S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

Transkript

1 S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4]. Grafen viser at [ 15, 0] V =. f Aschehoug Side 1 av 15

2 5. a f( x) = x+ 10 Vi har fått oppgitt at [ 3,5] D =. f Da kan vi la GeoGebra regne ut f( 3) og f(5) for oss. I innskrivningsfeltet skriver vi f(-3) og trykker Enter. Svaret får vi i algebrafeltet: f ( 3) = 16. Tilsvarende får vi at f (5) = 0. Altså er [ 0,16] V =. b gx ( ) = 0x 100 f Vi har fått oppgitt at = [ 5, 0] D. f Da kan vi la GeoGebra regne ut g(5) og g (0) for oss. I innskrivningsfeltet skriver vi g(5) og trykker Enter. Svaret får vi i algebrafeltet:. g (5) = 0. Tilsvarende får vi at g (0) = 300. Altså er [ 0, 300] V =. g 5.3 a Grafen går gjennom punktene (0,)og(4,5). y y1 5 3 a = = = x x Stigningstallet for linja er 3. 4 b Grafen går gjennom punktene (0,10) og (8, 0). y y a = = = 15 x x1 8 0 Stigningstallet for linja er a Grafen går gjennom punktene (1, 5) og (3, 9). a y y = = = = x x1 3 1 Stigningstallet for linja er. Aschehoug Side av 15

3 b Nå kan vi skrive y = x+ b. Vi velger punktet (1, 5) og setter inn x= 1og y = 5 inn i y = x+ b. Det gir 5= 1 + b b = 3 Likningen for linja er y = x a Grafen går gjennom punktene ( 1,7)og(,1). y y a = = = = x x1 ( 1) 3 Stigningstallet for linja er. Nå kan vi skrive y = x+ b. Vi velger punktet (, 1) og setter inn x= og y = 1inn i y = x+ b. Det gir 1= + b b = 5 Likningen for linja er y = x+ 5. b Grafen går gjennom punktene (, 5) og (1, ). y y1 ( 5) 7 1 a = = = = x x 1 ( ) 14 1 Løsninger til oppgavene i boka Stigningstallet for linja er 1. 1 Nå kan vi skrive y = x+ b. Vi velger punktet (1, ) og setter inn Det gir 1 = 1 + b = 6+ b b = 4 Likningen for linja er 1 y = x 4. 1 x= 1 og y = inn i y = x+ b. 5.6 a Grafen går gjennom punktene (, ) og (1, 7). y y1 7 ( ) 9 a = = = = 3 x x 1 ( ) 3 1 = 3 og, = (1, 7). Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) 1 1 Aschehoug Side 3 av 15

4 Det gir y y1 = a( x x1) y 7 = 3( x 1) y = 3x 3+ 7 y = 3x+ 4 Likningen for linja er y = 3x+ 4. b Grafen går gjennom punktet (, 4) og har stigningstallet. Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 4 = ( x ) y = x y = x+ 8 Likningen for linja er y = x+ 8. = og, = (, 4). 1 1 c Grafen går gjennom punktene (0, 4) og har stigningstallet,5. Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 4 =,5( x 0) y =,5x+ 4 Likningen for linja er y =,5x+ 4. d Grafen går gjennom punktene ( 3, 0) og (0, 6). y y a = = = = x x 0 ( 3) 3 1 =,5 og, = (0, 4). 1 1 Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 6 = ( x 0) y = x+ 6 Likningen for linja er y = x+ 6. = 3 og, = (0, 6) a I GeoGebra skriver vi inn punktene (, 40) og (8,100). Vi klikker på og deretter på de to punktene. I algebrafeltet får vi likningen for linja. Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug Side 4 av 15

5 Linja har likningen y = 10x+ 0. b I GeoGebra skriver vi inn punktene (, 4,5) og (6, 7). Vi klikker på og deretter på de to punktene. I algebrafeltet får vi likningen for linja. Linja har likningen y = 1,44x 1,63. c I GeoGebra skriver vi inn punktene ( 35, 4) og (100, ). Vi klikker på og deretter på de to punktene. I algebrafeltet får vi likningen for linja. 5.8 Linja har likningen y = 0,04x+, 44. a Grafen viser at N(t) kan få verdier fra og med = [ ] b Grafen viser at ( ) 3 til og med 5. Da er 3, 5. f x kan få verdier fra og med = [ ] V N til og med 6. Da er, 6. V f 5.9 a f( x) = 4x+ 1 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+1,-,5]. Aschehoug Side 5 av 15

6 Grafen viser at [ 8, 0] V =. f b gx ( ) = 0,8x+ 5 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-0,8x+5,0,0]. Grafen viser at [ 9, 5] V =. g Aschehoug Side 6 av 15

7 5.10 a Grafen går gjennom punktene (0,1) og (4, ). y y1 1 1 a = = = x x b Stigningstallet for linja er Nå kan vi skrive y = x+ b. 4 Vi velger punktet (0, 1) og setter inn Det gir 1 x= 0 og y = 1inn i y = x+ b. 1 1= 0+ b b = 1 1 Likningen for linja er y = x+ 1. Grafen går gjennom punktene (0,3)og(9,0). y y a = = = = x x Vi bruker ettpunktsformelen med a = og ( x1, y1) = (9, 0). 3 Det gir y y = a x x ( ) y 0 = ( x 9) 3 1 y = x Likningen for linja er y = x Grafen går gjennom punktet (, 1) og har stigningstallet,5. Vi bruker ettpunktsformelen med a= ( x y ) = Det gir y y1 = a( x x1) y ( 1) =,5( x ) y =,5x+ 5 1 y =,5x+ 4 Likningen for linja er y =,5x+ 4.,5og, (, 1). 1 1 Aschehoug Side 7 av 15

8 5.1 Grafen går gjennom punktet (1, 3) og har stigningstallet. Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 3 = ( x 1) y = x + 3 y = x+ 1 Likningen for linja er y = x+ 1. = og, = (1, 3) a I GeoGebra skriver vi inn punktene (, 4) og (, ). Vi klikker på og deretter på de to punktene. I algebrafeltet får vi likningen for linja. Linja har likningen y = 1, 5x 1 b Grafen går gjennom punktene (, ) og (, ). y y1 ( 4) 6 3 a = = = = x x1 ( ) 4 3 Vi bruker ettpunktsformelen med a= og ( x1, y1) = (, ). Det gir y y = a x x ( ) y = ( x ) 3 y = x 3+ 3 y = x 1 Likningen for linja er 3 y = x 1. Aschehoug Side 8 av 15

9 5.14 a Grafen går gjennom punktet (, 1) og har stigningstallet 1, 5. = 1,5og, = (,1). Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 1 = 1, 5( x ) y = 1, 5x y = 1, 5x+ 4 Likningen for linja er y = 1, 5x+ 4. For å finne skjæringspunktet mellom linja og x-aksen setter vi y = 0. Det gir 1, 5x + 4 = 0 1, 5x = 4 1, 5x 4 = 1, 5 1, 5 x =,66 8,666 = = Skjæringspunktet mellom linja og x-aksen er, 0 = (,66, 0). 3 b For å finne skjæringspunktet mellom linja og y-aksen setter vi x = 0. Det gir y = 1, = 4 c Skjæringspunktet mellom linja og y-aksen er ( 0,4 ). Vi setter 3 1, 5x + 4 = 3 3 x = x = 4 3x = 3 8 3x = x = 3 Skjæringspunktet mellom linja l og linja 3 y = er 11 3, 3. Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug Side 9 av 15

10 5.15 Grafen går gjennom punktene (, 6) og (4, 3). y y a = = = = x x1 4 ( ) 6 3 Vi bruker ettpunktsformelen med a = og ( x1, y1) = (, 6). Det gir y y = a x x ( ) 1 1 Løsninger til oppgavene i boka 3 y 6 = ( x ( ) ) 3 y = x y = x+ 3 3 Likningen for linja er y = x+ 3. Linja har stigningstallet 1, 5. Påstand A er riktig. 3 x + 3= 0 1, 5x = 3 x = Nullpunktet for funksjonen er. Påstand B er feil. For å se om punktet ( 1, 4) ligger på linja, setter vi inn x = 1 i likningen for linja. Det gir y = 3 ( 1) + 3 = 1,3 + 3 = 4,5 Punktet ( 1, 4) ligger ikke på linja. Påstand C er riktig. Siden linja l har stigningstall 1, 5 vil an annen linje med stigningstall 1skjære linja l. Påstand D er riktig. Påstandene A, C og D er riktige Linja l er gitt ved y = x 4. a Grafen p går gjennom punktet (1,1)og har stigningstallet. Vi bruker ettpunktsformelen med a = og ( x1, y1) = (1,1). Det gir y y1 = a( x x1) y 1 = ( x 1) y = x + 1 y = x 1 Likningen for linja p er y = x 1. Aschehoug Side 10 av 15

11 b Grafen m går gjennom punktet (1, 4). Stigningstallet regner vi ut slik: a = 1 c 5.17 a = 1 1 = og 1, 1 = (1, 4). Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) y 4 = ( x 1) 1 1 y = x y = x+ 1 9 Likningen for linja m er y = x+. Vi setter 1 9 x 1= x+ 1 9 x 1 = x + 4x = x+ 9 4x+ x= 9+ 5x = x = y = x 1= 1= = = Skjæringspunktet mellom p og m er, 5 5. Linja l har likningen y 3x k = 0. Punktet (1, 4) ligger på linja. a Vi setter x= 1og y = 4. Det gir 4 31 k = 0 k = 8+ 3 k = 5 Aschehoug Side 11 av 15

12 b y 3x 5= 0 y = 3x y = x+ Stigningstallet for linja l er 3. c Grafen m går gjennom punktet A = (1, 4). Stigningstallet regner vi ut slik: 3 a = 1 3 a = 1 3a = 5.18 a = 3 = og 1, 1 = (1, 4). 3 Vi bruker ettpunktsformelen med a ( x y ) Det gir y y = a x x ( ) 1 1 y 4 = ( x 1) 3 y = x y = x y = x+ 3 3 Likningen for linja m er Vi setter 14 x + = x 3+ 3= x + 14 = 0 x = y = x x = 7 Skjæringspunktet mellom linja m og x-aksen er (7,0). Vi antar at GarnStua selger x bunter med garn. En modell for inntektene er da gitt ved I( x) = 40x. Aschehoug Side 1 av 15

13 5.19 a = 15 Antall deltakere økte med 15 fra 013 til = 695 I 016 vil det være 695 deltakere. b Antall deltakere = antall deltakere i antall år etter 013. Dx ( ) = x, der x er antall år etter Betalingen = grunnpris 50 antall uker før 1. februar K( x) = x, der x er antall uker før fristen 1. februar. D = K 5.1 [ 0,10] Løsninger til oppgavene i boka Likningen for linja er y = 16x+ 33. Aschehoug Side 13 av 15

14 5. a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn alderen i kolonne A og vekten i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er mx ( ) = 0,61x + 3,68. b () 0, 61 3, 68 4,9 m = + = Vekten er 4,9 kg. Aschehoug Side 14 av 15

15 c 0,61x + 3,68 = a 0,61x = 8 3,68 0, 61x = 4,3 4,3 x = = 7,1 0,61 Etter ca. 7 måneder. I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn lengden i kolonne A og skostørrelsen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Løsninger til oppgavene i boka Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er y = 1, 5x +, 0. b y = 1,5 5,3 +, 0 = 39,95 Hun bør kjøpe størrelse 40. Aschehoug Side 15 av 15

16 5.4 a b Likningen som passer best med punktene, er y = 0,6x+ 59,5. c Linja har stigningstallet 0,6. Bensinforbruket er 0,6 liter per mil. 5.5 a I GeoGebra skriver vi inn punktene (0, 8340) og (4, 7960). Vi klikker på og deretter på de to punktene. I algebrafeltet får vi likningen for linja. En lineær modell er da F( x) = 95x b () F = + = Modellen gir litt for høyt folketall. Aschehoug Side 16 av 15

17 c I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn år i kolonne A og folketall i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er F( x) = 94x Aschehoug Side 17 av 15

18 5.6 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn prisen i kolonne A og etterspørselen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er Ex ( ) = 1x Aschehoug Side 18 av 15

19 5.7 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn strømmen i kolonne A og spenningen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er U( I) = 7,33I + 0,1. Aschehoug Side 19 av 15

20 5.8 a Løsninger til oppgavene i boka I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn antall år etter 004 i kolonne A og antall MMS-meldinger (i millioner) i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er f( x) = 13,4x x er antall år etter 004. b (8) 13, , f = + = Etter modellen vil det bli sendt 181, millioner tekstmeldinger i 01. Modellen gir altså et for høyt antall MMS-er. Aschehoug Side 0 av 15

21 5.9 a Løsninger til oppgavene i boka I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn antall år etter 1990 i kolonne A og antall personer (i millioner) med førerkort i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er f( x) = 0,031x+, 47. x er antall år etter b (5) 0, 031 5, 47 3, 47 f = + = Etter modellen vil 3,47 millioner personer ha førerkort i 015. Aschehoug Side 1 av 15

22 5.30 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn løpt distanse i kolonne A og kondisjonstallet i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Løsninger til oppgavene i boka Vi klikker på Analyser og velger lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er K( x) = 0,0x 10,893. x er løpt distanse i meter. Sammenhengen mellom kondisjonstallet og løpt distanse kan skrives på formen K( x) = ax + b. Vi sammenlikner med modellen og ser at a = 0, 0 og b= 10,893 b (600) 0, ,893 46,307 f = = Det svarer til kondisjonstallet 46,3. Aschehoug Side av 15

23 c 0, 0x 10,893 = 41 0, 0x = , , 0x = 51,893 Løsninger til oppgavene i boka x = 358,8 En mann i denne aldersgruppen må minst løpe 359 meter for å være i bra form. 0, 0x 10,893 = 46 0, 0x = ,893 0, 0x = 56,893 x = 586 En mann i denne aldersgruppen må minst løpe 586 meter for å være i svært bra form = 7 Han må minst ha løpt 7 meter lengre for å være i svært bra form. a Grafen har toppunkt i ( 1, 4). b Funksjonen har nullpunktene 3 og 1. c I toppunktet er funksjonsverdien større enn i alle nabopunktene. Verdimengden er V =,4]. d f ( ) = f( x) = x + x 3 f a Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f( x ) = 0. x + x 3= ( 3) ± x = 1 ± x = ± 16 x = x= x= x= 3 x= 1 f har nullpunktene 3 og 1. b Grafen er symmetrisk om symmetrilinja, gjennom bunnpunktet. Symmetrilinja må gå midt mellom nullpunktene Bunnpunktet har x-koordinaten = 1. f ( 1) = ( 1) + ( 1) 3 = 1 3 = 4 Bunnpunktet er (1, 4). Aschehoug Side 3 av 15

24 c d Av grafen ser vi at skjæringspunktene er ( 4, 5) og (1, 0). Aschehoug Side 4 av 15

25 5.33 f x x x gx x a ( ) = + 4og ( ) = 3 + Av grafen ser vi at skjæringspunktene er (, 4) og (3,11). b I CAS skriver vi inn likningen slik den står. Velger vi eksakt løsning får vi dette skjermbildet. Skjæringspunktene er (, 4) og (3, 11). Aschehoug Side 5 av 15

26 5.34 K x x x a ( ) 0, , = + + D = [ 100, 900] Inntekten = pris per enhet antall enheter som selges. I( x) = 60x Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox ( ) = 60x 0, 05x + 5x ( ) Ox = x x x Ox = x + x ( ) 60 0, ( ) 0, b Produksjonen går i balanse når I( x) = K( x) I CAS skriver vi inn likningen slik den står. Velger vi eksakt løsning får vi dette skjermbildet: K c Produksjonen går i balanse når det produseres 00 enheter og 500 enheter. Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. Vi tegner grafen til O i GeoGebra med kommandoen O(x)=Funksjon[-0.05x +35x-5000,100,900] Overskuddet er størst når bedriften produserer og selger 350 enheter. Da er overskuddet 115 kr. Aschehoug Side 6 av 15

27 5.35 K x x x D K px ( ) = 400 0, 0x [ ] ( ) = 0, , = 100,1000. a I( x) = x p( x) = x ( 400 0, 0x ) b I( x) = 400x 0,0x c Av grafen ser vi at produksjonen går i balanse når det produseres og selges 330 enheter. I CAS skriver vi inn likningen slik den står. Verdien er utenfor definisjonsområdet for kostnadsfunksjonen. d Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) ( ) Ox = x x x + x+ ( ) 400 0, 0 0, ( ) 400 0, 0 0, Ox = x x x x Ox x x ( ) = e Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. Vi tegner grafen til O i GeoGebra med kommandoen O(x)=Funksjon[-x +360x-10000,100,1000] Aschehoug Side 7 av 15

28 Overskuddet er størst når det produseres og selges 180 enheter. Da er overskuddet 400 kr. f p (180) = 400 0, = 364 Prisen er 364 kr f( x) = x+ 4 x 0,8. a AB = x og BC = f ( x) 1 1 F( x) = AB BC = x x + 4 = x + 4x b Vi tegner grafen til F og bruker kommandoen Ekstremalpunkt[F] til å finne toppunktet. Arealet er størst når x = 4. Det største arealet er 8. Aschehoug Side 8 av 15

29 f( x) = x + 4 x 0,4 4 a Lengden av rektanglet er x, og lengden av rektanglet er f( x ). Arealet av rektanglet er da gitt ved F( x) = x f( x) = x x + 4 = x + 8x 4 b Vi bruker CAS i GeoGebra for å finne den verdien av x som gir størst areal. Vi får dette skjermbildet: Løsninger til oppgavene i boka Den verdien av x som gir størst areal, er.3. Vi ser at f (,3) =,7. Koordinatene til P er (,3,,7). Det største arealet er 1,3. Aschehoug Side 9 av 15

30 5.38 a Vi tegner grafen til I GeoGebra med kommandoen I(x)=Funksjon[-0.05x^+70x,50,500]. Med tilsvarende kommando tegner vi grafene til K og O. b Skjæringspunktet mellom grafen til I og grafen til K er ( 111,5, 718) og ( 448,5, 1338 ). c Vi finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O]. Nullpunktene er 111,5 og 448,5. d Skjæringspunktene i oppgave b har samme førstekoordinat som nullpunktene i oppgave c. Det skyldes når I( x) = K( x ) er Ox ( ) = x= p a Vi omformer og får et uttrykk for prisen som en funksjon av etterspørselen x= p b 10 p= x p= x Prisen som funksjon av etterspørselen er px ( ) = x Inntekten = antall solgte enheter pris per enhet. 1 1 I( x) = x p( x) = x x+ 10 = x + 10x Aschehoug Side 30 av 15

31 c Vi tegner grafen til I og finner toppunktet. d Den største inntekten bedriften kan få er når det blir produsert og solgt 600 enheter. Inntekten er da kr. 1 p (600) = = Inntekten er størst når prisen per enhet er 60 kr a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn prisen i kolonne A og antall solgte enheter i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Aschehoug Side 31 av 15

32 Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen under regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er x= 0 p b c d Vi omformer og får et uttrykk for prisen som en funksjon av etterspørselen x= 0 p p= x p = 0, 05x+ 80 Prisen som funksjon av etterspørselen er px ( ) = 0,05x+ 80. ( ) I( x) = x p( x) = x 0,05x+ 80 = 0,05x + 80x K( x) = 0, 05x + 15x Overskuddet = inntektene kostnadene. Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) ( ) Ox = x + x x + x+ ( ) 0, , Ox = x + x ( ) 0, Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. Aschehoug Side 3 av 15

33 Overskuddet er størst når det blir produsert og solgt 433 enheter. Overskuddet er da 8583 kr. e p (433) = 0, = 58,35 Overskuddet er størst når prisen er på 58 kr Nt t t t a 3 ( ) =, Aschehoug Side 33 av 15

34 b Nt ( ) = 1000 t = 1, t = 3,5 t = 9,3 Bestanden var på 1000 dyr etter ca. 1, år, etter ca. 3,5 år og etter ca. 9,3 år. c Bestanden var størst i begynnelsen av 014. Da var bestanden på ca dyr d Bestanden var minst i begynnelsen av 011. Da var bestanden ca. 880 dyr. Løsninger til oppgavene i boka 5.4 I GeoGebra åpner vi regnearket. Vi legger inn nummer på måneden i kolonne A og temperaturen i kolonne B. Vi merker cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser I rullegardinmenyen velger vi polynom og grad 3. Den tredjegradsfunksjonen som passer best, er 3 f( x) = 0,137x + 1,561x 1,147x 4,986 Aschehoug Side 34 av 15

35 5.43 f( x) = x 4x + 3 a Vi løser likningen f( x ) = 0. x 4x+ 3= 0 ± x = 1 4 ± 16 1 x = ( 4) ( 4) ± 4 x = 4 4+ x= x= x= 1 x= 3 f har nullpunktene 1 og 3. b c Skjæringspunktene er (1, 0) og (4, 3). Aschehoug Side 35 av 15

36 5.44 f x = x x + x+ D = a. b 3 ( ) 5 8, f 3 f (0) = = 8 Skjæringspunktet med y-aksen er (0, 8). c f( x ) = 0 x= 1 x= x= 4 d I CAS skriver vi inn likningen slik den står. Vi får dette skjermbildet: Aschehoug Side 36 av 15

37 5.45 Bv ( ) = 0,005v a b Når farten er 50 km/h, er bremselengden 1,5 m. c d Når farten er 100 km/h, er bremselengden 50 m. Når farten dobles, firedobles bremselengden. Aschehoug Side 37 av 15

38 5.46 Ox x x a ( ) = Vi tegner grafen til I GeoGebra med kommandoen O(x)=Funksjon[-3x^+300x-6300] b For at overskuddet skal bli større enn 1000 kr, må x [ 41, 58]. c Det største overskuddet kiosken kan få, er når det blir produsert og solgt 50 softis. Da er overskuddet 100 kr px ( ) = 600 0,5x D = 400, 900 a p [ ] Inntekten = antall solgte enheter pris per enhet. I( x) = x p( x) = x ( 600 0,5x) = 0,5x + 600x Vi tegner grafen til I og finner toppunktet. b Den største inntekten bedriften kan få, er når det blir solgt 600 enheter. p (600) = 600 0,5 600 = 300 Da er prisen 300 kr. Aschehoug Side 38 av 15

39 5.48 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn prisen i kolonne A og etterspørselen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen under regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er E( p) = 7, 4 p Aschehoug Side 39 av 15

40 5.49 a Løsninger til oppgavene i boka I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn antall produserte enheter i kolonne A og produksjonskostnadene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Polynom og grad i rullegardinmenyen under regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Den andregradsfunksjonen som passer best, er K x x x ( ) = 0, b I( x) = p x= 180x Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) ( ) Ox ( ) = 180x 0,8x + 40x Ox x x ( ) = 0, Aschehoug Side 40 av 15

41 c Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. Det største overskuddet bedriften kan få, er når det produseres og selges 88 enheter. Da er overskuddet 115 kr f( x) = x x + 3 a Grafen er symmetrisk gjennom en linje, symmetrilinja, gjennom toppunktet. b ( ) x = = = 1 a ( 1) Vi lager verditabell og passer på at toppunktet står midt i tabellen. x f(x) Aschehoug Side 41 av 15

42 b Vi tegner grafen til linja y = x+ 1 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktene er (1, 0) og (, 3). Aschehoug Side 4 av 15

43 5.51 F x x x x a 3 ( ) = b Folketallet var minst i 008. Da var folketallet ca c Folketallet var størst i 01. Da var folketallet ca d Fra 000 økte folketallet de første to årene til 00. Fra 00 til 008 minket folketallet. Etter 008 økte folketallet igjen. Aschehoug Side 43 av 15

44 5.5 a f x x x x D [ ] 3 ( ) = f = 1, Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen f(x)=funksjon[-x^3+x^+4x+3,-1,] b For polynomfunksjoner finner vi nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[f]. Nullpunktet er 1,93. I CAS kan vi skrive inn funksjonen slik den står. Det gir Aschehoug Side 44 av 15

45 c Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen f(x)=funksjon[-x^3+k*x^+4x+3,-1,]. Vi legger k med glider og varierer k til f har to nullpunkter. Når k = 1, har funksjonen f to nullpunkter f( x) = x + 4, Df = a Punktet B har koordinatene (, 0) Lengden av AB er x, og lengden av BC er f( x ). Arealet er AB BC. Da kan vi sette opp x, og punktet C har koordinatene (, ( )) ( ) F x AB BC x f x x x x x 3 ( ) = = ( ) = + 4 = + 8 x f x. b Vi løser likningen F( x) = + = 3 x 8x Likningen skrives direkte inn i CAS. Det gir x må være positiv. x= 0,54 x= 1,861 Aschehoug Side 45 av 15

46 c Vi tegner grafen til F og finner toppunktet. Arealet er størst når x = 1,155. Da er arealet 6, ( ) = 0, 0 + 0, F x x x a Vi tegner grafen til F og finner toppunktet. For at fortjenesten skal bli størst mulig, må bedriften produsere og selge 1 tuber. Aschehoug Side 46 av 15

47 b Overskuddet = fortjenesten per limtube antall limtuber som blir produsert og solgt. Det gir Ox ( ) = xfx ( ) c ( ) Ox = x x + x+ = x + x + x 3 ( ) 0, 0 0, , 0 0, 48 9 Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. Det største overskuddet bedriften kan få, er 3310 kr. Da blir det produsert 48 limtuber. Aschehoug Side 47 av 15

48 5.55 Ox x x a ( ) = 0, Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen O(x)=Funksjon[-0,x^+190x-30000] b c d Det største mulige overskuddet per måned er kr. Da blir det produsert og solgt 475 enheter. Vi finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O]. Det største antall enheter bedriften kan produsere og selge per måned når bedriften ikke skal gå med underskudd, er 750 enheter. Når bedriften blir pålagt å betale en avgift på 0 kr per produsert enhet, blir overskuddsfunksjonen Ox ( ) = 0, x + 190x x Ox ( ) = 0, x + 170x Vi tegner grafen til denne overskuddsfunksjonen. Det største antall enheter bedriften kan produsere og selge per måned når bedriften ikke skal gå med underskudd, er nå 600 enheter. Aschehoug Side 48 av 15

49 5.56 K x x x D a [ ] ( ) = 0, , K = 50, 500 Inntekten = pris per enhet antall solgte enheter. I( x) = 100 x b Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox ( ) = 100x 0, x 4x Ox x x ( ) ( ) = 0, c Vi tegner grafen til O og finner toppunktet. d Bedriften går med overskudd når x [ 18, 39]. Overskuddet er størst når det produseres og selges 60 enheter. Da er overskuddet 350 kr. e Når prisen senkes med 10 %, blir vekstfaktoren 0,90. Det betyr at varen selges for 100 kr 0,90 = 90 kr. Det gir I( x) = 90 x Ox ( ) = 90x 0, x 4x ( ) Ox ( ) = 0, x + 94x Vi tegner grafen til O(x) og finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O]. Aschehoug Side 49 av 15

50 5.57 Med ny pris går bedriften med overskudd når x [ 163, 307]. K x = x + x + x+ D = a [ ] 3 ( ) 0, 004 3, , K 0, 10 Inntekten = pris per enhet antall solgte enheter. I( x) = 440 x b Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) 3 ( + 75x ) Ox ( ) = 440x 0,004x + 3, x ( ) = 0,004 3, x Ox x x Vi tegner grafen til O og finner nullpunktene med kommandoen Nullpunkt[O]. Salget går med overskudd når x [ 16, 86 ]. c Vi finner toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt[O]. Bedriften må selge og produsere 5 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig. Aschehoug Side 50 av 15

51 Da er overskuddet 4765 kr hx ( ) = 0,0075x 0,000 03x + 1,055x a b Kl er 5,5 timer etter midnatt. 3 h (5,5) = 0,0075 5, 5 0, ,5 + 1,055 5,5 = 4, 45 Kl var snødybden 4,45 cm. Vi tegner grafen til h i GeoGebra med kommandoen h(x)=funksjon[-0,0075x^3-0,000 03x^+1,055x] Løsninger til oppgavene i boka hx ( ) =,0 x= 1,95 x= 10,77 Snødybden var,0 cm ca. kl og ca. kl Vi skriver inn likningen i CAS og får x kan ikke ha negative verdier. c Vi finner toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt[h]. Snødybden var størst etter ca. 6,85 timer, dvs. ca. kl Da var snødybden ca. 4,8 cm. d All snøen var borte ca.11,86 timer etter midnatt, dvs. ca. kl ,86 6,85 = 5,01 Det tok ca. 5 timer fra snødybden var størst til all snøen var borte igjen. Aschehoug Side 51 av 15

52 Aschehoug Side 5 av 15

53 5.59 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn prisen i kolonne A og salgstallene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er Sx ( ) = 3,13x + 966,8. b Totale kostnader = kostnader per enhet antall enheter + faste kostnader. K( x) = 30x Ix ( ) = Sx ( ) x= 3,13x+ 966,8 x= 3,13x + 966,8x c ( ) Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox = x + x x+ ( ) 3,13 966,8 ( ) Ox = x + x ( ) 3,13 936, Aschehoug Side 53 av 15

54 d Vi tegner grafen til O og bruker kommandoen Ekstremalpunkt[O] til å finne toppunktet. Pris på 150 kr gir størst overskudd. Det største overskuddet er kr a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn antall produserte enheter i kolonne A og produksjonskostnadene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Polynom og grad i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 54 av 15

55 Da ser det slik ut: Den andregradsfunksjonen som passer best, er K( x) =, 7x 75,9x I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn prisen i kolonne A og etterspørselen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 55 av 15

56 Da ser det slik ut: Den beste lineære modellen er E( p) = 0,63p + 373,4. b c Inntekten = antall solgte enheter pris per enhet I( x) = x E( x) = x 0,63x+ 373 I( x) = 0,63x + 373x Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) ( ) Ox = x + x x x+ ( ) 0, (, 7 75,9 744) Ox ( ) =,90x + 448,9x 744 Vi tegner grafen til O og bruker kommandoen Ekstremalpunkt[O] til å finne toppunktet. Aschehoug Side 56 av 15

57 Overskuddet blir størst ved produksjon og salg av 77 enheter. E( p) = 0, 63p+ 373, 4 77 = 0, 63p + 373, 4 0, 63p = , 4 0,63p = 96,4 p = 470,5 Overskuddet blir størst mulig når prisen er 470 kr a Vi tegner grafen til N ved å bruke kommandoen N(t)=Funksjon[0 000*1,10^t,0,10]. Aschehoug Side 57 av 15

58 b 4 N (4) = ,10 = 9 8 Etter 4 timer er det bakterier. t c Vi løser likningen ,10 = grafisk. Vi legger inn linja y = Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til N. Det tar litt over 7 timer før antall bakterier er fordoblet. 5.6 V( x ) = ,85 x 0 V (0) = ,85 = a Maskinen kostet kr som ny. p b 1 = 0, p = 0, p = 85 p = 15 Det årlige verditapet er 15 %. c 3 V (3) = ,85 = Etter tre år er verdien av maskinen kr x V( x) = ,95, x 0, 4 a [ ] 4 V (4) = ,95 = 407,53 Etter fire timer er det 3869 liter saft igjen på tanken = 97 De første fire timene lekker det ut 97 liter saft. Aschehoug Side 58 av 15

59 b Vi tegner grafen til V ved å bruke kommandoen V(x)=Funksjon[5 000*0,95^x, 0,4]. c Vi løser likningen x ,95 = ,95 x = 3750 grafisk. Vi legger inn linja y = Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til V. Det tar 5,61 timer = 5 timer og 37 minutter før en firedel av safta har lekket ut a f( x ) = 6 1, x f f f f 6 = = = 1, 1 ( 1) 6 1, 5 0 (0) 6 1, 6 = = 1 (1) 6 1, 7, = = () 6 1, 8,64 = = x f(x) 5 6 7, 8,6 Aschehoug Side 59 av 15

60 b 5.65 a År x Folketall I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og folketallet i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 60 av 15

61 Da ser det slik ut: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er F( x ) = 1 355,7 1,03 x. b F( x ) = 1 355,7 1,03 x viser at vekstfaktoren er 1,03. Altså økte folketallet med 3 % hvert år. c Vi overfører grafen til grafikkfeltet ved å klikke på. Vi tegner linja y = Aschehoug Side 61 av 15

62 Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til F og linja y med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Etter modellen vil folketallet vil passere etter ca. 6,6 år. Det vil si i løpet av Vi lar x svare til året da Johannes kjøpte bilen. År 0 5 Salgspris I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn år i kolonne A og salgspris i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 6 av 15

63 Da ser det slik ut: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er V( x ) = ,90 x. Vekstfaktoren er 0,90. Årlig gjennomsnittlig verditap er 10 % K( x ) = ,03 x 0 K (0) = ,03 = a b c Jan satte inn kr på kontoen. 4 K (4) = ,03 = 45 00,35 Ette fire år sto det 45 00,35 kr på kontoen. Vi tegner grafen til K ved å bruke kommandoen K(x)=Funksjon[40 000*1,03^x]. Så legger vi inn linja y = Aschehoug Side 63 av 15

64 Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til K. Det tok ca. 7,5 år før beløpet på kontoen hadde økt til kr Tt ( ) = 80 0,88 t 3 T (3) = 80 0,88 = 54,5 a Temperaturen i safta var 54,5 C etter tre timer. b Vi tegner grafen til T ved å bruke kommandoen T(t)=Funksjon[80*0,88^t]. Så legger vi inn linja y = 60. Aschehoug Side 64 av 15

65 Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til T. Det tar,5 timer, dvs. timer og 15 minutter, før temperaturen i safta er 60 C a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn år i kolonne A og verdien av maskinen i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 65 av 15

66 Da ser det slik ut: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er V( x ) = ,75 x. b V( x ) = ,75 x 5.70 a 4 V (4) = ,75 = ,60 Verdien av maskinen er kr etter fire år. År x Antall ansatte I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og antall ansatte i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Aschehoug Side 66 av 15

67 Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er V( x ) = 503 0,96 x. b V( x ) = 503 0,96 x viser at vekstfaktoren er 0,96. Den årlige planlagte reduksjonen i antall ansatte var 4 %. c 8 V (8) = 503 0,96 = 363 I 017 vil det være 363 ansatte i bedriften. Aschehoug Side 67 av 15

68 f x D f a ( ) = 3 = [,3] x f ( ) = 3 = = = f ( 1) = 3 = = = f (0) = 3 = f (1) = 3 = 1 3 f () = 3 = f (3) = 3 = x f(x) , 5 = 3 0,75 4 = 3 0,38 8 = Aschehoug Side 68 av 15

69 5.7 a b En økning på,3 % svarer til en vekstfaktor på 1,03. Vi bruker sammenhengen n N= GV 3 N = , 03 = 8194 Folketallet var 8194 i N = , 03 = 654 Folketallet var 658 i 003. c N= GV N V = G 8194 V = = 1, Vekstfaktoren er 1,55 Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra. Det betyr at i 013 var folketallet 15,5 % av folketallet i 003. Det svarer til en økning på 5,5 % En økning på 5 % svarer til en vekstfaktor på 1,05 og en økning på 8 % svarer til en vekstfaktor på 1,08. a Vi bruker sammenhengen n N= GV 4 N = ,05 = ,31 Etter fire år var aksjene verdt 60775,31 kr. 3 N = ,31 1,08 = , 40 I dag er verdien av aksjene ,40 kr. b Vi kan løse likningen med CAS i GeoGebra. Vekstfaktoren er 1,063. Den gjennomsnittlige prosentvise årlige verdiøkningen har vært 6,3 %. Aschehoug Side 69 av 15

70 5.74 Løsninger til oppgavene i boka Tt ( ) = ,3 t a Vi tegner grafen til T ved å bruke kommandoen T(t)=Funksjon[ *1,3^-t]. Så legger vi inn linja y = 170. Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til T. b Tt ( ) = ,3 t Av funksjonsuttrykket og grafen ser vi at temperaturen nærmer seg 180 C når tiden går. Temperaturen overstiger ikke 180 C. c 5.75 a Det tar ca. 10,6 minutter før temperaturen i stekeovnen er 170 C. I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og p(x) i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 70 av 15

71 Da ser det slik ut: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er px ( ) = 1011,7 0,89 x. b 4,810 p (4,810) = 10 11, 7 0,89 = 577,8 Lufttrykket er 578 hpa 4810 meter over havet. c Vi overfører grafen til grafikkfeltet ved å klikke på. Vi tegner linja y = 800. Aschehoug Side 71 av 15

72 Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til p og linja y med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Løsninger til oppgavene i boka Vi er ca. km over havet når lufttrykket er 800 hpa a År x Folketall 3,57 3,86 4,08 4,3 4,48 4,61 4,86 I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og folketallet i millioner i kolonne B. Aschehoug Side 7 av 15

73 Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: Den lineære modellen som passer best, er F( x) = 0,04x+ 3,58. Vi klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 73 av 15

74 Da ser det slik ut: Den eksponentielle modellen som passer best, er F( x ) = 3,60 1,006 x. b I den lineære modellen er stigningstallet 0,04. Ifølge denne modellen økte folketallet med 0,04 millioner eller per år. c I den eksponentielle modellen er vekstfaktoren 1,006. Ifølge denne modellen økte folketallet med 0,6 % per år. d F( x) = 0, 04x+ 3,58 F (54) = 0, ,58 = 4,88. Med den lineære modellen vil folketallet bli 4,88 millioner. Det er noe lavere enn oppgitt folketall i F (54) = 3, 60 1, 006 = 4,97 Med den eksponentielle modellen vil folketallet bli 4,88 millioner. Det er også noe lavere enn oppgitt folketall i 014. Den eksponentielle modellen stemmer best N p p p a [ ] 0,80 ( ) = , 60,10 0,80 N(80) = = 180 Salget per måned er ca når prisen er 80 kr. Aschehoug Side 74 av 15

75 b Vi tegner grafen til N ved å bruke kommandoen N(p)=Funksjon[60 000*p^(-0.80),60,10]. c Vi tegner linja y = 000 og finner skjæringspunktet mellom grafen til N og linja y med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Prisen må være ca.70 kr for at salget per måned skal være 000 enheter. Med CAS: 0,80 Vi løser likningen x = 000. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på T( x) =,0 x 0,50 0,50 a T (0,40) =,0 0,40 = 1,6 Svingetiden er 1,6 sekunder når lengden er 0,40 meter. Aschehoug Side 75 av 15

76 b Vi tegner grafen til N ved å bruke kommandoen T(x)=Funksjon[,0*x^(0,50)]. c Vi tegner linja y =,0 og finner skjæringspunktet mellom grafen til T og linja y med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Pendelen må være 0,5 meter for at svingetiden skal være 1,0 sekund. Med CAS: 0,50 Vi løser likningen,0 x = 1,0. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og V(x)-verdiene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: Aschehoug Side 76 av 15

77 b,1 Den potensmodellen som passer best, er V( x) = 0,30 x.,1 V (45) = 0,30 45 = 889 Vekten av et tre med diameter 45 cm er 889 kg. Aschehoug Side 77 av 15

78 5.80 hx ( ) = 1, 3 x a 0,5 Vi tegner grafen til h ved å bruke kommandoen h(x)=funksjon[1,3*x^(0,5),1,6]. b h(3) h() =, 5 1,84 = 0, 41 Treet vokste 0,41 m, dvs. 41 cm, fra det var år til det var 3 år. c h (5) =,91 Etter fem år var treet,91 meter V( x) = 0,0065 x a b 3,10 V = = Vekten er 140 gram. 3,10 (5) 0, ,1 Vi tegner grafen til V ved å bruke kommandoen V(x)=Funksjon[0.0065*x^(3.10),0,45]. Aschehoug Side 78 av 15

79 c Med CAS: Vi løser likningen 3,10 0, 0065 x 60 =. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. 5.8 a Lengden av en fisk som veier 60 gram er 40,4 cm. I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og V(x)-verdiene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 79 av 15

80 Da ser det slik ut: b 3,0 Den potensmodellen som passer best, er V( x) = a x = 0,53 x. Da ser vi at a = 0,53 og b = 3,0. b c 3 V (44) = 0,53 44 = Volumet er Med CAS: Vi løser likningen cm = 44,55 dm = 0,0446 m. 3 0,53 x 0, 060 =. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. Diameteren må minst være 48,6 cm. Aschehoug Side 80 av 15

81 d Vi antar at liten ball har diameter lik x cm. 0 Diameteren til den store ballen blir da x 1+ cm = 1, 0xcm. 100 Da kan vi sette opp ( ) V 0,53 1, 0 x Stor 1, 0 x 3 = = = 1,0 = 1, VLiten 0,53 x x Vekstfaktoren er 1,78. Det viser at Stor har 7,8 % større volum enn Liten f( x) = 1, 3 x a b 0,4 0,4 f (3) = 1, 3 3 =, 0 Etter modellen vil omsetningen det tredje året være,0 millioner kroner. Med CAS: Vi løser likningen 0,4 1,3 x,5 =. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på Bedriften vil oppnå en omsetning på,5 millioner etter 5,1 år, dvs. det sjette året. Ex ( ) = 0, 0 x 1,8 1,8 a E (40) = 0,0 40 = 153,0 Den årlige produksjonen er 153 kwh. Aschehoug Side 81 av 15

82 b Med CAS: Vi løser likningen 1,8 0, 0 x 00 =. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. c 5.85 a Vingelengden må være 46,4 cm for at produksjonen skal være 00 kwh. Vi antar en vanlig vindmølle har vingelengde lik x cm. 0 Hvis vingelengden øker med 0 %, blir vingelengden x 1+ cm = 1, 0xcm. 100 Da kan vi sette opp ( ) 1,8 1,8 1,8 E 0, 0 1, 0 x Stor 1, 0 x 1,8 = = = 1, 0 = 1,39 1,8 1,8 ELiten 0, 0 x x Vekstfaktoren er 1,39. Det viser at hvis vingelengden øker med 0 %, øker den årlige produksjonen med 39 %. f x x gx x x x ( ) = og ( ) = (6 8) Vi løser likningen f( x) = gx ( ) x x x = (6x 8) x x x = (6x 8) x x = 6x 8 6x+ 8= 0 f ± x = 1 ( 6) ( 6) ± 36 3 x = 6± 4 x = 6± x = 6 6+ x= x= x= x= 4 = = = = 0 () 1 ( ) f (4) = 4 = = = = = 1 Skjæringspunktene er (,1) og( 4,1 ). Aschehoug Side 8 av 15

83 b Vi tegner grafen til f ved å bruke kommandoen f(x)=funksjon[x^*^(-x),0,6]. Vi tegner grafen til g ved å bruke kommandoen g(x)=funksjon[(6x-8)*^(-x),0,6]. c Vi finner skjæringspunktet mellom grafene til f og g med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Skjæringspunktene er (,1) og( 4,1 ). Med CAS: Vi løser likningen f( x) = gx ( ) x x = (6x 8) x. Vi skriver likningen inn i CAS i GeoGebra og klikker på. Skjæringspunktene er (,1) og( 4,1 ). Aschehoug Side 83 av 15

84 5.86 a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn x-verdiene i kolonne A og V(x)-verdiene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Løsninger til oppgavene i boka Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: b,81 Den potensmodellen som passer best, er V( x) = a x = 0,000 x. Da ser vi at a= 0,000 og b=,81. b Vi overfører grafen til grafikkfeltet ved å klikke på. Vi tegner linja x = 155. Aschehoug Side 84 av 15

85 Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til V og linja x med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Løsninger til oppgavene i boka 5.87 a Vekten er 313 kg. I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn vekten i kolonne A og koketid i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 85 av 15

86 Da ser det slik ut: Den potensmodellen som passer best, er T( x) 17,3 0,68 = x. b c 0,68 T (50) = 17,3 50 = 47,3 Den perfekte koketiden for et egg på 50 gram er 47 sekunder. 0,68 T (55) = 17,3 55 = 63,9 0,68 T (45) = 17,3 45 = 30,3 63,9 30,3 = 33, 6 Egget på 55 gram må koke 34 sekunder lenger enn egget på 45 gram a I GeoGebra klikker vi på Vis og velger Regneark. Vi legger inn solavstand i km i kolonne A og omløpstid i år kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 86 av 15

87 Da ser det slik ut: Den potensmodellen som passer best, er f( x) 17,3 1,49 = x. b 1,49 T (5,91) = 17,3 5,91 = 44, Etter modellen er omløpstiden for Pluto 44 år x + 1 a f( x) = x 3 For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. x+ 1 x f( x) = = x 3 x Linja y = er en vannrett asymptote. Vi ser at nevneren blir null for x = 3, men ikke telleren. Linja x = 3 er en loddrett asymptote. Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f( x ) = 0. x + 1 = 0 x 3 x + 1= 0 x = 0,5 Nullpunktet er 0,5. Vi finner eventuelle skjæringspunkter med andreaksen ved å regne ut f (0). Aschehoug Side 87 av 15

88 f (0) = = Skjæringspunktet med andreaksen er 0, 3. x f(x) 1,5 0,6 0,3 0,3 1, ,5 4,3 3 b 4 x gx ( ) = x For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. 4 x x gx ( ) = = x x Linja y = er en vannrett asymptote. Vi ser at nevneren blir null for x = 0, men ikke telleren. Linja x = 0 er en loddrett asymptote. Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen gx= ( ) 0. Aschehoug Side 88 av 15

89 4 x = 0 x 4 x = 0 Løsninger til oppgavene i boka x = Nullpunktet er. x = 0 som er y-aksen, er en loddrett asymptote og det viser at grafen går gjennom origo. x g(x), 4, , 3 1, 6 c 4x hx ( ) = x + 4 For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. 4x 4x hx ( ) = x+ 4 x = Linja y = er en vannrett asymptote. Vi ser at nevneren blir null for x =, men ikke telleren. Aschehoug Side 89 av 15

90 Linja x = er en loddrett asymptote. Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen hx ( ) = 0. 4x = 0 x + 4 4x = 0 x = 0 Nullpunktet er 0. Vi finner eventuelle skjæringspunkter med andreaksen ved å regne ut h(0). 40 h(0) = = Grafen går gjennom origo. Løsninger til oppgavene i boka x h(x), ,5 1, a x 3 f( x) = 1 x Vi skriver inn f(x)=(x-3)/(1-x) Vi finner asymptotene ved å skrive Asymptote[f] i inntastingsfeltet. Vi finner eventuelle nullpunkter med kommandoen Nullpunkt[f]. Aschehoug Side 90 av 15

91 b Vi ser at linja y = er vannrett asymptote og linja x = 1 er loddrett asymptote. Nullpunktet er 1, x gx ( ) = x Vi skriver inn g(x)=( x/x) Vi finner asymptotene ved å skrive Asymptote[f] i inntastingsfeltet. Vi finner eventuelle nullpunkter med kommandoen Nullpunkt[f]. Aschehoug Side 91 av 15

92 Vi ser at linja y = 15 er vannrett asymptote og linja x= 0 ( y-aksen) er loddrett asymptote. Nullpunktet er 00. c , 4x hx ( ) = 0,08x Vi skriver inn h(x)=(00+0,4x/0,08x) Vi finner asymptotene ved å skrive Asymptote[f] i inntastingsfeltet. Vi finner eventuelle nullpunkter med kommandoen Nullpunkt[f] Vi ser at linja y = 5 er vannrett asymptote og linja x= 0 ( y-aksen) er loddrett asymptote. Nullpunktet er 500. a Totale kostnaden blir: leie av lokalet + pris per deltaker antall deltakere Det gir K( x) = x Utgifter per person blir da K( x) x Ex ( ) = = x x Aschehoug Side 9 av 15

93 b Vi skriver inn E(x)=( x/x) c E(103) = = 198, Prisen per person blir 199 kr. d Vi tegner linja y = 00 og finner skjæringspunktet mellom grafen til E og linja y med verktøyet Skjæring mellom to objekt. Det må minst komme 101 personer på festen for at prisen per person skal bli lavere enn 00 kr. 5.9 ax + b f( x) = x+ c Vi finner loddrett asymptote ved å sette nevneren lik null, og den loddrette asymptoten er x = 1. Det gir 1+ c = 0 c = 1 For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. ax + b ax f( x) = = a x 1 x Linja y = 4 er vannrett asymptote. Da har vi at a = 4. Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f( x ) = 0. Grafen har nullpunkt for x =. Aschehoug Side 93 av 15

94 4 + b = b = 0 b = 8 Det gir a= 4, b= 8 og c= x + 3 f( x) = x 4 a Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f( x ) = 0. 4x + 3 = 0 x 4 4x + 3= 0 b x = Nullpunktet er. 4 Vi finner eventuelle skjæringspunkter med andreaksen ved å regne ut f (0) f (0) = = Skjæringspunktet med andreaksen er 0, 4. For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. 4x+ 3 4x f( x) = = x 4 x Linja y = er en vannrett asymptote. Vi ser at nevneren blir null for x =, men ikke telleren. Linja x = er en loddrett asymptote. Aschehoug Side 94 av 15

95 c x f(x) 1,5 1,1 0, 0,8 3,5 7,5 4,8 3,8 3,4,7 d D = \ {} og V = \ {} f f 5.94 ax + b a f( x) =, Df = \ {4} x 4 Grafen skjærer førsteaksen i punktet (, 0). Det gir f () = 0 a + b = 0 4 a+ b= 0 Grafen skjærer andreaksen i punktet (0,1,5). Det gir f (0) = 1, 5 a 0 + b = 1, b = 1, 5 ( 4) = 6 Aschehoug Side 95 av 15

96 b a+ b= 0 a 6= 0 a = 3 a= 3 og b= 6. 3x 6 f( x) = x 4 For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir et svært stort positivt tall. 3x 6 3x f( x) = = 3 x 4 x Linja y = 3 er en vannrett asymptote. Vi ser at nevneren blir null for x = 4, men ikke telleren. Linja x = 4 er en loddrett asymptote. x f(x),6,3 1, ,5 4 3,5 Aschehoug Side 96 av 15

97 5.95 a b c 30 Vekstfaktoren blir 1 = 0, Ny verdi = gammel verdi vekstfaktor Det gir 80 0,70 = 56 Hvis du har kundekort, koster en tur 56 kr. Totale kostnader = prisen for kundekort + pris per tur antall turer. Det gir K( x) = x Utgifter per tur blir da når Sigrid tar x turer: K( x) x 400 Px ( ) = = = + 56 x x x Løsninger til oppgavene i boka Vi tegner grafen til f i GeoGebra med kommandoen f(x)=funksjon[400/x+56,5,30]. d 400 P (15) = + 56 = 8, Hvis Sigrid kjører 15 turer, blir prisen 83 kr per tur. Aschehoug Side 97 av 15

98 e < 80 x 400 < x 400 < 4 x 400 x < 4 x x> 0 x 400 x > 4 x > 16,7 Sigrid må kjøre minst 17 turer for at kundekortet skal lønne seg. I GeoGebra åpner vi CAS og skriver inn ulikheten. Så trykker vi på og får 5.96 Vi lar x m være lengden og y m være bredden i rektanglet. Arealet er l b= x y = 4 Vi får da x y = 4 4 y = x a Prisen for gjerdet blir da f( x) = 400 x+ 00 x+ 00 y 4 f( x) = 600x+ 400 x 9600 f( x) = 600 x+, x> 0 x Aschehoug Side 98 av 15