GeoGebra-opplæring i Matematikk S2
|
|
- Terje Thorsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen Den naturlige logaritmen Logistisk vekstmodell 3.6 Kostnadsoptimal produksjonsmengde 4.1 Grensekostnad 4.1 Grensekostnad og enhetskostnad 4.1 Vinningsoptimal produksjonsmengde 4. Logistisk regresjon 4.4 Eksponential- og potensregresjon 4.4 Areal under grafer 4.5 Fakultet. Binomialkoeffisient i regneark 5.1 Binomiske sannsynligheter 5.1 Kumulative binomiske sannsynligheter 5.1 Binomisk / kumulativ binomisk i regneark 5.1 Normalfordeling 5.4 Invers normalfordeling 5.4 Aschehoug
2 Faktorisering med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Du skal faktorisere x 3x. Skriv Faktoriser[x +3x] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 3) x. Du skal faktorisere x 3x 10. Skriv Faktoriser[x -3x-10] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 5)( x ). Du skal faktorisere x 4x 4. Skriv Faktoriser[x +4x+4] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. x Du skal faktorisere 3x 1. Skriv Faktoriser[3x -1] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså 3( x )( x ).
3 0BGrafisk løsning av likningssett I med GeoGebra Du skal løse likningssettet x+ y = 1 (1) 3x y = 3 () Skriv x+y=1 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på Sett inn tekst (, knapp nr. fra høyre), og detter et sted i Grafikkfeltet. Skriv a i tekstboksen som dukker opp og klikk på OK. Klikk på F-pila og flytt teksten bort til grafen. Da får du dette bildet: (Hvis du høyreklikker på likningen i Algebrafeltet og klikker på Likning y = ax + b, får du dette bildet: Du ser at GeoGebra kan omforme uttrykket til formen y = x+ 1.) Skriv -x+y=-4 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gjør det samme som du gjorde for likning (1) ovenfor. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene til likningene har koordinatene (1,, 1,4). Likningssettet har løsningen x = 1, og y = 1,4.
4 Størst mulig overskudd med GeoGebra Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved f( x) 1,5x 60x 400 x 5, 35 Her er f(x) overskuddet i hundre kroner ved produksjon og salg av x enheter av varen. Du skal finne hvor mange enheter det må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst mulig. Finne størst overskudd ved å lese av på grafen til f Skriv Funksjon[-1.5x +60x-400,5,35] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv Ekstremalpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Du får toppunktet A. Høyreklikk på A og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Toppunktet på grafen til f har koordinatene (0, 00). Overskuddet er størst ved produksjon og salg av 0 enheter. Overskuddet er da kroner. Finne størst overskudd ved bruk av den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) = 3x Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Skriv Nullpunkt[f ] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Du får nullpunktet B for f. Høyreklikk på B og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at f ( x) er positiv til venstre for nullpunktet 0 og negativ til høyre. f har altså sin største verdi for x = 0. Overskuddet er størst ved produksjon og salg av 0 enheter. Overskuddet er da kroner.
5 Å finne vendepunkter med GeoGebra 3 Du har gitt funksjonen f ( x) x 3x x 1. Du skal finne eventuelle vendepunkter på grafen til f ved å bruke GeoGebra. Å finne vendepunktet ved å lese av på grafen til f Skriv x 3 +3x -x+1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv Vendepunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Du får vendepunktet A på grafen. Høyreklikk på A og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Vendepunktet på grafen til f har koordinatene (1, ). Å finne vendepunktet ved bruk av den andrederiverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den andrederiverte, f (x) = 6x + 6. Grafen for den andrederiverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Skriv Nullpunkt[f ] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Du får nullpunktet B for f. Høyreklikk på B og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at f ( x) er positiv til venstre for nullpunktet 1 og negativ til høyre. f ( x) skifter altså fortegn for x 1. Da er (1, f(1)) et vendepunkt på grafen til f. Vendepunktet er (1, ).
6 Den naturlige eksponentialfunksjonen med GeoGebra Du har gitt funksjonen f( x) e x. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv e^(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 1 som enhet på begge aksene. Da får du dette bildet: Bildet viser grafen til funksjonen f( x) e x. Legg merke til at det i Algebrafeltet står f(x) =.7^x..7 er e avrundet til to desimaler. Å finne den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) =.7^xln(.7). Legg merke til at ln(.7) er tilnærmet ln e, der e er avrundet til to desimaler. ln(.7) blir derfor ikke eksakt lik 1. Den deriverte til f( x) e x er f ( x) e x. Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at grafen til f faller sammen med grafen til f. Dette er i samsvar med at f ( x) f( x) e x.
7 Den naturlige logaritmen med GeoGebra Du har gitt funksjonen f ( x) lnx. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv ln(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 1 som enhet på begge aksene. Da får du dette bildet: Bildet viser grafen til funksjonen f ( x) ln x. Å finne den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) = 1/x. 1 Den deriverte til f ( x) ln x er f ( x). x Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Da får du dette bildet: Legg merke til at grafen til f ligger over x-aksen i hele definisjonsområdet for f. Den deriverte er altså positiv for alle verdier av x.
8 Logistisk vekstmodell med GeoGebra En harepopulasjon følger en logistisk vekstmodell f(x) i et avgrenset område. 500 f( x) 0,05x 1 4e x er antall år. f(x) er antall harer. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv 500/(1+4e^(-0.05x)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 10 som enhet på x-aksen og 100 på y-aksen. Da får du dette bildet: 500 Bildet viser grafen til funksjonen f( x) 0,05x 1 4e. Legg merke til at det på figuren ser ut til at f(x) nærmer seg 500 når x øker. Å finne den deriverte i et punkt på grafen Skriv f (0) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da verdien a for f (0). Du ser at a f (0) 6,0. Om 0 år vil harebestanden øke med ca. 6 harer per år.
9 Kostnadsoptimal produksjonsmengde med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = 1, x + 10x x [ 0, 10] K(x) står for samlet kostnad per dag når det produseres x enheter per dag. Skriv Funksjon[1.x +10x+4000,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til funksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Du skal finne enhetskostnaden når det produseres 50 enheter per dag. Du skal også finne kostnadsoptimal produksjonsmengde med tilsvarende enhetskostnad. Enhetskostnad Skriv A=(50,K(50)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Av figuren ser du at enhetskostnaden er kr = 60 kr. 50 Kostnadsoptimal produksjonsmengde Klikk på ikon nr. fra venstre og klikk på Nytt punkt. Klikk et sted på grafen til K. Du får punktet A på grafen. Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og klikk på Tangenter. Klikk på grafen til K og deretter på punkt A. Tangenten til grafen i punkt A blir tegnet. Aschehoug Side 1 av
10 Dra i punktet A. Av figuren ser du at kostnadsoptimal produksjonsmengde er 58 enheter per dag. Den minste enhetskostnaden er ,83 kr = 59 kr. 57,98 Den minste enhetskostnaden kan du også finne slik: Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og klikk på Stigning. Klikk på tangenten. Stigningstallet for tangenten m = 59,14 dukker opp både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Stigningstallet for tangenten til grafen, som går gjennom origo, er lik den minste enhetskostnaden, altså 59 kr. Aschehoug Side av
11 Grensekostnad med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = 1, x + 10x x [ 0, 10] K(x) står for samlet kostnad per dag når det produseres x enheter per dag. Skriv Funksjon[1.x +10x+4000,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til funksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Grensekostnad Du skal finne grensekostnaden når det produseres 80 enheter per dag. Skriv A=(80,K(80)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og klikk på Tangenter. Klikk på grafen til K og deretter på punkt A. Tangenten til grafen i punkt A blir tegnet. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og klikk på Stigning. Klikk på tangenten. Stigningstallet for tangenten m = 31 dukker opp både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Stigningstallet for tangenten til grafen i punktet A = (80, 1 80) er 31. Grensekostnaden når det produseres 80 enheter per dag er 31 kroner.
12 Grensekostnad og enhetskostnad med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = 1, x + 10x x [ 0, 10] K(x) står for samlet kostnad per dag når det produseres x enheter per dag. Skriv Funksjon[1.x +10x+4000,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til funksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Enhetskostnadsfunksjonen Skriv Funksjon[K(x)/x,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til enhetskostnadsfunksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til G. Grensekostnadsfunksjonen Skriv Funksjon[K (x),0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til grensekostnadsfunksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Klikk på ikon nr. fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Klikk på den ene grafen og deretter på den andre. Aschehoug Side 1 av
13 I punktet A = (57,74, 58,56) er enhetskostnaden G lik grensekostnaden K. Den minste enhetskostnaden er 59 kr, når det produseres 58 enheter per dag. Aschehoug Side av
14 Vinningsoptimal produksjonsmengde med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = x + 300x K(x) står for samlet kostnad når det produseres x enheter. Inntekten av produksjonen er gitt ved I( x) = 0,5x x Du skal finne vinningsoptimal produksjonsmengde og det største overskuddet. Skriv inn K(x)=x +300x i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv deretter inn I(x)=-0.5x +1500x og trykk Enter. Klikk i sirklene foran I(x) og K(x) i Algebrafeltet. Grafene til I og K vises nå ikke i Grafikkfeltet. Metode 1 Skriv inn O(x)=I(x)-K(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Ved å tilpasse aksene vil du få dette bildet: Skriv Ekstremalpunkt[O] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet ser du at koordinatene for toppunktet på grafen til O er (400, ). Det betyr at vinningsoptimal produksjonsmengde er 400 enheter og at det største overskuddet er kr. Aschehoug Side 1 av
15 Metode Skriv inn Derivert[I(x)] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet dukker uttrykket f(x) = 1500 x for I ( x) opp. Endre navnet fra f til I. Skriv inn Derivert[K(x)] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Endre navnet fra f til K Ved å tilpasse aksene vil du få dette bildet: Figuren viser grafene til I og K. Klikk på ikon nr. fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Klikk på grafene. Du finner skjæringspunktet A = (400, 1100) mellom grafene. Vinningsoptimal produksjonsmengde er 400 enheter. Skriv I(400)-K(400) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet dukker a = opp. Det største overskuddet er kr. Aschehoug Side av
16 Logistisk regresjon med GeoGebra Du skal bruke logistisk regresjon til å finne en modell for høyden av en solsikke. Se eksempel 3 side 148 i læreboka Matematikk S. Du kan legge dagene og høydene inn i regnearket. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv inn punktene i regnearket. Klikk på F-pila (, knapp nr. 1 fra venstre) og marker det området i regnearket som inneholder punktene. Høyreklikk på det markerte området og velg Lag liste med punkter. Høyreklikk på liste 1 i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Skriv L i stedet for liste 1. Trykk OK. (I stedet for å legge punktene inn i regnearket, kan du lage liste direkte i Inntastingsfeltet. Skriv L={(0,9),(7,1),(14,15),...,(70,75),(77,77)} i Inntastingsfeltet og trykk ENTER.) Nå kan du skrive reglogist[l] i Inntastingsfeltet. I Algebrafeltet ser du at det gir denne modellen for høyden: 85,3 f( x) = 0,068x , 3 e
17 Eksponential- og potensregresjon med GeoGebra Eksponentialregresjon Du skal bruke eksponentialregresjon til å finne den eksponentialfunksjonen som passer best til punktene A = (1, 0,5), B = (,,0) og C = (3, 4,5) Metode 1 Lag en liste med punktene A, B og C. Skriv inn i Inntastingsfeltet: L = {(1,0.5), (,.0), (3,4.5)} Trykk ENTER. Klikk på ringen foran L i Algebrafeltet. Skriv regeksp[l] i Inntastingsfeltet og trykk ENTER. I Algebrafeltet ser du at uttrykket for eksponentialfunksjonen er 1,1 f( x) 0,18 e x Dette uttrykket kan omformes til 1,1 x ( ) 0,18 e 0,18, ,1 x x 0,18 3, 00 f x NB! Hvis punktene A, B og C er lagt inn i Algebrafeltet, kan du lage lista slik: L = {A, B, C} Aschehoug Side 1 av
18 Metode Du kan legge punktene inn i regnearket. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv inn punktene i regnearket. Klikk på F-pila ( inneholder punktene., knapp nr. 1 fra venstre) og marker det området i regnearket som Høyreklikk på det markerte området og velg Lag liste med punkter ( venstre)., knapp nr. 4 fra Høyreklikk på liste 1 i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Skriv L i stedet for liste 1. Trykk OK. Nå kan du skrive regeksp[l] i Inntastingsfeltet. I Algebrafeltet ser du at uttrykket for eksponentialfunksjonen er 1,1 f( x) 0,18 e x Dette uttrykket kan omformes til 1,1 x ( ) 0,18 e 0,18,7183 1,1 x x 0,18 3,00 f x Potensregresjon Samme framgangsmåte som for eksponentialregresjon. Du skriver regpot[l] i inntastingsfeltet i stedet for regeksp[l]. Med punktene ovenfor får du da funksjonen f ( x) 0,5x Aschehoug Side av
19 Areal under grafer med GeoGebra Areal over x-aksen Du skal finne arealet avgrenset av grafen til f( x) = 0,1x + 1, x-aksen og linjene x = 0 og x = 6. Skriv inn 0.1x +1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv inn Integral[f,0,6] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: Området under grafen mellom x = 0 og x = 6 er fargelagt. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet dukker a = 13. opp. Størrelsen a = 13., kalles integral, og over x-aksen er integral og areal det samme. Det betyr at arealet er regnet ut til å være 13,. Areal under x-aksen Du skal finne arealet avgrenset av grafen til f( x) = 0,1x 1, x-aksen og linjene x = 0 og x = 6. Skriv inn -0.1x -1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv inn Integral[f,0,6] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet. Området over grafen mellom x = 0 og x = 6 er fargelagt. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet dukker a = -13. opp. Størrelsen a = -13., kalles integral, og under x-aksen har integral og areal motsatte fortegn. Det betyr at arealet er 13,.
20 GeoGebra: Fakultet. Binomialkoeffisient i regneark Fakultet Skriv 5! i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. I Algebrafeltet står det nå a = 10. Det betyr at 5! = 10. Binomialkoeffisient Skriv BinomialKoeffisient[10,5] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. 10 I Algebrafeltet står det nå b = 5. Det betyr at 5. 5 Binomialkoeffisient i regnearket Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, r i rute B1 og BinomialKoeffisient[n,r] i rute C1. Skriv 10 i rute A og 1 i rute B. Skriv B+1 i rute B3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute B3 og dra nedover til og med rute B11. Da står tallene 1,,..., 10 i rutene B B11. Skriv BinomialKoeffisient[$A$,B] i rute C. Dra markøren i ruta nedover til og med rute C11. I rutene C C11 står verdiene for ,,...,, slik figuren nedenfor viser (Legg merke til symmetrien.)
21 Binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 0 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at 16 av de 0 frøene spirer. Skriv n = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 0 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv r = 16 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for r = 16 i Algebrafeltet. Glideren for r dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv BinomialKoeffisient[n,r] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter.! 0" I Algebrafeltet står a = Det betyr at # $ = % 16 & Skriv a*p^r*(1-p)^(n-r) i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står b = Det betyr at P(16 av 0 frø vil spire) = 0,13. For å finne andre binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, r og p.
22 Kumulative binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 0 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at minst 1 av de 0 frøene spirer. Skriv n = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 0 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv a = 1 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for a = 1 i Algebrafeltet. Glideren for a dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv b = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for b = 0 i Algebrafeltet. Glideren for b dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv Sum[Følge[BinomialKoeffisient[n,r]*p^r*(1-p)^(n-r),r,a,b]] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står c = Det betyr at P(minst 1 av 0 frø vil spire) = 0,887. For å finne andre kumulative binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, p, a og b.
23 GeoGebra: Binomiske sannsynligheter og kumulative binomiske sannsynligheter i regneark En bestemt type frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi sår 10 frø og ser om de spirer. Binomiske sannsynligheter Vi går ut fra at dette er et binomisk forsøk og bruker formelen n r n r Pr ( frø spirer) p 1 p r Her er n 10 og p 0,70. Vi vil bruke regnearket i GeoGebra til å finne sannsynligheten for at r frø spirer for ulike verdier av r. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, p i rute B1, r i rute C1, BinomialKoeffisient[n,r] i rute D1 og P(r frø spirer) i rute E1. Skriv 10 i rute A, 0.70 i rute B, 0 i rute C. Skriv C +1 i rute C3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute C3 og dra nedover til og med rute C1. Da står tallene 0, 1,,..., 10 i rutene C C1. Skriv BinomialKoeffisient[$A$,C] i rute D. Dra markøren i ruta nedover til og med rute D1. I rutene D D1 står verdiene for ,,..., Skriv D*$B$^C*(1-$B$)^($A$-C) i rute E. (Du kan i stedet for de to gangetegnene * taste mellomrom.) Dra markøren i ruta nedover til og med rute E1. Da får du bildet nedenfor. Du ser for eksempel at P(7 frø spirer) 0,67. Aschehoug Side 1 av
24 Kumulative binomiske sannsynligheter Skriv E i rute F. Skriv F + E3 i rute F3. Dra markøren i rute F3 nedover til og med rute F1. Da får du dette bildet: For eksempel ser du at det står 0,617 i rute F9. Det betyr at P(høyst 7 frø spirer) = 0,617. Aschehoug Side av
25 Normalfordeling med GeoGebra Vi antar at vekten av en nyfødt gutt er normalfordelt med forventningsverdi 3,6 kg og standardavvik 0,50 kg. Oppgave 1 Du skal bruke GeoGebra til å finne sannsynligheten for at en nyfødt gutt vil veie mindre enn 3,5 kg. Skriv Normalfordeling[3.6,0.50,3.5] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står det a = 0,405. Det viser at det er 40,5 % sannsynlig at en nyfødt gutt veier mindre enn 3,5 kg. Oppgave Du skal bruke GeoGebra til å finne sannsynligheten for at en nyfødt gutt vil veie mellom,5 kg og 3,5 kg. I oppgave 1 fant du at det er 0,405 sannsynlig at en nyfødt gutt veier mindre enn 3,5 kg. Skriv Normalfordeling[3.6,0.50,.5] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står det a = 0,015. Det viser at det er 0,015 sannsynlig at en nyfødt gutt veier mindre enn,5 kg. P(en nyfødt gutt veier mellom,5 kg og 3,5 kg) = 0,405 0,015 = 0,397 Det er 39,3 % sannsynlig at en nyfødt gutt vil veie mellom,5 kg og 3,5 kg.
26 Invers normalfordeling med GeoGebra Vi antar at vekten av en nyfødt gutt er normalfordelt med forventningsverdi 3,6 kg og standardavvik 0,50 kg. La X stå for vekten av en tilfeldig valgt nyfødt gutt. Du skal bestemme tallet x som er slik at omtrent 60 % veier mindre enn x kg. Det betyr at du skal bestemme x slik at PX ( < x) 0, 60. Skriv InversNormalfordeling[3.6,0.50,0.60] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står det a = 3,75. Det viser at 60 % av de nyfødte guttene veier mindre enn 3,75 kg.
GeoGebra-opplæring i Matematikk S1
GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 1T
GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 2T
GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk R1
GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger
DetaljerGeoGebra-opplæring i 2P-Y
GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 2P
GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 1P
GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 1P
GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...
DetaljerSIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2P Sinus 2P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerGeoGebra for Sinus 2T
GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side
DetaljerInnhold. Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving
DetaljerGeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.
2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...
DetaljerInnhold. Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving
DetaljerLær å bruke GeoGebra 4.0
Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...
DetaljerInnhold. Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet
DetaljerFunksjoner med GeoGebra
Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4
DetaljerLineære funksjoner. Skjermbildet
Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I
DetaljerS1 kapittel 3 Lineær optimering
S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave
Detaljer3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter
3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...
DetaljerEksamen S2 va ren 2015 løsning
Eksamen S va ren 05 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene. a) x f x e x f x e e x b) gx x x x x x
DetaljerInnhold. Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving
DetaljerSIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2PY
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2PY Sinus 2PY ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin.
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka...
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )
DetaljerGeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.
GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,
DetaljerGeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8].
413 GeoGebra i S2 Grafer Nullpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. GeoGebra
DetaljerEksamen S1, Høsten 2013
Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f
DetaljerS1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].
Detaljera) Tegn grafen til T b) Når på dagen var temperaturen 0 o C c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da?
Oppgaver 1 Geogebra med fasit Oppgave 1 Funksjonen f er gitt ved: f(x) = x 2 2x 3 a) Tegn grafen digitalt b) Finn bunnpunktet til f Oppgave 2 En modell for temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt
DetaljerMatematikk S2. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning
Matematikk S2 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4295 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating
DetaljerEksamen S2 høsten 2014 løsning
Eksamen S høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 3ln 1 3 f 3 1 b) g ln3 1 ln3 g 1
DetaljerOppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy
1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1P SINUS 1P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx
DetaljerMatematikk S2. det digitale verktøyet. Kristen Nastad
Matematikk S2 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4295 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software
DetaljerKORT INNFØRING I GEOGEBRA
Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN
DetaljerHurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta
Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,
DetaljerEksamen REA3026 S1, Våren 2013
Eksamen REA306 S1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) lg x 3 5 lg x 3 5 lg x
DetaljerQED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...
DetaljerEksamen REA3028 S2, Høsten 2012
Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x
DetaljerSigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy
Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet
DetaljerDet digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad
Det digitale verktøyet og Matematikk S2 Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4319 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer Software for Windows
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet
DetaljerSigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011
Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 1 Framgangsmåten med GeoGebra Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d. Åpne GeoGebra.
DetaljerS1 eksamen våren 2017 løsningsforslag
S1 eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) x 5x 0 xx ( 5) 0 x 0 x 5 0
DetaljerFunksjoner, likningssett og regning i CAS
Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...
DetaljerPlotting av grafer og funksjonsanalyse
Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning
DetaljerLøsning eksamen 2T våren 2008
Løsning eksamen 2T våren 2008 Del 2 løst med pc Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt
DetaljerR1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)
R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )
DetaljerS2 eksamen våren 2018 løsningsforslag
S eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene f x =
Detaljer2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42
Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle
Detaljer2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42
Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1T
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1T Sinus 1T ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerHjelpehefte til eksamen
Hjelpehefte til eksamen side 1 Innhold Formler som forventes kjent Vg1P-Y:... 3 Formler som forventes kjent: 1P... 4 Formler som forventes kjent: 2P... 5 Formler som forventes kjent: 2P-Y... 6 Formler
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerDet digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning
Det digitale verktøyet og Matematikk S2 Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4319 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer
DetaljerEksamen S2 høsten 2016 løsning
Eksamen S høsten 016 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene 3 a) f 5 f 3 5 b) g 5 1 7 5 7 1 70 1
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet
DetaljerEksamen S2 høsten 2015 løsning
Eksamen S høsten 015 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene f x x x a) 3 f x 3x g x 3 e x 1 b) 1
DetaljerLøsning eksamen S1 våren 2010
Løsning eksamen S1 våren 010 Oppgave 1 a) 1) f ( x) x x f (1) 1 1 1 1 f ( x) 6x x f (1) 6 1 1 6 4 ) Grafen går gjennom punktet (1, 1) og har vekstfarten 4. Det betyr at tangenten i punktet har stigningstallet
DetaljerGrensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon
Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Læreplanmål Matematikk S1 lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi tegne grafen til polynomfunksjoner,
DetaljerEksamen S1 høsten 2014 løsning
Eksamen S1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemiddel: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) x 10 xx 5 x x 10 x 5x 7x 10 0 7 49 40
DetaljerEksamen REA3026 S1, Høsten 2010
Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x
DetaljerEksamen S2, Høsten 2013
Eksamen S, Høsten 0 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene x a) fx f x x x x b) 5 g x 5 x 5 5 5 4 4 g x x x
DetaljerKurs. Kapittel 2. Bokmål
Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke
DetaljerMATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel
MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel Utstyr: Mynter, hyssing, tape, stoppeklokke Mål: 1. Hva påvirker svingtiden til en pendel? Lag hypoteser a. Lengden på hyssingen? b. Antall mynter (vekt)?
DetaljerR2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k
R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når
DetaljerS2, Funksjoner Quiz. Test, 2 Funksjoner
Test, Funksjoner Innhold. Derivasjon... 1.3 Funksjonsdrøfting... 6.4 Økonomiske optimeringsproblemer... 13.5 Modellering... 15.6 Bestemte integraler og arealer under kurver... 1 Grete Larsen. Derivasjon
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerS2 kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka
S kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka 4.A a Enhetskostnaden er gitt ved totalkostnaden dividert med antall produserte enheter, altså K( x) Gx ( ) =. Det gir Gx ( ) = 0,x+ 5 +
DetaljerLær å bruke GeoGebra 4.0
Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...
DetaljerS1-eksamen høsten 2017
S1-eksamen høsten 017 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Løs likningene a) x x 80, a 1, b, c 8 b b 4ac 4 1 ( 8) 4 6 1
DetaljerEksamen våren 2016 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Variasjonsbredde = 6 C ( 6 C) = 1 C Gjennomsnitt: + 0 + ( 4) + ( 6) + + 6 0 x = = =
DetaljerOppgaver om derivasjon
Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,
DetaljerEksamen S2. Va ren 2014 Løsning
Eksamen S. Va ren 04 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene f 3 a) f 3 3 3 6 3 b) 4 g e 4 4 4 4 4 g
DetaljerS1 eksamen våren 2016 løsningsforslag
S1 eksamen våren 016 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x x 0 4 1 x 1 9 8 x 1 x x 1
DetaljerEksamen S1 vår 2011 DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave f x x. f x x. x x. S1 Eksamen våren 2011, Løsning MATEMATIKK
S Eksamen våren 0, Løsning Eksamen S vår 0 DEL Uten hjelpemidler Oppgave a) Vi har funksjonen f x x 3 x 5 ) Deriver funksjonen. f x x 3 3 5 f x x 6 5 ) Bestem f. Hva forteller svaret deg om grafen til
DetaljerLøsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P
Løsninger Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 9 Modul 3. Mer om lineær vekst... 16 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 5 Modul 5. Andre funksjoner... 30 Polynomfunksjoner...
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Variasjonsredden: 6 C ( 6 C) = 6 C+ 6 C= 12 C Gjennomsnittet: 2 C+ 0 C + ( 4 C) + (
DetaljerQED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære, 2. utgave Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE
DetaljerOppgaver i funksjonsdrøfting
Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på
DetaljerRegresjon med GeoGebra 4.0
Regresjon med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk regresjon...
DetaljerFunksjoner S2 Oppgaver
Funksjoner S Funksjoner S Oppgaver. Derivasjon... Den deriverte til en konstant funksjon... Den deriverte til en potensfunksjon... Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 4 Den deriverte til en
DetaljerGEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)
1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram
DetaljerEksamen S1 Va ren 2014 Løsning
Eksamen S1 Va ren 014 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) x 3x 3 3 x x x x 3 3 3 0 x
DetaljerS2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka
S kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreoka 3.A a h () t = 0,5 t = 0,5t Vannhøyden øker stadig raskere. c h (3) =,5 h (5) =,5 Etter 3 minutter øker vannhøyden med,5 cm per minutt. Etter
Detaljer5 Matematiske modeller
Løsning til KONTROLLOPPGAVER 5 Matematiske modeller OPPGAVE 1 a) Endringen i lengden på lyset i løpet av de 100 minuttene er 12 cm 27 cm = 15 cm Endringen per minutt blir da 15 cm 0,15cm/ min 100 min Når
DetaljerEksamen REA3026 S1, Høsten 2012
Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6
DetaljerVelg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]
442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt
DetaljerLøsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7
Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Oppgave a) Likningen e 2x 6e x + 5 = 0 er en annengradslikning i e x. Siden ( ) ( 5) = 5 og 5 = 6 så faktoriserer annengradsuttrykket som (e x 5)(e x ). Dette
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
Detaljer