4 Funksjoner. Innhold

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "4 Funksjoner. Innhold"

Transkript

1 4 Funksjoner Innhold Kompetansemål - Funksjoner, Vg1T-Y Funksjonsbegrepet... 3 Funksjoner representert ved formler... 3 Definisjonsmengde... 5 Koordinatsystemet... 5 Funksjoner representert ved grafer og verditabeller... 6 Verdimengde... 7 Hvordan tegne grafer til funksjoner ved hjelp av digitale verktøy Lineære funksjoner... 8 Stigningstall og konstantledd... 8 Hvordan tegne grafen til en lineær funksjon Hvordan finne funksjonsuttrykket til en lineær funksjon ut fra grafen Mer om stigningstallet... 1 Likning for en rett linje. Ettpunktsformelen Hvordan finne likningen for en rett linje når stigningstallet og ett punkt på linjen er kjent 15 Hvordan finne likningen for en rett linje når to punkter på linjen er kjent Skjæringspunktet mellom to rette linjer Hva forteller stigningstall og konstantledd?... 0 Grafisk løsning av likningssett... 1 Nullpunkt... Lineære modeller... 4 Lineær regresjon i GeoGebra Andre funksjonstyper... 7 Generell form for andregradsfunksjoner Definisjonsmengde og verdimengde... 3 Hva betyr verdiene av a, b og c for grafen til en andregradsfunksjon?... 3 Nullpunkter, toppunkter, bunnpunkter og symmetrilinje Hvordan tegne grafen til en andregradsfunksjon uten bruk av digitale verktøy

2 Polynomfunksjoner Et praktisk eksempel på en tredjegradsfunksjon Vekstfart og derivasjon Vekstfart til lineære funksjoner Gjennomsnittlig vekstfart Momentan vekstfart Kompetansemål - Funksjoner, Vg1T-Y Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne gjøre greie for funksjonsbegrepet og kunne omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner beregne nullpunkt, ekstremalpunkt, skjæringspunkt og gjennomsnittlig vekstfart, finne tilnærmede verdier for momentan vekstfart og gi noen praktiske tolkninger av disse aspektene lage, tolke og gjøre greie for funksjoner som beskriver praktiske problemstillinger, analysere empiriske funksjoner og finne uttrykk for tilnærmet lineære sammenhenger, med og uten bruk av digitale verktøy

3 4.1 Funksjonsbegrepet I en butikk koster eplene 1 kroner per kilo. Hvor mye du må betale er avhengig av hvor mange kilo du kjøper. Vi sier at prisen er en funksjon av antall kilo du kjøper. Eirik plukker jordbær hver sommer. Han har en fast timelønn på 50 kroner. I tillegg tjener han 5 kroner for hver kilo bær han plukker. Timelønnen hans er altså avhengig av hvor mange kilo bær han plukker per time. Vi sier at timelønnen er en funksjon av antall kilo bær han plukker per time. Vi skal se på hvordan vi kan beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av funksjoner. Funksjoner representert ved formler Hvor mye du må betale er avhengig av hvor mange kilo du kjøper. Tenk deg at du er på en joggetur der du holder en konstant fart. Etter joggeturen er du interessert i å finne ut hvor langt du har løpt ved ulike tidspunkt. Du har brukt 100 minutter på turen og du har løpt 16 km. Det vil si meter 160 meter per minutt 100 minutt Hvor langt har du løpt etter 10 minutter? Hvor langt har du løpt etter 50 minutter? Hvor langt har du løpt etter t minutter? En funksjon kan for eksempel vise sammenheng mellom strekning og tid. 3

4 Når du nå kjenner den konstante farten, 160 meter per minutt, kan du regne ut hvor lang strekning du har løpt ved å bruke formelen S160t Etter 10 minutter har du løpt S meter. Når du vet hvor lang tid du har brukt, kan du altså regne ut hvor langt du har løpt. Vi sier at strekningen S er en funksjon av tiden t. Vi skriver derfor ofte St («S av t») i stedet for S, og formelen blir da Tiden og stekningen varierer og kalles derfor for variabler. St 160t Uttrykket 160t kalles for funksjonsuttrykket til funksjonen S. Sammenhengen mellom størrelsene tid og strekning er her vist ved en formel. Vi sier at funksjonen S er representert med en formel. For å markere at vi regner ut avstanden etter for eksempel 1 minutter, skriver vi S Skrivemåten S 1 betyr strekning etter 1 minutter. Vi leser «S av 1». Etter 1 minutter har du løpt 190 meter. Generelt sier vi at f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. For å vise at f er en funksjon av x, skriver vi ofte fx (som vi leser «f av x»). Ved strekningsfunksjonen ovenfor kan du regne ut hvor langt du har løpt etter 10 minutter og etter 0 minutter S S Etter 10 minutter har du løpt 1600 meter og etter 50 minutter har du løpt 8000 meter. 4

5 Definisjonsmengde Hvor lenge er det naturlig at en joggetur varer? I de fleste sammenhenger vil det ikke være naturlig å la t i funksjonsuttrykket ovenfor gå lenger enn til ca. 100 minutter, dvs. 1 time og 40 minutter. Dersom vi lar funksjonen S være gyldig i tidsintervallet fra og med 0 til og med 100 minutter, sier vi at funksjonen S har definisjonsmengden 0, 100, og vi skriver D S 0, 100 D står for definisjonsmengden, og S viser til funksjonen S. Vi sier at funksjonen S er gitt ved Koordinatsystemet St 160t D 0, 100 Et koordinatsystem består av to rette linjer, også kalt akser, som står vinkelrett på hverandre i et plan (et ark). Det er vanlig å kalle de to linjene(aksene) for x - aksen og y - aksen. Et annet vanlig navn på x - aksen er førsteaksen og y - aksen kalles også for andreaksen. Vi avsetter tallinjen på de to aksene. Skjæringspunktet mellom aksene kalles for origo. Hvert punkt i planet har sin egen adresse eller koordinater. Punktet B har for eksempel koordinatene 4,3. Førstekoordinaten, eller x - koordinaten, som her er 4, forteller hvor vi treffer x - aksen hvis vi fra punktet, går vinkelrett inn mot denne. Vi havner i x 4. Andrekoordinaten, eller y - koordinaten, som her er 3, forteller hvor vi treffer y - aksen hvis vi går vinkelrett inn mot denne. Vi havner i y 3. Sjekk om det samme gjelder for de andre punktene som er markert. S 5

6 Funksjoner representert ved grafer og verditabeller Vi ser på funksjonen S gitt ved St 160t D 0, 100 Funksjonen er her representert med en formel. S Vi kan lage en verditabell ved først å velge ut noen verdier for t som ligger i definisjonsområdet, og så regne ut de tilsvarende funksjonsverdiene, St. Verditabellen til høyre viser et utvalg av sammenhørende verdier for t og St. Funksjonen er nå representert med en verditabell. t (minutter) St 160t (meter) St (meter) De sammenhørende verdiene fra verditabellen merker vi av som punkter i et koordinatsystem hvor t avsettes langs førsteaksen og St langs andreaksen. Aksene tilpasses slik at alle punktene i verditabellen «får plass» i grafvinduet. I vårt eksempel ligger punktene på en rett linje. Vi trekker den rette linjen gjennom punktene. Denne linjen kalles for grafen til funksjonen. Hvis punktene ikke ligger på en rett linje, tegner vi en kurve som går gjennom punktene. Alle punkter som ligger på grafen til funksjonen viser sammenhørende verdier for t og Funksjonen er nå representert med en graf. St. 6

7 Verdimengde Langs førsteaksen finner vi t - verdiene, altså definisjonsmengden til funksjonen. Langs andreaksen finner vi funksjonsverdiene St. Vi ser at verdiene langs andreaksen går fra 0 til når t - verdiene gjennomløper definisjonsmengden, D 0, 100. Verdimengden er derfor V 0, Hvordan tegne grafer til funksjoner ved hjelp av digitale verktøy S I GeoGebra kan vi bruke kommandoen «Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]», og vi skriver St Funksjon[160 t,0,100] i inntastingsfeltet. Bruk knappen «Flytt grafikkfeltet» for å plassere koordinatsystemet i ønsket posisjon og dra i koordinataksene for å få ønskede avstander. Fra Algebrafeltet kan du «dra» funksjonsuttrykket over til Grafikkfeltet. S Bruk «Innstillinger - Avansert - Grafikkfelt» for å angi «Navn» og «Avstand» på aksene. (Du kan kjappere komme til menyen ved å «høyreklikke» når du peker på et punkt i Grafikkfeltet.) Vi kan finne antall løpte meter etter for eksempel 10 minutter og 50 minutter både grafisk og ved regning. Grafisk skriver vi 10, 10 10,1600 S og får punktet A som viser at antall løpte meter etter 10 minutter er Ved regning bruker vi CAS og får for eksempel S som viser at antall løpte meter etter 50 minutter er

8 4. Lineære funksjoner Grafen til funksjonen S gitt ved Slike funksjoner kaller vi lineære funksjoner. Sx 160t, ble en rett linje. Lineær betyr rettlinjet. Alle lineære funksjoner kan skrives som et konstant tall multiplisert med en variabel pluss et konstant tall. En lineær funksjon er en funksjon som kan skrives på formen f x ax b der a og b er konstante tall. Generelt kan vi skrive likningen for en rett linje som y ax b Stigningstall og konstantledd Ved hjelp av GeoGebra kan du undersøke hvordan grafen til en lineær funksjon endrer seg når du endrer a og b. Lag to «glidere», a og b, i GeoGebra. Skriv så inn f x a x b. Husk å skrive gangetegnet. Hva forteller a og b om grafen til en lineær funksjon? Du kan nå endre på verdiene til gliderne og samtidig se hvordan den rette linjen endrer seg. Ser du noen sammenhenger mellom grafene og verdiene til a og b? 8

9 Til høyre har vi tegnet grafen til f for a 3 og b. Det betyr at f x 3 x. Ser du at grafen skjærer y - aksen der y? Grafen skjærer andreaksen når x 0 og f 0 a 0 b b. Tallet b kalles konstantleddet. Konstantleddet, b, viser alltid hvor grafen skjærer andreaksen. Hvorfor er det slik? Tallet a viser hvor mye grafen stiger eller synker når x øker med 1 enhet. Tallet a kalles stigningstallet. Husk! Stigningstall og konstantledd. Hvis stigningstallet er negativt, synker grafen når x øker. Du bør merke deg to spesialtilfeller av lineære funksjoner. Det ene er når b 0. Da er y ax og y og x er proporsjonale størrelser. Tallet a kalles i dette tilfellet proporsjonalitetskonstanten. Det andre spesialtilfellet er når a 0. Da er y b og grafen er parallell med x - aksen. En bratt bakke har høyt stigningstall. 9

10 Hvordan tegne grafen til en lineær funksjon Hvordan kan vi raskt tegne grafen til den lineære funksjonen g gitt ved gx x 4? Metode 1 Vi tegner grafen på grunnlag av verditabellen Vi vet at grafen blir en rett linje. Da er det egentlig nok med to punkter i verditabellen, men det er lurt å ta med et tredje punkt for kontrollens skyld. Vi klarer oss godt med hoderegning her og fyller ut tabellen! x gx 10-6 Metode Vi tegner grafen på grunnlag av stigningstall og konstantledd Siden konstantleddet b 4, skjærer grafen andreaksen for y 4. Punktet 0,4 ligger derfor på grafen. Stigningstallet er. Vi tar utgangspunkt i punktet 0,4 og går én enhet til høyre. Stigningstallet forteller at vi så må bevege oss parallelt med y - aksen to enheter nedover for igjen å treffe grafen. Vi kommer til punktet 1,. Vi har da to punkter på grafen og kan trekke linjen gjennom disse punktene. 10

11 Metode 3 Vi tegner grafen med et digitalt verktøy Definisjonsmengden er her alle reelle tall. I GeoGebra skriver du inn funksjonsuttrykket på skrivelinjen. Fra Algebrafeltet kan du «dra» funksjonsuttrykket over til Grafikkfeltet. Hvordan finne funksjonsuttrykket til en lineær funksjon ut fra grafen I koordinatsystemet til høyre har vi tegnet grafen til en lineær funksjon. Grafen skjærer y - aksen i punktet 0, 1. Det betyr at b 1. Husk at du alltid finner konstantleddet ved å se hvor grafen skjærer y-aksen! Når vi går én enhet til høyre fra 0, 1, må vi gå to enheter oppover parallelt med y - aksen for igjen å treffe grafen. Det betyr at a. Funksjonsuttrykket blir derfor f x x 1. Legg merke til at vi like gjerne kan ta utgangspunkt i et annet punkt på grafen for å finne stigningstallet. Vi ser av grafen at vi får samme resultat om vi tar utgangspunkt i punktet,3. 11

12 Mer om stigningstallet I avsnittet ovenfor fant vi stigningstallet til den gitte grafen ved å starte i et punkt på grafen og så gå én enhet til høyre. Ved å starte i for eksempel punktet 1,1 og gå to enheter til høyre, må vi gå fire enheter oppover parallelt med y - aksen for igjen å treffe grafen. Stigningstallet blir 4 a Vi får samme verdi for stigningstallet som vi fant ovenfor. Dette kan vi også regne oss fram til med utgangspunkt i de to punktene på grafen 51 4 a 31 I telleren har vi endring i y - verdi og i nevneren endring i x - verdi. Endring i y - verdi dividert med endring i x - verdi gir alltid verdien for stigningstallet. 1

13 Vi kan alltid regne som vist ovenfor når vi skal finne stigningstallet til en rett linje. Gitt en rett linje som går gjennom to punkter, og, x y x y. 1 1 Det er vanlig å skrive punktkoordinatene på denne måten. Tallene 1 og kalles for indekser, og vi sier punkt 1 og punkt. I koordinatsystemet til høyre ser du at stigningstallet til linjen er y y a x x 1 1 Konstantleddet, b, finner vi ved å se hvor grafen skjærer andreaksen. 13

14 Likning for en rett linje. Ettpunktsformelen En rett linje går gjennom punktet x y og har stigningstall a. 1, 1 La x, y være et vilkårlig punkt på linjen. Vi har da y y1 a x x 1 Vi multipliserer med nevneren x x 1 på begge sider av likhetstegnet og får Dette kan vi snu på og får a x x y y 1 1 y y a x x 1 1 Denne formelen kalles ettpunktsformelen for den rette linjen. Når vi kjenner stigningstallet til en rett linje og et punkt på linjen, kan vi finne likningen for linjen ved å bruke ettpunktsformelen. Ettpunktsformelen Likningen for en rett linje gjennom punktet x y med stigningstall a er gitt ved 1, 1 y y a x x 1 1 Hvis vi ikke kjenner stigningstallet, men får oppgitt at linjen går gjennom to oppgitte punkter, og, x y x y, kan vi først finne stigningstallet ved formelen 1 1 y y a x x 1 1 Deretter setter vi denne verdien for a inn i ettpunktsformelen og bruker i tillegg et av de oppgitte punktene som kjent punkt. 14

15 Hvordan finne likningen for en rett linje når stigningstallet og ett punkt på linjen er kjent Du får oppgitt at en rett linje har stigningstall Finn likningen for linjen. Alternativ 1. Vi bruker Ettpunktsformelen a og går gjennom punktet 1, 3. Vi setter inn koordinatene til det oppgitte punktet og verdien for stigningstallet i Ettpunktsformelen Vi har funnet likningen for linjen. y x1 y y a x x y3 x yx5 Alternativ. Vi bruker at generell likning for en rett linje er y ax b a gir at likningen blir y x b. Punktet 1, 3 ligger på linjen og er derfor en løsning av likningen. Vi setter inn i likningen og får Likningen for linjen blir yx b b 3 5 Alternativ 3. Grafisk løsning Avsett det kjente punktet i et koordinatsystem, enten for hånd eller digitalt. Bruk stigningstallet til å finne et nytt punkt på linjen. Trekk linjen gjennom punktene og les av hvor grafen skjærer y - aksen. Du har da funnet konstantleddet og dermed også likningen for linjen. 15

16 Hvordan finne likningen for en rett linje når to punkter på linjen er kjent En rett linje går gjennom punktene Finn likningen for linjen. Alternativ 1. Vi bruker Ettpunktsformelen Vi finner først stigningstallet, 3 og 1,3. y y a x x Vi setter inn koordinatene til ett av de oppgitte punktene og verdien for stigningstallet i Ettpunktsformelen Vi har funnet likningen for linjen. y y a x x 1 1 y3 x1 y 3 x yx1 Alternativ. Vi bruker at generell likning for en rett linje er y ax b Siden punktene, 3 og generelle likningen y ax b. 1,3 ligger på linjen, må koordinatene til disse punktene passe i den Vi får et likningssett med to ukjente, a og b 3 a b 3 a b b 3 a b 3 b 1 og 3 a1 b 3 a1 3 a 3 a 3 a 3a 6 a Likningen for linjen blir yx 1. 16

17 Alternativ 3. Grafisk løsning I GeoGebra markerer du punktene, 3 og 1,3 ved å klikke på knappen «Nytt punkt» eller ved å skrive inn punktene på skrivelinja. Klikk så på knappen «Linje» og deretter på de to punktene. Likningen for linjen vises i algebrafeltet I algebrafeltet på bildet vises likningen for linjen på en litt uvant form. Høyreklikk da på likningen for linjen og velg at likningen skal vises på formen y ax b. Du får at likningen for linjen er yx 1. Uten å bruke digitale hjelpemidler kan du avsette de kjente punktene i et koordinatsystem. Trekk en rett linje gjennom punktene. Les av hvor linjen skjærer y - aksen. Du har da funnet konstantleddet. Stigningstallet kan du finne ved å regne ut endring i y - verdi dividert med endring i x - verdi. 17

18 Skjæringspunktet mellom to rette linjer Vi kan finne skjæringspunktet mellom to rette linjer grafisk eller ved regning. I skjæringspunktet har begge funksjonene samme verdi for x og samme verdi for y. Skal vi finne skjæringspunktet ved regning, setter vi derfor funksjonsuttrykkene lik hverandre og løser likningen vi da får. Eksempel Funksjonene f og g er gitt ved f x x 1 og g x x. Finn skjæringspunktet mellom de to linjene grafisk og ved regning. Grafisk løsning Vi tegner de to linjene i et koordinatsystem, leser av og finner at linjene skjærer hverandre i punktet 1,1. I GeoGebra kan du bruke kommandoen «Skjæring[f,g]», eller knappen «Skjæring mellom to objekt». Ved regning Vi setter funksjonsuttrykkene lik hverandre og løser likningen Vi kan så sette Vi velger å regne ut f x g x x1 x 3x 3 x 1 x 1 inn i et av funksjonsuttrykkene (samme hvilket), for å finne y. f Skjæringspunktet er 1, 1. 18

19 Eksempel To firmaer leier ut selskapslokaler. Firma A tar en fast leiepris på kroner og et timetillegg på 500 kroner. Kostnadene i kroner, Ax, ved leie av lokalet i x timer kan beskrives med funksjonsuttrykket Ax 500x 3000 Firma B tar en fast leiepris på 000 kroner og et timetillegg på kroner. Kostnadene i kroner, Bx, ved leie av lokalet i x timer kan beskrives med funksjonsuttrykket Bx 1000x 000 Vi tegner grafene til de to funksjonene og finner skjæringspunktet mellom grafene ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Grafene skjærer hverandre når x. Det betyr at hvis du skal leie lokalene i to timer, er det prismessig det samme hvilket firma du velger. Prisen er 4000 kroner hos begge firmaene. Hvis du skal leie lokalet i mindre enn to timer, lønner det seg å velge firma B. Det ser vi ved at grafen til B ligger under grafen til A i dette området. Hvis du skal leie lokalet i mer enn to timer, lønner det seg å velge firma A. Det ser vi ved at grafen til A ligger under grafen til B i dette området. Vi kan kontrollere den grafiske løsningen ved regning Vi får også her at leieprisene er like når leietiden er to timer og at leieprisen da er kroner. 19

20 Hva forteller stigningstall og konstantledd? Hos firma A er totalkostnadene i kroner ved leie av lokalet i x timer, gitt med funksjonsuttrykket A x 500x 3000 Konstantleddet er og viser her at den faste leieprisen er kroner Den må betales uansett hvor mange timer lokalet leies. Legg merke til at grafen skjærer y-aksen i punktet 0,3000. Stigningstallet er 500. Det betyr at det koster kroner 500 for hver ekstra time lokalet leies. Kostnadene øker jevnt med økningen i antall leide timer. Vi har lineær vekst i kostnadene! Funksjonen S gitt ved S t 160 t strekningen i meter som er løpt etter t minutter. Her er konstantleddet lik null, og det viser at løpt strekning er null ved tiden null. «Klokka» starter når løpeturen begynner. Stigningstallet er 160. Det betyr det løpes 160 meter for hvert ekstra minutt. Det forteller altså at farten er 160 meter per minutt. Antall løpte meter øker jevnt med økningen i antall minutter det løpes. Vi har lineær vekst i antall løpte meter! 0

21 Grafisk løsning av likningssett I algebrakapitlet løste vi likningssett ved å bruke innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Vi kan også løse likningssett grafisk. En familie som består av tre barn og to voksne, betaler 380 kroner for å komme inn på en fotballkamp. En annen familie med fire barn og tre voksne, betaler 540 kroner. Vi ønsker å finne ut hva billettprisen er for barn og for voksne. La x kroner være billettprisen for barn og y kroner billettprisen i for voksne. Prisen den første familien betaler gir likningen 3xy 380 Prisen den andre familien betaler gir likningen 4x3y 540 Billettpris? Vi løser likningssettet grafisk. Vi ordner likningene slik at y skrives som en funksjon av x i hver av likningene. (I GeoGebra er ikke dette nødvendig.) 3xy380 y 3x y x190 4x3y540 3y 4x y x180 3 Så tegner vi grafen til hver av funksjonene. Skjæringspunktet gir løsningen på likningssettet. Billettprisen for barn er lik x - koordinaten til skjæringspunktet, 60 kroner. Billettprisen for voksne er lik y - koordinaten til skjæringspunktet, 100 kroner. 1

22 Nullpunkt Definisjon Et nullpunkt til en funksjon f er løsningen av likningen fx 0. Et nullpunkt er altså et skjæringspunkt mellom grafen og x - aksen. Eksempel Gitt funksjonen f x x f x x x Nullpunktet til f er x 1. Gitt funksjonen gx x. gx 0 x 0 x Nullpunktet til g er x. I GeoGebra kan du finne nullpunkter med kommandoen «Nullpunkt[ <Polynom> ]».

23 Eksempel Like før sommerferien får Janne tilbud om å kjøpe en brukt båt med motor for kroner Janne har ikke penger, men får et rentefritt lån av sine foreldre på kroner som skal betales tilbake gjennom sommeren med ukentlige avdrag på kr Janne har fått sommerjobb med ukelønn på kroner Restgjelden Janne har til sine foreldre x uker etter at hun opptok lånet kan beskrives med den lineære funksjonen R x 1500 x 9000 Konstantleddet er Det betyr at lånet i starten er på kroner Stigningstallet er negativt, Det betyr at restlånet avtar med kroner per uke. Vi kan si at restlånet har negativ lineær vekst! Vi finner nullpunktet til funksjonen i GeoGebra med kommandoen «Nullpunkt[R]». Nullpunktet er 6,0. Det forteller at lånet er nedbetalt, restlånet er null, etter 6 uker. Ved regning løser vi likningen Vi får samme løsning. 3

24 Lineære modeller I år 000 var det noen skoleelever som lagde en modell for folketallsutviklingen i Norge. De tok utgangspunkt i en tabell fra statistisk sentralbyrå som viste folketallet i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000. Tabellen viser folketallet i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000 Årstall Folketall Det er en sammenheng mellom årstall etter 1950 og folketallet. De lagde en ny tabell hvor x er antall år etter 1950 og hvor y er folketallet i millioner. x fx 3, 3,6 3,9 4,1 4, 4,5 De plottet punktene fra den siste tabellen i et koordinatsystem, og så at punktene lå tilnærmet på en rett linje. Det betyr at folketallet i Norge har hatt en tilnærmet lineær vekst i perioden fra 1950 til 000. Vi trekker en rett linje som ser ut til å passe godt med punktene. Kan du bestemme likningen for denne linjen? Linjen skjærer y - aksen der y 3,3 og går tilnærmet gjennom punktene 70, og ,4 og 1 Stigningstallet blir da tilnærmet lik 0, Vi kan da si at likningen for linjen må være tilnærmet lik y0,05x 3,3 Vi kan da si at funksjonen f x 0,05x 3,3 er en lineær matematisk modell som tilnærmet beskriver utviklingen i folketallet i Norge fra 1950 til 000. Kan denne modellen brukes til å forutsi framtidig folketallsutvikling? 4

25 Lineær regresjon i GeoGebra Ved lineær regresjon i GeoGebra kan vi finne en mer «nøyaktig» lineær modell. Velg «Regneark». Legg punktene fra tabellen inn i kolonne A og B. x fx 3, 3,6 3,9 4,1 4, 4,5 Merk området A1:B6 Velg så «Regresjonsanalyse» og «Analyser». Velg regresjonsmodell «Lineær» Vi har da funnet at f x 0,04x 3,31 er en matematisk modell som tilnærmet beskriver utviklingen i folketallet i Norge fra 1950 til 000. Velg «Kopier til grafikkfeltet» Vi ser at modellen passer godt med punktene. 5

26 Stigningstallet er 0,04. Det betyr at etter denne modellen øker folketallet i Norge gjennomsnittlig med personer per år og folketallet vil være 4,87 millioner i år 015. Se «svart» punkt på grafen nedenfor. Tall fra SSB viser at folketallet i Norge var 4,6 millioner i 005, 4,9 millioner i 010 og passerte 5, millioner i 015. Se «blå» punkter i diagrammet. Folketilvekst i 014 var ifølge SSB på personer. Synes du modellen fra år 000 var en god modell til å forutsi folketallsutviklingen i årene 000 til 015? Mener du at modellen fra år 000 fortsatt kan brukes til å forutsi framtidig folketallsutvikling, eller bør det lages nye modeller? 6

27 4.3 Andre funksjonstyper I lineære funksjoner opptrer variabelen x bare i første potens. I noen funksjoner opptrer x i andre potens. Det vil si at vi har ledd som inneholder andregradsfunksjoner. Vi skal se på noen praktiske eksempler på andregradsfunksjoner. x. Vi kaller derfor slike funksjoner for Eksempel Gå sammen med noen medelever og bruk et tau som er litt over 1 meter langt. Bind sammen endene og form tauet til et rektangel som figuren viser. Omkretsen til tauet skal være 1 m. Mål sidelengder og regn ut arealet til rektanglene dere får når den ene sidelengden, x, er 0, 1,, 3, 4, 5 eller 6 meter. Noter resultatene i en verditabell, og plott punktene i et koordinatsystem. Klarer du å finne en formel for arealet av firkanten når du kaller to av sidene for x? Tegn grafen Hva er det maksimale arealet firkanten kan få? Hva forteller grafens skjæringspunkter med x-aksen? Hvis du ikke ønsker å gjøre oppgaven selv, kan du studere løsningen på neste side. 7

28 Løsning For hver verdi av x, får vi et bestemt rektangel med et bestemt areal. Vi har altså at arealet til rektangelet er en funksjon av x. Omkretsen til rektangelet er 1 m. To og to sider er like lange, slik at vi bare har to forskjellige sidelengder. Vi kaller disse for henholdsvis grunnlinje og høyde. Grunnlinjen og høyden må til sammen være halve omkretsen, slik at når grunnlinjen er x, så må høyden være 6 x. Funksjonen representert ved en verditabell: Grunnlinjen i meter x Høyden i meter Areal av rektangel im Ax ( ) Vi har plottet punktene fra verditabellen i et koordinatsystem hvor førstekoordinaten er lengden på grunnlinjen og andrekoordinaten er arealet til det tilhørende rektangel. Vi kan også representere arealfunksjonen ved en formel: 6 6 A x x x A x x x Vi ser at vi har en andregradsfunksjon. Vi tegner grafen til funksjonen i samme koordinatsystem, og ser at grafen går gjennom punktene som vi plottet fra verditabellen. Grafen har et toppunkt, et punkt hvor funksjonen har sin maksimale verdi. Det vil si at det største arealet rektangelet kan få er 9 m. Nullpunkter. Når grafen skjærer førsteaksen, er enten grunnlinjen 0 eller 6 meter. Vi får da ikke noe reelt rektangel, og arealet blir 0. 8

29 Eksempel Prekestolen er et fjellplatå i Rogaland som rager ca. 600 meter over Lysefjorden. Fjellveggen fra Prekestolen ned til fjorden er nesten loddrett. Tenk deg at du står på kanten av Prekestolen og kaster en stein rett opp i luften med utgangsfart 5 m/s. På nedturen passerer steinen på utsiden av platået og havner i Lysefjorden. Naturens lover forteller oss at høyden til steinen er en funksjon av tiden og er tilnærmet gitt med funksjonsuttrykket Prekestolen i Rogaland ht 5t 5t Her står t for tiden i sekunder etter at steinen ble kastet. Høydefunksjonen er en andregradsfunksjon fordi variabelen t er i andre potens. Vi tegner grafen til funksjonen de første 0 sekundene ved å skrive «h(t)=funksjon[5t-5t^, 0, 0]». Vi finner toppunktet A,5,31,3 ved kommandoen «Ekstremalpunkt[h]». Det viser at steinen når sitt høyeste punkt 31,3 meter over platået etter,5 sekunder. Vi finner punktet 10, 50 B ved å skrive «(10,h(10))». Det viser at steinen passerer 50 meter under platået etter 10 sekunder. Vi tegner linjen y 600 og finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Vi får skjæringspunktet 13,7, 600 C som viser at steinen treffer Lysefjorden etter 13,7 sekunder. Vi finner nullpunktene D 0,0 og 5,0 E ved kommandoen «Nullpunkt[h]». Det viser at steinen forlater platået ved tiden null og passerer platået på veien ned etter 5 sekunder. 9

30 Eksempel En bedrift produserer x enheter av en vare per dag. Funksjonen K gitt ved viser kostnadene (kroner) ved produksjon av x enheter. K x 0,5x 500 Bedriften kan maksimalt produseres 00 enheter per dag. De produserte enhetene selges for 45 kroner per stk. Inntektene er da gitt ved Ix 45x Overskuddet er differensen mellom inntekter og kostnader, og overskuddsfunksjonen O er derfor gitt ved Figuren viser grafene til K, I og O. O x I x K x. Skjæringspunktene A og B, mellom grafene til K og I viser at kostnadene er like store som inntektene ved produksjon av 1 enheter og ved produksjon av 168 enheter. Overskuddet er da lik null, og grafen til O har nullpunkter for x 1 og x 168. Bedriften går med overskudd når det produseres mellom 1 og 168 enheter.ved produksjon av mindre enn 1 enheter eller flere enn 168 enheter er kostnadene større enn inntektene og overskuddet er negativ. Bedriften taper penger. Grafen til O har toppunkt E. Bedriften oppnår maksimalt overskuddet ved å produsere 90 enheter per dag. Overskuddet per dag er da 155 kroner. 30

31 Generell form for andregradsfunksjoner En funksjon der funksjonsuttrykket inneholder et andregradsledd, det vil si et ledd med en andregradsfunksjon. Alle slike funksjoner kan skrives på formen f x ax bx c x, kalles I tillegg til andregradsleddet har vi vanligvis et førstegradsledd, et ledd med x i første potens, og et konstantledd. Verdiene av a, b og c, er forskjellig fra funksjon til funksjon. Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel. To eksempler på andregradsfunksjoner og deres grafer. f x x 4x gx x x 3 4 Det mest karakteristiske trekket med parabler er at de har et toppunkt eller bunnpunkt De har også en symmetrilinje som er parallell med y-aksen og går gjennom topp- eller bunnpunktet. Legg merke til at grafen har toppunkt når andregradsleddet er negativt og bunnpunkt når andregradsleddet er positivt. 31

32 Definisjonsmengde og verdimengde Funksjonene f og g ovenfor er definert for alle verdier av x. Men vi ser av grafen at f bare kan få verdier som er lik eller større enn 1. Verdimengden til f er derfor alle tall som enten er lik 1 eller større enn 1. Likeledes ser vi at verdimengden til g er alle tall som enten er lik 6,5 eller mindre enn 6,5. Arealfunksjonen vi innledet kapitlet med hadde en definisjonsmengde fra 0 til 6 meter. Verdimengden var fra 0 til 9 kvadratmeter. Hva betyr verdiene av a, b og c for grafen til en andregradsfunksjon? Du kan bruke GeoGebra for å undersøke hva som skjer med grafen til en andregradsfunksjon når du endrer verdiene av a, b og c. Først lager du tre glidere, en for a, en for b og en for c. Så skriver du funksjonsuttrykket f x a x b x c i inntastingsfeltet. (Husk gangetegn mellom a og x, og mellom b og x.) For å se tydelig hvordan grafen endrer seg når du endrer a, b og c, kan det være lurt å finne parabelens topp- eller bunnpunkt og så slå på sporing på dette punktet. Spørsmål 1. Hva skjer med grafen når du endrer verdien av c? Hvordan kan du finne konstantleddet c til en andregradsfunksjon ved å se på grafen til funksjonen? Prøv å svare på spørsmålene her før du går videre.. Hva skjer med grafen når du endrer verdien av a? Hvordan ser grafen ut når a 0 og a 0? Hvorfor blir grafen en rett linje når a 0? 3. Alle parabler har en symmetrilinje. Hva betyr det? 3

33 Klarte du å svare på alle spørsmålene på forrige side? Her kommer en liten oppsummering. Stemmer punktene nedenfor med det du fant ut? Tallet c forteller hvor grafen til andregradsfunksjonen skjærer y - aksen. Ser du hvorfor det må være slik? Når grafen skjærer y - aksen, er x 0. f 0 a 0 b0 c c Hvis tallet a er lik null, forsvinner andregradsleddet, og vi har en lineær funksjon. 0 f x x bx c bx c Hvis tallet a er positivt, har grafen et bunnpunkt. Det vil si et punkt hvor funksjonen har sin minste verdi. Grafen vender sin hule side opp, den «smiler». Hvis tallet a er negativt, har grafen et toppunkt. Det vil si et punkt hvor funksjonen har sin største verdi. Grafen vender sin hule side ned, den er «sur». Når tallverdien til, øker, vil parabelen bli smalere. Når a minker, vil parabelen bli bredere. (Husk at når a 0, får vi en rett linje.) Grafen er symmetrisk om en linje parallell med y - aksen som går gjennom topp- eller bunnpunktet. Denne linjen kalles symmetrilinjen. 33

34 Nullpunkter ved regning Til høyre ser vi grafen til funksjonen f x x 4x 3. Grafen skjærer førsteaksen når x 1 og når x 3. Dette er nullpunktene til f. I GeoGebra kan du finne nullpunktene med kommandoen «nullpunkt[f]». Ved regning finner vi nullpunktene ved å løse likningen fx 0. Det betyr at vi må løse andregradslikningen Vi bruker abc - formelen og får 4x 3 0 Det betyr at funksjonen f har nullpunktene x x 4x x x x 3 x 1 x 1 og x 3 I GeoGebra kan vi finne nullpunktene ved regning ved først å definere funksjonen i CAS-vinduet. Husk å skrive «kolon-lik». Merk! Du trenger ikke definere funksjonen hvis du allerede har skrevet inn funksjonen på skrivelinjen! Deretter bruker du kommandoen «Løs» på likningen fx 0. 34

35 Nullpunkter, toppunkter, bunnpunkter og symmetrilinje Vi tegner grafen til funksjonen GeoGebra og finner nullpunktene med kommandoen «nullpunkt[f]». f x x 4x 3 i Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt, og vi finner bunnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Grafen har bunnpunkt, 1. I koordinatsystemet har vi tegnet inn symmetrilinjen til f, linjen x Vi ser at bunnpunktet ligger på symmetrilinjen. Symmetrilinjen ligger også like langt fra hvert av parabelens nullpunkter. Vi har sett at vi kan finne parabelens nullpunkter ved å løse likningen fx 0. x f x 0 4x x x x 1 De to nullpunktene ligger like langt fra parabelens symmetrilinje! Hvis vi stopper der, ser vi at x 1. Det betyr at de to nullpunktene ligger like langt fra linjen x, og denne linjen er altså parabelens symmetrilinje! Generelt er nullpunktene gitt ved b b 4ac x a b b 4ac x a a Det betyr at vi kan finne symmetrilinjen og x - koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved å «fjerne» kvadratroten i uttrykket vi får når vi setter fx 0. 35

36 Gitt andregradsfunksjonen f x ax bx c Vi finner nullpunktene ved å løse likningen fx 0. Det gir x Nullpunkt b b 4ac a Vi finner symmetrilinjen og x - koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved x Symmetrilinje b a Det betyr at vi kan finne mye informasjon om grafen til en andregradsfunksjon ved enkel regning uten å bruke digitale hjelpemidler. Eksempel. To nullpunkter Gitt funksjonen g x 0 x 3x 4 0 Nullpunktene er g x x 3x x x x 1 x 4 x 1 og x 4. Symmetrilinjen er gitt ved b 3 3 x 1,5 a 1 Vi ser at dette er x - verdien midt mellom 1 og 4. Grafen har et toppunkt siden andregradsleddet er negativt. Toppunktet har koordinatene 1,5, g 1,5 1,5, 1,5 31,5 4 1,5,,5 4,54 1,5, 6,5 36

37 Eksempel. Ett nullpunkt Gitt funksjonen Vi løser likningen x h x 0 4x 4 0 h x x 4x x 4 0 x Nullpunktet er x Vi får bare ett nullpunkt siden uttrykket under kvadratroten blir lik null. Symmetrilinjen er gitt ved b 4 4 x a 1 Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt. Nullpunktet faller sammen med bunnpunktet og ligger på symmetrilinjen. Vi vet at h 0. Bunnpunktet har koordinatene, h,0 37

38 Eksempel. Ingen nullpunkter Gitt funksjonen Vi løser likningen x k x 0 4x 5 0 k x x 4x x 4 4 x Vi får et negativt tall under rottegnet. Likningen har ingen løsning. Det betyr at funksjonen ikke har nullpunkter og grafen til funksjonen krysser aldri x - aksen. Siden konstantleddet c 5, vet vi at grafen skjærer y - aksen i punktet 0,5. Dette punktet ligger over x - aksen. Grafen ligger da over x - aksen for alle verdier av x. Vi finner symmetrilinjen ved b 4 4 x a Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt. Bunnpunktet har koordinatene, k, 45,1 38

39 Hvordan tegne grafen til en andregradsfunksjon uten bruk av digitale verktøy Eksemplene ovenfor viste hvordan enkel regning kan gi informasjon om grafen til en andregradsfunksjon. Det kan brukes til å tegne grafer uten bruk av digitale hjelpemidler. Eksempel Gitt andregradsfunksjonen g x x 4x 3 Dg R Vi starter med å finne symmetrilinje, bunnpunktet og eventuelle nullpunkter. x g x 0 4x x x Hvordan kan vi se av funksjonsuttrykket at grafen til g har et bunnpunkt? Nullpunktene blir Symmetrilinjen er 4 x 3 og 4 x 4 x 1 Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt. I bunnpunktet er x og g 43 1 Det vil si at bunnpunktet er, 1. I tillegg viser funksjonsuttrykket at grafen skjærer y - aksen i punktet 0,3. 39

40 Informasjonen samles i en verditabell x gx Symmetrilinje og minimalverdi. Vi regner ut g På grunn av symmetri er g1 g 5 8 og Det gir verditabellen g 4 g 0 3. x gx Vi har nå tilstrekkelig med punkter og kan tegne grafen til g. Vi plotter punktene i et koordinatsystem og tegner en kurve gjennom punktene. 40

41 Polynomfunksjoner Definisjon Et polynom er et uttrykk med ett eller flere ledd der hvert ledd består av en konstant multiplisert med n x, der n er et ikke-negativt heltall. Den høyeste eksponenten i uttrykket gir oss graden til polynomet. Uttrykket x4x 3 er et tredjegradspolynom, fordi den høyeste eksponenten i uttrykket er tre. En polynomfunksjon er en funksjon som har et polynom som funksjonsuttrykk. Uttrykket 3x 3 er et polynom av første grad, fordi x er av første grad. Uttrykket x x 4 er et polynom av andre grad, fordi vi her har et ledd der x er opphøyd i andre potens. To er den høyeste eksponenten i uttrykket. x4x 3 er et eksempel på et tredjegradspolynom, fordi den høyeste eksponenten av x her er tre. Det er vanlig å ordne et polynom slik at leddet med den høyeste eksponenten kommer først, leddet med nest høyest eksponent kommer som nummer to osv. Fjerdegradspolynomet 5 3x x 7x skriver vi på ordnet form som 7x 3x x 5. Tallene foran potensene av x kaller vi koeffisienter. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten foran x lik 1. Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner av henholdsvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjoner er polynomfunksjoner av tredje grad. 41

42 Vi ser på tredjegradsfunksjonen f gitt ved 1 1 f( x) x 3 x x 1 3 Vi tegner grafen til f i GeoGebra Nullpunkter Funksjonen har nullpunktene x, x 0,8 x 1,6. Skjæring med y-aksen Grafen skjærer y - aksen for x 0. Skjæringspunktet er 0, 1. Topp- og bunnpunkter Grafen har toppunkt 1,6, 0,5. Grafen har bunnpunkt 0,6, 1,3. For andregradsfunksjoner sa vi at en funksjon hadde sin laveste verdi i bunnpunktet og høyeste verdi i toppunktet. En tredjegradsfunksjon kan ha høyere verdier enn i toppunktet andre steder på grafen. Vi sier allikevel at grafen har et toppunkt, selv om det bare er lokalt. Ekstremalpunkter Du har sett at kommandoen i GeoGebra for å finne topp- eller bunnpunkter er «Ekstremalpunkt[ <Polynom> ]». I Eksamensveiledning 015 fra Utdanningsdirektoratet defineres ekstremalpunkt som førstekoordinaten til et topp- eller bunnpunkt. Et ekstremalpunkt er et fellesnavn for maksimal- eller minimalpunkter. Et maksimalpunkt er førstekoordinaten til et toppunkt. Andrekoordinaten kalles en maksimalverdi. Et minimalpunkt er førstekoordinaten til et bunnpunkt. Andrekoordinaten kalles en minimalverdi. 4

43 Et praktisk eksempel på en tredjegradsfunksjon Tenk deg at du skal lage en eske uten lokk av en kvadratisk papplate med sidelengder 60 cm. Du må da klippe bort et kvadrat i hvert hjørne. Du må altså klippe bort de fire mørkeblå kvadratene på tegningen til høyre. De lyseblå rektanglene bretter du opp, og du får da en eske med det lyse kvadratet i midten som bunn. Formen på esken avhenger av hvor store kvadrater du klipper bort. Vi kaller sidene i kvadratene du klipper bort, for x. Hvis x er stor, vil esken få en liten bunn, men blir desto høyere. Hvis x er liten, vil esken få stor bunn, men den vil bli lav. Volumet av esken vil være avhengig av x. Det vil si at volumet er en funksjon av x. Vi vil finne en formel for denne funksjonen. Bunnen til esken blir et kvadrat med sider 60 x. Det kan vi lese ut av tegningen. Arealet til bunnen, det vi kaller grunnflaten, blir da G x x x x 60 x x x 4x Høyden av esken blir x. Vi må multiplisere grunnflaten med høyden for å få volumet V x x x x V x 3600x 40x 4x 3 V x 4x 40x 3600x 3 43

44 Volumet er altså en polynomfunksjon av tredje grad. Vi ser også at x må ligge mellom 0 cm og 30 cm for at vi skal få en eske. Definisjonsmengden er da D f 0,30. Hvis x er lik 0, klipper vi ikke bort noe, og hvis x er lik 30 cm, får vi ingen bunn. Vi tegner grafen til volumfunksjonen. Vi ser av grafen at verdimengden vil si at volumet til esken er større enn mindre enn eller lik cm. Vi kan ellers se av grafen at V f 0, Det 3 0 cm og Hvis vi ønsker en eske med størst mulig volum, må vi klippe bort kvadrater med sider 10 cm. 3 Hvis vi ønsker esker med volum lik 8000 cm, må vi klippe bort kvadrater med sider,68 cm eller 0,0 cm. Vi kan også gå motsatt vei og lese av hvor stort volum en bestemt verdi av x gir. 44

45 4.4 Vekstfart og derivasjon Vekstfart til lineære funksjoner Som vi nå har sett flere ganger, kan vi skrive en lineær funksjon på formen f x ax b. Tallet a kalles stigningstallet, og tallet b kalles konstantleddet. Vi skal se litt nærmere på stigningstallet og innføre noen nye skrivemåter og begreper. Eksempel Ole selger bær på torget. Han har en fast timelønn på 100 kroner. I tillegg får han 3 kroner per kilo han selger. Vi lar x være antall kilo Ole selger per time, og Vi får at f x 3x 100 fx timelønna han oppnår. Stigningstallet forteller hvor bratt grafen er. I dette tilfellet er stigningstallet et uttrykk for hvor mye timelønna øker i forhold til antall solgte kilo. Timelønna øker med 3 kroner for hver ekstra kilo Ole selger. Derfor kaller vi også stigningstallet for vekstfarten til funksjonen. I dag har vi tilgang til friske bær hele året. Om sommeren dominerer de norske fra skog og hage, mens resten av året importerer vi. Vi ser at punktene 0,160 og 40,0 ligger på grafen til f. 45

46 Stigningstallet til grafen blir Dette er det samme som endring i y-verdi. endring i x-verdi Vi bruker den greske bokstaven ( delta) for å angi endring i en størrelse. Vi får da at y a 3 x Legg merke til at x er én størrelse. Det er ikke gangetegn mellom og x! Dette kan vi også regne oss fram til ved hjelp av funksjonsuttrykket f y f a 3 x Vi får samme resultat uansett hvilke to x-verdier, x 1 og x, vi velger. Hvis vi for eksempel velger x 1 10 og x 50, får vi y f x f x1 f f a x x x Vekstfart. Stigningstall Vi kan regne ut vekstfarten til en lineær funksjon, eller stigningstallet til en rett linje, ved å bruke formelen Her er x1, f x 1 og, f x y f x a x x x 1 1 x f x to punkter som ligger på linjen. 46

47 Gjennomsnittlig vekstfart Når en funksjon ikke er lineær, vil vekstfarten variere fra sted til sted på kurven. Jo brattere kurven er, jo større er vekstfarten. Vi kan finne den gjennomsnittlige vekstfarten over et intervall x x på følgende måte 1, En sekant er en rett linje som skjærer en krum kurve i minimum to punkter. Vi trekker en rett linje, sekant, gjennom punktene x1, f x 1 og, Vi regner så ut stigningstallet til denne sekanten f x y f x a x x x 1 1 x f x. Vi har nå funnet et mål for gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen når x øker fra x 1 til x. Gjennomsnittlig vekstfart. Stigningstallet til sekanten Den gjennomsnittlige vekstfarten for en funksjon fx når x vokser fra x 1 til x, er lik stigningstallet til sekanten gjennom punktene x1, f x 1 og x, f x f x y f x a x x x

48 Eksempel Som 13 åring var Niels Henrik 149 cm høy. Fire år senere var han 181 cm. Vi lar x være alderen til Niels Henrik og y være høyden. Vi får at den gjennomsnittlige vekstfarten til Nils Henrik i fireårsperioden blir y 181 cm149 cm 3 cm cm 8 x 4 år 4 år år Eksempel En funksjon f er gitt ved f x x Vi ønsker å finne den gjennomsnittlige vekstfarten til grafen til f når x vokser fra x 0,5 til x. Gjennomsnittlig vekstfart y f x f0,5 0,5 0,5 0,5 6,5 1,5,5 48

49 Eksempel I 006 plantet Elin et morelltre. Funksjonen h gitt ved ,0 h x x x x viser høyden til morelltreet i meter x år etter at det ble plantet. Vi ønsker å finne hvor mye treet vokset i gjennomsnitt per år i perioden 007 til 013. I GeoGebra tegner vi først grafen til h. Deretter avsetter vi punktene A 1, h 1 og 7, 7 B h. Så bruker vi verktøyknappen «Linje» for å tegne linjen gjennom de to punktene. Deretter bruker vi knappen «Stigning» for å finne stigningstallet til linjen. Vi finner at stigningstallet til sekanten gjennom A og B er 0,5. Det vil si at treet i gjennomsnitt har vokst med 0,5 meter per år i årene 007 til 013. Morelltre i blomstring. Vi kan også finne gjennomsnittlig vekstfart per år i perioden 007 til 013 ved CAS i GeoGebra Vi får samme resultat som ovenfor. 49

50 Momentan vekstfart Vi ønsker å finne en tilnærmet verdi for hvor fort treet i eksempel 3 ovenfor vokser når det er akkurat ett år gammelt. Vi kaller dette for den momentane veksten når treet er ett år. Vi finner først gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det tredje året og deretter fra det første året til det andre året. Grafene ovenfor viser at gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det tredje året er 3 cm per år, og at gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det andre året er 5 cm per år. Stigningen til sekantene blir mer og mer lik brattheten til grafen når x 1 jo nærmere hverandre de to punktene er. Av de to tilnærmingsverdiene, er det derfor den siste som er den beste tilnærmingen. For å finne en enda bedre tilnærmingsverdi reduserer vi avstanden mellom punktene enda mer. Til slutt vil punktene falle sammen til ett punkt, og sekanten blir en tangent til kurven i dette punktet. Stigningen til denne tangenten gir den aller beste tilnærmingsverdien for den momentane vekstfarten når x 1. Vi kan altså finne en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten i et punkt på en kurve ved å tegne en tangent til kurven i punktet og finne stigningstallet til denne tangenten. 50

51 Tekst og eksempler Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Bildeliste Fart og bremselengde Foto: Bertil Ericson/Scanpix Sweden Woman Jogging Foto: Corbis/Scanpix Bakke bakke Bjørn Rørslett, Samfoto, NTB Scanpix Buying tickets Foto: Peter Dejong/AP/Scanpix Jente styrer småbåt med påhengsmotor Espen Bratlie, Samfoto, NTB Scanpix Småbarn som krabber på gulvet Nick White, DPA, NTB Scanpix Prekestolen Svein Nordrum, NTB Scanpix 360 på snøbrett Jorge Domínguez, AGE fotostock, NTB Scanpix Mann klatrer inn i pappeske Zoonar/pzAxe, NTB Scanpix Bær Foto: Leif R Jansson/Scanpix Sweden Sammenligne høyde Rubberball, NTB Scanpix Morelltre i motlys Stig Tronvold, Samfoto, NTB Scanpix 51

Kompetansemål - Funksjoner, Vg1P Modul 1: Funksjonsbegrepet Modul 2: Lineære funksjoner Modul 3: Mer om lineær vekst...

Kompetansemål - Funksjoner, Vg1P Modul 1: Funksjonsbegrepet Modul 2: Lineære funksjoner Modul 3: Mer om lineær vekst... Funksjoner Innhold Kompetansemål - Funksjoner, Vg1P... 1 Modul 1: Funksjonsbegrepet... Modul : Lineære funksjoner... 6 Modul 3: Mer om lineær vekst... 1 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 0 Modul 5: Andre

Detaljer

Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne

Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne Funksjoner i praksis Innhold Kompetansemål Funksjoner i praksis, Vg2P... 1 Modul 1: Lineære funksjoner... 2 Modul 2: Andregradsfunksjoner... 8 Modul 3 Tredjegradsfunksjoner... 12 Modul 4: Potensfunksjoner...

Detaljer

4 Funksjoner. Innhold

4 Funksjoner. Innhold 4 Funksjoner Innhold Kompetansemål - Funksjoner, Vg1T... 3 4.1 Funksjonsbegrepet... 4 Funksjoner representert ved formler... 5 Definisjonsmengde... 6 Funksjoner representert ved grafer og verditabeller...

Detaljer

Løsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P

Løsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P Løsninger Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 9 Modul 3. Mer om lineær vekst... 16 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 5 Modul 5. Andre funksjoner... 30 Polynomfunksjoner...

Detaljer

Fasit. Funksjoner Vg1T. Innhold

Fasit. Funksjoner Vg1T. Innhold Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Test, 5 Funksjoner (1P)

Test, 5 Funksjoner (1P) Test, 5 Funksjoner (1P) 5.1 Funksjonsbegrepet 1) f ( x) = 16x + 0 f (0) = 0 16 0 ) f ( x) = 4x 6 f ( ) = 14 6 3) f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. Riktig Galt 4)

Detaljer

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner løsninger Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 9 Ettpunktsformelen... 18 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 3.3 Andregradsfunksjon... 8.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Løsningsforslag. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P

Løsningsforslag. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P Løsningsforslag Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 1 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 6 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 3 Modul 5: Eksponentialfunksjoner...

Detaljer

Løsningsforslag. Funksjoner Vg1T

Løsningsforslag. Funksjoner Vg1T Løsningsforslag Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 19 4.3 Andre funksjoner... 44 Andregradsfunksjoner... 44 Polynomfunksjoner... 53 Rasjonale funksjoner... 57 Potensfunksjoner og

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1P

Oppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1P Oppgaver Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 6 Modul 3. Mer om lineær vekst... 10 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 13 Modul 5. Andre funksjoner... 16 Polynomfunksjoner...

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P

Oppgaver. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P Oppgaver Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 10 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 1 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 14 Modul 5: Eksponentialfunksjoner...

Detaljer

Løsningsforslag. Funksjoner Vg1T-Y. Innhold

Løsningsforslag. Funksjoner Vg1T-Y. Innhold Løsningsforslag Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 0 4.3 Andre funksjoner... 48 4.4 Vekstfart og derivasjon... 60 4.5 Eksamensoppgaver... 7 Noen av oppgavene er merket med symbolet

Detaljer

S1 eksamen våren 2016 løsningsforslag

S1 eksamen våren 2016 løsningsforslag S1 eksamen våren 016 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x x 0 4 1 x 1 9 8 x 1 x x 1

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1T. Innhold

Oppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1T. Innhold Oppgaver Innhold Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 10 4.3 Andre funksjoner... 18 Polynomfunksjoner... 1 Rasjonale funksjoner... Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner... 3 4.4

Detaljer

S1 eksamen våren 2017 løsningsforslag

S1 eksamen våren 2017 løsningsforslag S1 eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) x 5x 0 xx ( 5) 0 x 0 x 5 0

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

Eksamen S1 høsten 2014 løsning

Eksamen S1 høsten 2014 løsning Eksamen S1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemiddel: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) x 10 xx 5 x x 10 x 5x 7x 10 0 7 49 40

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori med oppgaver. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning. Dag 2: 09.00-11.45

Detaljer

1P, Funksjoner løsning

1P, Funksjoner løsning 1P, Funksjoner løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire rette linjer, j, k, m og n. Finn likningen for hver av de fire linjene. j : y

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Funksjoner S2 Oppgaver

Funksjoner S2 Oppgaver Funksjoner S Funksjoner S Oppgaver. Derivasjon... Den deriverte til en konstant funksjon... Den deriverte til en potensfunksjon... Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 4 Den deriverte til en

Detaljer

Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2015

Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2015 Eksamen MAT1015 Matematikk P Va ren 015 Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 C Tirsdag 10 C Onsdag 1 C Torsdag 5 C Fredag 6 C Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

S1 eksamen høsten 2016 løsningsforslag

S1 eksamen høsten 2016 løsningsforslag S1 eksamen høsten 016 løsningsforslag Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x 1 3 x 5 3 4 6 Fellesnevner blir 1 x1 3x 5 1 1 1 3 4 6 (x 1)4 (3x )3 5 8x 4 9x 6 10 x 10 6 4 0 x 0 b) lg(x 6) 10 10 lg(x6) x

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med

Detaljer

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2P Sinus 2P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I

Detaljer

Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne

Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne 3 Modellering Innhold Modul 1: Lineære modeller og lineær regresjon... Modul : Potensfunksjon som modell... 7 Modul 3: Eksponentialfunksjon som modell... 9 Modul 4: Polynomfunksjoner som modeller... 11

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

GeoGebra 6 for Sinus 1T

GeoGebra 6 for Sinus 1T SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1T Sinus 1T ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I

Detaljer

Funksjoner 1T, Prøve 1 løsning

Funksjoner 1T, Prøve 1 løsning Funksjoner 1T, Prøve 1 løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Figuren viser utviklingen i en populasjon av harer på en øy fra 1880 til 000. a) Hvor mange harer var det på øya i 1880?

Detaljer

Kapittel 7. Funksjoner

Kapittel 7. Funksjoner Kapittel 7. Funksjoner Mål for kapittel 7: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne redegjøre for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler,

Detaljer

5 Matematiske modeller

5 Matematiske modeller Løsning til KONTROLLOPPGAVER 5 Matematiske modeller OPPGAVE 1 a) Endringen i lengden på lyset i løpet av de 100 minuttene er 12 cm 27 cm = 15 cm Endringen per minutt blir da 15 cm 0,15cm/ min 100 min Når

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 750 000 0,005 5 7,510 7,5 5 3 8 3 10 1,5 10 510 5 Oppgave (1 poeng) Løs likningssystemet x3y7 5xy8 Velger å løse likningen

Detaljer

Oppgavesamling. Innhold. Funksjoner Vg1T Y

Oppgavesamling. Innhold. Funksjoner Vg1T Y Oppgavesamling Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 8 4.3 Andre funksjoner... 17 4.4 Vekstfart... 0 4.5 Eksamensoppgaver... 4 Noen av oppgavene er merket med symbolet Disse oppgavene

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Funksjoner. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner Innhold Kompetansemål Funksjoner, R1... 3 Innledning... 4 3.1 Funksjoner... 5 3. Grenseverdier, asymptoter og kontinuerlige funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter...

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Variasjonsredden: 6 C ( 6 C) = 6 C+ 6 C= 12 C Gjennomsnittet: 2 C+ 0 C + ( 4 C) + (

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 10 10 ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgave (1 poeng) Løs likningen 16 lg lg16

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Eksamen 1T, Høsten 2011

Eksamen 1T, Høsten 2011 Eksamen 1T, Høsten 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (16 poeng) a) Hvor mye koster én flaske vann, og hvor mye

Detaljer

Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. og setter f u ln

Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. og setter f u ln Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) 3 f( ) 3 f 3 4 3 b) g( ) ln( ) Vi bruker kjerneregelen

Detaljer

a) Tegn grafen til T b) Når på dagen var temperaturen 0 o C c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da?

a) Tegn grafen til T b) Når på dagen var temperaturen 0 o C c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? Oppgaver 1 Geogebra med fasit Oppgave 1 Funksjonen f er gitt ved: f(x) = x 2 2x 3 a) Tegn grafen digitalt b) Finn bunnpunktet til f Oppgave 2 En modell for temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

1T eksamen høsten 2017 løsning

1T eksamen høsten 2017 løsning 1T eksamen høsten 017 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

GeoGebra 6 for Sinus 1P

GeoGebra 6 for Sinus 1P SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1P SINUS 1P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner løsninger Innhold. Funksjoner.... Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 5 Kontinuitet... 4 Funksjoner med delt

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Eksamen R1, Va ren 2014, løsning

Eksamen R1, Va ren 2014, løsning Eksamen R1, Va ren 014, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f x lnx x Vi bruker

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,5 10 3,0 10 15 5 15 ( 5) 10,5 3,0 10 7,5 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

Hjelpehefte til eksamen

Hjelpehefte til eksamen Hjelpehefte til eksamen side 1 Innhold Formler som forventes kjent Vg1P-Y:... 3 Formler som forventes kjent: 1P... 4 Formler som forventes kjent: 2P... 5 Formler som forventes kjent: 2P-Y... 6 Formler

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

Eksamen matematikk S1 løsning

Eksamen matematikk S1 løsning Eksamen matematikk S1 løsning Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) 6 4 0 6 6 44 6 36 3 4 6 4 1 b) lg lg lg4 lg lg4 lg 10 10 lg4 4 8 0 4 4 8 6 4 må være større enn null fordi den opprinnelige likningen

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Våren 2013

Eksamen REA3026 S1, Våren 2013 Eksamen REA306 S1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) lg x 3 5 lg x 3 5 lg x

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2PY

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2PY SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2PY Sinus 2PY ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin.

Detaljer

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Læreplanmål Matematikk S1 lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi tegne grafen til polynomfunksjoner,

Detaljer

Eksamen S1 høsten 2015 løsning

Eksamen S1 høsten 2015 løsning Eksamen S1 høsten 015 løsning Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene nedenfor a) x 3x 0 x(x3) 0 x 0 x 3 0 3 x 0 x b) 3x1 17 4 x lg 3 1 34 lg 3 x1 34 3x 1 lg 34lg 3x 1 lg lg 34 lg lg 3x 1 34 3 x 33 3 3 x 11

Detaljer

R1 eksamen høsten 2015 løsning

R1 eksamen høsten 2015 løsning R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

Eksamen våren 2015 Løsninger

Eksamen våren 2015 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 For et utvalg der antall observasjoner er et partall, slik som her, er medianen gjennomsnittet

Detaljer

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når

Detaljer

Eksamen 1T våren 2015 løsning

Eksamen 1T våren 2015 løsning Eksamen T våren 05 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5 7,5 0 0,003

Detaljer

Fagdag CAS-trening

Fagdag CAS-trening Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i

Detaljer

2P eksamen våren 2016 løsningsforslag

2P eksamen våren 2016 løsningsforslag 2P eksamen våren 2016 løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 C 02.03 0 C 03.03 --4

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

S2, Funksjoner Quiz. Test, 2 Funksjoner

S2, Funksjoner Quiz. Test, 2 Funksjoner Test, Funksjoner Innhold. Derivasjon... 1.3 Funksjonsdrøfting... 6.4 Økonomiske optimeringsproblemer... 13.5 Modellering... 15.6 Bestemte integraler og arealer under kurver... 1 Grete Larsen. Derivasjon

Detaljer

2P-Y eksamen våren 2016 løsningsforslag

2P-Y eksamen våren 2016 løsningsforslag 2P-Y eksamen våren 2016 løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 C 02.03 0 C 03.03

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2015

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2015 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Va ren 015 Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 C Tirsdag 10 C Onsdag 1 C Torsdag 5 C Fredag 6 C Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet

Detaljer

Kapittel 7. Funksjoner

Kapittel 7. Funksjoner Kapittel 7. Funksjoner Mål for kapittel 7, funksjoner. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne redegjøre for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske

Detaljer

Eksamen 2P MAT1015 Høsten 2012 Løsning

Eksamen 2P MAT1015 Høsten 2012 Løsning Eksamen 2P MAT1015 Høsten 2012 Oppgave 1 (4 poeng) Alle som går tur til Pollfjell, skriver navnet sitt i boka som ligger i postkassen på toppen av fjellet. Nedenfor ser du hvor mange som har skrevet seg

Detaljer

Funksjoner. Innhold. Funksjoner S2

Funksjoner. Innhold. Funksjoner S2 Funksjoner S Funksjoner Innhold Kompetansemål Funksjoner, S... 3 Innledning... 4. Funksjoner... 5. Derivasjon... 6 Hvordan finne den deriverte grafisk?... 7 Derivasjonsregler... 8 Den deriverte av en konstant

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen 1T høsten 2015

Eksamen 1T høsten 2015 Eksamen 1T høsten 015 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 1,8 10 0,0005 = 1,8 10 5,0 10 = 9,0 10 1 1 4 8 Oppgave Vi bruker

Detaljer

Eksamen høsten 2016 Løsninger

Eksamen høsten 2016 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 6,3 millioner 6,3 1 000 000 6,3 10,63 10 10 6,63 10 7 6 16,5 10 1,65 10 10 8 8 1,65

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2015

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2015 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 015 Oppgave 1 (1 poeng) Skriv som prosent a) 0,451 45,1 % 5 0 b) 0 % 5 100 Oppgave ( poeng) a) Forklar at de to trekantene ovenfor er formlike. Vinkelsummen i en trekant

Detaljer