Funksjoner. Innhold. Funksjoner S2

Transkript

1 Funksjoner S Funksjoner Innhold Kompetansemål Funksjoner, S... 3 Innledning Funksjoner Derivasjon... 6 Hvordan finne den deriverte grafisk?... 7 Derivasjonsregler... 8 Den deriverte av en konstant funksjon... 0 Den deriverte av en potensfunksjon... Den deriverte av summer og differenser av funksjoner og av en funksjon multiplisert med en konstant... Den deriverte av et produkt av to funksjoner... 3 Den deriverte av en kvotient (brøk)... 4 Kjerneregelen... 5 Den deriverte av eksponentialfunksjonen... 7 Den deriverte av logaritmefunksjonen... 0 Likningen for tangenten til en graf i et punkt....3 Funksjonsdrøfting... Drøfting av polynomfunksjoner... Ekstremalpunkter... 7 Terrassepunkt... 7 Stasjonære punkter... 8 Krumningsforhold og vendepunkter... 9 Toppunkt eller bunnpunkt? Dobbeltderiverttesten! Vendetangent... 3 Drøfting av logaritmefunksjoner Drøfting av en sammensatt funksjon Vekstkurven til et tre Økonomiske optimeringsproblemer Kostnadsfunksjoner Grensekostnad... 40

2 Funksjoner S Inntektsfunksjoner... 4 Overskuddsfunksjonen viser optimal produksjon Grenseinntekt Grenseinntekt og grensekostnad viser størst overskudd Etterspørselsfunksjoner Hvilken pris gir størst overskudd? Enhetskostnaden Etterspørselregulering Videre drift Modellering... 5 Eksponentialfunksjon som modell... 5 Logistisk vekst Logistisk vekst generelt Arealet under grafer Samlet lønn Samlet strømforbruk Bildeliste... 59

3 Funksjoner S Kompetansemål Funksjoner, S Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne derivere polynomfunksjoner, potensfunksjoner, eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner, og summer, differanser, produkter og kvotienter av disse funksjonene, og bruke kjerneregelen til å derivere sammensatte funksjoner drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i praktiske sammenhenger ved å bruke førstederiverte og andrederiverte tolke grunnleggende egenskaper til en funksjon ved hjelp av grafen løse økonomiske optimeringsproblemer i forbindelse med inntekts-, kostnads- og etterspørselsfunksjoner, og regne ut og bruke grensekostnader og grenseinntekter i enkle modeller modellere eksponentiell og logistisk vekst ved å bruke eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner beregne arealet under grafer ved hjelp av digitale hjelpemidler og tolke det i praktiske situasjoner 3

4 Funksjoner S Innledning Kjenner du igjen «funksjonsmaskinene» fra S? Når vi putter en verdi inn i en av maskinene, kommer en annen verdi ut. Prøv å finne ut hva maskinene gjør med verdiene vi putter inn. Finner du ut hvordan hver av maskinene er «programmert»? Funksjonskapittelet handler om hvordan en størrelse varierer avhengig av en annen. Vi skal se på hvordan sammenhenger mellom størrelser kan beskrives ved hjelp av funksjoner. Funksjoner brukes i mange sammenhenger for å lage matematiske modeller av virkeligheten. I dette kapittelet skal vi se på ulike typer funksjoner med forskjellige egenskaper. Kapittelet bygger på funksjonskapittelet fra T og S. Du skal lære å derivere ulike typer funksjoner, og du skal lære mer om hva den førstederiverte og den andrederiverte forteller om forløpet til en funksjon. 4

5 Funksjoner S. Funksjoner I T forklarte vi funksjonsbegrepet ved hjelp av en funksjon som viste sammenhengen mellom strekningen en jogger hadde tilbakelagt, og hvor lenge hun hadde løpt. Vi forutsatte at hun løp med jevn fart på 60 m/min. Vi fant at sammenhengen kunne beskrives ved funksjonen S gitt ved 60t D 0, 00 S t der t stod for antall minutter og som var tilbakelagt etter t minutter. S St for strekningen i meter En funksjon kan for eksempel vise sammenheng mellom strekning og tid. Generelt sier vi at f er en funksjon av dersom hver verdi av gir nøyaktig en verdi av f. Funksjonen S ovenfor er representert ved en formel eller et funksjonsuttrykk. Vi kan også la funksjoner være representert ved verditabeller og/eller ved grafer. I tillegg kan en funksjon være representert ved en verbal beskrivelse, dvs. med ord som beskriver sammenhengen mellom størrelsene som inngår i funksjonsuttrykket. 5

6 Funksjoner S. Derivasjon I T og S arbeidet vi med den momentane vekstfarten, eller den deriverte, til en funksjon. Vi starter med litt repetisjon. Vi ønsker å finne den momentane vekstfarten til funksjonen f i punktet Vi gir et tillegg A, f., og får et nytt punkt på grafen B, f. Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene A og B. Vi regner ut stigningstallet til denne linjen: y f f f f a Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittlig vekstfart fra A til B. Vi lar nå punktet B nærme seg punktet A. Vi lar altså gå mot null. Da vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til kurven i A. Stigningstallet til denne tangenten forteller hvor fort grafen vokser akkurat i punktet A. Vi kaller dette stigningstallet for den momentane veksten eller den deriverte av f i punktet A. Vi skriver f og leser «f derivert av». Legg merke til tegnet for den deriverte, en liten apostrof på f, f. Den deriverte Vi ser på grafen ovenfor. f er den verdien y f f nærmer seg mot når går mot null. y f f f lim lim 0 0 Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet. Den deriverte i et punkt og den momentane vekstfarten i punktet er det samme. 6

7 Funksjoner S Fra denne definisjonen av den deriverte i et punkt til hver tilordner verdien Derfor kalles denne for den deriverte funksjonen., f kan vi definere en ny funksjon f der vi f. På denne måten har funksjonen f generert en ny funksjon f. Hvordan finne den deriverte grafisk? Funksjonen f er gitt ved Hvordan kan vi finne Løsning f 3. f når 0,5, grafisk? Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet. Vi kan derfor finne f 0,5 grafisk ved å tegne grafen til f og tangenten til grafen i punktet der 0,5. Vi ser at tangenten har stigningstallet 3. Den deriverte av f når 0,5, er altså 3. Vi skriver f 0,5 3 7

8 Funksjoner S Derivasjonsregler I S lærte du hvordan du kunne finne den deriverte funksjonen til polynomfunksjoner ut fra definisjonen av den deriverte. Ved å bruke definisjonen på noen generelle funksjoner kan vi komme fram til generelle derivasjonsregler, eller formler, for hvordan vi kan finne de deriverte funksjonene. Det er disse formlene vi bruker når vi deriverer funksjoner. I kompetansemålene for S står det: Eleven skal kunne derivere polynomfunksjoner, potensfunksjoner, eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner, og summer, differanser, produkter og kvotienter av disse funksjonene, og bruke kjerneregelen til å derivere sammensatte funksjoner. Du skal altså kunne bruke formlene. Ved hjelp av definisjonen til den deriverte kan alle disse derivasjonsreglene bevises. (Prøv gjerne selv!) Ved CAS i GeoGebra kan du også derivere alle uttrykk. Det gjør du enten ved å klikke på «Derivertknappen» på verktøylinjen, som det er gjort i linje nedenfor, eller ved å skrive kommandoen som vist i linje 3. 8

9 Funksjoner S Nedenfor har vi laget en oversikt over de derivasjonsreglene du må huske, og som du må kunne bruke. Etter oversikten følger eksempler og/eller forklaringer på hvordan reglene brukes. Definisjon Konstant funksjon f f 0 f lim f k f 0 r r Potensfunksjon f fr Funksjon multiplisert med konstant f k g fk g Summer og differanser f g h fg h Produkt f u v fuvu v Kvotienter (Brøk) Eksponentialfunksjoner u f v f e f e f a ln f v u v u v f a a Logaritmefunksjonen f ln f Kjerneregelen Sammensatte funksjoner gu fgu u f 9

10 Funksjoner S Den deriverte av en konstant funksjon Konstant funksjon f k f 0 Eksempel y 3 y 0 Eksempel y y 0 Eksempel 3 y 3 y 0 Grafen til en konstant funksjon er en vannrett linje. En slik linje har stigning lik null, derfor er den deriverte av en konstant funksjon lik null. 0

11 Funksjoner S Den deriverte av en potensfunksjon r r Potensfunksjon f fr I algebrakapittelet så vi at når a er et reelt tall forskjellig fra 0, og n et naturlig tall, er a def n m n n m n når a er et positivt reelt tall, n et naturlig tall og m et helt tall, er a a a n a m Dette gjør at regelen for derivasjon av potensuttrykk kan brukes i svært mange tilfeller. Eksempel f f Eksempel f 3 f Eksempel 3 f 5 f 5 4 Eksempel 4 f f f 0 Eksempel 5 f f f f Eksempel 6 f f f Resultatene som er markert med rødt, bør du lære deg utenat!

12 Funksjoner S Den deriverte av summer og differenser av funksjoner og av en funksjon multiplisert med en konstant Summer og differanser f g h f g h Funksjon multiplisert med konstant f k g fk g Vi deriverer summer av og differenser mellom funksjoner ved å derivere ledd for ledd. Legg merke til at vi her også får bruk for regelen for derivasjon av en funksjon multiplisert med en konstant. Eksempel f 3 f 0 f Eksempel f 5 3 f 3 5 f 3 0

13 Funksjoner S Den deriverte av et produkt av to funksjoner Produkt f u v f u v f u v u v fuv u v f, u og v er funksjoner av og skal deriveres med hensyn på. I siste linje i tabellen ovenfor har vi brukt en litt forenklet skrivemåte. Eksempel 3 3 f f f f f Eksempel f f f f f 3 f I det første eksemplet ovenfor kunne vi også multiplisert ut parentesene før vi 3

14 Funksjoner S Den deriverte av en kvotient (brøk) Kvotienter (Brøk) f u f v u v v u v u v f uv uv f v f, u og v er funksjoner av og skal deriveres med hensyn på. I siste linje i tabellen ovenfor har vi brukt en litt forenklet skrivemåte. Den deriverte av en brøk blir en ny brøk der nevneren er kvadratet av den opprinnelige nevneren. Telleren likner på uttrykket til den deriverte av et produkt, men med en klar forskjell. Det står minustegn mellom leddene. Det er derfor viktig med riktig rekkefølge av leddene i teller. Begynn med å derivere telleren. Eksempel f f f f f Eksempel f f f f 4

15 Funksjoner S Kjerneregelen Mange funksjoner er mer kompliserte enn dem vi har studert til nå, men ved nærmere ettersyn viser det seg ofte at de er satt sammen av enklere funksjoner. f 3 For eksempel kan funksjonen f gitt ved 4 oppfattes som en sammensatt funksjon. Først skal en gitt - verdi opphøyes i tredje potens og legges sammen med tallet to. Vi kaller denne funksjonen for u og sier at 3 Da er for eksempel 3 u u 3 er kjernefunksjonen. Andre trinn er at det resultatet som u gir, skal opphøyes i fjerde potens. Vi oppfatter også dette som en egen funksjon og kaller denne funksjonen for g. Men denne funksjonen er ikke en funksjon av, 4 den er en funksjon av u, og vi får at gu u Da er 4 g Den opprinnelige funksjonen f er da gitt ved f gu Poenget med å skrive 4 u g u u og f g u g g f på denne måten er at både u gitt ved u er funksjoner som vi kan derivere. 3 u 3 g u u 4 g u 4u 3 og g gitt ved Funksjonen u er derivert med hensyn på, og funksjonen g er derivert med hensyn på u. 5

16 Funksjoner S Det kan bevises at følgende regel gjelder for derivasjon av sammensatte funksjoner: Kjerneregelen Sammensatte funksjoner f g u f g u u Eksempel Eksempel 3 f 4 f 4 3 g u u, u g( u) 4 u, u3 3 f g u u 4 f u u 3 f 4u u f f g u u, u g( u), u u f g u u f u u f f f u u 6

17 Funksjoner S Den deriverte av eksponentialfunksjonen En eksponentialfunksjon er en funksjon gitt på formen f k a hvor variabelen opptrer som eksponent i en potens. Grunntallet i eksponenten, a, er en konstant større enn null, og k er en konstant. Det er et tall som peker seg spesielt ut som grunntall i eksponentialfunksjonen. Det er tallet e, Leonhard Euler ( ) var den første som brukte notasjonen e for tallet som er tilnærmet lik,788. Noen mener at e står for «eksponentiell» mens andre mener at Euler brukte e siden det er den andre vokalen i alfabetet, og siden han allerede brukte a i noen av sine andre matematiske arbeider. Til høyre ser du grafen til funksjonen f gitt ved f e. A og B er to vilkårlige punkter på grafen, og linjene a og b er tangenter til grafen i disse punktene. Ser du at stigningstallet til tangentene i punktene A og B har samme verdi som funksjonsverdiene i A og B? Du kan selv tegne grafen i GeoGebra. Ved å dra punktene A og B langs grafen vil du se at dette gjelder i alle de punktene du kan undersøke. Faktisk gjelder det helt generelt, uten at vi skal føre bevis for det her. 7

18 Funksjoner S Eksponentialfunksjonen f gitt ved f e er lik sin egen deriverte. Eksponentialfunksjoner f e f e Dette gjør tallet e til et av de viktigste tallene i matematikken. Husk at tallet e også er grunntallet til den naturlige logaritmen.. Legg også merke til at når f ke, hvor k er en konstant, så er f ke Hva når eksponenten er en funksjon av? Når eksponenten er en funksjon av, bruker vi kjerneregelen Eksempel 4 e u u guu u 4 4 4e f g u e u 4 g u e u4 f f e f 8

19 Funksjoner S Hva når grunntallet ikke er e? Definisjonen av naturlig logaritme sier at ethvert tall a 0, kan skrives som e opphøyd i logaritmen lna til a, a e. Det gir at lna lna a e e Vi bruker så kjerneregelen f a e u lna u g u e u lna u g u e ulna f g u u f e u lna f e lna lna f e lna f a lna f a a Eksponentialfunksjoner f a a 0 ln Eksempel f f 5 5 ln5 Eksempel f 3 4 u g u 3 u 4 u g u 3 ln3 u 4 u 3 ln ln3 f g u u f f 9

20 Funksjoner S Den deriverte av logaritmefunksjonen Logaritmefunksjonen f ln 0 f Bevis Definisjonen på naturlig logaritme sier at ethvert positivt tall,, kan skrives som e opphøyd i logaritmen til. Det gir at e ln Når to funksjoner er like, så er også deres deriverte funksjoner like. Vi deriverer venstre og høyre side hver for seg. Venstre side: ln u u ln Høyre side: e e u e u e ln ln Men da er: ln ln Eksempel ln f g u u u ln gu u u f g u u 4 f u 0

21 Funksjoner S Likningen for tangenten til en graf i et punkt 3 En funksjon f er gitt ved f likningen for tangenten til grafen når. 3. Vi vil finne Tangenten går gjennom punktet Vi finner først f, f. 3 f Vi vet at stigningstallet til tangenten er lik den deriverte i tangeringspunktet. Vi finner derfor f f 9 4 Vi skal finne tangenten når. Vi regner ut f f Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet,0 og har stigningstall 5. Vi kan da bruke ettpunktsformelen og finne likningen for tangenten y y a y 0 5 y55

22 Funksjoner S.3 Funksjonsdrøfting Å finne ut hvor grafen til en funksjon stiger og hvor grafen synker, kalles for å drøfte funksjonens monotoniegenskaper. Å drøfte en funksjon betyr gjerne at vi skal undersøke monotoniegenskapene og bestemme topp- og bunnpunkter på grafen. Vi kan også bli bedt om å bestemme nullpunkter, definisjonsmengde, krumming og vendepunkt (se avsnittet om krumningsforhold og vendepunkt). Drøfting av polynomfunksjoner Utfordring! 3 Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved f. 3 Tegn deretter tangenter til grafen for noen - verdier mellom og 3. Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall, og hvorvidt grafen stiger, synker eller har topp-/bunnpunkter. Du vil oppdage at Stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger. Stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker. Stigningstallet til tangenten er null i topp- og bunnpunkt.

23 Funksjoner S Siden tangentens stigningstall er lik verdien av den deriverte funksjonen, betyr dette at: Når grafen stiger, er den deriverte positiv. Når grafen synker, er den deriverte negativ. Når grafen har topp- eller bunnpunkt, er den deriverte lik null. Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av den synker, og når den har topp- eller bunnpunkter ved å se på fortegnet til den deriverte. Vi viser dette gjennom noen eksempler. Eksempel Finn ved regning når grafen til funksjonen f gitt ved Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen. Løsning Vi deriverer f Vi setter så f 0 f 4 3 f 4 f f 4 3 vokser, og når den avtar. Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige - verdier i hvert av de aktuelle intervallene, negativt. f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f og, for å se om uttrykket er positivt eller 3

24 Funksjoner S Vi ser av fortegnslinjen at grafen til f stiger når,, og synker når,. Grafen har et toppunkt når. Toppunktet er f 43.,, f fordi Vi sier at funksjonen har maksimalpunkt og maksimalverdi f. VI tegner grafen i GeoGebra, og ser at det vi har funnet ut ved regning er riktig. 4

25 Funksjoner S Eksempel f. 3 Funksjonen f er gitt ved 3 Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Løsning Vi deriverer f Vi setter så f 0 3 f 3 f 3 f 3 f eller Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene,,, eller negativt. f 4 0 f f og, for å se om uttrykket er positivt Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f Vi ser av fortegnslinjen at 5

26 Funksjoner S grafen stiger for,, grafen synker for, Grafen har altså et toppunkt når og et bunnpunkt når f f ,, 6 Toppunktet er f Bunnpunktet er 7, f, 3 VI tegner grafen i GeoGebra, og ser at det vi har funnet ut ved regning er riktig. 6

27 Funksjoner S Ekstremalpunkter Maksimalpunkter og minimalpunkter kaller vi ekstremalpunkter. Andrekoordinaten til et toppunkt er en maksimalverdi eller maksimumsverdi til funksjonen, og andrekoordinaten til et bunnpunkt er en minimalverdi eller minimumsverdi. Noen funksjoner kan ha flere topp- eller bunnpunkter. Derfor er maksimal- og minimalverdiene ofte bare lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet. Terrassepunkt Vi skal ved regning finne når funksjonen f gitt ved 3 Videre skal vi finne eventuelle ekstremalpunkter. Løsning Vi deriverer f 3 f Vi setter så f 0 f Vi får bare en løsning. 0 f Vi tar stikkprøver i hvert av de to intervallene,0 og 0, vokser, og når den avtar. f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f Denne fortegnslinjen er spesiell siden den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet. Grafen har verken topp- eller bunnpunkt for. Men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt. 7

28 Funksjoner S Stasjonære punkter Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. Hvis den deriverte skifter fortegn, er det stasjonære punktet et topp- eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn, er det stasjonære punktet et terrassepunkt. 8

29 Funksjoner S Krumningsforhold og vendepunkter Vi fortsetter med funksjonen f fra Eksempel gitt ved 3 f 3 Vi deriverer funksjonen to ganger. Da får vi den andrederiverte eller den dobbeltderiverte Legg merke til skrivemåten, nå med to apostrofer. f. 3 3 f f f Vi setter opp fortegnslinjen til f Det viser seg at grafen vender sin hule side opp når f 0 grafen vender sin hule side ned når f 0 9

30 Funksjoner S grafen har et vendepunkt når f 0 At grafen vender sin hule side opp, f 0 selve funksjonen vokser mer og mer eller avtar mindre og mindre. At grafen vender sin hule side ned, f 0 selve funksjonen avtar mer og mer eller vokser mindre og mindre., betyr at den deriverte funksjonen vokser. Det vil si at, betyr at den deriverte funksjonen avtar. Det vil si at Et punkt på grafen der grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles for et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles for en vendetangent. Den deriverte har enten sin største verdi eller sin minste verdi i vendepunktet. Det vil si at funksjonen vokser raskest eller avtar raskest i vendepunktet. Merk at et punkt ikke trenger være et vendepunkt selv om den dobbeltderiverte er null i punktet. Den dobbeltderiverte må også skifte fortegn! Toppunkt eller bunnpunkt? Dobbeltderiverttesten! Vi har brukt fortegnslinje til den deriverte for å avgjøre om et ekstremalpunkt er maksimalpunkt eller minimalpunkt. Den dobbeltderiverte gir oss en ny metode for å avgjøre dette Gitt funksjonen f definert i CASvinduet. Siden f 0 og f er negativ, har grafen «hul side ned» og er et maksimalpunkt. Siden f 0 og f er positiv, har grafen «hul side opp» og er et minimalpunkt. 3 Grafen har toppunkt, 6 7 Grafen har bunnpunkt, 3 30

31 Funksjoner S Vendetangent I oppgaver blir du ofte bedt om å finne likningen for en vendetangent. En vendetangent er en tangent til funksjonen i et vendepunkt. f. 3 Vi vil finne likningen for vendetangenten til funksjonen f gitt ved 3 Vi deriverer først funksjonen to ganger. Vi setter så den dobbeltderiverte lik null 3 3 f f f f 0 0 Vi har f 0 og f. Det viser at vi har vendepunkt for. 3 f 3 Det betyr at koordinatene til vendepunktet er, Vi regner så ut stigningstallet til tangenten i vendepunktet f 9 4 Nå vet vi at vendetangenten går gjennom punktet, og har stigningstallet 9 4 3

32 Funksjoner S Vi kan da bruke ettpunktsformelen og finne likningen for tangenten: y y a 9 y y y y 4 4 Til slutt tar vi med en oversikt over fortegnslinjen til selve funksjonsuttrykket sammen med fortegnslinjene til den første - og andrederiverte. På grunnlag av fortegnslinjene er det mulig å tegne en skisse av grafen. Motsatt kan vi ut fra grafen tegne de tre fortegnslinjene. Ved hjelp av grafen kan vi altså tolke grunnleggende egenskaper ved funksjonen. 3

33 Funksjoner S Drøfting av logaritmefunksjoner Som eksempel skal vi drøfte funksjonen f gitt ved f ln. Definisjonsmengde lna Ifølge definisjonen til den naturlige logaritmen, a e, er den naturlige logaritmen til et tall, a, det tallet du må opphøye tallet e i lna for å få tallet a. Siden e alltid er positivt, må også a alltid være positivt. Det vil si at den naturlige logaritmen bare er definert for positive tall. Vår funksjon f gitt ved f ln er altså bare definert for Husk at den naturlige logaritmen bare er definert for positive tall. 0. Vi tegner fortegnslinjen for. Funksjonen er definert for,, Nullpunkter f har nullpunktene f ln 0 e e ln 0,0 og,0. 0 Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter For å undersøke monotoniegenskaper og finne eventuelle topp- og bunnpunkter ser vi på fortegnet til f. Når vi skal derivere f, må vi bruke kjerneregelen. 33

34 Funksjoner S g ln f u u u ln, gu u u f g u u f u u f f Vi tegner så fortegnslinjen for f Av fortegnslinjen til f kan vi lese at grafen synker i intervallet, og stiger i intervallet,. Vi får ikke topp- eller bunnpunkter. Krumningsforhold og vendepunkter For å undersøke krumningsforhold og finne eventuelle vendepunkter ser vi på fortegnet til f f. Når vi skal finne den andrederiverte, bruker vi regelen for den deriverte av en kvotient (brøk): f Nevneren i denne brøken er positiv i hele definisjonsområdet. Faktoren i telleren er også alltid positiv, og dermed er telleren alltid negativ. Det betyr at den dobbeltderiverte alltid er negativ, og grafen vil derfor alltid vende sin hule side ned. Grafen har ikke noen vendepunkt. 34

35 Funksjoner S Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å lage en skisse av grafen for hånd. (Her har vi tegnet grafen i GeoGebra.) 35

36 Funksjoner S Drøfting av en sammensatt funksjon Vi skal drøfte den generelle funksjonen f gitt ved k 0, f a e D f hvor a og k er tall som ikke er negative. Vi skal parallelt drøfte spesialtilfellet hvor a 5 og Vi drøfter funksjonene i CAS. Linje viser at både f og g har 0 som eneste nullpunkt. Kan du se hvorfor? Linjene 3 og 4 viser at f har den positive verdien som k maksimalpunkt. Den deriverte er null, og den dobbeltderiverte er negativ. Siden den deriverte bare har ett nullpunkt, kan vi også si at grafen stiger når og grafen synker når k. k Linje 6 sammen med linje 4 og 7 viser at f har vendepunkt for. k Uttrykket i linje 4 er alltid negativt og uttrykket i linje 7 er alltid positivt. Grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp for. k k, g 5 e. Linje 5 gir maksimalverdien, og linje 8 gir andrekoordinaten til vendepunktet. 36

37 Funksjoner S Sjekk med verdiene for funksjonen g og se at verdiene stemmer med de generelle uttrykkene. I GeoGebra kan vi lage gliderne a og k hvor for eksempel a kan variere mellom 0 og og k for eksempel mellom 0 og 0. Skriv så inn «f()=funksjon[a** e ^(-k*), 0, inf]» på skrivelinjen Skriv inn punktene «A = (/k, f(/k))» og «B = (/k, f(/k))» Varier gliderne a og k. Kan det stemme at punktet A alltid er toppunktet og punktet B alltid er vendepunktet? Stemmer det at f alltid har 0 som eneste nullpunkt? Kan du tenke deg noen fenomener hvor funksjonen f kan være modell for utviklingen? Hva med interessen for Facebook? Hvor på kurven er vi i tilfelle nå? 37

38 Funksjoner S Vekstkurven til et tre Jacob plantet et epletre i 006. Treet var meter høyt da han plantet det. Vi bruker funksjonen h gitt ved 3 0,003 0,09 0,0 h som en modell for å beregne treets høyde de neste 0 årene. er antall år etter planting, og h gir treets høyde i meter. Vi ønsker grafisk å finne ut hvilket år treet får sin maksimale vekst, og hvor stor veksten da er. An apple a day Epler er en god kilde til kostfiber. I tillegg finner vi, som i de fleste frukter, noe kalium. Epleskallet er særlig rikt på fiber og antioksidanter. Grafen til h viser treets høyde år etter at det er plantet. Grafen til h viser hvor fort treet vokser. Vi ser at grafen til h er brattest etter ca. 0 år. Da må treet ha sin største vekst. Vi ser dette enda tydeligere ved å studere grafen til h. Den deriverte er jo nettopp vekstfarten. Vi ser at vekstfarten har en maksimalverdi etter 0 år. Treet har sin maksimale vekst når h har sin største verdi. Vi ser grafisk at det er etter 0 år, og at den årlige veksten er da 0,9 meter pr år. Vi ser også grafisk at h er null, endrer seg fra positiv til negativ, etter 0 år. Det bekrefter at grafen til h har et toppunkt her. Alle tre kurvene kan altså fortelle oss når treet får sin maksimale vekst. Når den dobbeltderiverte er positiv, øker den deriverte, og selve vekstkurven blir brattere og brattere. Når den dobbeltderiverte er negativ, avtar den deriverte, og selve vekstkurven flater ut. 38

39 Funksjoner S.4 Økonomiske optimeringsproblemer Klasse 3STB vurderer å starte elevbedrift. Det er Trym og Veronika som har fått ideen til et enkelt treningsapparat som tar liten plass og har lav vekt og derfor lett kan flyttes fra sted til sted. Elevene kaller treningsapparatet Multiform. Multiform består av åtte forskjellige komponenter. Disse komponentene kan kjøpes inn fra andre bedrifter. Klassens oppgave blir da å sette sammen komponentene og selge produktet. Før klassen går i gang med produksjonen, må de nøye vurdere produksjonskostnadene. De må også vurdere mulighetene for salgsinntekter. Overskudd eller underskudd avhenger av om salgsinntektene er større eller mindre enn produksjonskostnadene. Etterspørselen, eller salget, avhenger ofte av prisen. Blir prisen for høy, kjøper folk heller andre produkter på markedet. Normalt selges det mer hvis prisen er lav, men lav pris kan også gi inntrykk av dårlig kvalitet og dermed føre til at salget går dårlig. Elevene er interessert i størst mulig overskudd. De ønsker derfor på forhånd å beregne hvor mange enheter det er optimalt å produsere for å få høyest mulige inntekter til lavest mulige kostnader. Hvilken pris bør settes på Multiform for å oppnå størst mulig overskudd? Elevene vil prøve å lage funksjoner som viser hvordan kostnader, inntekter og overskudd avhenger av antall produserte enheter og også av salgsprisen som settes på produktet. Kostnadsfunksjoner Klasse 3STB lar være antall produserte enheter per uke. De leier et produksjonslokale til 000 kroner per uke. Prisen inkluderer utgifter til lys og varme. Denne kostnaden er ikke avhengig av hvor mange enheter som produseres og kan derfor være et konstantledd i en kostnadsfunksjon. For hvert treningsapparat som produseres, går det med en bestemt mengde komponenter, som kjøpes inn til enhetspriser. Det kreves også et visst antall arbeidstimer for montering av hver enhet. Klassen beregner disse utgiftene til 50 kroner per enhet, og i en kostnadsfunksjon gir dette førstegradsleddet 50. Klassen regner med at det enkelte uker blir nødvendig med ekstra høy produksjon. Da kan det bli nødvendig med overtid og ekstra høy betaling for arbeidet. Disse utgiftene er lave ved liten produksjon og store ved høy produksjon. Veronika foreslår derfor at kostnadsfunksjonen også skal inneholde leddet 3. 39

40 Funksjoner S Alle er enige om at de maksimalt vil klare å produsere og selge 50 treningsapparater per uke. Det betyr at definisjonsområdet til kostnadsfunksjonen vil være fra og med 0 til og med 50. Hvis klassen tar utgangspunkt i dette, vil kostnadene per uke ved produksjon av treningsapparater kunne beskrives med polynomfunksjonen K gitt ved ,50 K D K Elevene er enige om at produksjonskostnadene foreløpig er meget usikre. De er derfor innstilt på å justere modellen når de ser de virkelige utgiftene. Grensekostnad Elevene tegner grafen til kostnadsfunksjonen. De ser at grafen blir brattere og brattere når produksjonen øker. Stigningstallet til tangenten i et punkt er et mål for hvor mye grafen stiger i punktet. Stigningstallet til tangenten når 00 er 750. Kostnadsfunksjonen krummer svært lite over et intervall på én enhet og faller derfor tilnærmet sammen med tangenten i dette lille intervallet. Det betyr at når antall produserte enheter øker fra 00 til 0, øker kostnadene med ca. 750 kroner. Det koster altså ca. 750 kroner å produsere én ekstra enhet når den ukentlige produksjonen er 00 enheter. Vi sier at grensekostnaden ved produksjon av 00 enheter er 750 kroner. Tilsvarende viser stigningstallet til tangenten når 0 at det bare koster 70 kroner å produsere én ekstra enhet når den ukentlige produksjonen er 0 enheter. 40

41 Funksjoner S Vi sier at grensekostnaden ved produksjon av 0 enheter er 70 kroner. For en bedrift er det vesentlig å vite hva det koster å øke produksjonen. Det er jo ikke særlig lurt å øke produksjonen hvis kostnadene for en ekstra enhet overstiger salgsprisen. Vi har tidligere sett at stigningstallet til tangenten er lik den deriverte i tangeringspunktet. Vi deriverer kostnadsfunksjonen: , K D K K Vi setter først 0 og så 00 og får K K Vi kan altså ved hjelp av den deriverte funksjonen til kostnadsfunksjonen regne oss fram til grensekostnaden. Grensekostnaden er kostnaden ved å produsere én ekstra enhet av en vare ved en gitt produksjon. Ved regning kan vi finne grensekostnaden ved å derivere kostnadsfunksjonen. 4

42 Funksjoner S Inntektsfunksjoner Klassen vurderer hvilken pris de skal sette på Multiform. Elevene er enige om at 800 kroner er en passe pris på produktet. Dette vil gi en inntekt på 800 ved salg av enheter. Trym er litt skeptisk og sier: «For å oppnå et stort salg er vi avhengige av å selge større partier til sportsbutikker, som selger videre for oss. Da må vi nok regne med en lavere pris enn om vi selger alt selv.» Klassen er helt enige med Trym, og de kommer fram til inntektsfunksjon I gitt ved 800 I som de anser som realistisk. Elevene tegner grafen til I i samme koordinatsystem som grafen til K. Hva forteller denne grafiske framstillingen? Elevene i 3STB leser følgende ut av den grafiske framstillingen: Ved en produksjon på 0 eller 0 enheter er kostnadene og inntektene like store. Overskuddet er da lik null. Når det produseres færre enn 0 enheter eller flere enn 0 enheter, er kostnadene større enn inntektene, og bedriften vil gå med tap. Når det produseres mellom 0 og 0 enheter, er inntektene større enn kostnadene, og bedriften vil gå med overskudd. Overskuddet er størst ved en produksjon et sted ca. midt mellom 0 og 0 enheter. Der ser det ut som avstanden mellom grafene er størst. 4

43 Funksjoner S Overskuddsfunksjonen viser optimal produksjon Overskuddet O er forskjellen mellom inntekter og kostnader. OI K Klassen tegner grafen til overskuddsfunksjonen O i samme koordinatsystem som grafene til K og I. Toppunktet til overskuddsfunksjonen viser at overskuddet er størst ved en produksjon på 65 enheter. Da er overskuddet på 0 5 kroner per uke. Dette kan vi også finne ved regning. (Ikke bruk avgrensede funksjoner når du regner ved CAS i GeoGebra.) Overskuddsfunksjonen er en andregradsfunksjon. Andregradsleddet er negativt. Grafen til O har da et toppunkt. En produksjon på 65 treningsapparater gir størst mulig overskudd: Det maksimale overskuddet blir på 0 5 kroner per uke. 43

44 Funksjoner S Grenseinntekt På samme måte som grensekostnaden K viser hva det koster å produsere én ekstra enhet av en vare, viser grenseinntekten I hvor stor inntekt én ekstra produsert enhet gir. Grenseinntekt og grensekostnad viser størst overskudd Vi så ovenfor at vi fikk maksimalt overskudd når den deriverte til overskuddsfunksjonen var lik null. Da hadde grafen et toppunkt. Men vi har generelt at OI K Det betyr at vi får maksimalt overskudd når Det vil si når 0 O I K I K Overskuddet er størst når grensekostnaden er like stor som grenseinntekten. Vi sjekker ut med våre funksjoner K I Vi får samme resultat som ovenfor. Overskuddet er størst når produksjonen er på 65 enheter per uke. O Det maksimale overskuddet blir på 0 5 kroner per uke. 44

45 Funksjoner S Etterspørselsfunksjoner Klasse 3STB kom fram til inntektsfunksjonen I gitt ved I 800. Inntekten ved salg er alltid lik prisen per enhet multiplisert med antall solgte enheter. Hvis vi forutsetter at alle produserte enheter blir solgt, er I enheter, og p er prisen per enhet. Ved å faktorisere inntektsfunksjonen får vi at I Det betyr at prisen kan skrives som en funksjon av antall enheter 800 D 0, 50 p p, hvor er antall produserte og solgte Antall enheter varierer mellom 0 og 50. Prisfunksjonen er lineær med negativt stigningstall. p p Det betyr at prisen varierer mellom 800 og 500 kroner, 500,800 p p V. Siden prisen er en funksjon av antall enheter, er motsatt antall enheter en funksjon av prisen: p p p 400 0,5p Her er antall produserte og solgte enheter. Siden vi forutsetter at alle enheter selges, kan vi kalle antall enheter for etterspørselen, e.etterspørselen som funksjon av prisen er da Dette kalles for etterspørselsfunksjonen ,5 500, 800 e p p D e 45

46 Funksjoner S Hvilken pris gir størst overskudd? Vi vet at inntekten ved salg alltid er lik prisen per enhet multiplisert med antall solgte enheter. Når vi forutsetter at alle enheter selges, kan vi kalle antall enheter for etterspørselen. Når så etterspørselen som funksjon av prisen er ep 400 0,5 funksjon av prisen. Dette kan gjøres «for hånd» eller i CAS p, kan inntekten skrives som p400 0,5p 400 0,5 I p p e p I p I p p p Legg merke til at CAS ikke godtar Ip som navn på inntektsfunksjonen som funksjon av pris. Det er fordi navnet I allerede er brukt. Vi får derfor at Ip A p Kostnadene kan også beskrives som en funksjon av prisen. I CAS settes Kp til Bp Overskuddet er forskjellen mellom inntekter og kostnader. 46

47 Funksjoner S Regningen i CAS viser at en pris på 670 kroner per enhet gir størst mulig overskudd. Dobbeltderiverttesten viser at vi har et maksimalpunkt. Det maksimale overskuddet er på 0 5 kroner per uke. Etterspørselen ved denne prisen er 65 enheter. Dette er det samme antall enheter som vi tidligere har funnet at ga størst overskudd. Vi kan også få det samme resultatet grafisk 47

48 Funksjoner S Enhetskostnaden Kostnaden ved å produsere én enhet kalles enhetskostnaden. Vi finner enhetskostnaden ved å dividere totalkostnaden på antall enheter som produseres ,50 K K D K E Vi finner så grensekostnaden , K D K K Vi tegner grafen til enhetskostnadsfunksjonen E og grensekostnadsfunksjonen K i samme koordinatsystem. I bunnpunktet på grafen til E er E 0. Vi deriverer 0 E E E når telleren er lik null. K K K K K E etter kvotientregelen. 48

49 Funksjoner S K K 0 K K K K E Dette betyr at Den minste verdien for enhetskostnaden finner vi der enhetskostnaden er lik grensekostnaden K E Vi finner den minste verdien for enhetskostnaden ved regning Ved en produksjon på 6 enheter er kostnaden per enhet lavest. Hver enhet har da en produksjonskostnad på 53 kroner. 49

50 Funksjoner S Etterspørselregulering «Hvis det er så klare sammenhenger mellom pris og etterspørsel», sier Veronika, «betyr det jo at vi kan få den produksjonen vi ønsker bare ved å regulere prisen. Vi ønsker jo å produsere så mange enheter at det blir arbeid nok til hele klassen. Hvis det betyr at 80 enheter per uke er optimalt, så kan vi finne hvilken pris vi da må sette.» 80 p p Hvis virkeligheten stemmer med de matematiske modellene, vil en pris på 640 kroner per enhet sikre en stabil produksjon og salg av 80 enheter av Multiform per uke. En pris på 640 kroner per enhet gir overskuddet O 640, Et overskudd på 9000 kroner per uke er akseptabelt. Videre drift Når klasse 3STB kommer i gang med elevbedriften, vil det vise seg om de stipulerte kostnadene og inntektene stemmer med de faktiske verdiene. Etter hvert som klassen ser hvordan de reelle kostnadene og inntektene blir, kan de merke av de reelle verdiene i et koordinatsystem og ved hjelp av regresjon finne stadig bedre modeller for kostnads- og inntektsfunksjonene. Overskuddsfunksjonen, grensekostnadsfunksjonen og de andre avledede funksjonene vil da endre seg, og det vil føre til justeringer når det gjelder optimale verdier for produksjon og pris. 50

51 Funksjoner S.5 Modellering Vi kan bruke matematiske funksjoner til å vise sammenhengen mellom to størrelser. En bedrift kan for eksempel lage en kostnadsfunksjon som viser sammenhengen mellom antall produserte enheter og kostnaden ved å produsere dette antall enheter. En slik funksjon kalles en modell. Å lage slike funksjoner kalles å modellere. Regresjon er en metode for å lage matematiske modeller. Eksponentialfunksjon som modell Antall ørret i et vann har økt kraftig etter at det i 998 ble satt i gang med kalking av vannet. Tabellen viser antall ørret i vannet noen år etter 998. Antall ørret i tusen, N 4,0 6,7 0,9 7,4 Vi vil finne en modell for utviklingen av ørretbestanden. Vi bruker regresjon i GeoGebra. Vi legger dataene fra tabellen inn i regnearket i GeoGebra. Vi merker cellene, klikker på «Regresjonsanalyse» og velger «Analyser». Punktene viser at vi må finne en funksjon som vokser raskere og raskere etter som -verdiene øker. Vi ser at en eksponentiell modell passer godt med de observerte verdier. Ved å velge «Eksponentiell» som regresjonsmodell får vi tallet «e» som grunntall i potensen. Årstall Antall år etter 998,

52 Funksjoner S Vi får funksjonen N gitt ved som modell for utviklingen av ørretbestanden. N( ) 4,05e 0,4 Av grafen kan vi se at ut fra denne modellen vil ørretbestanden ha passert individer i 008 og individer i 00. Registreringen av ørretbestanden fortsatte også hvert andre år etter 004. Resultatene ser du i tabellen nedenfor. Årstall Antall år etter 998, Antall ørret i tusen, N 4,0 6,7 0,9 7,4,5 4,5 6,0 I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til N sammen med de registrerte verdiene i 008, 00 og 0 (merket av som grønne punkter). 5

53 Funksjoner S Det viser seg altså at modellen ikke var egnet til å si noe om utviklingen i perioden etter 004. Eksponentialfunksjoner passer ofte godt for å beskrive hvordan populasjoner endrer seg i et begrenset tidsrom mens det er rik tilgang på mat og lite eller ingenting som begrenser veksten. Etter hvert blir utviklingen annerledes. Når populasjonen blir stor nok, bremses veksten fordi det for eksempel blir for lite mat. Logistisk vekst Vi legger dataene fra den utvidede tabellen inn i regnearket i GeoGebra. Vi merker cellene, klikker på «Regresjonsanalyse» og velger «Analyser». Nå velger vi «Logistisk» som regresjonsmodell 53

54 Funksjoner S Vi ser at den logistiske modellen g gitt ved 7,6 6,85 e 0,4 g passer godt med de observerte verdier helt fram til 00. Vi overfører grafen til g til grafikkfeltet sammen med punktene vi får fra tabellen. Grafen faller godt sammen med punktene, og g er sannsynligvis også en modell som kan si noen om utviklingen av ørretbestanden videre. 0,4 I funksjonsuttrykket vil 6,85 e gå mot null når blir veldig stor. Det betyr at den maksimale ørretbestanden ikke kan overskride 7 60 individer. Dette er bæreevnen for ørretvannet. Ørreten er svært populær blant sportsfiskere og som matfisk. 54

55 Funksjoner S Logistisk vekst generelt En generell form for en funksjon som beskriver en logistisk modell er B f b ae hvor konstantene B, a og b er positive størrelser. Tallet b er positivt. Det betyr at når blir veldig stor, vil nevneren nærme seg verdien, og hele brøken vil bli lik B. Tallet B viser hva den maksimale verdien av kan være. f Hvis funksjonen beskriver veksten til en populasjon, kalles B for bæreevnen til populasjonen. Hvorfor vil nevneren i denne brøken nærme seg verdien når blir veldig stor? Logistiske vekstkurver kan ofte brukes for å beskrive hvordan antall individer i en populasjon endrer seg. Antall individer øker raskt i starten, men ytre faktorer fører etter hvert til at veksten avtar, og populasjonen når en maksimal størrelse. Bæreevnen, B, for et område forteller hvor mange individer av en art som kan leve i det aktuelle området over lengre tid. Antall bakterier i en bakteriekultur kan ofte beskrives med logistiske vekstmodeller. Bakteriekultur under mikroskop. Logistisk vekst? 55

56 Funksjoner S.6 Arealet under grafer Samlet lønn Erlend er ferdig med sin utdannelse og skal ut i jobb. Han får tilbud om kroner i lønn det første året. Deretter skal lønnen økes med 7 % per år. Hva vil den samlede lønnen til Erlend være de neste 0 årene hvis han godtar dette tilbudet? Lønnen til Erlend etter år vil i tusen kroner være gitt ved L 70,07 Det første året, år null, blir samlet lønn kroner. I år, altså det andre året, er samlet lønn kroner multiplisert med vekstfaktoren,07. Slik fortsetter det, og samlet lønn for de neste 0 år i tusen kroner vil være 70 70,07 70,07 70,07 70, ,07 70,07 70,07 70,07 70, Dette kan også skrives som L0LLL3L4L5L6L7L8 L9 Vi multipliserer hvert ledd med tallet og får samlet lønn over 0 år som L 0 L L L 3 L 4 L 5 L 6 L 7 L 8 L 9 I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til L. Under grafen har vi tegnet 0 rektangler. Ser du at høyden på rektanglet lengst til venstre er L 0, og at bredden er lik? Det betyr at arealet til dette rektanglet representerer lønnen det første året, i år null. Tilsvarende representerer arealene til de neste rektanglene lønnen de neste årene, og samlet areal til de 0 rektanglene representerer samlet lønn de 0 årene. I GeoGebra kan vi finne dette arealet ved kommandoen SumUnder L,0,0,0. I parentesen viser L at det er sum av arealer under grafen til L som skal beregnes, og det skal gjøres fra 0 til 0. Tallet 0 til slutt viser at det er 0 rektangler. Samlet areal er gitt med tallet a Det betyr at samlet lønn over 0 år er kroner. 56

57 Funksjoner S Erlend får utbetalt lønn hver måned. Det kan for eksempel bety at månedslønnen i et år er konstant lik årslønnen delt på. Erlend inngår en avtale om at årslønnen skal justeres hvert halvår i henhold til funksjonen L. Det betyr at månedslønnen blir høyere siste halvår enn. halvår. Nå blir samlet lønn over 0 år summen av arealene til 0 rektangler som vist på figuren. I GeoGebra må det siste tallet i parentesen for kommandoen SumUnder endres fra 0 til 0. Tallet a 3795 viser at samlet lønn over 0 år nå blir kroner, en samlet økning over 0 år på kroner. Vi kan fortsette, og la årslønnen justeres hver måned i henhold til funksjonen L. Da tilsvarer samlet lønn arealene til 0 rektangler. Samlet lønn blir nå kroner. Vi ser at nå nærmer summen av arealene til rektanglene seg til å bli lik samlet areal under grafen fra 0 til 0. Dette samlede arealet kan vi i GeoGebra finne med kommandoen Integral L,0,0. Det kalles for det bestemte integralet til funksjonen L fra 0 til 0. Samlet areal under grafen tilsvarer en samlet lønn på kroner i tiårsperioden. Vi ser at dette gir en god tilnærmet verdi for samlet lønn i perioden. Den eksakte samlede lønnen avhenger av hvordan lønnen i praksis justeres. Hvis årslønnen blir justert kontinuerlig, det vil at den til enhver tid følger funksjonen L, gir det bestemte integralet den mest riktige verdien for samlet lønn i perioden. 57

58 Funksjoner S Samlet strømforbruk Hjemme hos Lena er det en strømmåler som på ethvert tidspunkt viser strømforbruket. Lena ville finne ut hva det samlede strømforbruket var gjennom et døgn, og hun ønsket også en oversikt over hvordan strømforbruket fordelte seg gjennom døgnet. Lena noterte ned strømforbruket i kilowatt hver hele time fra midnatt til neste midnatt. Ved regresjon i GeoGebra fant Lena en funksjon f som modell for strømforbruket gjennom døgnet 3 f 0,00 0,06 0,5,3 Arealet under grafen til f fra 0 til 4 viser samlet strømforbruk i wattimer (Wh) for hele døgnet. Lena fant dette samlede strømforbruket som det bestemte integralet til f fra 0 til 4 Integral f,0, Det betyr at samlet strømforbruk var 49,5 kwh (kilowattimer). Noen andre eksempler Når vi for eksempel har modeller for oljeutvinning, utslipp av klimagasser, produksjon av en bestemt vare i en bedrift og salg av en bestemt vare fra en butikk over et gitt tidsrom, så vil arealet under grafene til funksjonene vise samlet oljeutvinning, samlet utslipp, samlet produksjon og samlet salg i tidsperioden. 58

59 Funksjoner S Tekst og eksempler Stein Aanensen og Olav Kristensen Bildeliste Woman Jogging Foto: Corbis/Scanpi Leonhard Euler Foto: Science Photo Library/Scanpi Epletre Foto: Science Photo Library/Scanpi Elevbedrift Foto: Corbis/Scanpi Solsikker Foto: Thomas Bjørnflaten/Scanpi Kalking Foto: Rolf Øhman/Aftenposten/Scanpi Bakteriekultur under mikroskop Foto: Scanpi Denmark Ørret Foto: Jarl Fr. Erichsen/Scanpi 59