TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "TMA4100 Matematikk 1, høst 2013"

Transkript

1 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7

2 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Vesktfart. 2 Tangenter. 3 Den deriverte til en funksjon. 4 Derivasjonsregler. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 2

3 Vekstfart La f være en funksjon og x 0 et punkt slik f (x 0 ) er definert. Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [x 0, x 0 + ] er y x = f (x 0 + ) f (x 0 ) y f (x 0 + ) f (x 0 ) x 0 x La vi gå mot 0 får vi den momentane vekstfarten til f i punktet x 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 (vis grenseverdien eksisterer). y x 0 + x TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 3

4 Tangenter y La P og Q være to punkter på grafen til en funksjon f. P Q Linjen gjennom P og Q kalles en sekant. La vi Q nærme seg P vil sekanten nærme seg tangenten til grafen i punktet P. x For ytterligere illustrasjon av dette, se ttp://webspace.sip.edu/msrenault/geogebracalculus/ derivative_at_a_point.tml. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 4

5 Tangenter La P = (x 0, f (x 0 )) og Q = (x 0 +, f (x 0 + )). y Q = (x 0 +, f (x 0 + )) P = (x 0, f (x 0 )) x Stigningstallet til sektanten gjennom P og Q er da y x = f (x 0 + ) f (x 0 ). Det følger at stigningstallet til f (x 0 + ) f (x 0 ) tangenten er lim (vis grenseverdien 0 eksisterer). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 5

6 Ikke-vertikale tangenter Vi definerer derfor tangenter på følgende måte: Definisjon 1: Ikke-vertikale tangenter Anta at funksjonen f er kontinuerlig i punktet x = x 0 og at grenseverdien f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 = m eksisterer. Linjen y = m(x x 0 ) + f (x 0 ) kalles da tangenten til f i punktet (x 0, f (x 0 )). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 6

7 Eksempel 1 La f (x) = x 2 og x 0 = 1. Da er f (x 0 + ) f (x 0 ) lim (1 + ) = 2. Det følger at likningen til tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) = (1, 1) er y = 2(x 1) + 1 = 2x 1. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 7

8 Eksempel 1 La oss illustrere dette ved jelp av Maple: wit Student Calculus1 : Tangent x 2, x = 1 ; plot x 2, 2 x K 1, x =K1..3 ; 2 x K TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 8

9 Vertikale tangenter Vi kan utvide definisjonen av tangenter for å tillate vertikale tangenter: Definition 2: Vertikale tangenter Anta at funksjonen f er kontinuerlig i punktet x = x 0 og at f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 = eller lim 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) Linjen x = x 0 kalles da tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )). Hvis grenseverdien ikke eksistere og f (x lim 0 +) f (x 0 ) 0 ±, ar grafen til f ingen tangent i punktet (x 0, f (x 0 )). =. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 9

10 Eksempel 2 La f (x) = 3 x = x 1/3 og x 0 = 0. Da er y f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 1/3 0 =. 2/3 0 1 Det følger at linjen x = 0 er tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) = (0, 0). x TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 10

11 Eksempel 3 La f (x) = 3 x = x 2/3 og x 0 = 0. Da eksisterer grenseverdien y f (x 0 + ) f (x 0 ) lim / /3 0 ikke, fordi lim = og lim =. 1/3 1/3 Det følger at grafen til f ikke ar en tangent i punktet (x 0, f (x 0 )) = (0, 0) x TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 11

12 Stigningstallet til en kurve Definisjon 3: Stigningstallet til en kurve Stigningstallet til en kurve C i punktet P er stigningstallet til tangenten til C i punktet P (forutsatt at tangenten eksisterer). Spesielt ar vi at stigningstallet til grafen til en funksjon f f (x 0 + ) f (x 0 ) i punktet (x 0, f (x 0 )) er lim vis 0 grenseverdien eksisterer. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 12

13 Eksempel 4 La oss finne stigningstallet til kurven y = x/(3x + 2) i punktet ( 2, 1/2). lim ( 2+)+2 2 3( 2) = 1 8 Så stigningstallet til kurven y = x/(3x + 2) i punktet ( 2, 1/2) er 1/8. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 13

14 Normalen til en kurve Hvis en kurve C ar en tangent L i et punkt P, kalles linjen N som går gjennom P og som står vinkelrett på L for normalen til C i punktet P. y N P L Hvis L er vertikal er N orisontal. Hvis L er orisontal er N vertikal. Hvis L verken er vertikal eller orisontal ar N stigningstall x 1 stigningstallet til L. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 14

15 Eksempel 5 La oss finne normalen til kurven y = x i punktet (4, 2). Vi finner først stigningstallet til tangenten i punktet (4, 2): ( 4 + 2)( ) lim 0 0 ( ) ( ) 1 0 ( ) = 1 4 Det følger at stigningstallet til normalen er 1 1/4 = 4. Så likningen til normalen i punktet (4, 2) er y = 4(x 4) + 2 = 4x TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 15

16 Den deriverte Så langt ar vi bare sett på stigningstallet til tangenten til grafen til en funksjon (eller den momentane vekstfarten til en funksjon) en punkt om gangen, men da stigningstallet avenger av i vilket punkt vi ser på tangenten, blir stigningstallet til tangenten en funksjon av punktet. For en illustrasjon av dette, se ttp://webspace.sip.edu/msrenault/geogebracalculus/ derivative_as_a_function.tml. Denne funksjonen kaller vi den deriverte. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 16

17 Den deriverte Definition 4: Den deriverte Den deriverte til en funksjon f er funksjonen f definert ved at f (x) 0 f (x + ) f (x) for de x vor grenseverdien eksisterer. Hvis f (a) eksisterer sier vi at f er deriverbar i a. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 17

18 Eksempel 6 La f (x) = x 2. Da er for alle x. f (x) 0 f (x + ) f (x) x 2 + 2x + 2 x 2 0 2x + = 2x 0 f er derfor deriverbar i alle x. 0 (x + ) 2 x 2 0 2x TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 18

19 Eksempel 6 La oss illustrere dette ved jelp av Maple: diff x 2, x ; 2 x plot x 2, 2 x, x =K2..2 ; TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 19

20 Eksempel 7 Let g(x) = x. For x > 0 er g (x) 0 g(x + ) g(x) og for x < 0 er x + x 0 g (x) 0 g(x + ) g(x) 0 (x + ) ( x) 0 x + x 0 1 = 1, 0 0 x + x 0 1 = TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 20

21 Eksempel 7 Da g() g(0) lim 0 og g() g(0) lim = = g() g(0) eksisterer lim ikke, og g er derfor ikke deriverbar 0 i 0. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 21

22 Eksempel 7 Funksjonen g(x) = x er altså deriverbar for alle x 0 og ikke deriverbar for x = 0, og den deriverte er { g 1 for x < 0 (x) = 1 for x > 0. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 22

23 Høyre og venstre deriverbare funksjoner Vi sier at en funksjon f er øyre deriverbar i et punkt x = a dersom f (a + ) f (a) lim 0 + eksisterer. Vi sier at en funksjon f er venstre deriverbar i et punkt x = a dersom f (a + ) f (a) lim 0 eksisterer. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 23

24 Deriverbare funksjoner En funksjon f er deriverbar på et intervall (a, b) (der a < b) dersom f er deriverbar i alle x (a, b). En funksjon f er deriverbar på et intervall [a, b] (der a < b) dersom f er deriverbar i alle x (a, b), venstre deriverbar i b og øyre deriverbar i a. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 24

25 Eksempel 7 Funksjonen g(x) = x er øyre og venstre deriverbar i 0, men ikke deriverbar i 0 (fordi lim g() g(0) 0 + og lim g() g(0) 0 begge eksisterer, men er forskjellige). g er derfor deriverbar på intervallet (, 0] og på intervallet [0, ), men ikke på intervallet (, ). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 25

26 Tangenter Anta at f (x 0 ) er definert. Da er tangenten til f i punktet x 0 linjen y = f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ). Merk at f (x 0 ) kan uttrykkes som en grenseverdi på to måter: f (x 0 ) 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 26

27 Eksempel 8 La f (x) = ax + b der a og b er konstanter. Da er f f (x + ) f (x) (x) 0 a 0 a = a 0 for alle x. 0 a(x + ) + b ax b Følgelig er tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) linjen y = f (x 0 )(x x 0 )+f (x 0 ) = a(x x 0 )+ax 0 +b = ax +b = f (x). Altså er tangenten til grafen til f i punktet (x 0, f (x 0 )) grafen til f selv. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 27

28 Potensregelen Det følger av Eksempel 7 at vis f (x) = 1 så er f (x) = 0 (faktisk følger det at f (x) = 0 vis f er en konstant funksjon), og at g (x) = 1 vis g(x) = x. Vi ar også set at (x) = 2x vis (x) = x 2. Vi skal senere vise at vi for alle r ar at k (x) = rx r 1 vis k(x) = x r. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 28

29 Leibniz notasjon Hvis y = f (x) vil vi under tiden bruke følgende alternativ notasjon for den deriverte til f. f (x) = dy dx = d dx f (x) = y = D x y = D x f (x) = Df (x). For eksempel er d x 2 = 2x og d dx dt t = d t 1/2 = 1t 1/2 = 1 dt 2 2. t Hvis vi ønsker å spesifisere verdien til den deriverte i et punkt x = x 0 kan vi bruke følgende notasjon: f (x 0 ) = dy dx = d x=x0 dx f (x) = y x=x0 = D x y x=x0 x=x0 = D x f (x 0 ) = Df (x 0 ). For eksempel er d x 2 x=3 = 2x dx = 6. x=3 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 29

30 Eksempel 9 ( d x dx x ) x= (2+) (2 + ) 2( ) 0 5( ) ( ) ( ) = TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 30

31 Differensialer Anta at f er en deriverbar funksjon. Hvis vi lar y = f (x), y = f (x + ) f (x) og x = så er dy dx = f f (x + ) f (x) y (x) 0 x 0 x. Hvis vi lar dy være en funksjon som avenger av to uavengige variable x og dx på følgende måte dy = f (x)dx så blir dy en egentlig kvotient. dx dy og dx kalles differensialer. Hvis for eksempel y = x 2 blir dy = dy dx 2 dx dx = dx = 2xdx. dx TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 31

32 Deriverbare funksjoner er kontinuerlige Teorem 1: Deriverbare funksjoner er kontinuerlige Hvis en funksjon f er er deriverbar i x, så er f kontinuerlig i x. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 32

33 Bevis for Teorem 1 Da f er deriverbar i x, eksisterer grenseverdien Det følger at f (x + ) f (x) lim 0 lim f (x + ) f (x) 0 0 = f (x). f (x + ) f (x) f (x) = 0 0 og dermed at lim 0 f (x + ) = f (x). Dvs. f er kontinuerlig i x. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 33

34 Summereglen, differansereglen og faktorreglen Teorem 2: Summereglen, differansereglen og faktorreglen Anta at funksjonene f og g er deriverbare i x og C er en konstant. Da er funksjonene f + g, f g og Cf deriverbare i x og (f + g) (x) = f (x) + g (x), (f g) (x) = f (x) g (x), (Cf ) (x) = Cf (x). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 34

35 Bevis for Teorem 2 og (f ± g)(x + ) (f ± g)(x) (f ± g)(x) 0 (f (x + ) ± g(x + )) (f (x) ± g(x)) 0 f (x + ) f (x) ± 0 = f (x) ± g (x) (Cf ) (x) 0 Cf (x + ) Cf (x) g(x + ) g(x) = C lim 0 f (x + ) f (x) = Cf (x). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 35

36 Produktregelen Teorem 3: Produktregelen Anta at funksjonene f og g er deriverbare i x. Da er funksjon fg deriverbar i x og (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 36

37 Bevis for Teorem 3 (fg) (x) 0 f (x + )g(x + ) f (x)g(x) f (x + )g(x + ) f (x)g(x + ) + f (x)g(x + ) f (x)g(x) 0 f (x + ) f (x) g(x + ) g(x) g(x + ) + f (x) 0 = f (x)g(x) + f (x)g (x). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 37

38 Resiprokregelen Teorem 4: Resiprokregelen Anta at funksjonen f deriverbar i x og f (x) 0. Da er funksjonen 1/f deriverbar i x og ( ) 1 (x) = f (x) f (f (x)). 2 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 38

39 Bevis for Teorem 4 ( ) 1 (x) f 0 1 f (x+) 1 f (x) f (x) f (x + ) 0 f (x + )f (x) ( ) ( ) 1 f (x + ) f (x) 0 f (x + )f (x) = f (x) (f (x)). 2 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 39

40 Kvotientregelen Teorem 5: Kvotientregelen Anta at funksjonene f og g er deriverbare i x og g(x) 0. Da er funksjonen f /g deriverbar i x og ( ) f (x) = g(x)f (x) f (x)g (x). g (g(x)) 2 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 40

41 Bevis for Teorem 5 ( ) ( f (x) = f 1 ) (x) g g = f 1 (x) g(x) + f (x) g (x) (g(x)) 2 = g(x)f (x) f (x)g (x) (g(x)) 2. TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 41

42 Eksempel 10 d dx ( ) (x 2 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2)(x 3 + 1) = (x2 + 2)(x 3 + 1)((x 2 + 1)3x 2 + 2x(x 3 + 2)) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 ((x 2 + 2)3x 2 + 2x(x 3 + 1))(x 2 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 3x2 (x 2 + 1)(x 2 + 2)(x 3 + 1) + 2x(x 2 + 2)(x 3 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 3x2 (x 2 + 1)(x 2 + 2)(x 3 + 2) + 2x(x 2 + 1)(x 3 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 3x2 (x 2 + 1)(x 2 + 2) + 2x(x 3 + 1)(x 3 + 2) (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 3x6 9x 4 6x 2 + 2x 7 + 6x 4 + 4x (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 = 2x7 3x 6 3x 4 6x 2 + 4x (x 2 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 42

43 Eksempel 11 La oss finne alle orisontale linjer som er tangenter til kurven y = x 2 (4 x 2 ). dy dx = x 2 ( 2x) + 2x(4 x 2 ) = 2x(4 2x 2 ). Så kurven y = x 2 (4 x 2 ) ar en orisontal tangent i punktene x = 0 og x = ± 2. y x=0 = 0 og y ± 2 = 4. Så y = 0 og y = 4 er alle orisontale linjer som er tangenter til kurven y = x 2 (4 x 2 ). TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7, side 43

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet 1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier 1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Kap : Derivasjon 1.

Kap : Derivasjon 1. Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap. 3.-3.4: Derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 36 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/ing/allmennfag/emnesider/rea042

Detaljer

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Flere anvendelser av derivasjon

Flere anvendelser av derivasjon Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:

Detaljer

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

Detaljer

MA oppsummering så langt

MA oppsummering så langt MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene

Detaljer

Oppgaver om derivasjon

Oppgaver om derivasjon Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,

Detaljer

Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag

Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag Oppgave a) Oppgaven sier at Fredrik stoler på erfaringen sin med positive ele tall. Fredrik ar sannsynligvis sett at dersom an ar et elt tall k >, vil den oppgitte

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

MA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering

MA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering MA1103 4/2 2013 Partiellderivert, derivert og linearisering Partiellderivert i en koordinatretning: Tenk på alle de andre variablene som konstanter. f : A R n R m, a = (a 1,..., a n ) A f 1 f x 1 (a)...

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

Detaljer

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................

Detaljer

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y

Detaljer

MA0003-8. forelesning

MA0003-8. forelesning Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 202 Løsningsforslag til teknostartøving a) Denisjonsmengden til f() = 3 er D f (, ), som gir at V f (,

Detaljer

Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 30. september 2010 2 Fremdriftplan I går 5.5 Ubestemte integraler og substitusjon

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010

Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010 Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 19. august 2010 2 Hvorfor skal dere studere matematikk? Det står i studiehåndboken.

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva

Detaljer

Forelesning Matematikk 4N

Forelesning Matematikk 4N Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er

Detaljer

Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag på 19. oktober 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 5, 2014 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 5, 2014 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av

Detaljer

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner

Detaljer

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise TMA405 Matematikk 2 Vår 205 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

Partieltderiverte og gradient

Partieltderiverte og gradient Partieltderiverte og gradient Kap 2 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Struktur Mye er repitisjon fra MAT1100, litt

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

Trasendentale funksjoner

Trasendentale funksjoner Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

OPPGAVE 1 NYNORSK. LØYSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 16. mai 2012 kl. 09:00-14:00. a) La z 1 = 3 3 3i, z 2 = 4 + i,

OPPGAVE 1 NYNORSK. LØYSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 16. mai 2012 kl. 09:00-14:00. a) La z 1 = 3 3 3i, z 2 = 4 + i, LØYSINGSFORSLAG Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I onsdag 6. mai kl. 9:-4: NYNORSK OPPGAVE a) La z = i, z = 4 + i, finn (skriv på forma a + bi): i) z z og ii) z z. : i) z z = ( i)(4 + i) = i i =

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Denne labøvelsen gir en videre innføring i elementær bruk av programmet Maple.

Denne labøvelsen gir en videre innføring i elementær bruk av programmet Maple. MAPLE-LAB 2 Denne labøvelsen gir en videre innføring i elementær bruk av programmet Maple.. Sett i gang Maple på din PC / arbeidsstasjon. Hvis du sitter på en Linux-basert maskin og opplever problemer

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Derivasjonen som grenseverdi

Derivasjonen som grenseverdi Gitt graf. Start/stopp. Fra sekant til tangent. Veien til formelen for den deriverte til funksjon f i et punkt Animasjonens jem: ttp://ome.ia.no/~cornelib/animasjon/ matematikk/mate-online-at/ablgrenz/

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

MA0003-9. forelesning

MA0003-9. forelesning 17. august 2009 Outline 1 Outline 1 Regneregler for deriverte La f og g være kontinuerlige funksjoner og c 0 cf (x) dx = c f (x) dx f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx f (cx) dx = 1 c f (u) du u=cx f

Detaljer

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x Prøve i FO929A - Matematikk Dato: august 212 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (2 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) Vi plotter grafen med et rutenett: > x=-3:.1:3; > y=x.^2; > plot(x,y) > grid on > axis([-2

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte

Detaljer

: subs x = 2, f n x end do

: subs x = 2, f n x end do Oppgave 2..5 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet x = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f x, x$n der f x er uttrykket som skal deriveres, x

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 9, 2011 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 9, 2011 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl

Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt: Heidi Dahl Telefon: 735 98141 Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 24. august 2010 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x))

Detaljer