DERIVASJON MED LITT TEKNISK HJELP

Transkript

1 DERIVASJON MED LITT TEKNISK HJELP Viskalnåsepåhvordanvikanundersøkeenfunksjonvednoesomvikallerderivasjon. Funksjoner er en sammenhengen mellom størrelser. Det kan være antall solgte biler per måned, temperaturvariasjoner, tidevannshøyde i løpet av dagen, kort sagt hva som helst. Det viofteerinteressertiåfinneuterhvordandisseverdienestiger,synker,erpåtoppellerbunn. Snartskalvifåetnyttigverktøytildet! Detvisomoftestønskeråfinneutomgrafentilenfunksjoner: Hvilketopp-ellerbunnpunktdenhar Ihvilkeområderfunksjonenvokserelleravtar Hvormyedenvokserelleravtar Hvadefinisjonsområdettilfunksjonener Hvaverdimengdentilfunksjonener Dettekanvibesvarevedåbaresepågrafenellerlakalkulatorenfinnepunktene.Vivarmer oppmedetparoppgaver. Oppgave1... Merkavtopp-ogbunnpunktpågrafen Per G. Østerlie: Derivasjon 1T side 1

2 y x Oppgave2... Tangenter Detteergrafentil 2x 3 13x 2 7x 1.TegngrafeniNSpire. Greierduåseekstremalpunktene( alletopp-ogbunnpunkt)? FinnekstremalpunktenevedbrukavNspire Tangentererlinjersom"treffer"grafeniettpunkt(denkanskjæregrafenetstykkeunna).De tangerer grafen! Se figuren under. Oppgave3... Brukenblyantogtegntangenterpågrafenunder: Per G. Østerlie: Derivasjon 1T side 2

3 Legginnfunksjonen f x x 4 x 3 5x 2 inspire. Tegnoppfunksjonen. BrukmenyentilåfinneTangent.Tegnoppogkontrollerdetdutegnetmed blyant på figuren over. Stemmerdet? Stigningstallet til tangenten Foråkunnesvarepåallespørsmålenesomerlistetoppistarten,erdetnokåsepå stigningstallet til tangenten. Denne verdien sier oss hvor mye funksjonen vokser og hvor mye den avtar. Den kan også brukes til å finne ekstremalpunktene(topp- og bunnpunkt). Laosssepåenfigur: Per G. Østerlie: Derivasjon 1T side 3

4 Her ser vi sammenhengen mellom stigningstallet til tangenten og ekstremalpunktene til funksjonen. Kan du se sammenhengen? Oppgave4... Finnstigningstallenetildetangentenedutegnetioppgave3 Finntoppunkteneogbunnpunktenetil f x x 2 4x 1 f x x 2 2x 5 f x x 3 3x Sepå velgdenderiverte Den deriverte funksjonen Funksjoner Laossførstrepeterelittomhvaenfunksjoner.Ilærebokaharvisettdennedefinisjonenav en funksjon: "y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi for x gir nøyaktig én verdi for y" Enannenmåteådefinereenfunksjon(littupresist)eråsiatenfunksjonersammenhengen mellomtostørrelser.itilleggmåvistillekravomatdetbaretoogtostørrelsersomhører sammen. Foråillustreredetteharvisettpåfunksjonensomenbokssominneholdermetodenforå finne denne funksjonsverdien. Per G. Østerlie: Derivasjon 1T side 4

5 Dennemodellenkallesoftefor blackbox modellen.detdenermentåviseeratfunksjon er en framgangsmåte, en metode eller en prosess, som gir oss sammenhengen mellom den verdien vi kaller argumentverdien(som regel er dette vi kaller en x-verdi) som vi ønsker å finne den tilhørende verdien til(funksjonsverdien). Metoden beskrives i matematikkboka som etuttrykk,f.eks.: f x x 4 5x 7. Ved hjelp av dette uttrykket vet vi framgangsmåten for å finne funksjonsverdien, nemlig slik: tatalletoggangdetmedsegsjølfireganger leggtil5gangertallet trekkfra7ogviharfunksjonsverdien Oppgave5... f (x) Sepå velgfunksjoner Stigningstallet til tangenten i et punkt er også en funksjon. Denne funksjonen gir oss sammenhengen mellom x-verdien i punktet og y-verdien som er stigningstallet til tangenten til den opprinnelige funksjonen. Vi kaller denne funksjonen for den deriverte funksjonen. Viskriver f x somsymbolfordenderivertefunksjonen.vikanillustreredettepåsamme måte som over: Per G. Østerlie: Derivasjon 1T side 5

6 Et eksempel: Laosssiat f 3 4. Hvabetyrdet?Viserdaatstigningstallettiltangententil f x ipunktetder x 3er 4. Ekstremalpunkter og den deriverte Nåvetvihvadenderiverteerogvikantegneetfortegnsdiagram(Seunderulikheteriboka). Det hjelper oss til å se når stigningstallet til tangenten er posistivt, negativt og null. Vetviatdenderivertetilenfunksjon f x er: f x x 2 x 6 x 3 x 2 kan vi tegne fortegnsdiagram, slik: Dette gir oss følgende informasjon: funksjonen f x avtariintervallet 2, 3 funksjonen f x vokseriintervallet, 2 3, funksjonenharettoppunktder x 2 funksjonenharetbunnpunktder x 3 Enda et eksempel Ifigurenundererfunksjonen f x x 4 x 3 5x 2 tegnetoppmedhelgrønnstrek. Per G. Østerlie: Derivasjon 1T side 6

7 f x ertegnetmedrødstiplalinje. Leggmerketilhvor f x ernegativ,positivognull.hvordanstemmerdettemed egenskapenetil f x? y x Oppgave6... For alle oppgavene under skal du: tegnefortegnsdiagramfor f x. finneforhvilkex-verdier f x avtarogvokser finneforhvikex-verdier f x hartopp-ellerbunnpunkt a) f x 2x 4 b) f x x 2 3x 2 c) f x x 2 2x 2 d) f x 1 x 1 2 Hvordan skal jeg gå fram for å finne f x p å TI-Nspire? Per G. Østerlie: Derivasjon 1T side 7

8 Førstmåviskriveinn f x.startoppennykalkulator(settinnkalkulator)ogskrivinn: f x : 3x 4 2x 3 7x 2 3x 12 Vi kunne også skrevet: Define f x 3x 4 2x 3 7x 2 3x 12 Vi har nå definert funksjonen for kalkulatoren. Nåkanviregnetut f x ( denderiverte) Fårdusvaret 12x 3 6x 2 14x 3? Leggmerketilatdetbenyttesenannenskrivemåtefordenderiverteenndetviervanttil. Istedenforåskrive f x benyttesskrivemåten d dx f x.detkallesforleibniz-notasjonog er svært utbredt Oppgave7... prøveåfinneetuttrykkforfunksjonen f x når: a) f x x 2 b) f x x 3 c) f x x 4 d) f x x 3 x 2 4x 4 Per G. Østerlie: Derivasjon 1T side 8

9 e) f x x x 2 Komduframtilnoenregelforhvordandukanfinnedenderiverte?Prøvå formuler den med ord. TI84 og numerisk derivasjon PåTI84/83kanviikkefinnedenderivertesomenfunksjon. Vi må nøye oss med å få regnet ut stigningstallet til tangenten(numerisk derivasjon). Her er framgangsmåten for å gjøre det numerisk: LegginnenfunksjoniY1: Y1 X^2 LegginndenderiverteiY2: Y2 nderiv(y1,x,x) nderive finner du i MATH, 8:nDeriv( eller A:Calculus Y1 finner du i VARS, Y-VARS,1:Function,1:Y1 Gjørdudetteskaldufådennegrafen: y x -10 Per G. Østerlie: Derivasjon 1T side 9