6 Vekstfart og derivasjon

Transkript

1 Løsning til KONTROLLOPPGAVER 6 Vekstfart og derivasjon OPPGAVE 1 a) Økningen i snødybden fra den 10. desember til den 15. desember var S S(15) S(10) 47,5 cm 0 cm 17,5 cm Antall dager var 15 dager 10 dager 5 dager Den gjennomsnittlige økningen i snødybden per dag var S 17,5 cm,5 cm per dag 5 dager b) Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til S. c) Vi har tegnet inn tangenten til grafen til S i punktet (5, S(5)) og markerer stigningstallet til tangenten i figuren ovenfor. Punktet markerte vi ved å skrive inn (5, S(5)) i algebrafeltet. For å tegne tangenten brukte vi kommandoen Tangent(<Punkt>, <Funksjon>). For å finne stigningstallet til tangenten brukte vi kommandoen Stigning(<Linje>). Den 5. desember var snødybden i ferd med å øke med cm per dag.

2 OPPGAVE a) Vi løser likningen f( x) x x x x x 0 x1 0 x 0 x f har nullpunkt x 0 og x. b) Vi deriverer f og får x x 1 6 f ( x) x x x x Vi tegner fortegnslinje for f ( x). f har toppunkt når x 0 og bunnpunkt når x f (0) og f () f har toppunkt 0, 0 og bunnpunkt,. c)

3 d) f () Den gjennomsnittlige vekstfarten mellom x 0 og x er gitt ved y f () f (0) e) Den momentane vekstfarten når x er 1 9 f () f) Stigningstallet, a, til tangenten til f når x er lik f (). Tangenten går gjennom punktet, f (), 0. Ettpunktsformelen gir y y a x x 1 1 y 0 ( x ) y x g) Den andre tangenten må ha samme stigningstall. Vi løser derfor likningen 1 x x x x x x 0 x 1 x 0 x 1 x 1 f( x). Den andre tangenten tangerer f når x 1. Vi regner ut f ( 1) og bruker ettpunktsformelen til å finne likningen til tangenten f ( 1) y x 1 y x y x 5 y x 6

4 OPPGAVE a) Ettersom f har bunnpunkt i 4, 4 vet vi at f (4) 4 og at f (4) 0. På samme måte vet vi at f () 0 og at f () 0 når f har toppunkt i, 0. Vi skriver inn funksjonen, likningene og løser likningssettet i CAS. b) Vi tegner f( x) x 9x 4x 0 i GeoGebra og ser at maksimumsverdien og minimumsverdien i intervallet 0, 6 er i endepunktene. Minimumsverdien finner i endepunktet x 0 og maksimumsverdien i endepunktet x 6. f (0) Maksimumsverdien er 16, minimumsverdien er 0. OPPGAVE 4 a) Vi må regne ut grenseverdien f (0 ) f (0) lim 0 Her er f (0) f x f x x x x x (0 ) ( ) ( ) 6 ( ) 6 Grenseverdien blir

5 f (0 ) f (0) ( ( ) 6 ) ( ) ( ) 6 lim lim lim ( 6) lim lim( 6) Dermed er f (0) 6. b) f x x x ( ) 6 f ( x) x 6 6x 6 c) Vi finner fortegnslinja til f ( x) 6x 6 6( x 1). Monotoniegenskaper: Funksjonen er strengt voksende når x < 1. Funksjonen er strengt minkende når x > 1. d) 0, f (0) 0, Fra oppgave a har vi at f (0) 6. Dermed vet vi at stigningstallet til tangenten i punktet (0, ) er a = 6. Likningen for tangenten er da på formen y = 6x + b. Videre vet vi at punktet (0, ) ligger både på grafen til f og på tangenten. Da må vi ha: 6 0 b b Likningen for tangenten er y = 6x e) Vi tegner grafen til f med tangenten i GeoGebra.

6 OPPGAVE 5 a) Vi tegner grafen til T med GeoGebra. b) Vi deriverer T og får T x x x ( ) 0,007 0, 1 1,44 0,01x 0, 4x 1,44 Andregradsformelen gir at T( x) 0 når x = 4 og når x = 16. Det gir T( x) 0,01( x 4)( x 16) Vi lager en fortegnslinje for T ( x). Fortegnslinja for T ( x) viser at T har et bunnpunkt for x = 4. T(4) = 15,5 Vi må også sjekke randpunktet x = 1. T(1) = 17,6 Temperaturen i badevannet var lavest den 4. juli. Temperaturen i vannet var da 15,5 C. c) Vi bruker fortegnslinja for T ( x) fra oppgave b. Fortegnslinja viser at T har et toppunkt for x = 16. T(16) = 1,6 Vi må også sjekke randpunktet x = 0. T(0) = 18 Temperaturen i badevannet var høyest den 16. juli. Temperaturen i vannet var da 1,6 C.

7 d) Fortegnslinja fra oppgave b viser: Temperaturen i badevannet steg fra og med den 4. juli til og med den 16. juli. OPPGAVE 6 x lim x 1 lim x x1 x1 OPPGAVE x lim x1 x1 x 1 a) Vi finner grensekostnaden og grenseinntekten ved derivasjon. K '(x) = 0,04x + 60 I '(x) = 0,0x ) Vi setter x = 500 og får K '(500) = 0, = 80 I '(500) = 0, = 86 Siden I '(500) > K '(500), vil det lønne seg å øke produksjonen. ) Vi setter x = 700 og får K '(700) = 0, = 88 I '(700) = 0, = 8 Siden I '(700) < K '(700), vil det ikke lønne seg å øke produksjonen. b) Når overskuddet er størst, er grenseinntekten lik grensekostnaden. I '( x) K '( x) 0,0x + 96 = 0,04x ,0x 0,04x = ,06x = 6 6 x 0,06 x = 600 Overskuddet er størst når vi produserer 600 enheter.