S2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka

Transkript

1 S kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreoka 3.A a h () t = 0,5 t = 0,5t Vannhøyden øker stadig raskere. c h (3) =,5 h (5) =,5 Etter 3 minutter øker vannhøyden med,5 cm per minutt. Etter 5 minutter øker vannhøyden med,5 cm per minutt. 3.B ( ) = 0,0 + 0,3 +,0 f a f ( ) = 0,0+ 0,3 f (5) = 0, ,3 = 0, Når allen har eveget seg 5 meter ortover, øker høyden med 0, meter for hver meter allen eveger seg ortover. f (0) = 0, ,3 = 0, Når allen har eveget seg 0 meter ortover, øker høyden med 0, meter for hver meter allen eveger seg ortover. Aschehoug Undervisning Side av 7

2 c For å finne den største høyden allen får, setter vi f ( ) = 0. 0, 0 + 0,3 = 0 =5 f (5) = 0, ,3 5 +, 0 = 4, 45 Den største høyden er 4,45 meter. Løsninger til kapitteltesten i læreoka d For å finne hvor langt kastet var, setter vi f( ) = 0. 0,0 + 0,3+, 0 = 0 0,3 ± 0,3 4 ( 0,0), 0 0,3 ± 0,78 0,3 ± 0, 4 = = = (0,0) 0,0 0,0 0,3 0,4 0,3 + 0, 4 = = 36, eller = = 6, (ikke løsning) 0,0 0,0 Kastet var 36, meter. 3.C f ( ) = + 6 a 3 3 f = + = + = + 6 ( ) ( 4) f ( ) = + = + Vi setter opp en fortegnslinje for den deriverte f ( ) = ( + 4). For = 4 går grafen over fra å stige til å synke. Altså må grafen ha et toppunkt for = f ( 4) = ( 4) + ( 4) = + 6= Punktet 4, er et toppunkt. 3 For = 0 går grafen over fra å synke til å stige. Altså må grafen ha et unnpunkt for = 0. f (0) = 0 Punktet ( 0, 0) er et unnunkt. Aschehoug Undervisning Side av 7

3 c Vi tegner fortegnslinje for f ( ). f ( ) skifter fortegn for =. Grafen vender den hule siden opp i intervallet,. Grafen vender den hule siden ned i intervallet,. 3 4 f ( ) = ( ) + ( ) = + 4= Grafen har vendepunkt i, 3. d Tangentens stigningstall minker fram til vendepunktet for så å øke. Det etyr at stigningstallet må ha sin minste verdi i vendepunktet. Funksjonen minker raskest for =. Da har f f = + = Grafen er rattest nedover ved =. ( ) sin minste verdi. ( ) ( ) ( ) 3.D a Overskuddet er gitt ved O ( ) = I ( ) K ( ). Med våre inntekts- og kostnadsfunksjoner gir det O ( ) = 0,0 + 8 (0, ) = 0, Vi har at overskuddet er størst når K ( ) = I ( ). Deriverer vi de to funksjonene, får vi K ( ) = 0,6+ 3 og I ( ) = 0, ,6+ 3 = 0, , 0 = = = 50 0, 0 Vi kan også undersøke når den deriverte av overskuddsfunksjonen er lik null. Da er overskuddet størst. Den deriverte av overskuddsfunksjonen lir O ( ) = 0, Vi setter O ( ) = 0. Aschehoug Undervisning Side 3 av 7

4 0, = 0 50 = = 50 0, 0 Vi ser at svaret lir det samme med de to metodene. 50 produserte enheter per dag gir det største overskuddet. K( ) c Enhetskostnaden er gitt ved G ( ) =. For å finne den produksjonen som gir lavest enhetskostnad, må vi se når den deriverte av dette er lik null. Den deriverte av enhetskostnaden kan skrives som K ( ) K( ) G ( ) = Vi kjenner allerede K ( ), så vi kan sette inn og regne ut: 0, , G ( ) = 4000 = 0,08 G ( ) = ,08 = = 0,08 = > 0 Enhetskostnaden lir altså lavest ved en dagsproduksjon på 4 enheter. 500 p I p = 5 < p< 40 p E ( ) ( ) ( p + 900) ( p + 900) 500 p p p p I ( p) = = I ( p) = p ( p + 900) = 0 Aschehoug Undervisning Side 4 av 7

5 p = 0 p = 900 p =± 30 Prisen som gir størst inntekt, er 30 kr I(30) = = 8, Ved en pris på 30 kr er inntekten 8330 kr. 3.F a 5 f( ) = e u f ( ) = e, der u = 5 ( ) = e u f u = e 5 u ( ) f ( ) = e 5= 5e 5 5 f ( ) = e ( ) f = + = + = + ( ) e e e e e c f( ) = ( + 4) ln( + 4) f ( ) = ln( + 4) + ( + 4) = ln( + 4) + ( + 4 ) 3.G f ( ) = ( )e a f( ) = 0 ( )e = 0 = e = 0 e er positiv for alle verdier av. Nullpunkt: f ( ) = e + ( ) e = ( )e Vi ser at grafen til f har et toppunkt for =. Toppunkt: (, f () ) = (, ( )e ) = (, e ) = (,,7) Aschehoug Undervisning Side 5 av 7

6 Verdien av f ( ) er størst der f ( ) vokser raskest, dvs. i eventuelle vendepunkter. f ( ) = e + ( ) e = e Vi ser at f ( ) er størst for = 0. c Av fortegnslinja for f ( ) ser vi at grafen har vendepunkt for = 0. Vendepunkt: ( 0, f (0)) = ( 0,( 0)e 0 ) = ( 0,) d 3.H mt ( ) = 00 e a 0,3t 0,3 3 m(3) 00 e = = 50, Etter 3 minutter er mengden av polonium 50, mg. 0,3 9 m(9) 00 e = =, 6 Etter 9 minutter er mengden av polonium,6 mg. m ( t) = 00 e ( 0,3) = 3 e = = 0,3t 0,3t 0,3 3 m (3) 3 e,5 Etter 3 minutter avtar mengden av polonium med,5 mg per minutt. = = 0,3 9 m (9) 3 e,9 Etter 9 minutter avtar mengden av polonium med,9 mg per minutt. Aschehoug Undervisning Side 6 av 7

7 c mt () = 50 0,3t 00 e = = =, , 3t = ln 0,50 0,3t e 0 ln 0,50 t = = 3, 0 0, 3 Etter 3,0 minutter er mengden av polonium redusert til 50 mg. Det etyr at halveringstiden for polonium er 3,0 minutter. Løsninger til kapitteltesten i læreoka 3.I Tt ( ) = 5 + ln(7 t) a T (30) = 5 + ln(7 30) = 87 Etter 30 minutter er temperaturen i ovnen 87 C. Tt ( ) = ln(7 t) = 500 ln(7 t) = = ln(7 t) = = 3,03 3,03 7t = e = 0,7 0,7 t = = 3, 0 7 Det tar 3,0 minutter til temperaturen er 500 C. c T ( t) = 7 = 7t t T (5) = = 0, 7 5 Etter 5 minutter stiger temperaturen med 0,7 C per minutt. d Vi setter T () t = 0 = 0 t = 0 t t = = 8 0 Etter 8 minutter øker temperaturen med 0 C per minutt. Aschehoug Undervisning Side 7 av 7