. Legg merke til at det på figuren ser ut til at f(x) nærmer seg 500 når x øker. Å finne den deriverte i et punkt på grafen Skriv f (0) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da verdien a for f (0). Du ser at a f (0) 6,0. Om 0 år vil harebestanden øke med ca. 6 harer per år.

9 Kostnadsoptimal produksjonsmengde med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = 1, x + 10x x [ 0, 10] K(x) står for samlet kostnad per dag når det produseres x enheter per dag. Skriv Funksjon[1.x +10x+4000,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til funksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Du skal finne enhetskostnaden når det produseres 50 enheter per dag. Du skal også finne kostnadsoptimal produksjonsmengde med tilsvarende enhetskostnad. Enhetskostnad Skriv A=(50,K(50)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Av figuren ser du at enhetskostnaden er kr = 60 kr. 50 Kostnadsoptimal produksjonsmengde Klikk på ikon nr. fra venstre og klikk på Nytt punkt. Klikk et sted på grafen til K. Du får punktet A på grafen. Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og klikk på Tangenter. Klikk på grafen til K og deretter på punkt A. Tangenten til grafen i punkt A blir tegnet. Aschehoug Side 1 av

10 Dra i punktet A. Av figuren ser du at kostnadsoptimal produksjonsmengde er 58 enheter per dag. Den minste enhetskostnaden er ,83 kr = 59 kr. 57,98 Den minste enhetskostnaden kan du også finne slik: Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og klikk på Stigning. Klikk på tangenten. Stigningstallet for tangenten m = 59,14 dukker opp både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Stigningstallet for tangenten til grafen, som går gjennom origo, er lik den minste enhetskostnaden, altså 59 kr. Aschehoug Side av

11 Grensekostnad med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = 1, x + 10x x [ 0, 10] K(x) står for samlet kostnad per dag når det produseres x enheter per dag. Skriv Funksjon[1.x +10x+4000,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til funksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Grensekostnad Du skal finne grensekostnaden når det produseres 80 enheter per dag. Skriv A=(80,K(80)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og klikk på Tangenter. Klikk på grafen til K og deretter på punkt A. Tangenten til grafen i punkt A blir tegnet. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og klikk på Stigning. Klikk på tangenten. Stigningstallet for tangenten m = 31 dukker opp både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Stigningstallet for tangenten til grafen i punktet A = (80, 1 80) er 31. Grensekostnaden når det produseres 80 enheter per dag er 31 kroner.

12 Grensekostnad og enhetskostnad med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = 1, x + 10x x [ 0, 10] K(x) står for samlet kostnad per dag når det produseres x enheter per dag. Skriv Funksjon[1.x +10x+4000,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til funksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Enhetskostnadsfunksjonen Skriv Funksjon[K(x)/x,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til enhetskostnadsfunksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til G. Grensekostnadsfunksjonen Skriv Funksjon[K (x),0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til grensekostnadsfunksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Klikk på ikon nr. fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Klikk på den ene grafen og deretter på den andre. Aschehoug Side 1 av

13 I punktet A = (57,74, 58,56) er enhetskostnaden G lik grensekostnaden K. Den minste enhetskostnaden er 59 kr, når det produseres 58 enheter per dag. Aschehoug Side av

14 Vinningsoptimal produksjonsmengde med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = x + 300x K(x) står for samlet kostnad når det produseres x enheter. Inntekten av produksjonen er gitt ved I( x) = 0,5x x Du skal finne vinningsoptimal produksjonsmengde og det største overskuddet. Skriv inn K(x)=x +300x i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv deretter inn I(x)=-0.5x +1500x og trykk Enter. Klikk i sirklene foran I(x) og K(x) i Algebrafeltet. Grafene til I og K vises nå ikke i Grafikkfeltet. Metode 1 Skriv inn O(x)=I(x)-K(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Ved å tilpasse aksene vil du få dette bildet: Skriv Ekstremalpunkt[O] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet ser du at koordinatene for toppunktet på grafen til O er (400, ). Det betyr at vinningsoptimal produksjonsmengde er 400 enheter og at det største overskuddet er kr. Aschehoug Side 1 av

15 Metode Skriv inn Derivert[I(x)] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet dukker uttrykket f(x) = 1500 x for I ( x) opp. Endre navnet fra f til I. Skriv inn Derivert[K(x)] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Endre navnet fra f til K Ved å tilpasse aksene vil du få dette bildet: Figuren viser grafene til I og K. Klikk på ikon nr. fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Klikk på grafene. Du finner skjæringspunktet A = (400, 1100) mellom grafene. Vinningsoptimal produksjonsmengde er 400 enheter. Skriv I(400)-K(400) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet dukker a = opp. Det største overskuddet er kr. Aschehoug Side av

16 Logistisk regresjon med GeoGebra Du skal bruke logistisk regresjon til å finne en modell for høyden av en solsikke. Se eksempel 3 side 148 i læreboka Matematikk S. Du kan legge dagene og høydene inn i regnearket. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv inn punktene i regnearket. Klikk på F-pila (, knapp nr. 1 fra venstre) og marker det området i regnearket som inneholder punktene. Høyreklikk på det markerte området og velg Lag liste med punkter. Høyreklikk på liste 1 i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Skriv L i stedet for liste 1. Trykk OK. (I stedet for å legge punktene inn i regnearket, kan du lage liste direkte i Inntastingsfeltet. Skriv L={(0,9),(7,1),(14,15),...,(70,75),(77,77)} i Inntastingsfeltet og trykk ENTER.) Nå kan du skrive reglogist[l] i Inntastingsfeltet. I Algebrafeltet ser du at det gir denne modellen for høyden: 85,3 f( x) = 0,068x , 3 e

17 Eksponential- og potensregresjon med GeoGebra Eksponentialregresjon Du skal bruke eksponentialregresjon til å finne den eksponentialfunksjonen som passer best til punktene A = (1, 0,5), B = (,,0) og C = (3, 4,5) Metode 1 Lag en liste med punktene A, B og C. Skriv inn i Inntastingsfeltet: L = {(1,0.5), (,.0), (3,4.5)} Trykk ENTER. Klikk på ringen foran L i Algebrafeltet. Skriv regeksp[l] i Inntastingsfeltet og trykk ENTER. I Algebrafeltet ser du at uttrykket for eksponentialfunksjonen er 1,1 f( x) 0,18 e x Dette uttrykket kan omformes til 1,1 x ( ) 0,18 e 0,18, ,1 x x 0,18 3, 00 f x NB! Hvis punktene A, B og C er lagt inn i Algebrafeltet, kan du lage lista slik: L = {A, B, C} Aschehoug Side 1 av

18 Metode Du kan legge punktene inn i regnearket. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv inn punktene i regnearket. Klikk på F-pila ( inneholder punktene., knapp nr. 1 fra venstre) og marker det området i regnearket som Høyreklikk på det markerte området og velg Lag liste med punkter ( venstre)., knapp nr. 4 fra Høyreklikk på liste 1 i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Skriv L i stedet for liste 1. Trykk OK. Nå kan du skrive regeksp[l] i Inntastingsfeltet. I Algebrafeltet ser du at uttrykket for eksponentialfunksjonen er 1,1 f( x) 0,18 e x Dette uttrykket kan omformes til 1,1 x ( ) 0,18 e 0,18,7183 1,1 x x 0,18 3,00 f x Potensregresjon Samme framgangsmåte som for eksponentialregresjon. Du skriver regpot[l] i inntastingsfeltet i stedet for regeksp[l]. Med punktene ovenfor får du da funksjonen f ( x) 0,5x Aschehoug Side av

19 Areal under grafer med GeoGebra Areal over x-aksen Du skal finne arealet avgrenset av grafen til f( x) = 0,1x + 1, x-aksen og linjene x = 0 og x = 6. Skriv inn 0.1x +1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv inn Integral[f,0,6] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: Området under grafen mellom x = 0 og x = 6 er fargelagt. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet dukker a = 13. opp. Størrelsen a = 13., kalles integral, og over x-aksen er integral og areal det samme. Det betyr at arealet er regnet ut til å være 13,. Areal under x-aksen Du skal finne arealet avgrenset av grafen til f( x) = 0,1x 1, x-aksen og linjene x = 0 og x = 6. Skriv inn -0.1x -1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv inn Integral[f,0,6] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet. Området over grafen mellom x = 0 og x = 6 er fargelagt. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet dukker a = -13. opp. Størrelsen a = -13., kalles integral, og under x-aksen har integral og areal motsatte fortegn. Det betyr at arealet er 13,.

20 GeoGebra: Fakultet. Binomialkoeffisient i regneark Fakultet Skriv 5! i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. I Algebrafeltet står det nå a = 10. Det betyr at 5! = 10. Binomialkoeffisient Skriv BinomialKoeffisient[10,5] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. 10 I Algebrafeltet står det nå b = 5. Det betyr at 5. 5 Binomialkoeffisient i regnearket Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, r i rute B1 og BinomialKoeffisient[n,r] i rute C1. Skriv 10 i rute A og 1 i rute B. Skriv B+1 i rute B3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute B3 og dra nedover til og med rute B11. Da står tallene 1,,..., 10 i rutene B B11. Skriv BinomialKoeffisient[$A$,B] i rute C. Dra markøren i ruta nedover til og med rute C11. I rutene C C11 står verdiene for ,,...,, slik figuren nedenfor viser (Legg merke til symmetrien.)

21 Binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 0 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at 16 av de 0 frøene spirer. Skriv n = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 0 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv r = 16 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for r = 16 i Algebrafeltet. Glideren for r dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv BinomialKoeffisient[n,r] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter.! 0" I Algebrafeltet står a = Det betyr at # $ = % 16 & Skriv a*p^r*(1-p)^(n-r) i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står b = Det betyr at P(16 av 0 frø vil spire) = 0,13. For å finne andre binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, r og p.

22 Kumulative binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 0 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at minst 1 av de 0 frøene spirer. Skriv n = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 0 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv a = 1 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for a = 1 i Algebrafeltet. Glideren for a dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv b = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for b = 0 i Algebrafeltet. Glideren for b dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv Sum[Følge[BinomialKoeffisient[n,r]*p^r*(1-p)^(n-r),r,a,b]] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står c = Det betyr at P(minst 1 av 0 frø vil spire) = 0,887. For å finne andre kumulative binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, p, a og b.

23 GeoGebra: Binomiske sannsynligheter og kumulative binomiske sannsynligheter i regneark En bestemt type frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi sår 10 frø og ser om de spirer. Binomiske sannsynligheter Vi går ut fra at dette er et binomisk forsøk og bruker formelen n r n r Pr ( frø spirer) p 1 p r Her er n 10 og p 0,70. Vi vil bruke regnearket i GeoGebra til å finne sannsynligheten for at r frø spirer for ulike verdier av r. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, p i rute B1, r i rute C1, BinomialKoeffisient[n,r] i rute D1 og P(r frø spirer) i rute E1. Skriv 10 i rute A, 0.70 i rute B, 0 i rute C. Skriv C +1 i rute C3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute C3 og dra nedover til og med rute C1. Da står tallene 0, 1,,..., 10 i rutene C C1. Skriv BinomialKoeffisient[$A$,C] i rute D. Dra markøren i ruta nedover til og med rute D1. I rutene D D1 står verdiene for ,,..., Skriv D*$B$^C*(1-$B$)^($A$-C) i rute E. (Du kan i stedet for de to gangetegnene * taste mellomrom.) Dra markøren i ruta nedover til og med rute E1. Da får du bildet nedenfor. Du ser for eksempel at P(7 frø spirer) 0,67. Aschehoug Side 1 av

24 Kumulative binomiske sannsynligheter Skriv E i rute F. Skriv F + E3 i rute F3. Dra markøren i rute F3 nedover til og med rute F1. Da får du dette bildet: For eksempel ser du at det står 0,617 i rute F9. Det betyr at P(høyst 7 frø spirer) = 0,617. Aschehoug Side av

25 Normalfordeling med GeoGebra Vi antar at vekten av en nyfødt gutt er normalfordelt med forventningsverdi 3,6 kg og standardavvik 0,50 kg. Oppgave 1 Du skal bruke GeoGebra til å finne sannsynligheten for at en nyfødt gutt vil veie mindre enn 3,5 kg. Skriv Normalfordeling[3.6,0.50,3.5] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står det a = 0,405. Det viser at det er 40,5 % sannsynlig at en nyfødt gutt veier mindre enn 3,5 kg. Oppgave Du skal bruke GeoGebra til å finne sannsynligheten for at en nyfødt gutt vil veie mellom,5 kg og 3,5 kg. I oppgave 1 fant du at det er 0,405 sannsynlig at en nyfødt gutt veier mindre enn 3,5 kg. Skriv Normalfordeling[3.6,0.50,.5] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står det a = 0,015. Det viser at det er 0,015 sannsynlig at en nyfødt gutt veier mindre enn,5 kg. P(en nyfødt gutt veier mellom,5 kg og 3,5 kg) = 0,405 0,015 = 0,397 Det er 39,3 % sannsynlig at en nyfødt gutt vil veie mellom,5 kg og 3,5 kg.

26 Invers normalfordeling med GeoGebra Vi antar at vekten av en nyfødt gutt er normalfordelt med forventningsverdi 3,6 kg og standardavvik 0,50 kg. La X stå for vekten av en tilfeldig valgt nyfødt gutt. Du skal bestemme tallet x som er slik at omtrent 60 % veier mindre enn x kg. Det betyr at du skal bestemme x slik at PX ( < x) 0, 60. Skriv InversNormalfordeling[3.6,0.50,0.60] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står det a = 3,75. Det viser at 60 % av de nyfødte guttene veier mindre enn 3,75 kg.

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

S1 kapittel 3 Lineær optimering

S1 kapittel 3 Lineær optimering S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Matematikk S2. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Matematikk S2. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning Matematikk S2 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4295 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Matematikk S2. det digitale verktøyet. Kristen Nastad

Matematikk S2. det digitale verktøyet. Kristen Nastad Matematikk S2 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4295 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8].

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. 413 GeoGebra i S2 Grafer Nullpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. GeoGebra

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Det digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad

Det digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad Det digitale verktøyet og Matematikk S2 Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4319 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer Software for Windows

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 1 Framgangsmåten med GeoGebra Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d. Åpne GeoGebra.

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Det digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Det digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning Det digitale verktøyet og Matematikk S2 Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4319 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer

Detaljer

Løsning eksamen 2T våren 2008

Løsning eksamen 2T våren 2008 Løsning eksamen 2T våren 2008 Del 2 løst med pc Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

Løsning eksamen S1 våren 2010

Løsning eksamen S1 våren 2010 Løsning eksamen S1 våren 010 Oppgave 1 a) 1) f ( x) x x f (1) 1 1 1 1 f ( x) 6x x f (1) 6 1 1 6 4 ) Grafen går gjennom punktet (1, 1) og har vekstfarten 4. Det betyr at tangenten i punktet har stigningstallet

Detaljer

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Læreplanmål Matematikk S1 lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi tegne grafen til polynomfunksjoner,

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når

Detaljer

S2 kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka

S2 kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka S kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka 4.A a Enhetskostnaden er gitt ved totalkostnaden dividert med antall produserte enheter, altså K( x) Gx ( ) =. Det gir Gx ( ) = 0,x+ 5 +

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel

MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel Utstyr: Mynter, hyssing, tape, stoppeklokke Mål: 1. Hva påvirker svingtiden til en pendel? Lag hypoteser a. Lengden på hyssingen? b. Antall mynter (vekt)?

Detaljer

Oppgaver om derivasjon

Oppgaver om derivasjon Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) 1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>] 442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt

Detaljer

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære, 2. utgave Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE

Detaljer

Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7

Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Oppgave a) Likningen e 2x 6e x + 5 = 0 er en annengradslikning i e x. Siden ( ) ( 5) = 5 og 5 = 6 så faktoriserer annengradsuttrykket som (e x 5)(e x ). Dette

Detaljer

S2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka

S2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka S kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreoka 3.A a h () t = 0,5 t = 0,5t Vannhøyden øker stadig raskere. c h (3) =,5 h (5) =,5 Etter 3 minutter øker vannhøyden med,5 cm per minutt. Etter

Detaljer

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser 1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

Lineær optimering med GeoGebra

Lineær optimering med GeoGebra Lineær optimering med GeoGebra av Sigbjørn Hals Eksempler fra læreboka Sinus S1 Cappelen, 2007 1 Før vi viser fremgangsmåten for lineær optimering, vil vi vise noen nyttige kommandoer og menyvalg i GeoGebra,

Detaljer

Regresjon med GeoGebra 4.0

Regresjon med GeoGebra 4.0 Regresjon med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk regresjon...

Detaljer

Lær å bruke wxmaxima

Lær å bruke wxmaxima Bjørn Ove Thue og Sigbjørn Hals Lær å bruke wxmaxima Et godt og gratis CAS-verktøy med enkelt brukergrensesnitt. Oppdatert versjon, november 2009 Lær å bruke wxmaxima. Eksempler fra Sinus-bøkene fra Cappelen

Detaljer

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

x + y z = 0 2x + y z = 2 4x + y 2z = 1 b) Vis at summen av de n første leddene kan skrives som S n = 3 n(n + 1)

x + y z = 0 2x + y z = 2 4x + y 2z = 1 b) Vis at summen av de n første leddene kan skrives som S n = 3 n(n + 1) Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 17. september 2017 Kommentar: Dette er en innskriving av S2 eksamen, basert på scan av dokumentet lastet opp av matematikk.net-bruker Viks. Det

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk

Detaljer

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra:

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra: GeoGebra 6 Den vanlige GeoGebra brukeren må bruke litt tid til å sette seg inn i GeoGebra 6. Noen viktige endringer blir vist i dette dokumentet. Tema er valgt spesielt med tanke på arbeid med elever.

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter: Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 2P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Lær å bruke wxmaxima

Lær å bruke wxmaxima Bjørn Ove Thue og Sigbjørn Hals Lær å bruke wxmaxima Et godt og gratis CAS-verktøy med enkelt brukergrensesnitt. Oppdatert versjon, november 2010 Lær å bruke wxmaxima. Eksempler fra Sinus-bøkene fra Cappelen

Detaljer

Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 1

Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 1 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 1 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 2 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 3 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 4 Lokal

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx

Detaljer