Nicolai Kristen Solheim

Transkript

1 Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1

2 Fra grafen for ser vi følgende for : avtar vokser 0,, hvor 0 er en asymptote og er et 0 punkt hvor er et 0 punkt avtar, hvor er et 0 punkt vokser, hvor er en asymptote vokser, hvor er et 0 punkt avtar, hvor er et 0 punkt vokser, hvor er et 0 punkt avtar, 2 hvor 2 er en asymptote 0 punkt vil si at tangenten for 0. 2

3 1b) Deretter ønsker vi å finne lokale og globale ekstrempunkter til, men da har asymptoter vil de globale minimums og maksimumspunktene ikke være definert for. Dersom vi løser for 0 vil det være mulig å finne de lokale minimum og maksimumspunktene for. For å gjøre dette enklere ønsker vi å forenkle uttrykket ved å bare ha cos i telleren som to faktorer. Videre vet vi at sin cos 1 Dersom vi multipliserer med 8 på hver side kan vi løse for 8sin. 8sin 8cos 8 8sin 88cos Fra dette vet vi at én av de to faktorene i cos3 12cos må være 0. Med andre ord ønsker vi å løse både for cos 0 og 3 12cos 0, hvor 0,2. cos 0 når,. cos 0, når 0,2 cos 0 når,. 3 12cos 0 cos,,, når 0,2 3 12cos 0 når,,,. 3

4 Nå som vi har en rekke punkter, ønsker vi å løse for sin 0. Dette vil gi oss asymptotene til. sin 0 0,, 2 sin 0 når 0,, 2 Deretter kan vi sette inn dataen for grafen. For i intervallet 0, 2 får vi asymptoter på 0, og 2. Lokale maksimums og minimumspunkt er følgende: For i intervallet 0, : Lokalt maksimumspunkt: Lokale minimumspunkt:, For i intervallet, 2 Lokale maksimumspunkt:, Lokalt minimumspunkt: 4

5 1c) Ved å integrere vil det være mulig å finne arealet under grafen på intervallet,. Den integrerte av er funnet på følgende måte: Vi ønsker å erstatte sin med et uttrykk bestående av cos : cos sin 1 sin 1 cos Og vi ønsker også å erstatte cos med : cos sin 1 Gitt at cos vil sin Ved delbrøkoppspaltning får vi et nytt uttrykk for Hvor A. og,,, er ukjente. Vi må derfor løse for de ukjente for å kunne løse integralet ved hjelp av delbrøkoppspalting. A 1 A 1 A 1 A 5

6 Dette gir 4 likninger: 1 A A A A Vi løser for dette på følgende måte:

7 Fra dette har vi fått følgende verdier: 0 A Herfra kan vi løse integralet. 1. ledd: Gitt at 1 vil 101 ln ln 1 2. ledd: Gitt at 1 vil 011 ln ln1 3. ledd: 7

8 Gitt at vil tan Med dette får vi: ln 1 ln1 tan ln 1 ln1 tan lncos 1 ln1 cos tan Arealet i intervallet, finner vi ved å regne ut integralet for verdiene. lncos 1 ln1 cos tan ln cos 1 ln 1 cos ln cos 1 ln 1 cos tan tan skal tilsvare det mørke arealet på grafen. 8

9 1d) 2, 0, 2,, 0, 2, Dette gir følgende for : Vi kan bruke l Hopitals regel for 0 0 uttrykk for å finne grenseverdiene når 0,, 2. lim lim lim Fra dette vet vi at er en kontinuerlig funksjon på intervallet 0, 2, da funksjonsverdiene på disse tre punktene er definert i motsetning til hvor disse punktene var asymptoter. Vi kan med dette skrive følgende for den kontinuerlige funksjonen på intervallet 0, 2:, 0, 2,, 0,,2 9

10 Oppgave 2. 2a) Ut fra grafen er det ikke mulig å se graden av polynomet på intervallet 0, 1. Den stiplete linjen av den deriverte grafen representerer en funksjon av lavere grad, mens den andre linjen representerer en funksjon av høyere grad. Graden av på intervallet 1, 2 vil ikke ha noen stor betydning. Ut fra dette kan vi anta at en kontinuerlig grafe på intervallet 0, 2, avhengig av graden av på intervallet 0, 1 : 10

11 En derivert av vil ut fra de andre grafene ha en asymptote på 1, hvor på intervallet 0, 1 vil være konveks eller lineær avhengig av graden på. 2b) vil på intervallet 0, 2 ha et lokalt minimumspunkt 0 0, og et lokalt maksimumspunkt 2, som sannsynligvis vil være 2 1 ut fra grafene vi har laget. 2 vil også tilsvare arealet til på intervallet 0, 2 som vil ligge rundt 1. Et heltallig estimat er derfor 2 1. Dersom vi ser på monotoniegenskapene til vil vi se at funksjonen er monoton da er positiv på intervallet 0, 2. Med andre ord er en voksende funksjon på det definerte intervallet. Vi kan likevel se på tangentverdier på intervallet., 0 minimumspunkt hvor tangentens stigning er 0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.3, 1.3, 1.7, 1.7, 2.0 tangentens stigning vokser tangentens stigning avtar, men er fortsatt positivt tangentens stigning vokser tangentens stigning avtar, men er fortsatt positivt, 2 maksimumspunkt hvor tangentens stigning er 0 Det kan også være interessant å se på som befinner seg i definisjonsområdet 0 2 og. Dersom vi ser på monotoniegenskapene vil vi se at er monoton på intervallene 0.0,1.0, 1.0,1.5 og 1.5,2.0. vil ikke være kontinuerlig da den ikke definert på 1 og 2, da det på disse verdiene eksisterer asymptoter på i det definerte intervallet. 11