Løsning eksamen S1 våren 2010

Transkript

1 Løsning eksamen S1 våren 010 Oppgave 1 a) 1) f ( x) x x f (1) f ( x) 6x x f (1) ) Grafen går gjennom punktet (1, 1) og har vekstfarten 4. Det betyr at tangenten i punktet har stigningstallet 4. b) 1) ab abab a abb a b a ab aa b ) a ab a a b a b b a b a b b 6 6 a b a b a b a a 1 a b lg alg b0 lg alg b ) lg a blg lg a lg blg1lg ab lgalgblgalgb lg a c) 1) x x x x x 1 ) 1 lgx lg 6 x lgx lg1lgx 6 lgx0lgx 6 lg x 6 lg x x 100 d) Vi lager fortegnslinje for x 1 x.

2 (x + 1)(x ) > 0 når 1 < x <. Oppgave f ( x) x x a) x f (x) b) Vi tegner grafen til f. y x - Vi ser at f ( x) 0 når x < 0 og når x > og at f ( x) 0 når 0 < x <. Grafen til f vokser når x < 0 og når x > og avtar når 0 < x <. Oppgave a) To terninger og én kule må veie like mye som 8 staver. Det gir likningen x y 8z Én terning veier like mye som ei kule og én stav. Det gir

3 x y z b) Den første likningen gir y 8z x Innsatt i den andre gir det x 8zx z x 9z x z Én terning veier altså like mye som staver. Vi må legge tre staver i skåla. Oppgave 4 I denne oppgaven bruker vi en Texas-lommeregner. Vi lar X være antallet blant de 0 som blir friske. a) b) 0 x PX ( x) 0,8 0, x 0x 0 PX ( 15) 0,8 0, = binompdf(0, 0,8, 15) = 0,175 c) P(X 15) = 1 P(X 14) = 1 binomcdf(0, 0,8, 14) = 0,804 d) Vi skal bestemme minste x slik at P(X x) > 0,9. Vi prøver oss fram ved hjelp av et digitalt hjelpemiddel. P(X x) = 1 P(X x 1) = 1 binomcdf(0, 0,8, x 1) Figuren viser at x 11 x 14

4 Oppgave 5 K( x) 0,x 00x ( ) 0, 400 I x x x a) K I (00) 0, (00) 0, I(00) K(00) Kostnaden er kr, inntekten er kr og overskuddet er kr. b) P( x) I( x) K( x) 0,x 400x0,x 00x 0,x 400x0, x 00x 0,5x 00x Px ( ) 0 x x x 400x 0 xx400 0 x 0 eller x 400 0, c) Px x 00 Vi lager fortegnslinje for den deriverte. P(00) = 0, = Overskuddet er størst når vi produserer 00 enheter. Overskuddet er da kr.

5 Oppgave 6 a) Først omformer vi den siste ulikheten. y 16 4x y 4x16 y x8 Vi tegner grafen til y og y x 8. Deretter skraverer vi området over den x først og under den andre grafen y x b) La x være antallet timer teknikeren bruker og y antall timer som assistenten bruker. Timetallene kan ikke være negative. x 0 (1) y 0 () Teknikeren kan bruke inntil 70 timer. Det gir x 70 () Til sammen kan de arbeide i 10 timer. Det gir x y 10 y 10 x (4) På x timer utfører teknikeren 6x prøver. På y timer utfører assistenten 4y prøver. De skal utføre inntil 570 prøver. De gir 6x4y 570 4y 570 6x y 14,5 1,5 x (5)

6 c) Vi tegner og fargelegger. y x d) Inntekten er I 175x 100y Når de skal analysere 570 vannprøver, må x og y ligge på linje 5. Da er y 14,5 1,5 x Vi undersøker inntektene i de to skjæringspunktene mellom linje 5 og linjene og 4. På linje er x = 70. I skjæringspunktet med linje 5 er da y 14,5 1, , ,5 Inntekten blir I Inntekten er da kr. Vi finner koordinatene til skjæringspunktet mellom linje 4 og 5. Det gir y 10 x y 14,5 1,5 x

7 10 x 14,5 1,5 x 1,5 xx 14,5 10 0,5x,5 x 45 y 10 x Samlet inntekt blir I Inntekten blir nå kr. Teknikeren må arbeide 70 timer og assistenten 7,5 timer for at inntekten skal bli størst mulig. Denne oppgaven kunne vi også ha løst ved å tegne og parallellforskyve en nivålinje. I GeoGebra kan det se slik ut: Hvis inntekten i kroner skal bli I, må 175x 100y I 100y 175xI y 1,75x0,01I Dette er likningen for nivålinja. Vi legger inn I = , samt uttrykkene for linje 15 og nivålinja i GeoGebra.

8 Vi lager så en glider for I. Den skal gå fra til Ettersom de skal analysere 570 vannprøver, må det punktet som gir høyest inntekt, ligge på linja gjennom D og C. Vi drar nå i glideren og finner den høyeste verdien for I der nivålinja berør det mulige området. Når I = berører nivålinja det mulige om rådet i punktet C. Fra algebrafeltet (ikke vist på figuren) ser vi at koordinatene til C er (70, 7.5). Teknikeren må arbeide 70 timer og assistenten 7,5 timer for at inntekten skal bli størst mulig. Kommentar: Denne oppgaven kan løses på andre måter slik at vi ikke gjenkjenner linjene ovenfor. Vi kan la x være timetallet til assistenten og y timetallet til teknikeren. Det gir andre likninger. Vi kan også la x og y være antallet prøver som hver av dem tar. Det gir to nye sett av likninger alt etter om vi knytter x til assistenten eller teknikeren. Men sluttsvaret i d blir de samme uansett hvordan vi regner.

9 Oppgave 7 Alternativ I a) mmol /l,5 y f 1,5 1 0, b) Konsentrasjonen er millimol per liter når 0,0007t,00, ,0007t ,0007t ,0007t 1 lg 10 lg 0,0007t 0,4771 t t 0,4771 0, s t Konsentrasjoner er millimol per liter etter 68 s (11 min s). c) I begynnelsen er konsentrasjonen gitt ved f 0, (0),00,0010,00,0010,00,00 0 Etter 10 minutter (600 s) er konsentrasjonen f 0, ,4 (600),00,00 10,00, ,86 Den gjennomsnittlige vekstfarten er

10 1, , Den gjennomsnittlige vekstfarten er 0,001 millimol per liter per sekund. d) Den momentane vekstfarten etter kan vi finne grafisk eller digitalt. Grafisk: Vi trekker tangenten i punktet på grafen med t = 600 og bestemmer stigningstallet. mmol /l,5 1,5 y y =,6 1,85 = 0,75 x = = 400 f 1 0, Stigningstallet til tangenten er y 0,75 0, 0019 x 400 s t Den momentane vekstfarten er ca. 0,0019 millimol per liter per sekund. Ved hjelpa av GeoGebra kan vi gjøre det slik: Vi tegner først grafen til f. Deretter skriver vi (600, f(600)). Punktet får navnet A. Så skriver vi Tangent[A, f].

11 Den momentane vekstfarten er ca. 0,00184 millimol per liter per sekund. Vi kan finne vekstfarten numerisk ved hjelp av for eksempel en lommeregner: Den momentane vekstfarten er ca. 0,00184 millimol per liter per sekund. e) For store verdier for t er Da er 0,0007t 10 0 f t 0,0007t ( ), 00, 00 10, 00, 00 0, 00 Etter lang tid vil konsentrasjonen nærme seg,00 millimol per liter.

12 Oppgave 7 Alternativ II Vi velger å løse denne oppgaven ved hjelp av GeoGebra. a) Vi legger inn tallene i regnearkdelen av GeoGebra. Så lager vi til aksene som bestemt i oppgaven. Deretter markerer vi tallene i tabellen, høyreklikker og velger Lag liste med punkter. Deretter skriver vi RegPoly[liste1,4]. Resultatet blir som vist nedenfor. Vi utvider algebrafeltet for å se hele uttrykket. Den beste fjerdegradsfunksjonen er f x x x x x 4 ( ) 0,15,04 7,70 5,98 99,8 b) Grafen er tegnet i oppgave a. c) Vi velger å løse også denne oppgaven i GeoGebra ettersom det ikke står ved regning i oppgaven. Vi deriverer funksjonen ved å skrive Derivert[f]. Vi får da også tegnet grafen til f som vist nedenfor. Vi trenger ikke finne nullpunktene til f ved regning. Vi skriver derfor Nullpunkt[f]. Vi får da fram nullpunktene A, B og C. som vist på denne figuren:

13 Ettersom f vokser når f( x) 0, svarer A og C til toppunkter. Vi lar GeoGebra regne ut f(0.479) og får funksjonsverdien a 101, og f(6.4704) og får funksjonsverdien b 105,0. Indeksen er høyest etter 6,4 kvartaler. Den er da 105,0. d) 1) Vi skriver nå inn RegPoly[Liste1, ]. Det gir funksjonen g nedenfor. Funksjonen har denne grafen:

14 Grafen passer bra til punktene. ) Andre kvartal 010 svarer til x = 9. Vi skriver dermed inn f(9) og g(9) i GeoGebra. Det gir svarene c = 0,6 og d = 56,1 som vist ovenfor. Fjerdegradsfunksjonen gir indeksen 0,6 og tredjegradsgradsfunksjonen 56,1 i. kvartal 010. Svarene avviker veldig, og begge svarene er like urimelige. Modellene stemmer ikke utover i 010.