Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Transkript

1 Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for hvert av de fem punktene. Vi får A (125,10) B(0, 12,5) C ( 125,10) D(125, 17, 5) E ( 150, 10) 3.2 Vi merker av koordinatene slik: 3.3 Vi merker av koordinatene slik: Aschehoug Undervisning Side 1 av 19

2 3.4 a Punktene som har 2 til førstekoordinat ligger på linja x = 2, parallelt med y-aksen. b De som har 4 til andrekoordinat ligger på linja y = 4, parallelt med x-aksen. c Punktene som har 0 til førstekoordinat ligger på y-aksen. d De som har 0 til andrekoordinat ligger på x-aksen. 3.5 a Hvis fartsgrensen er 60 km per time, er farten til Olsen en overskridelse på 73 km per time 60 km per time = 13 km per time. Dette faller i kategorien "til og med 15 km/h", så forelegget blir på 2900 kr. b Vi ser av tabellen at Larsen må ha holdt en fart mellom 5 km/h og 10 km/h over fartsgrensen, altså mellom 65 km/h og 70 km/h. c Hvis y er en funksjon av x, gir hver x-verdi en bestemt y-verdi. Slik er det med fartsoverskridelsen og forelegget hver overskridelse gir et bestemt forelegg. Da er forelegget en funksjon av overskridelsen. 3.6 a Av figuren ser vi at toppunktet er (7,1, 3,9). b På samme måte ser vi at bunnpunktet er (3, 1). c Nullpunktene er 1 og a Vi leser av grafen for x = 8 og får 500 passeringer. b Funksjonen har sin høyeste verdi ved x = 12, altså den 12. april. Da var det 600 passeringer. c Funksjonen har sin laveste verdi ved x = 3, altså den 3. april. Da var det 350 passeringer. d Leser av på grafen. 8., 16., 23., og 27. april var det 500 passeringer. e Minst 500 passeringer betyr 500 passeringer eller flere. Vi må altså se på de delene av grafen som ligger høyere enn eller på y = 500. Vi ser at fra og med 8. april til og med 16. april, og fra og med 23. april til og med 27. april var det minst 500 passeringer. f Til hver x-verdi svarer det en y-verdi, altså er det grafen til en funksjon. 3.8 a Med uttrykket y = 2,50x+ 0,50 får vi denne verditabellen: Varighet i minutter (x) Pris i kroner (y) 0,50 10,5 15,5 25,5 Aschehoug Undervisning Side 2 av 19

3 b På grunnlag av tabellen kan vi tegne grafen. c Leser vi av grafen ved 5,50 kr. d Leser vi av grafen ved 18,00 kr. x = 2, får vi y = 5,50 y = 18,00, får vi x = 7. En samtale på 2 minutter koster altså. Andreas kan ringe i 7 minutter for 3.9 a Vi legger inn funksjonen i vårt digitale verktøy og tegner grafen. Med Xscale = 1 og Yscale = 5 får vi et bilde omtrent som under. Aschehoug Undervisning Side 3 av 19

4 b Vi setter Xsca le = 5 og Yscale = 10, og tegner grafen igjen. Da blir bildet som under. Legg merke til at grafen er den samme, det er bare inndelingene på aksene som endres a Vi legger inn funksjonen på lommeregneren. b Tabellfunksjonen gir oss at aktuelle y-verdier er mellom 4500 og c Vi stiller inn x-aksen til verdier mellom 0 og 20, og y-aksen til verdier mellom 4500 og 4800, slik vi fant i forrige oppgave. Vi setter Xscale = 2 og Yscale = 100 (altså ett merke for hver 2. enhet på x-aksen og for hver 100. enhet på y-aksen). Da får vi et bilde omtrent som under. Aschehoug Undervisning Side 4 av 19

5 3.11 a Vi legger inn y = 2x + 4 vårt digitale verktøy og tegner grafen for x-verdier mellom 4 og 5. b Vi legger inn y = x i vårt digitale verktøy og tegner grafen for x-verdier mellom 10 og 20 Aschehoug Undervisning Side 5 av 19

6 c Vi legger inn y = 50x og tegner grafen for x-verdier mellom 100 og Vi legger inn y x 4 2 = og tegner grafen for x-verdier mellom 3 og 3. Aschehoug Undervisning Side 6 av 19

7 3.13 Vi legger inn 10 y = og tegner grafen for x-verdier mellom 0,5 og 20. x 3.14 a Stigningstallet er faktoren som x er ganget med, altså 3. Konstantleddet er leddet uten x, altså 1. b En økning i x fra 2 til 3 er en økning på 1. Da øker y med én ganger stigningstallet, altså 3. c Hvis x øker fra 5 til 20 er det en økning på 15. Da øker y med 15 ganger stigningstallet, altså med = a For å finne konstantleddet ser vi hvor grafen skjærer y-aksen (altså hvor x = 0 ). Det er ved y = 100, så konstantleddet er b = 100. b Det er lettest å finne stigningstallet hvis vi ser på økningen fra x = 0 til x = 5. Økningen i x er da 5, og vi ser av grafen at økningen i y er = 100. Stigningstallet blir da 100 a = = c Når x = 10, har den økt med 5 fra x = 5. Altså har funksjonsverdien økt med 100, fra y = 200 til y = 300. d Likningen er på formen y = ax + b. Vi har funnet at a = 20 og b = 100, så vi kan skrive y = 20x a Vi finner konstantleddet ved å se på y-verdien der x = 0. Av tabellen leser vi at konstantleddet blir b = 4 b Nullpunktet er 1. c Når x øker med én (for eksempel fra 1 til 2), øker y med 4 (fra 0 til 4). Stigningstallet er dermed 4. Aschehoug Undervisning Side 7 av 19

8 d Likningen blir y = 4x 4. Grafen er tegnet under a Hvis grafen stiger mot høyre, har funksjonen positivt stigningstall. Det er funksjonene 1, 3 og 4 som stiger mot høyre. b Grafene til to funksjoner er parallelle hvis funksjonene har samme stigningstall. Funksjonene 1 og 4 er parallelle. c Funksjonene 3 og 4 har begge konstantleddet 6 og skjærer dermed y-aksen i samme punkt a y = 2x 2 har negativt stigningstall, så den synker mot høyre. Den eneste grafen som passer, er nummer 3. b c y = 2 har stigningstall lik null. Den er altså parallell med x-aksen. Den eneste grafen som passer er nummer 2. y = x 3 har positivt stigningstall og skjærer y-aksen i y = 3. Graf nummer 1 er den eneste som oppfyller disse vilkårene. d y = 2x 2 har positivt stigningstall og skjærer y-aksen i y = 2. Graf nummer 4 er den eneste grafen som oppfyller disse kriteriene a Vi setter inn for x = 4, x = 0 og f f ( ) ( ) ( ) 4 = = 8+ 5= 3 0 = = 0+ 5= f = = + 5 = = x =, og får 2 Aschehoug Undervisning Side 8 av 19

9 b På samme måte får vi her 3 29 f ( 4) = 2 ( 4) = f (0) = 2 0 = 4 4 f = 2 4 = a Vi leser av grafen ved x = 0,5, x = 2 og x = 3, og får f ( 0,5) = 2,5, f (2) = 0 og f (3) = 1. b Vi leser av grafen ved y = 1 og får at x = Økningen på 4 kr i timen (Den Gode Kropp) er den lineære a Konstantleddet er 200, så grunnleien er 200 kr. b Vi ser at grafen går gjennom (50, 600) og (0, 200). Stigningstallet blir a = = Stigningstallet forteller hvor mye leien øker når antall personer øker med én. Altså står stigningstallet for leien per person. c Hvis det er 110 personer, blir leien 200 kr kr = 1080 kr. d Funksjonen er lineær, med a = 8 og b = 200. Vi får formelen K( x) = 8x a Siden det var jevn nedgang, har vi med en lineær funksjon å gjøre. Nedgangen per år er da det samme som stigningstallet til funksjonen. Vi får a = = = 600. Folketallet synker med 600 personer per år b Folketallet i 2007 var For å finne folketallet i 2010 må vi legge til 3 ganger stigningstallet, altså ( 600) = c Vi har en lineær funksjon med konstantledd b = og stigningstall a = 600. Det skriver vi F( x) = x. Aschehoug Undervisning Side 9 av 19

10 3.24 a De faste utgiftene utgjør konstantleddet, og kilometerprisen utgjør stigningstallet i en lineær funksjon. Vi får altså K( x) = 1,8 x b Vi ber om y-verdiene for x = km og x = km, og får og K (25 000) = kr. K (15 000) = kr c Vi legger inn linja y = og får at den skjærer grafen til K( x) ved x = Han kan altså kjøre km for kr a Innbyggertallet øker med 150 innbyggere i året. Altså er stigningstallet 150. Nå bor det innbyggere i kommunen. Folketallet F( x) etter x år kan vi skrive som F( x) = 150x b Vi setter inn for x = 5 og får F (5) = = Aschehoug Undervisning Side 10 av 19

11 c Funksjonen kan vi legge inn i vårt digitale verktøy. Vi tegner grafen for x-verdier fra 0 til 8. d Vi legger inn linja F = og ser at den skjærer F( x) ved x = 8. Det tar altså 8 år før innbyggertallet er oppe i e Vi setter F( x ) = og løser for x: = 150x x = 150 x = 8 Vi får samme svar som i oppgave d, nemlig at det tar 8 år før innbyggertallet er oppe i a Samtaleprisen er en fast sats per minutt. Det tilsvarer en lineær vekst. Da er funksjonsuttrykket på formen Px ( ) = ax+ b, og med prisene i Spar-abonnementet skriver vi Px ( ) = 1,60x+ 50. Aschehoug Undervisning Side 11 av 19

12 b Under har vi tegnet grafen som tilsvarer Spar-abonnementet. Den har fått selskap av en graf som tilsvarer Spesial-abonnementet i oppgave d. c 1 Vi ser på funksjonsverdien der x = 105, som tilsvarer 1 time og 45 minutter. Vi får P (105) = 218. Regningen blir altså på 218 kr. 2 Vi legger inn linja P = 135 og ser hvor den skjærer Px ( ). Det skjer ved x = 53,13. Hun kan prate i litt mer enn 53 minutter før månedsregningen blir større enn 135 kr. d Vi legger inn det nye funksjonsuttrykket og ser på det digitale verktøyet hvor grafene skjærer hverandre. Det skjer ved x = 111,27. Hun må altså snakke i over 1 time og 51 minutter før det lønner seg å bytte abonnement a Vi legger inn begge funksjonene i vårt digitale verktøy og tegner grafene for x-verdier mellom 3 og 3. Vi ser at grafene oppfører seg likt, men g er forskjøvet 4 y-enheter oppover i forhold til f. De skjærer hverandre aldri. Aschehoug Undervisning Side 12 av 19

13 b Vi legger inn funksjonene i vårt digitale verktøy og tegner grafene for x-verdier mellom 3 og 3. Grafene er ganske like, men g er brattere enn f. De skjærer hverandre i (0, 0). c Vi legger inn funksjonene i vårt digitale verktøy og tegner grafene for x-verdier mellom 3 og 3. Vi ser at g er speilbildet av f om y-aksen. De skjærer hverandre i ( 0, 2) a Vi legger inn y = 2x + 200x 2000 i vårt digitale verktøy og tegner grafen for x-verdier mellom 0 og 100. Aschehoug Undervisning Side 13 av 19

14 b Vi ser av grafen at O (50) = x = 50 Løsninger til innlæringsoppgavene gir det største mulige overskuddet. Overskuddet blir da 3.29 a Vi legger inn funksjonen i vårt digitale verktøy og tegner grafen for x-verdier mellom 1 og 31. b Grafen viser at det var færrest besøkende den 11. mars. Da var det 1801 besøkende Vi legger inn y = x + 3x 2 i vårt digitale verktøy og tegner grafen. Med litt prøving og feiling ser vi at x-verdier mellom 3 og 3 er nok til at vi får med topp- og bunnpunktet. Vi får at toppunktet ligger i (2, 2), og bunnpunktet ligger i (0, 2). Aschehoug Undervisning Side 14 av 19

15 3.31 a Vi tegner grafen til begge funksjonene med digitalt verktøy. K( x) er på sitt laveste ved x = 45. Funksjonsverdien er da 97,5 altså koster det 97,5 kr å produsere 45 enheter. b Hvis vi skal ha overskudd, må inntektene være større enn kostnadene. Av grafene ser vi at dette skjer i området mellom x = 30 og x = 100. Bedriften oppnår overskudd ved en produksjon mellom 30 og 100 enheter a Etter ett år har produksjonen økt til ,06 maskindeler per år. Etter to år har den økt 2 3 til ,06 maskindeler per år. Etter tre år er den oppe i , , dvs. ca maskindeler per år. b Vi har a = 8000 og b = 1, 06. Da kan vi skrive Ax ( ) = ,06 x for antall produserte enheter det x-te året a Igjen har vi med en eksponentiell modell å gjøre. Vi får a = og b = 1 0,18= 0,82. Funksjonsuttrykket blir V( t ) = ,82 t. b 1 Verdien av bilen etter to år er 2 V (2) = , Verdien av bilen etter tre år er V (3) = , kr. 4 3 Verdien av bilen etter fire år er V (4) = , kr. c Vi kjenner V (3) og V (2) fra forrige deloppgave. Verditapet det tredje året blir V(2) V(3) = kr kr = kr. d Verditapet det fjerde året blir på samme måte V(3) V(4) = kr kr = kr. e Hvert år er verditapet 18 % av bilens verdi ved begynnelsen av det året. Siden bilens verdi blir mindre for hvert år, blir også verditapet i kroner mindre for hvert år. kr a Funksjonsverdien vil øke. (La oss si f. eks. at b = 1. Da får vi f (1) = 1 og f (2) = 2. Vi ser at f (1) < f (2).) b Funksjonsverdien minker. (Si at b = 1. Da får vi f (1) = 1 og f (2) = 0,5 Vi ser at f (1) > f (2).) Aschehoug Undervisning Side 15 av 19

16 3.35 Vi legger inn alle funksjonene og tegner grafene for x-verdier mellom 0 og 6. Alle grafene går gjennom punktene (0, 0) og (1, 2). Alle stiger når x øker a Vi ser at eksponenten b er negativ. Da vil funksjonsverdien øke når grunntallet m blir mindre. Lette dyr vil altså ha høyere hjertefrekvens enn tunge dyr. 0,25 b Vi setter inn m = 6000 i funksjonsuttrykket: f (6000) = = 22, 7. Vi ser at modellen gir en litt lavere verdi enn det som blir observert." c Setter vi inn m = 40 g = 0,040 kg i funksjonsuttrykket, får vi 0,25 f (0, 040) = 200 0, 040 = 447. Dette tilsvarer omtrent 7,5 slag per sekund! 0,25 d La oss si at et menneske veier 70 kg. Setter vi inn, får vi f (70) = En hvilepuls på 69 er ikke uvanlig for mennesker, så modellen kan sies å passe for mennesker a Vi ser at barnet veide ca gram ved fødselen. b Etter én uke veide barnet nesten 3840 gram. c Vekten synker fra fødselen fram til begynnelsen av uke nummer 2. Så stiger den nesten lineært resten av de 10 ukene. d Alder i uk er Vekt i gram e Siden veksten er nesten lineær mellom uke 4 og uke 10, kan vi bruke disse funksjonsverdiene for å lage en prognose. Ved 10 uker veier barnet ca gram, så vi får a = = = Barnet legger altså på seg ca. 210 gram per uke etter uke 4. Ved 15 uker burde barnet da veie 5500 gram gram = 6550 gram. Aschehoug Undervisning Side 16 av 19

17 3.38 Grafen til farten som funksjon av tiden kan se ut som under, hvis vi sier at det tar ca. 15 minutter å kjøre til skolen. Legg merke til at bilen stopper helt like før det er gått 9 minutter. Rødt lys? 3.39 Grafen til salget som funksjon av tiden kan se ut som under a Vi legger inn funksjonen i vårt digitale verktøy og tegner grafen for x-verdier mellom 0 og 30. Aschehoug Undervisning Side 17 av 19

18 b Vi setter inn for x = 11: 465 P (11) = 42, 27 kr 11 c Med digitalt verktøy kan vi legge inn funksjonsuttrykket Px ( ) = 465 / xog linja y = 30 og undersøke hvor de skjærer hverandre. Det skjer for x = 15,5. Du må altså trene 16 ganger i måneden for at prisen per treningsøkt skal komme under 30 kr. Vi løser likningen ved regning: 465 = 30 x 465 = 30x 30x = x = 30 x = 15,5 Du må trene minst 16 ganger per måned for at prisen per trening skal bli mindre enn 30 kr Vi legger inn begge funksjonene og finner skjæringspunktene mellom grafene. Vi finner at grafene skjærer hverandre i og. (1, 5) (3, 9) 3.42 a Vi ser av grafen at planten var 50 mm høy da den ble plantet ut. b Vekstfarten er ca. 10 mm per dag når x = 3, og ca. 7 mm per dag når x =12. c Legger vi inn funksjonsuttrykket i et digitalt verktøy og ber om stigningstallet i de to punktene, får vi 9,9 for x = 3 og 7,2 for x = 12. d Det ser ut til at kurven er brattest ved x = a Da teen ble fylt på termosen, var x = 0. Altså setter vi inn dette i funksjonsuttrykket. 0 t (0) = 80 0,88 = 80. Teen holdt 80 C da den ble fylt på termosen. 2 4 b Vi kan sette inn for x = 2 og x = 4. t (2) = 0, og t (4) = 80 0, Temperaturen er altså 62 C etter 2 timer og 48 C etter 4 timer. Aschehoug Undervisning Side 18 av 19

19 c Vårt digitale verktøy oppgir vekstfarten etter to timer til 7,9 C/time, og etter fire timer til 6,1 C/time. Svarene forteller at temperaturen synker i begge tidspunktene, men saktere jo lengre tid som går Vi følger framgangsmåten i underkapittel 3.8, side 121, for å lage en verditabell for de ti årene. Vi lager en graf på grunnlag av verditabellen. Den vil se omtrent slik ut (med regneark vil utseendet bli annerledes): 3.45 Vi legger inn punktene i regnearket og lager en utjevnet graf på grunnlag av dem. Vi ser at den likner ganske mye på grafen i figuren på side 86 i læreboka, med samme null-, topp- og bunnpunkter. Hvis den likevel blir litt forskjellig, kan det være fordi forskjellige digitale verktøy har forskjellige måter å utjevne grafen på. Temperatur i grader Celsius 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 Aschehoug Undervisning 0 2-0, Side 19 24av ,5