GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T"

Transkript

1 GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2 Linje gjennom to punkter 3.2 Nullpunkter 3.2 Å finne y- og x-verdier 3.3 Lineær regresjon 3.3 Andregradsfunksjoner 3.4 Grafisk løsning 3.4 Tredjegradsfunksjoner 3.4/6.7 Rasjonale funksjoner 3.5 Eksponentialfunksjoner 3.7 Potensfunksjoner 3.7 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Binomialkoeffisient I 4.8 Binomialkoeffisient II 4.8 Binomiske sannsynligheter 4.8 Kumulative binomiske sannsynligheter 4.8 Binomisk og kumulativ binomisk i regneark 4.8 Utregning av algebraiske uttrykk 5.1 Forenkle uttrykk 5.1 Kvadratsetningene 5.2 Faktorisering 5.2 Grafisk løsning av likningssett I 5.4 Grafisk løsning av likningssett II 5.4 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 5.6 Grafisk løsning av logaritmelikninger 5.7 Gjennomsnittlig vekstfart 6.1 Momentan vekstfart 6.2 Den deriverte 6.5 Fortegnslinje for den deriverte 6.6 Tabell med funksjonsverdier og derivertverdier 6.7 Å bruke den deriverte til å finne når et uttrykk er størst mulig 6.7 Størst mulig overskudd 6.7 Aschehoug

2 Rettvinklede trekanter med GeoGebra Du skal finne ukjente vinkler og sider i den rettvinklede trekanten ABC, der AC = 6 cm, A 40 og B 90. Klikk på Vis og huk av for Rutenett og Algebrafelt. Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og velg Stråle gjennom to punkter. Klikk på to steder (A og B) i Grafikkfeltet slik at du får tegnet strålen fra A gjennom B. Se figuren nedenfor. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og velg Vinkel med fast størrelse. Klikk på B og deretter på A. Da får du dette bildet: Endre til 40 og klikk OK. Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og velg Stråle gjennom to punkter. Klikk på A og B. Strålen fra A gjennom B blir tegnet. Klikk på ikon nr. 6 fra venstre og velg Sirkel definert ved sentrum og radius. Klikk på A og skriv 6 som Radius. Klikk OK. Da får du dette bildet: Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og velg Skjæring mellom to objekter. Klikk først på sirkelbuen og deretter på linja b. Da får du punktet C. Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og velg Normal. Klikk først på punktet C og deretter på linja a. Da får du normalen d gjennom punktet C ned på linja a. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og velg Skjæring mellom to objekter. Klikk først på normalen d og deretter på linja a. Da får du punktet D. Aschehoug Side 1 av 2

3 Høyreklikk på D og velg Gi nytt navn. Skriv B som nytt navn. Nå har du konstruert trekanten ABC. Klikk på ikon nr. 5 fra venstre og velg Mangekant. Klikk på punktene A, B, C, og A i denne rekkefølgen. Klikk på ringene foran B 1, B,a, b, c og d i Algebrafeltet. Da har du dette bildet: Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og velg Vinkel. Klikk inne i trekanten. Da får du se størrelsene på vinklene. (Trykk på ringen foran i Algebrafeltet.) Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og velg avstand eller lengde. Klikk på sidene i trekanten. Da får du lengden av sidene. Aschehoug Side 2 av 2

4 GeoGebra: Ikke-rettvinklede trekanter I Du skal finne ukjente sider, vinkler og arealet av trekanten ABC. AB = 5,0 cm, AC = 4,0 cm og vinkel A 63. Klikk på Vis og huk av for Rutenett og Algebrafelt. Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og velg Linjestykke med fast lengde. Klikk der du vil ha punktet A i Grafikkfeltet og skriv 5.0 som Lengde. Klikk OK. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og velg Vinkel med fast størrelse. Klikk på punkt B og deretter på punkt A. Skriv 63 og klikk på OK. Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og velg Stråle gjennom to punkter. Klikk på punkt A og deretter på punkt B. Klikk på ikon nr. 6 fra venstre og velg Sirkel ved sentrum og radius. Klikk på punkt A og skriv 4.0 og klikk på OK. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og velg Skjæring mellom to objekter. Klikk på sirkelbuen c og deretter på strålen b. Du får dette bildet: Klikk på ringene foran B, a, b:, c: og α i Algebrafeltet. Klikk på ikon nr. 5 fra venstre og velg Mangekant. Klikk på punktene A, B, C og A i Grafikkfeltet. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og velg Avstand eller lengde. Klikk på sidene i trekanten. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og velg Vinkel. Klikk et sted i trekanten. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og velg Areal. Klikk et sted i trekanten. Aschehoug Side 1 av 2

5 Du har nå dette bildet: Av figuren ser du at BC = 4,8 cm, vinkel B 48, vinkel C 69 og arealet av trekanten er 8,9 cm 2. Aschehoug Side 2 av 2

6 GeoGebra: Ikke-rettvinklede trekanter II Du skal finne ukjente vinkler i trekanten ABC. AB = 8,0 cm, BC = 5,0 cm og AC = 10,0 cm. Klikk på Vis og huk av for Rutenett og Algebrafelt. Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og velg Linjestykke med fast lengde. Klikk der du vil ha punktet A i Grafikkfeltet og skriv 8.0 som Lengde. Klikk OK. Klikk på ikon nr. 6 fra venstre og velg Sirkel definert ved sentrum og radius. Klikk på punktet B og skriv 5.0 som Radius. Klikk OK. Klikk på punktet A og skriv 10.0 som Radius. Klikk OK. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og velg Skjæring mellom to objekter. Klikk på de to sirkelbuene. Du får punktene C og D. Høyreklikk på punktet D, velg Nytt navn, skriv C og klikk på OK. Klikk på ringen foran C 1, c og d i Algebrafeltet. Da får du dette bildet: Du kan tegne resten av trekanten på to måter. Metode 1 Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og velg Linjestykke mellom to punkter. Klikk på punktet B og deretter på punktet C. Klikk på punktet C og deretter på punktet A. Gi nye navn på sidene. Klikk på ikon nr. 3 fra høyre og velg Vinkel. Klikk på punktene B, A og C i denne rekkefølgen. Du får verdien for vinkel A. Du finner verdiene for de andre vinklene ved å gå fram på samme måte. Høyreklikk på siden a. Velg Egenskaper og Navn og verdi under Vis navn, klikk på Lukk. Du får lengden av siden BC. Aschehoug Side 1 av 2

7 Metode 2 Klikk på sirkelen til venstre for a = 8 i Algebrafeltet. Klikk på ikon nr. 5 fra venstre og velg Mangekant. Klikk på punktene A, B, C og A. Lengdene av sidene a 1, b og c 1 ser du i Algebrafeltet. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og velg Vinkel. Klikk inne i trekanten. Du får dette bildet: Aschehoug Side 2 av 2

8 Graftegning med GeoGebra Du skal tegne grafen til y = 2x +1. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Akser, Rutenett og Algebrafelt. Skriv y = 2x + 1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen dukker opp i Grafikkfeltet. x-aksen skal gå fra 3 til 3, og det samme skal y-aksen. Innstillinger av aksene kan gjøres på flere måter, men her viser vi to. Metode 1 Høyreklikk på Grafikkfeltet og velg Egenskaper. Endre Min for x-aksen til 3 og Maks til 3. Klikk på y-akse og foreta de samme endringene her. Klikk på Lukk og du får bildet nedenfor. Metode 2 Klikk på Flytt grafikkfelt. (, knapp nr. 1 fra høyre.) Dra i aksene med venstretasten slik at innstillingen blir som ønsket, se bildet ovenfor. I stedet for å aktivere Flytt grafikkfelt kan du holde Shift-tasten nede. Denne virker som hurtigtast til Flytt grafikkfelt. Aschehoug Side 1 av 1

9 Graftegning med gitt definisjonsmengde med GeoGebra Du skal tegne grafen til y = 2x + 1 med definisjonsmengden D = [ 1, 1]. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Akser, Rutenett og Algebrafelt. Skriv funksjon[2x + 1,-1,1] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen dukker opp i Grafikkfeltet. Se bildet nedenfor. Legg merke til at i Algebrafeltet har GeoGebra gitt funksjonsuttrykket navnet f(x) og ikke y. Grafen har fått navnet f. Aschehoug Side 1 av 1

10 Linje gjennom to punkter med GeoGebra Du skal finne likningen for linja som går gjennom punktene A = ( 2, 3) og B = (3, 1). Du kan klikke på Nytt punkt ( i Grafikkfeltet., knapp nr. 2 fra venstre), og deretter klikke inn punktene Men du kan også benytte Inntastingsfeltet. Skriv A = (-2,3) og trykk Enter. Deretter B = (3,-1). Avslutt med Enter. Klikk på Linje gjennom to punkter (, knapp nr. 3 fra venstre), og deretter på punktene A og B i Grafikkfeltet. Da får du dette bildet: Linja har fått navnet a og likningen 4x +5y = 7. Hvis du ønsker å skrive likningen på formen y = ax + b, høyreklikker du på likningen i Algebrafeltet og velger Likning y = ax + b. Da får du likningen y = 0,8x + 1,4. Aschehoug Side 1 av 1

11 Nullpunkter med GeoGebra Du skal finne nullpunktet for funksjonen Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. 3 f( x) = x+ 1,5. 7 Metode 1 Skriv Nullpunkt[f] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skjæringspunktet A mellom grafen til f og x-aksen dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på A, velg Egenskaper og velg Verdi under Vis Navn. Da får du bildet nedenfor. Førstekoordinaten til skjæringspunktet med x-aksen er 3,5. (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Nullpunktet er derfor 3,5. Metode 2 Etter at grafen er tegnet kan du finne nullpunktet ved å klikke på Skjæring mellom to objekter. (, knapp nr. 2 fra venstre), og deretter klikke på grafen til f og på x-aksen. Skjæringspunktet A dukker da opp. Aschehoug Side 1 av 1

12 Å finne y- og x-verdier med GeoGebra Prisen på en drosjetur er gitt ved funksjonen y = 25x+ 50. y er prisen i kroner når vi kjører x km. Du skal bruke GeoGebra til å finne a prisen på en tur på 9,6 km. (Du skal altså finne y når x = 9,6.) b hvor langt vi kan kjøre for 147 kr. (Du skal finne x når y = 147.) Vi lar navnet på funksjonsuttrykket ovenfor være P(x), og tegner grafen fra x = 0 til x = 12. a metode 1 Skriv A = (9.6,P(9.6)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. A vil da dukke opp på grafen til P med x-verdi 9,6. Høyreklikk på A og velg Egenskaper, Grunninnstillinger og verdi under Vis Navn. Du får da bildet nedenfor. Av figuren ser vi (både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet) at y er 290 når x er 9,6. Prisen på en tur på 9,6 km er 290 kr. Aschehoug Side 1 av 3

13 a metode 2 Tast x = 9.6 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Linja x = 9,6 er tegnet. Klikk på Skjæring mellom to objekter. (, knapp nr. 2 fra venstre), og deretter klikk på grafen til P og på linja x = 9,6. Skjæringspunktet A dukker da opp. Høyreklikk på A og velg Egenskaper, Grunninnstillinger og Verdi under Vis Navn. Du får da bildet nedenfor. Av figuren ser du (både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet) at y er 290 når x er 9,6. Prisen på en tur på 9,6 km er 290 kr. Aschehoug Side 2 av 3

14 b Tast y = 147 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Linja y = 147 er tegnet. Klikk på Skjæring mellom to objekter. (, knapp nr. 2 fra venstre), og klikk deretter på grafen til P og på linja y = 147. Skjæringspunktet A dukker da opp. Høyreklikk på A og velg Egenskaper, Grunninnstillinger og verdi under Vis Navn. Du får da bildet nedenfor. Både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet ser du at x = 3,88 når y = 147. For 147 kr kan vi altså kjøre 3,9 km. Aschehoug Side 3 av 3

15 Lineær regresjon med GeoGebra Du skal bruke lineær regresjon til å finne den linja som passer best til punktene A = (1, 1), B = (4, 2), C = (6, 3) og D = (9, 3) Metode 1 Legg punktene inn i Grafikkfeltet. Deretter klikker du på F-pila (, knapp nr. 1 fra venstre), holder venstre musetast nede og markerer det området punktene ligger i. Klikk på Beste tilpasset linje (, knapp nr. 4 fra venstre). Deretter høyreklikker du på a i Algebrafeltet, og velger Likning y = ax + b. GeoGebra foreslår y = 0,26x + 0,93 som den best tilpassede linja. Metode 2 Lag en liste med punktene A, B, C og D. Skriv inn i Inntastingsfeltet: L = {(1,1), (4,2), (6,3), (9,3)} Trykk ENTER. Klikk på ringen foran L i Algebrafeltet. Aschehoug Side 1 av 3

16 Skriv reglin[l] i Inntastingsfeltet og trykk ENTER. NB! Hvis punktene A, B, C og D er lagt inn i Algebrafeltet, kan du lage lista slik: L = {A, B, C, D} Metode 3 Du kan legge punktene inn i regnearket. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv inn punktene i regnearket. Klikk på F-pila ( inneholder punktene., knapp nr. 1 fra venstre) og marker det området i regnearket som Høyreklikk på det markerte området og velg Lag liste med punkter ( venstre)., knapp nr. 4 fra Høyreklikk på liste 1 i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Skriv L i stedet for liste 1. Trykk OK. Nå kan du skrive reglin[l] i Inntastingsfeltet. Aschehoug Side 2 av 3

17 Korrelasjonskoeffisient Skriv korrelasjonskoeffisient[l] i Inntastingsfeltet og trykk ENTER. I Algebrafeltet vil det nå stå b = Dette er korrelasjonskoeffisienten. Aschehoug Side 3 av 3

18 Andregradsfunksjoner med GeoGebra Du skal finne eventuelle nullpunkter, topp- eller bunnpunkter. 2 Ta for deg funksjonen f ( x) = x 2x 3. Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. 2 Tips! Du kan taste inn x slik: Skriv x og deretter hold Alt-tasten nede og skriv 2. Nullpunkter Skriv Nullpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skjæringspunktene A og B mellom grafen til f og x-aksen dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på A, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Gjør det samme med B. Tips! Etter at du har utført handlingen ovenfor med punkt A kan du klikke på Kopier format eller stil (, knapp nr. 1 fra høyre), og klikke først på punkt A og deretter på punkt B. Da får du bildet nedenfor. Førstekoordinatene til skjæringspunktene med x-aksen er 1 og 3. (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Nullpunktene er derfor 1 og 3. Aschehoug Side 1 av 2

19 Bunnpunkt Skriv Ekstremalpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Bunnpunktet C dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på C, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Da får du bildet nedenfor. Grafen har bunnpunktet (1, 4). (Dette ser du også i Algebrafeltet.) For å finne toppunkter går du fram på samme måte. Aschehoug Side 2 av 2

20 Grafisk løsning med GeoGebra Ved produksjon av en vare regner en bedrift med at inntekten I(x) og kostnaden K(x) i kroner er gitt ved funksjonene 2 K( x) = 0,2x I( x) = 12x x er antall produserte og solgte enheter per dag. Du skal finne grafisk hvor stor produksjonen må være for at inntekten skal bli lik kostnaden når produksjonen gir overskudd Tegn først grafene til K og I. Tilpass aksene slik at vi ser skjæringspunktene mellom grafene i Grafikkfeltet. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktene A og B dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Under Egenskaper velger du Navn og verdi for begge punktene. Du får da bildet nedenfor. Av figuren ser du at inntekten er lik kostnaden for x = 10 og for x = 50. Når det produseres og selges 10 enheter eller 50 enheter er inntekten lik kostnaden. Produksjonen gir overskudd når inntekten er større enn kostnaden. Da ligger grafen til I ovenfor grafen til K. Av figuren ser vi at dette er tilfelle når x er mellom 10 og 50. Produksjonen gir overskudd når det produseres mellom 10 og 50 enheter per dag. Aschehoug Side 1 av 1

21 Tredjegradsfunksjoner med GeoGebra Du skal finne eventuelle nullpunkter, topp- eller bunnpunkter. 3 2 Ta for deg funksjonen f ( x) = x 3x x+ 3. Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. 2 Tips! Du kan taste inn x slik: Skriv x og deretter hold Alt-tasten nede og skriv 2. 3 Du kan taste inn x slik: Skriv x og deretter hold Alt-tasten nede og skriv 3. Nullpunkter Skriv Nullpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skjæringspunktene A, B og C mellom grafen til f og x-aksen dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på A, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Gjør det samme med B og C. Tips! Etter at du har utført handlingen ovenfor med punkt A kan du klikke på Kopier format eller stil ( og C., knapp nr. 1 fra høyre), og klikke først på punkt A og deretter på punktene B Da får du bildet nedenfor. Førstekoordinatene til skjæringspunktene med x-aksen er 1, 1 og 3. (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Nullpunktene er derfor 1, 1 og 3. Aschehoug Side 1 av 2

22 Bunnpunkt og Toppunkt Skriv Ekstremalpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Toppunktet D og bunnpunktet E dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på D, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Gjør det samme med E. Da får du dette bildet: Grafen har toppunktet ( 0,15, 3,08) og bunnpunktet (2,15, 3,08). (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Aschehoug Side 2 av 2

23 Rasjonale funksjoner med GeoGebra 3x + 3 Ta for deg funksjonen f( x) = 2x 4. Tegn grafen til f i grafikkfeltet. Tast inn slik i inntastingsfeltet: f(x)=(3x+3)/(2x-4) Trykk Enter og du får bildet nedenfor. Asymptoter GeoGebra finner ikke asymptotene. Hvis vi skal tegne disse, må vi skrive inn asymptoteuttrykkene i Inntastingsfeltet. Vertikal asymptote Skriv inn x=2 og trykk Enter. Horisontal asymptote Skriv inn y=3/2 og trykk Enter. Endre farge på asymptotene Høyreklikk på den ene asymptoten, og velg Egenskaper, farge og klikk på ønsket farge. Trykk Lukk. Etter at du har utført handlingen ovenfor med den ene asymptoten kan du klikke på kopier format eller stil (, knapp nr. 1 fra høyre), og klikke først på asymptoten du har endret farge på og deretter på den andre asymptoten. Aschehoug Side 1 av 2

24 Nullpunkter GeoGebra finner ikke eventuelle nullpunkter ved å skrive Nullpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykke Enter. Du må hjelpe til: Metode 1 Oppgi en x-verdi som ligger i nærheten av nullpunktet, for eksempel x = 2. Skriv Nullpunkt[f,-2] og trykk Enter. Metode 2 Oppgi et intervall som nullpunktet ligger i, for eksempel [ 2, 0]. NB! Intervallet må ikke inneholde bruddverdien x = 2. Skriv Nullpunkt[f,-2,0] og trykk Enter. Skjæringspunktet A mellom grafen til f og x-aksen dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på A, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Da får du bildet nedenfor. Førstekoordinaten til skjæringspunktet med x-aksen er 1. (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Nullpunktet er derfor 1. Aschehoug Side 2 av 2

25 Eksponentialfunksjoner med GeoGebra Du skal tegne grafen til funksjonen Tt ( ) = 85 0,92 t, med D = [0, 10]. Legg merke til at t er navnet på den variable. NB! I GeoGebra må du bruke x som navnet på den variable. Skriv derfor Funksjon[85*0.92^x,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Funksjonen får navnet f. Tilpass aksene slik at grafen blir tegnet i definisjonsområdet. Å endre navn Høyreklikk på funksjonsuttrykket i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Endre navnet til T. Å sette navn på aksene Høyreklikk i grafikkfeltet og velg Egenskaper. Skriv t under Navn på aksen. Klikk på yakse og skriv T(t) under Navn på aksen. Klikk på Lukk. Du får da dette bildet: Aschehoug Side 1 av 1

26 Potensfunksjoner med GeoGebra 0,25 Du skal tegne grafen til funksjonen f( m) = 200 m. Legg merke til at m er navnet på den variable. NB! I GeoGebra må du bruke x som navnet på den variable. Skriv derfor f(x) = 200x^-0.25 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Funksjonen får navnet f. Sett navn på aksene. Tilpass aksene slik at grafen blir tegnet for m-verdier opp til Aschehoug Side 1 av 1

27 Terningkast med GeoGebra Du skal simulere terningkast med GeoGebra. Skriv TilfeldigMellom[1,6] i inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet står det a = 2. Det viser at antall øyne på kastet er 2. (Kommandoen TilfeldigMellom[1,6] gir et tilfeldig tall fra og med 1 til og med 6.) Trykk F9 flere ganger og observer hva som skjer i Algebrafeltet med verdien av a. Du skal skrive resultatene av terningkastene i Grafikkfeltet. Klikk på Sett inn tekst. (, knapp nr. 2 fra høyre.) Klikk et sted i Grafikkfeltet. I tekstboksen som dukker opp skriver du: Terningkast Antall øyne er +a Det som står mellom anførselstegnene, skrives som tekst i Grafikkfeltet. +a gjør at verdien av a skrives. Klikk OK og bruk F-pila til å flytte teksten til ønsket sted i Grafikkfeltet. Høyreklikk på teksten i Grafikkfeltet, og klikk på Egenskaper og Tekst. Her kan du for eksempel endre størrelsen på teksten. Trykk F9 flere ganger og observer hva som skjer. Aschehoug Side 1 av 1

28 Valgtre I med GeoGebra Du skal bruke GeoGebra til å tegne et valgtre. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Rutenett og Algebrafelt. Fjern eventuelt avhukningen for Akser, slik at det bare er rutenettet som vises i Grafikkfeltet. Klikk på Nytt punkt. (, knapp nr. 2 fra venstre.) Klikk i Grafikkfeltet for å markere endepunktene til de greinene du skal tegne. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å fjerne avhukningen for Rutenett og Algebrafelt. Klikk på Linjestykke mellom to punkter. (, knapp nr. 2 fra venstre.) Klikk på punkt A og deretter på punktet B, for å lage greina mellom A og B. Lag de andre greinene på samme måte. Høyreklikk på punkt A og klikk på Egenskaper. Klikk på Punkt til venstre nedenfor Objekter. Klikk på avhukningen for Vis navn og deretter på Lukk. Aschehoug Side 1 av 3

29 Klikk på Sett inn tekst. (, knapp nr. 2 fra høyre.) Klikk i Grafikkfeltet og skriv K og klikk OK. (Siden GeoGebra allerede har brukt navnet K på et punkt, må du skrive anførselstegnene. Hvis ikke, vil koordinatene for punktet K skrives i Grafikkfeltet.) Bruk F-pila til å flytte teksten til ønsket sted. Aschehoug Side 2 av 3

30 Vi bruker samme metode til å sette navn på de andre greinene: Aschehoug Side 3 av 3

31 Valgtre II med GeoGebra Vi har tegnet valgtreet nedenfor. Se framgangsmåten under Valgtre I med GeoGebra. Du skal sette inn sannsynlighetene skrevet som brøker langs greinene. Klikk på Sett inn tekst og klikk et sted på Grafikkfeltet. Klikk i firkanten foran LaTeXformel. Klikk på nedtrekkspila og velg a/b. I tekstboksen fyller du inn teller og nevner i brøken, for eksempel 2 og 5. Aschehoug Side 1 av 3

32 Klikk på OK. Bruk F-pila til å flytte brøken til ønsket sted. Bruk samme metode til å legge inn de andre sannsynlighetene. Nedenfor viser vi hvordan vi skrev inn produktet av brøkene ovenfor. \cdot er LaTeX-symbolet for gangetegn. Aschehoug Side 2 av 3

33 Vi legger inn de andre produktene på samme måte. Aschehoug Side 3 av 3

34 Binomialkoeffisient I med GeoGebra Du skal finne binomialkoeffisientene og med GeoGebra. 16 Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Algebrafelt. Fjern eventuelt avhukningen for Akser og Rutenett. Skriv BinomialKoeffisient[5,2] i inntastingsfeltet og trykk Enter. 5 I Algebrafeltet står det a = 10. Det viser at binomialkoeffisienten 2 er 10. Hvis du holder musepekeren over a i Algebrafeltet, får du bildet nedenfor. Dobbeltklikk på a i Algebrafeltet. I boksen som dukker opp, endrer du 5 over 2 til 20 over 16. Klikk på OK. Hvis du holder musepekeren over a i Algebrafeltet, får du bildet nedenfor. Aschehoug Side 1 av 1

35 Binomialkoeffisient II med GeoGebra Du skal finne binomialkoeffisienten n r med GeoGebra. n og r er hele, positive tall. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Algebrafelt. Fjern eventuelt avhukningen for Akser og Rutenett. Skriv n = 1 i Inntastingfeltet og trykk Enter. Klikk i rundingen foran n i Algebrafeltet. Da får du dette bildet. I Grafikkfeltet har du fått glideren for n. Du kan klikke på F-pila og deretter på punktet på glideren. Hvis du drar punktet, endrer du verdien til n. Høyreklikk på glideren, klikk på Egenskaper og deretter på fanen Glider. Siden n er et helt, positivt tall, endrer du Min fra 5 til 1. Endre Maks til for eksempel 20. Animasjonstrinnet endrer du til 1. Endre Bredde til for eksempel 200. Klikk på Lukk. Aschehoug Side 1 av 2

36 Skriv r = 1 i Inntastingfeltet og trykk Enter. Klikk i rundingen foran r i Algebrafeltet. Fortsett slik du gjorde for n. Da får du dette bildet. Skriv BinomialKoeffisient[n,r] i inntastingsfeltet og trykk Enter. 1 I Algebrafeltet står det a = 1. Det viser at binomialkoeffisienten er 1. 1 Klikk på F-pila og flytt punktene på gliderne slik at n = 15 og r = 5. Da får du bildet nedenfor. 15 Binomialkoeffisienten er Hvis du skal regne ut for større verdier enn 20 for n eller r, må du endre Maks under glideregenskapene. Du må vurdere om du da bør endre Bredde. Du bør også vurdere om verdien for Min bør endres. Aschehoug Side 2 av 2

37 Binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 20 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at 16 av de 20 frøene spirer. Skriv n = 20 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 20 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv r = 16 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for r = 16 i Algebrafeltet. Glideren for r dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv BinomialKoeffisient[n,r] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter.! 20" I Algebrafeltet står a = Det betyr at # $ = % 16 & Skriv a*p^r*(1-p)^(n-r) i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står b = Det betyr at P(16 av 20 frø vil spire) = 0,13. For å finne andre binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, r og p. Aschehoug Side 1 av 1

38 Kumulative binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 20 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at minst 12 av de 20 frøene spirer. Skriv n = 20 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 20 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv a = 12 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for a = 12 i Algebrafeltet. Glideren for a dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv b = 20 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for b = 20 i Algebrafeltet. Glideren for b dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv Sum[Følge[BinomialKoeffisient[n,r]*p^r*(1-p)^(n-r),r,a,b]] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står c = Det betyr at P(minst 12 av 20 frø vil spire) = 0,887. For å finne andre kumulative binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, p, a og b. Aschehoug Side 1 av 1

39 GeoGebra: Binomiske sannsynligheter og kumulative binomiske sannsynligheter i regneark En bestemt type frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi sår 10 frø og ser om de spirer. Binomiske sannsynligheter Vi går ut fra at dette er et binomisk forsøk og bruker formelen n r n r Pr ( frø spirer) p 1 p r Her er n 10 og p 0,70. Vi vil bruke regnearket i GeoGebra til å finne sannsynligheten for at r frø spirer for ulike verdier av r. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, p i rute B1, r i rute C1, BinomialKoeffisient[n,r] i rute D1 og P(r frø spirer) i rute E1. Skriv 10 i rute A2, 0.70 i rute B2, 0 i rute C2. Skriv C2 +1 i rute C3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute C3 og dra nedover til og med rute C12. Da står tallene 0, 1, 2,..., 10 i rutene C2 C12. Skriv BinomialKoeffisient[$A$2,C2] i rute D2. Dra markøren i ruta nedover til og med rute D12. I rutene D2 D12 står verdiene for ,,..., Skriv D2*$B$2^C2*(1-$B$2)^($A$2-C2) i rute E2. (Du kan i stedet for de to gangetegnene * taste mellomrom.) Dra markøren i ruta nedover til og med rute E12. Da får du bildet nedenfor. Du ser for eksempel at P(7 frø spirer) 0,267. Aschehoug Side 1 av 2

40 Kumulative binomiske sannsynligheter Skriv E2 i rute F2. Skriv F2 + E3 i rute F3. Dra markøren i rute F3 nedover til og med rute F12. Da får du dette bildet: For eksempel ser du at det står 0,617 i rute F9. Det betyr at P(høyst 7 frø spirer) = 0,617. Aschehoug Side 2 av 2

41 Utregning av algebraiske uttrykk med GeoGebra GeoGebra kan regne ut algebraiske uttrykk som inneholder én bokstav. NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Vi viser tre eksempler på utregning av uttrykk med GeoGebra. Du skal regne ut (2x + 3)(x 4). Skriv RegnUt [(2x + 3)(x 4)] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. GeoGebra gir svaret på utregningen som et funksjonsuttrykk. (Svaret er gitt som 2 f( x) = 2x 5x 12til venstre på bildet ovenfor.) I tillegg tegner GeoGebra grafen til denne funksjonen. Du skal regne ut 2 x x Skriv RegnUt [(2x+3)/2-(2x-1)/6] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså 2 x x Du skal regne ut. 2x Skriv RegnUt[(x+6)/(2x+4)-(1/6)] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Legg merke til at GeoGebra her gir et svar som kan forenkles til x + 8 3( x + 2) eller x + 8 3x + 6. GeoGebra kan også forenkle uttrykket i Algebrafeltet. Det viser vi under Forenkle algebraiske uttrykk. Aschehoug Side 1 av 1

42 Forenkle uttrykk med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Du skal forkorte brøken 2 x 6. 4 Skriv Forenkle [(2x+6)/4] i inntastingsfeltet og trykk Enter. x 3 Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. 2 2 x 3x Du skal forkorte brøken. 2x 6 Skriv Forenkle [(x 2 +3x)/(2x+6)] i inntastingsfeltet og trykk Enter. x Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. 2 x 6 1 I Utregning av algebraiske uttrykk skulle du regne ut. 2x 4 6 2x 16 GeoGebra ga svaret. Denne brøken kan forkortes. 3(2x 4) Skriv Forenkle [(2x+16)/(3(2x+4))] i inntastingsfeltet og trykk Enter. x 8 x 8 Da får du bildet nedenfor. Svaret kan altså skrives eller 3( x 2) 3x 6. Hvis du skriver Forenkle [(x+6)/(2x+4)-1/6] i inntastingsfeltet og trykker Enter, får du svaret på figuren ovenfor direkte. Det kan derfor være lurt å bruke kommandoen Forenkle i stedet for å bruke kommandoen RegnUt. Prøv med flere uttrykk og se hva som fungerer best. Aschehoug Side 1 av 1

43 Kvadratsetningene med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Du skal regne ut x Skriv RegnUt [ x 4 ] i inntastingsfeltet og trykk Enter. 2 Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså x 8x Du skal regne ut 2x 3. Skriv RegnUt [ 2x 3 2 ] i inntastingsfeltet og trykk Enter. 2 Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså 4x 12x 9. Du skal regne ut ( x 3)( x 3). Skriv RegnUt [ ( x 3)( x 3) ] i inntastingsfeltet og trykk Enter. 2 Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså x 9. Aschehoug Side 1 av 1

44 Faktorisering med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. 2 Du skal faktorisere x 3x. Skriv Faktoriser[x 2 +3x] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 3) x. 2 Du skal faktorisere x 3x 10. Skriv Faktoriser[x 2-3x-10] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 5)( x 2). 2 Du skal faktorisere x 4x 4. Skriv Faktoriser[x 2 +4x+4] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. x Du skal faktorisere 3x 12. Skriv Faktoriser[3x 2-12] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså 3( x 2)( x 2). Aschehoug Side 1 av 1

45 0BGrafisk løsning av likningssett I med GeoGebra Du skal løse likningssettet 2x+ y = 1 (1) x+ 2y = 4 (2) Skriv 2x+y=1 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på Sett inn tekst (, knapp nr. 2 fra høyre), og detter et sted i Grafikkfeltet. Skriv a i tekstboksen som dukker opp og klikk på OK. Klikk på F-pila og flytt teksten bort til grafen. Da får du dette bildet: (Hvis du høyreklikker på likningen i Algebrafeltet og klikker på Likning y = ax + b, får du dette bildet: Du ser at GeoGebra kan omforme uttrykket til formen y = 2x+ 1.) Skriv -x+2y=-4 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gjør det samme som du gjorde for likning (1) ovenfor. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene til likningene har koordinatene (1,2, 1,4). Likningssettet har løsningen x = 1,2 og y = 1,4. Aschehoug Side 1 av 1

46 Grafisk løsning av likningssett II med GeoGebra Du skal løse likningssettet x 2 + y = 5 (1) 2x+ y = 2 (2) Skriv x 2 +y=5 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på Sett inn tekst (, knapp nr. 2 fra høyre), og detter et sted i Grafikkfeltet. Skriv c i tekstboksen som dukker opp og klikk på OK. Klikk på F-pila og flytt teksten bort til grafen. Da får du dette bildet: Skriv 2x+y=2 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gjør det samme som du gjorde for likning (1) ovenfor. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktene A og B dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktene og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktene mellom grafene til likningene har koordinatene ( 1, 4) og (3, 4). Likningssettet har løsningene ( 1, 4) og (3, 4). Aschehoug Side 1 av 1

47 Grafisk løsning av eksponentiallikninger med GeoGebra x Du skal løse eksponentiallikningen 85 0,92 = 50. Sett f( x ) = 85 0,92 x og gx ( ) = 50. Skriv f(x)=85*0.92^x i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv g(x)=50 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Tilpass aksene slik at skjæringspunktet mellom grafene vises i grafikkfeltet. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (6,36, 50). Løsningen på likningen er x = 6,4. Aschehoug Side 1 av 1

48 Grafisk løsning av logaritmelikninger med GeoGebra Du skal løse logaritmelikningen lg(2x 3) 2lg 3. Sett f( x) lg(2x 3) og gx ( ) 2lg3. Skriv f(x)=lg(2x+3) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv g(x)=2lg3 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Tilpass aksene slik at skjæringspunktet mellom grafene vises i grafikkfeltet. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (3, 0,95). Løsningen på likningen er x = 3. Aschehoug Side 1 av 1

49 Gjennomsnittlig vekstfart med GeoGebra Du skal finne den gjennomsnittlige vekstfarten for funksjonen intervallet [ 1,4 ]. 2 f( x) = 0,5x 2x+ 3 i Tegn først grafen til f i Grafikkfeltet. Deretter tegner du inn punktene A og B ved å skrive inn A= (1, f(1)) og deretter B = (4, f(4)) i Inntastingsfeltet. Høyreklikk på A, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Gjør det samme med B. Klikk på Linje gjennom to punkter (, knapp nr. 3 fra venstre), og deretter på punktene A og B i Grafikkfeltet. Da har du tegnet linja l gjennom punktene A og B. Klikk på Stigning linje ( Da får du dette bildet:, knapp nr. 4 fra høyre), og deretter på linja l i Grafikkfeltet. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet ser du at linja gjennom A og B har stigningstallet 0,5. Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [ 1,4 ] er derfor 0,5. Aschehoug Side 1 av 1

50 Momentan vekstfart med GeoGebra Du skal finne den momentane vekstfarten for funksjonen (3,5, f (3,5)). 2 f( x) = 0,5x 2x+ 3 i punktet Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. Deretter tegner du inn punktet P ved å skrive inn P = (3.5, f(3.5)) i Inntastingsfeltet. Høyreklikk på P, og velg Egenskaper og Navn og verdi under Vis Navn. Klikk på Tangenter (, knapp nr. 4 fra venstre), og deretter på grafen til f og punktet P i Grafikkfeltet. Da har du tegnet tangenten a til grafen i punktet P. Klikk på Stigning linje ( Da får du dette bildet:, knapp nr. 4 fra høyre), og deretter på linja a i Grafikkfeltet. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet ser du at tangenten i punktet P har stigningstallet 1,5. Den momentane vekstfarten i punktet P = (3,5, f(3,5)) er derfor 1,5. Aschehoug Side 1 av 1

51 Den deriverte med GeoGebra Den deriverte funksjonen og derivertverdier 2 Du skal finne den deriverte for funksjonen f( x) = 0,5x 2x+ 3 og den deriverte i punktet (3,5, f (3,5)). Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. Skriv f (x) i inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte. f ( x) = x 2 Skriv f (3.5) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet dukker a = 1.5 opp. Det vil si at f (3,5) = 1,5. Figuren viser hvordan bildet i GeoGebra nå ser ut. Legg merke til at GeoGebra tegner grafen for den deriverte funksjonen f ( x) når du legger inn f (x) i Inntastingsfeltet. Du kan ta bort denne grafen fra Grafikkfeltet ved å klikke på rundingen foran uttrykket f ( x) = x 2 i Algebrafeltet. Aschehoug Side 1 av 1

52 Fortegnslinje for den deriverte med GeoGebra Du skal bruke GeoGebra til å finne/kontrollere fortegnet for den deriverte for funksjonen 2 f( x) = 0,5x 2x+ 3 Tegn først grafen til f. Skriv f (x) i inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte. Figuren viser hvordan bildet i GeoGebra nå ser ut. Legg merke til at GeoGebra tegner grafen for den deriverte funksjonen f når du legger inn f (x) i Inntastingsfeltet. Bruk ikon nr. 2 fra venstre, Skjæring mellom to objekter, til å finne skjæringspunktet mellom grafen til f og x-aksen. Av figuren ser du at den deriverte er negativ for x-verdier mindre enn 2 og positiv for x-verdier større enn 2. Den deriverte skifter altså fortegn fra negativ til positiv for x = 2. Det betyr at grafen til f har et bunnpunkt for x = 2. (Ikke overraskende stemmer dette med grafen til f.) Aschehoug Side 1 av 1

53 GeoGebra: Tabell med funksjonsverdier og derivertverdier Tabell med funksjonsverdier 2 Du skal lage en tabell med noen funksjonsverdier for funksjonen f( x) = 0,5x 2x+ 3. Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. Velg Vis og klikk på Regneark. Klikk på rute A1 og skriv x. (Hvis du skal skrive tekst i regnearket, må du bruke anførselstegn,.) Klikk på rute B1 og skriv f(x). Klikk på rute A2 og skriv -1. Nedover i kolonne A kan du skrive inn de verdiene du ønsker å finne funksjonsverdier for. Klikk på rute B2, skriv f(-1) og trykk Enter. I rute B3 skriver du f(-0.5) og trykker Enter. Legg inn funksjonsverdiene for de andre x-verdiene du har valgt. Da kan du få bildet nedenfor. Hvis du skal tegne grafen på papir, kan du bruke tabellen til å overføre punkter på grafen. Formelkopiering i regnearket I stedet for å skrive f(-1) i rute B2 kan du skrive f(a2). Trykk Enter. Klikk på rute B2. Da får du dette bildet: Aschehoug Side 1 av 2

54 Klikk på den lille firkanten i nederste høyre hjørne i rute B2 og dra musepekeren nedover til og med rute B8. Da får du dette bildet: Tabell med derivertverdier Klikk på rute C1 og skriv f (x). Klikk på rute C2, skriv f (-1) og trykk Enter. I rute C3 skriver du f (-0.5) og trykker Enter. Legg inn derivertverdiene for de andre x-verdiene du har valgt. Da kan du få bildet nedenfor. Tabellen over derivertverdier kan du for eksempel bruke til å kontrollere fortegnslinja for den deriverte. (Også her kan du bruke metoden med formelkopiering.) Aschehoug Side 2 av 2

55 GeoGebra: Å bruke den deriverte til å finne når et uttrykk er størst mulig a Vi skal finne x når arealet av et rektangel gitt ved 2 f( x) = x + 4x+ 32 er størst mulig. Her er D = [ 0,8] f Vi skriver Funksjon[-x 2 +4x+32,0,8] i Inntastingsfeltet. Deretter skriver vi Funksjon[f (x),0,8]. Grafene til f og f er nå tegnet i Grafikkfeltet. Du ser at f ( x) endrer fortegn fra positiv til negativ for x = 2. f ( x ), og dermed arealet av rektanglet, har altså sin største verdi for x = 2. (Dette stemmer med grafen til f, som har toppunkt for x = 2.) Aschehoug Side 1 av 2

56 b Vi skal finne x når volumet av en eske gitt ved 3 2 f ( x) = x + 4x + 32x er størst mulig. Her er [ 0,8] D =. f Vi skriver Funksjon[-x 3 +4x 2 +32x,0,8] i Inntastingsfeltet. Deretter skriver vi Funksjon[f (x),0,8]. Grafene til f og f er nå tegnet i Grafikkfeltet. Du ser at f ( x) endrer fortegn fra positiv til negativ for x = 4,86. f ( x ), og dermed volumet av esken, har altså sin største verdi for x = 4,86. (Dette stemmer med grafen til f, som har toppunkt for x = 4,86.) Aschehoug Side 2 av 2

57 Størst mulig overskudd med GeoGebra Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved 2 f( x) 1,5x 60x 400 x 5, 35 Her er f(x) overskuddet i hundre kroner ved produksjon og salg av x enheter av varen. Du skal finne hvor mange enheter det må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst mulig. Finne størst overskudd ved å lese av på grafen til f Skriv Funksjon[-1.5x 2 +60x-400,5,35] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv Ekstremalpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Du får toppunktet A. Høyreklikk på A og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Toppunktet på grafen til f har koordinatene (20, 200). Overskuddet er størst ved produksjon og salg av 20 enheter. Overskuddet er da kroner. Finne størst overskudd ved bruk av den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) = 3x Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Skriv Nullpunkt[f ] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Du får nullpunktet B for f. Høyreklikk på B og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at f ( x) er positiv til venstre for nullpunktet 20 og negativ til høyre. f har altså sin største verdi for x = 20. Overskuddet er størst ved produksjon og salg av 20 enheter. Overskuddet er da kroner. Aschehoug Side 1 av 1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser 1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...

Detaljer

S1 kapittel 3 Lineær optimering

S1 kapittel 3 Lineær optimering S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) 1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Løsning eksamen S1 våren 2010

Løsning eksamen S1 våren 2010 Løsning eksamen S1 våren 010 Oppgave 1 a) 1) f ( x) x x f (1) 1 1 1 1 f ( x) 6x x f (1) 6 1 1 6 4 ) Grafen går gjennom punktet (1, 1) og har vekstfarten 4. Det betyr at tangenten i punktet har stigningstallet

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b

Detaljer

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Geometri med GeoGebra

Geometri med GeoGebra Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Løsning eksamen 2T våren 2008

Løsning eksamen 2T våren 2008 Løsning eksamen 2T våren 2008 Del 2 løst med pc Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter: Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka...

Detaljer

Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1

Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1 Normaler og vinkler I dette opplæringsløpet lærer du ulike metoder for å tegne normaler og vinkler samt å måle vinkler. Det du lærer i dette løpet skal du bruke senere når du skal tegne trekanter og figurer

Detaljer

Eksamen R1 - H

Eksamen R1 - H Eksamen R1 - H 013-8.11.013 Løsningsskisser Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Kjerneregel: f x e u, u 3x f x e u 3 6e 3x b) Kjerneregel på ln 3x ln u, u 3x gir ln 3x 1 u 3 3 3x 1 x Produktregel gir

Detaljer

Matematikk for ungdomstrinnet

Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Dynamisk geometriprogram... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 Punkt og sirkler... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Lagre... 6 To nyttige verktøy: «Flytt eller

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

GeoGebra. Menylinjer og de vanligste funksjonene. GeoGebra

GeoGebra. Menylinjer og de vanligste funksjonene. GeoGebra 1 er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk, og du kan gjøre endringer

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære, 2. utgave Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Fagdag CAS-trening

Fagdag CAS-trening Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016) 1 KURSHEFTE INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016) Østerås 8. mai 2016 Odd Heir 2 Innhold Side 3-13 Innføring i GeoGebra 13-14 Funksjonsanalyse 14-16 Utskrift 17-18 Overføring til Word 18-20

Detaljer

Brukermanual i GeoGebra

Brukermanual i GeoGebra Brukermanual i GeoGebra for Vg1T, Vg1P, Vg2T, Vg2P, R1 og R2. GeoGebra er et program for Geometri og AlGebra. GeoGebra er en dynamisk matematisk programvare, som binder sammen geometri, algebra og utregninger.

Detaljer

Innføring i GeoGebra (2 uv-timer)

Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) 03/06/17 1/5 Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram for skolebruk som forener geometri, algebra og funksjonslære. Programmet er utviklet

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals 1 Dersom du vil ha en fullstendig oversikt over det som er nytt i versjon 3.0, kan du gå til denne nettsida: http://www.geogebra.org/static/geogebra_release_notes_prerelease.txt

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer