Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1

Transkript

1 Funksjoner løsninger Innhold. Funksjoner.... Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 5 Kontinuitet... 4 Funksjoner med delt forskrift Derivasjon... 0 Hvordan regne ut verdien for den deriverte ved å bruke definisjonen... 0 Den deriverte til en konstant funksjon... Den deriverte til en potensfunksjon... Den deriverte til summer og differenser av funksjoner og til en funksjon multiplisert med en konstant... 5 Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 6 Den deriverte til en kvotient (brøk)... 7 Kjerneregelen Den deriverte til eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner... 4 Likningen for tangenten i et punkt på grafen Deriverbarhet Drøfting av funksjoner på grunnlag av derivasjonsregler Drøfting av polynomfunksjoner Krumningsforhold, vendepunkt og vendetangent Drøfting av rasjonale funksjoner... 7 Drøfting av logaritmefunksjoner Drøfting av en sammensatt funksjon Tolke den deriverte i modeller av praktiske situasjoner Vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet... 8 Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA

2 . Funksjoner.. Til hver av de tre funksjonen som er gitt nedfor skal du; - Lage en verditabell med ulike -verdier. - Markere punktene du finner i et koordinatsystem - Tegne en rett linje gjennom punktene. a) f 0,5 Verditabell f Punkter og linje 0 b) g Verditabell g Punkter og linje 6 0 c) h

3 Verditabell h Punkter og linje

4 .. Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn på 05 kroner per time. I tillegg får han 0 kroner for hver enhet han selger. a) Finn et funksjonsuttrykk L for timelønnen i kroner. La s være antall enheter han selger per time. L s s 0 05 b) Lag en verditabell og marker punktene i et koordinatsystem. La s variere mellom 0 og 5. Verditabell Ls c) Tegn grafen til funksjonen L ved å trekke en rett linje gjennom punktene. Husk at funksjonen bare gjelder for s -verdier mellom 0 og 5. Grafen er tegnet i GeoGebra. Du skal kunne tegne den uten hjelpemidler. d) Finn verdimengden til funksjonen L. V 05, 55 Verdimengden er L 4

5 .. På en terminprøve i matematikk har Trine med seg en flaske kaldt kildevann. Temperaturen i vannet er 5 C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 C i timen de første timene. a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet etter antall minutter. Temperaturstigningen er 5,4 C 0,09 C per minutt 60min Funksjonen T kan da skrives som T 0,09 5 b) Hva er temperaturen i vannet etter,5 timer? Temperaturen etter,5 timer (90 minutter) blir T 90 0,09C 90 5C,C c) Hva er definisjonsmengden til funksjonen? Definisjonsmengden er fra 0 minutter til 80 minutter ( timer). D 0, 80 Definisjonsmengden er T d) Lag verditabell og tegn grafen til funksjonen T. Verditabell T ,5 e) Finn verdimengden til funksjonen T. T 80 0,09C 80 5C, C Verdimengden er V 5,. T 5

6 . Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner Grenseverdier.. Tegn grafen til funksjonen f i GeoGebra. Bruk verktøyet Flytt grafikkfelt og la -verdien gå mot uendelig. a) Hva oppdager du? Lar vi -verdien gå mot uendelig nærmer grafen seg -aksen. b) Blir funksjonsverdien noen gang 0? Funksjonsverdien vil nærme seg null, men kan aldri bli null. c) Skriv det du fant i a) med matematiske symboler. Se side 6 i teorien dersom du er usikker. 0 6

7 d) La -verdien nærme seg. Hva oppdager du? Lar vi -verdien nærme seg vil y -verdien gå mot uendelig. e) Skriv observasjonen du gjorde i d) med matematiske symboler. Vi oppdaget at når nærmer seg, så vil funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig, avhengig av om nærmer seg fra venstre eller høyre. Det finnes altså ikke noen grense som funksjonsuttrykkene nærmer seg mot. Vi sier at ikke eksisterer. Vi kan skrive dette som når når f f. Plusstegnet forteller at vi nærmer oss fra høyre.. Minustegnet forteller at vi nærmer oss fra venstre. f) Forklar med dine egne ord hvorfor funksjonen f ikke har noen verdi for. Nevneren i funksjonsuttrykket vil bli null når. Brøken er ikke definert for. 7

8 .. Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per samtaleminutt. La være antall samtaleminutter en måned. Totalkostnadene K, i kroner, per samtaleminutt kan skrives som K 0,49 59 a) Tegn grafen til K for verdier mellom 0 og 400. b) Hva nærmer K seg når Morten ringer svært mye? De faste kostnadene på 59 kroner vil utgjøre svært lite per minutt når Morten ringer svært mye. Kostnaden per minutt vil nærme seg minuttprisen på 49 øre. Endrer vi litt på uttrykket ovenfor er det enkelt å se K 0, , ,49 når blir svært stor vil brøken 59 nærme seg null, og vi står igjen med 0,49 altså en kostnad på 49 øre per minutt. 8

9 .. Finn grenseverdien. a) 6 b) c) d) Finn grenseverdien dersom den eksisterer. a) 0 Teller når 0: 0 Nevner når 0: 0 Grenseverdien eksisterer ikke. b) Teller når : 4 Nevner når : 0 Grenseverdien eksisterer ikke. c)

10 d) 4 Teller når : 0 Nevner når : 4 0 Når vi får 0 både i teller og nevner må vi forkorte brøken Finn grenseverdien dersom den eksisterer. 9 a) 9 Teller når : 9 0 Nevner når : b) 4 8 Teller når : 4 0 Nevner når : c) Teller når : 6 Nevner når : 0 Grenseverdien eksisterer ikke. d) 0 6 Teller når 0: 0 0 Nevner når 0:

11 ..6 Finn grenseverdien dersom den eksisterer. a) Teller når Nevner når Alternativ Alternativ b) 4 6 Teller når Nevner når Teller når 4 Nevner når 4: Grenseverdien eksisterer ikke.

12 c) 4 Teller når : 4 0 Nevner når : 0 Alternativ Alternativ 4

13 ..7 Finn grenseverdien dersom den eksisterer. 6 a) b)

14 c) d)

15 Rasjonale funksjoner og asymptoter..8 Gitt funksjonen f. a) Fyll ut resten av tabellen. verdi - 0,5,9,99,0,,5 4 5 f b) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når -verdien nærmer seg fra venstre. Når nærmer seg fra venstre så går funksjonsverdien mot minus uendelig. c) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når -verdien nærmer seg fra høyre. Når nærmer seg fra høyre så går funksjonsverdien mot pluss uendelig. d) Tegn grafen til funksjonen f. e) Tegn inn linja i samme koordinatsystemet som grafen til f. Hva kalles denne linja? Linja kalles vertikal asymptote 5

16 ..9 Gitt funksjonen f. a) Fyll ut resten av tabellen. verdi ,5 0, f,0, - 0 0,9 0,99 b) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når -verdien nærmer seg. Funksjonsverdien nærmer seg når -verdien nærmer seg. c) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når - verdien nærmer seg. Funksjonsverdien nærmer seg når -verdien nærmer seg. d) Tegn grafen til funksjonen f. e) Tegn inn linja y i samme koordinatsystemet som grafen til f. Hva kalles denne linja? Linja kalles horisontal asymptote 6

17 ..0 Finn eventuelle asymptoter til funksjonen. Lag deretter en skisse av grafen til funksjonen. Vertikal asymptote: a) f Nevneren er lik 0 når. Telleren er ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. når f. Linjen er en vertikal asymptote for f. Horisontal asymptote: f Når går mot uendelig vil grafen til f nærme seg -aksen. Linjen y 0 er en horisontal asymptote for f. 7

18 Vertikal asymptote: b) f Nevneren er lik 0 når. Telleren er ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. når f. Linjen er en vertikal asymptote for f. Horisontal asymptote: f 0 0 Når går mot uendelig vil grafen til f nærme seg linjen y. Linjen y er en horisontal asymptote for f. 4 Vertikal asymptote: c) f Nevneren er lik 0 når. Telleren er ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. når f. Linjen er en vertikal asymptote for f. Horisontal asymptote: Når går mot uendelig vil nevneren gå mot 0. Telleren blir et tall forskjellig fra 0. Grenseverdien eksisterer ikke. Det er dermed ingen horisontal asymptote. 8

19 Vertikal asymptote: d) f Nevneren er lik 0 når 0. Telleren er ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. når f. Linjen 0 er en vertikal asymptote for f. Horisontal asymptote: f 0 0 Når går mot uendelig vil grafen til f nærme seg linjen y. Linjen y er en horisontal asymptote for f. 9

20 .. Finn eventuelle asymptoter til funksjonen. Tegn deretter grafen til funksjonen. Vertikal asymptote: Vi finner nullpunktene til nevneren: a) f 0 Det er her to mulige asymptoter. Vi undersøker først Når 4. blir telleren Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. når f. Linjen er en vertikal asymptote for f. Undersøker så for Når 4. blir telleren Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. når f. Linjen er en vertikal asymptote for f. Horisontal asymptote: f 0 Når går mot uendelig vil grafen til f nærme seg linjen y. Linjen y er en horisontal asymptote for f. 0

21 4 Vertikal asymptote: Vi finner nullpunktene til nevneren: b) f Det er her to mulige asymptoter. Vi undersøker først 0 Når 0 blir telleren Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. når 0 f Linjen 0 er en vertikal asymptote for f. Undersøker så for Når blir telleren 4 4. Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. når f. Linjen er en vertikal asymptote for f. Horisontal asymptote: f Når går mot uendelig vil grafen til f nærme seg linjen y. Linjen y er en horisontal asymptote for f.

22 9 Vertikal asymptote: Nevneren er lik 0 når 0. Telleren blir ikke 0. c) f Grenseverdien eksisterer ikke. når 0 f. Linjen 0 er en vertikal asymptote for f. Horisontal asymptote: f Når går mot uendelig vil grafen til f nærme seg linjen y Linjen y er en horisontal asymptote for f. f Vertikal asymptote: Vi finner nullpunktene til nevneren: d) Det er her to mulige asymptoter. Vi undersøker først 0 Når 0 blir telleren 0. Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

23 når 0 f. Linjen 0 er en vertikal asymptote for f. Undersøker så for Når blir telleren 0. Både teller og nevner er null for. Siden nevneren er 0 er ikke brøken definert. Vi kan finne grenseverdien ved å forkorte. f ( ) Horisontal asymptote: f Når går mot uendelig vil grafen til f nærme seg linjen y 0. Linjen y 0 er en horisontal asymptote for f.

24 Kontinuitet.. Avgjør hvor funksjonene er kontinuerlige. a) f 4 Dette er en polynomfunksjon. Funksjonen er kontinuerlig for R. 4 Funksjonen g er ikke definert for 4. b) g Funksjonen er kontinuerlig for R\ 4... På en flervalgsprøve ble karakteren satt etter følgene poengsummer: Poengsum 0, 5 5, 45 45, 60 60, 80 80, 95 95, 00 Karakter Her kan vi oppfatte karakteren som en funksjon av poengsummen. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig i hele området fra 0 poeng til 00 poeng. Funksjonen er bare kontinuerlig innenfor de enkelte poengintervallene, se figur nedenfor. Lar vi for eksempel poengsummen nærme seg 5 nedenfra blir karakteren. Dersom vi lar poengsummen nærme seg 5 ovenfra blir karakteren. 4

25 ..4 Gjennom et vinterdøgn ble det målt følgende temperaturer. Tidspunkt 0:00 06:00 0:00 4:00 8:00 :00 Temperatur 8,0 C 0,8 C 7,4 C 4,9 C 6,5 C 7,8 C Her kan vi oppfatte temperaturen som en funksjon av tiden. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig gjennom hele døgnet. Grafen til funksjonen vil være sammenhengende i hele området. Funksjonen er kontinuerlig gjennom hele døgnet. Grafen er her tegnet som rette linjestykker mellom målepunktene. Vi kan ikke være sikre på hvordan grafen går mellom målepunktene. Heller ikke om målepunktene representerer maksimums- og minimumstemperaturene...5 Figuren viser grafen til funksjonen f. a) Finn grenseverdien dersom den eksisterer f f 4 5

26 b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer f f 4 c) Finn f dersom den eksisterer Grafen viser et brudd ved. Det eksisterer derfor ingen funksjonsverdi for. d) For hvilke verdier av er funksjonen kontinuerlig? Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av unntatt når..6 Figuren viser grafen til funksjonen g. a) Finn grenseverdien dersom den eksisterer g g 6 b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer g g 4 c) Finn g dersom den eksisterer Ser av grafen at g 6 d) For hvilke verdier av er funksjonen kontinuerlig? Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av unntatt når 6

27 ..7 Avgjør ved å tegne grafene i hvilke områder funksjonene ) f f og g er kontinuerlige. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av der den er definert. Siden funksjonen ikke er definert for 0 kan vi si at den er definert for R\ 0. ) g Funksjonen er kontinuerlig for R\ 0. 7

28 Funksjoner med delt forskrift..8 Undersøk om funksjonene er kontinuerlige. Tegn grafene. a) f 0 0 Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for 0 Vi finner: Når går mot 0 fra høyre: f Når går mot 0 fra venstre: f Når 0 f 0 0 De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for 0. For alle andre verdier av er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av. Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for Vi regner ut: b) f Når går mot fra høyre: f 6 Når går mot fra venstre: f 6 Når f 6 De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for. For alle andre verdier av er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av. 8

29 c) f Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for Vi regner ut: Når går mot fra høyre: f 4 Når går mot fra venstre: f Når f De to grenseverdiene og funksjonsverdien er ikke like. Funksjonen f er dermed ikke kontinuerlig for. For alle andre verdier av er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for R \ d) f 9 9 Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for Vi regner ut: Når går mot fra høyre: f Når går mot fra venstre: f Når : f 9 8 De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for. For alle andre verdier av er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av. 9

30 . Derivasjon Hvordan regne ut verdien for den deriverte ved å bruke definisjonen.. a) Tegn grafen til funksjonen gitt ved f b) Tegn tangenten til f og finn stigningstallet til tangenten når ) Stigningstallet er 4 ) Stigningstallet er 0 ) 0 Stigningstallet er c) Hva er den deriverte til f når? Stigningstallet til tangenten når er 4. Det betyr at den deriverte til f når også er 4. d) Hva er den momentane vekstfarten til f når? Stigningstallet til tangenten når er 0. Det betyr at den momentane vekstfarten til f når også er 0. 0

31 .. Bruk definisjonen på den deriverte til å finne den deriverte til følgende funksjoner: f a) 0 y f 0 f f f b) f f y f f f

32 c) f f 0 0 y f f f Den deriverte til en konstant funksjon.. Deriver funksjonene. a) f 5 0 f b) y e y 0 c) g 5 0 g d) 5 0 h h

33 Den deriverte til en potensfunksjon..4 Deriver funksjonene. a) f f b) y 5 y 5 4 c) 7 g g d) y 5 y Deriver funksjonene. 0 a) f f f 0

34 b) y 5 y 5 y 5 5 y 6 6 c) g 5 g 5 g 5 5 g 5 g g 5 d) y y y y y y y 4

35 Den deriverte til summer og differenser av funksjoner og til en funksjon multiplisert med en konstant..6 Deriver funksjonene a) f f b) y 5 y 5 y y 6 c) g t t 5t t 5 g t d) f f f f 5

36 Den deriverte til et produkt av to funksjoner..7 Deriver funksjonene a) f 5 4 f f f f b) y 6 6 y y y y y 5 c) g g g g g

37 Den deriverte til en kvotient (brøk)..8 Deriver funksjonene. a) f f f f b) y y y y y c) g g g g g g

38 ..9 Deriver funksjonene. a) f 4 f 4 f 6 4 f f f f f

39 b) y y y y y y 4 y y

40 Kjerneregelen..0 Deriver funksjonene. a) f 4 f u u f u, u f 48 f b) y 4 y u u 4 yu u y 4 4 ( y y y ) c) g g u u g u u 6 g g 9 40

41 .. Deriver funksjonene a) f 4 f u u f u u f 4 f 4 4 b) f f f f f 4 4

42 .. Deriver funksjonene. a) f f f f f f ( ) ( ) b) y y 4 4 ( ) 4 y 4 ( ) y y 8 4

43 Den deriverte til eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner.. Deriver funksjonene a) ln f e f e b) y e ln ln ln y e e y e ln e e ln e y e ln y c) g g g g e ln e ln e ln e ln e ln e ln ln 4

44 ..4 Deriver funksjonene a) f ln f ln b) y 5 5 y ln5 5 5 ln5 4 y 4 c) g e g e e 4 4 g 4 e g e 4 4 d) f e u f e u u f e u f e f e 44

45 Likningen for tangenten i et punkt på grafen...5 Funksjonen f er gitt ved a) Finn f. f 6 4 f b) Finn ved regning likningen for tangenten i (, f ()). f Den deriverte er stigningstallet til tangenten. Stigningstallet i (, f ()) er f 6 4 Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet, og har stigningstallet. Vi kan da bruke ettpunktsformelen for å finne likningen for tangenten. y y a y y c) Tegn grafen til f og tangenten i et koordinatsystem. 45

46 ..6 Funksjonen f er gitt ved f a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene 0,,, og, Vi deriverer f og finner vekstfarten i punktene. f f f f b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene. Vi bruker ettpunktsformelen og finner tangentene. Tangentlikningen i punktet 0, blir 0 y y 0 Tangentlikningen i punktet, blir y y Tangentlikningen i punktet, blir y y6 c) Tegn grafen til f og de tre tangentene i et koordinatsystem. d) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane veksthastigheten og forløpet til grafen? Når veksthastigheten er negativ, vil grafen synke. Ved veksthastighet lik 0 vil grafen verken stige eller synke. I vårt tilfelle vil det si bunnpunktet. Når veksthastigheten er positiv, er grafen voksende. 46

47 Deriverbarhet..7 a) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for 0. Tegn grafen. f 0 0 Til høyre for 0 Da er. er f f 0 0 Til venstre for 0 Da er 0 0 f. er f 0 0 Vi får forskjellige grenseverdier, og Funksjonen er ikke deriverbar for 0 f 0 eksisterer derfor ikke. Vi kan også se av grafen at det ikke eksisterer en entydig tangent til grafen for 0 b) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for. Tegn grafen. f Til høyre for Da er. er f f Til venstre for Da er f. er f 4 Vi får forskjellige grenseverdier, og Funksjonen er ikke deriverbar for f eksisterer derfor ikke. Vi kan også se av grafen at det ikke eksisterer en entydig tangent til grafen for 47

48 c) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for. Tegn grafen. f 9 9 Til høyre for Da er f. er f Til venstre for Da er. er f f Vi får forskjellige grenseverdier, og ikke. Funksjonen er ikke deriverbar for f eksisterer derfor Vi kan også se av grafen at det ikke eksisterer en entydig tangent til grafen for d) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for 0. Tegn grafen. f 0 0 Til høyre for 0 Da er. er f f 0 0 Til venstre for 0 Da er 0 0. er f f Vi får forskjellige grenseverdier, og Funksjonen er ikke deriverbar for 0 f 0 eksisterer derfor ikke. Vi kan også se av grafen at det ikke eksisterer en entydig tangent til grafen for 0 48

49 e) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for. Tegn grafen. f Til høyre for Da er f. er f Til venstre for Da er. er f f Vi får like grenseverdier. Grafen viser at funksjonen er kontinuerlig for. Funksjonen er deriverbar for Vi kan også se av grafen at det eksisterer en entydig tangent til grafen for f) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for. Tegn grafen. f Til høyre for Da er f. er f Til venstre for Da er. er f f Vi får like grenseverdier, men funksjonen er ikke kontinuerlig for. f eksisterer ikke. Funksjonen er ikke deriverbar for Vi kan også se av grafen at det ikke eksisterer en entydig tangent til grafen for 49

50 .4 Drøfting av funksjoner på grunnlag av derivasjonsregler Drøfting av polynomfunksjoner.4. Finn ved regning når grafen til funksjonen Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. Vi deriverer f.. Vi setter så f 0 f 6 f f 4 f f 6 stiger og når den synker. Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f. Vi ser av fortegnslinjen at grafen til Grafen til f har derfor et toppunkt når. Toppunktet er, f, f f stiger når og at grafen til f synker når. 50

51 Vi tegner grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte..4. Finn ved regning når grafen til funksjonen eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. Vi deriverer f.. Vi setter så f 0 f f f 0 0 f stiger og når den synker. Finn også Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f 0 5

52 Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f Vi ser av fortegnslinjen at grafen til f synker når og at grafen til f stiger når. Grafen til f har derfor et bunnpunkt når. f 4 Bunnpunktet er, f, 4 Vi tegner grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte. 5

53 .4. Finn ved regning, når grafen til funksjonen også eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen. Vi deriverer f.. Vi setter så f 0 f 9 0 f : f 0 0 f 9 0 stiger og når den synker. Finn eller Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f Vi ser av fortegnslinjen at grafen til f stiger når og når grafen til f synker når 5

54 grafen til f har toppunkt når. Toppunktet er, f, 5 f grafen til f har bunnpunkt når. Bunnpunktet er, f, 7 f Vi tegner grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte. 54

55 .4.4 Finn ved regning, når grafen til funksjonen eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen. Vi deriverer f.. Vi setter så f 0 f f 6 f eller 0 0 eller f stiger og når den synker. Finn også Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f 6 0 f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f Vi ser av fortegnslinjen at grafen til f stiger når 0 og når grafen til f synker når 0 grafen til f har toppunkt når 0. f Toppunktet er 0, f 0 0, 0 grafen til f har bunnpunkt når. f 8 4 Bunnpunktet er, f, 4 55

56 Vi tegner grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte. 56

57 .4.5 Finn ved regning når funksjonen f vokser, og når den avtar. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen. Lag en skisse av grafen. Vi deriverer f.. Setter så f 0 f f f eller Vi får bare en løsning. De to løsningene er sammenfallende. Stikkprøver gir: f f Alternativ: Den deriverte er et andregradspolynom med positivt andregradsledd. Da vender den hul side opp. Siden den bare har ett nullpunkt vet vi at den må være positiv for alle andre verdier. Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f Den deriverte er null kun når er lik. Men den deriverte skifter ikke fortegn når er lik. Der betyr at vi har et terrassepunkt når er lik, og grafen har verken topp- eller bunnpunkt. Vi har et terrassepunkt (stasjonært punkt) for f 57

58 58

59 .4.6 Finn ved regning når funksjonen f vokser, og når den avtar. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen. Lag en skisse av grafen. Vi deriverer f.. Setter så f 0 f f f Vi får ingen løsning. Den deriverte er et andregradsuttrykk med pluss foran andregradsleddet. Når den ikke har nullpunkt betyr det at den deriverte alltid er positiv og at funksjonen er voksende for alle -verdier. Grafen har verken topp- eller bunnpunkter. 59

60 .4.7 Figuren viser grafen til en funksjon f. Tegn fortegnslinjene til f og f. 60

61 .4.8 Gitt en funksjon g. Fortegnet til funksjonsuttrykket og den deriverte av funksjonen varierer som vist nedenfor Skisser i et koordinatsystem hvordan grafen til g kan se ut. Grafen til g har nullpunkter for 4, 0 og for 4. Grafen har toppunkt for og bunnpunkt for. Skissen over viser hvordan grafen til g kan se ut. Vi kjenner ikke funksjonsverdiene til topp- og bunnpunktet. 6

62 .4.9 Ved en bedrift blir det produsert treningsdresser. Ledelsen ved bedriften har funnet ut at overskuddet i kroner er gitt ved funksjonen O ,4 der er antall treningsdresser som produseres pr år. Hvor mange treningsdresser er det mest lønnsomt for bedriften å produsere per år? Vi regner ut den deriverte og dobbeltderiverte til overskuddsfunksjonen. Vi setter O 0 O ,4 O 400 0,8 O 0, ,8 0 0, Den dobbeltderiverte er negativ, og den deriverte er lik null for 500. Det viser at 500 er et maksimalpunkt. Det er mest lønnsomt for bedriften å produsere 500 treningsdresser per år..4.0 Vi skal lage en eske uten lokk av en rektangelformet papplate med sider 50 cm og 40 cm. Vi gjør dette ved å klippe ut et kvadrat med side i hvert hjørne. Deretter bretter vi opp kantene og får en eske med høyde. Se figuren nedenfor. a) Finn et uttrykk for volumet av esken som en funksjon av. Av figuren fremgår det at volumet kan skrives som 6

63 Vi ser også at må være et tall som er større enn 0 og mindre enn 0 (Hvorfor?). a) Finn ved regning hvilken verdi av som gir størst volum av esken. Vi setter V 0 Linjene, 4 og 5 viser at esken får sitt største volum når 7,4 cm b) Hva blir det største volumet til esken? Det største volumet esken kan få er 6564 cm 6

64 .4. For de to funksjonsuttrykkene nedenfor skal du ved regning i CAS finne nullpunktene, summen av nullpunktene og produktet av nullpunktene a) f 7 b) g 4 64

65 Gjør det samme med den generelle andregradsfunksjonen h a b c. Stemmer resultatet med det du fant for funksjonene f og g? For For For For f er g er f er g er b a b a c 4 a c 4 a Resultatene stemmer overens. 65

66 Krumningsforhold, vendepunkt og vendetangent.4. Figuren viser grafen til en funksjon f. a) Finn fortegnslinjene til f, f og f b) Hva forteller fortegnslinjene? Fortegnslinja til f forteller hvor grafen til funksjonen ligger over -aksen, hvor den ligger under -aksen og hvor den skjærer -aksen. Fortegnslinja til f forteller hvor grafen til funksjonen stiger, hvor den synker og hvor den har topp- eller bunnpunkter. Den forteller altså om funksjonens monotoniegenskaper. Fortegnslinja til f forteller hvor grafen til funksjonen vender sin hule side ned, hvor den vender sin hule side opp og hvor den har vendepunkter. Den forteller altså om monotoniegenskapene til den deriverte. 66

67 .4. Funksjonen f er gitt ved f Df,5. 6 a) Drøft monotoniegenskapene til f Vi deriverer og finner hvor grafen til f avtar og vokser. f 6 f 0 for 0 Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f 0 f 0 f 0 Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f Grafen til f stiger for,0,5 og synker når 0, b) Finn ved regning eventuelle stasjonære punkter. I a) fant vi at grafen til funksjonen f har et toppunkt for 0 og et bunnpunkt for. Toppunktet har koordinatene 0, f 0 0,0 Bunnpunktet har koordinatene 8 4, f,, 6 Den deriverte er ikke lik 0 for andre verdier av. 67

68 c) Drøft krumningsforholdene til f. Vi finner den andrederiverte og setter opp fortegnskjema. f f 0 for grafen vender sin hule side opp når grafen vender sin hule side ned når < d) Regn ut eventuelle vendepunkter Funksjonen har vendepunkt for Vendepunktet blir, f,, 6 e) Finn ved regning likningene til eventuelle vendetangenter. Bruker ettpunktsformelen. Finner først stigningstallet for tangenten i vendepunktet. Stigningstallet: f y y 6 Likningen blir: y f) Lag en skisse av grafen og tegn vendetangenten til f. 68

69 .4.4 Funksjonen h er gitt ved h ( ) 6 a) Finn h ( ) 6 6 h h b) Tegn fortegnslinja til h( ) c) Finn vendepunktet. Vendepunkt:, h, 6, 4 d) Finn likningen for vendetangenten Stigningstallet i vendepunktet er h Likning for vendetangent er y4 y 4 4 y 0 e) Lag en skisse av grafen til h med vendetangenten. 69

70 .4.5 Funksjonen f er gitt ved f 4 4. a) Finn ved regning når funksjonen vokser og når den avtar. Deriverer f. f Setter f f 4 f Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f 0 f f f 0 Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f Funksjonen vokser når,0, Funksjonen avtar når, 0, 70

71 b) Finn koordinatene til topp- og bunnpunktene. Bunnpunkt: f Toppunkt: Bunnpunkt: 4,,, , f 0 0, 0 0, 4 4, f,, 5 4 c) Drøft krumningsforholdene. Finner den andrederiverte. Setter f 0 f 4 f Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den. deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f -verdier f 0 0 Grafen vender sin hule side opp når og når Grafen vender sin hule side ned når, 7

72 d) Finn vendepunktene. 9 Vendepunkt:, f, 9 9 Vendepunkt:, f, 9 e) Lag en skisse av grafen. 7

73 Drøfting av rasjonale funksjoner.4.6 Funksjonen f er gitt ved f a) Finn eventuelle nullpunkter og asymptoter til f. Funksjonen f har nullpunkt når telleren er null, dvs. når. Horisontal asymptote f Det betyr at y er horisontal asymptote. 0 0 Vertikal asymptote For blir telleren lik og nevneren blir 0. Det betyr at er en vertikal asymptote. b) Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- eller bunnpunkter. Vi undersøker fortegnet til f. f f f Nevneren er alltid positiv, og telleren er alltid negativ. Det betyr grafen alltid synker i sitt definisjonsområde, og grafen har derfor ikke topp- eller bunnpunkter. Funksjonen er synkende i hele definisjonsområdet og har derfor ingen topp- eller bunnpunkter. 7

74 c) Bestem ved regning krumningsforholdene og eventuelle vendepunkter til f. Undersøker fortegnet til f f f f f 4 4 Nevneren er positiv for og negativ for. Telleren er alltid positiv. Det gir følgende fortegnslinje for f : Grafen vender sin hule side ned når, Grafen vender sin hule side opp når, Et eventuelt vendepunkt måtte vært for, men for denne verdi er ikke funksjonen definert. Det vil si at grafen ikke har noen vendepunkter. d) Lag en skisse av grafen. Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt lett å lage en skisse av grafen for hånd. Grafen i figuren er laget i GeoGebra, men det svært viktig at du også kan lage en skisse av grafen for hånd. 74

75 Drøfting av logaritmefunksjoner.4.7 Funksjonen f er gitt ved f ln. a) Bestem definisjonsområdet til f. Finn nullpunktene. Den naturlige logaritmen er bare definert for positive tall. Da må 0 0 Funksjonen er definert for 0. D,0, Vi finner nullpunktene. f ln f b) Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- eller bunnpunkter. ln f Vi undersøker fortegnet til Vi setter Da blir f. f ln ln u, der u. f u u Vi setter opp fortegnsskjema for f. Av fortegnslinjen til f kan vi lese at grafen: synker i intervallet, 0 og stiger i intervallet, Vi får ikke topp- eller bunnpunkter. 75

76 c) Drøft krumningsforholdene til f. Finn eventuelle vendepunkter. Vi undersøker fortegnet til f. f f f f f Vi setter 0 Ingen løsning Vi setter inn en tilfeldig verdi av i telleren: Det betyr at telleren alltid er negativ. Nevneren er alltid positiv. Det betyr at den dobbeltderiverte alltid er negativ. Grafen vil derfor alltid vende sin hule side ned. Grafen har da ikke noen vendepunkter. d) Tegn en skisse av grafen. Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt lett å lage en skisse av grafen for hånd. Grafen er tegnet i GeoGebra, men det svært viktig at du også kan lage en skisse av grafen for hånd. 76

77 Drøfting av en sammensatt funksjon.4.8 Drøft den generelle funksjonen f gitt ved k 0, f a e D f hvor a og k er tall som ikke er negative. Løsning: Jeg definerer funksjonen i CAS. Linje viser at f har 0 som eneste nullpunkt. Linjene og 4 viser at f har den positive verdien som k maksimalpunkt. Den deriverte er null, og den dobbeltderiverte er negativ. Siden den deriverte bare har ett nullpunkt, kan vi også si at grafen stiger når og grafen synker når. k k Linje 6 sammen med linje 4 og 7 viser at f har vendepunkt for. Uttrykket i linje 4 er alltid negativt og uttrykket i linje 7 er k alltid positivt. Grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp for. k Linje 5 gir maksimalverdien, og linje 8 gir andrekoordinaten til vendepunktet. 77

78 I GeoGebra kan vi lage gliderne a og k hvor for eksempel a kan variere mellom 0 og og k mellom 0 og 0. Skriv så inn «f()=funksjon[a** e ^(-k*), 0, inf]» på skrivelinjen Skriv inn punktene «A = (/k, f(/k))» og «B = (/k, f(/k))» Vi ser at det kan stemme at punktet A alltid er toppunkt og punktet B er vendepunkt 78

79 .5 Tolke den deriverte i modeller av praktiske situasjoner.5. Anders kaster en stein rett opp i lufta. Høyden til steinen over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved ,6 h t t t t a) Finn ved regning når steinen er i sitt høyeste punkt. Når steinen er i sitt høyeste punkt, er den deriverte til høydefunksjonen lik 0. Steinen er i sitt høyeste punkt etter,6 sekunder. (Det fremgår her av oppgaven at vi har å gjøre med et toppunkt og ikke et bunnpunkt.) b) Hva er steinens maksimale høyde over bakken? Steinens maksimale høyde er,9 m. c) Finn et uttrykk for farten til steinen. Farten til steinen er lik den deriverte til høyden (vekstfarten til høyden i forhold til tiden). d) Finn et uttrykk for akselerasjonen til steinen. Akselerasjonen forteller hvordan farten endrer seg (vokser) med tiden. m at vt 5 9,8t 9,8 per sekund s 79

80 .5. Aleksander driver med svømming. Han har notert hvor mye han hadde trent hver dag de fem første ukene i år. Han fant at lengden på treningen Treningslengden er i minutter. er ukenummer, dvs. at T per dag var gitt ved funksjonen T 0, ,6 T er treningsmengden ved starten av uke. a) Når trente Aleksander mest? Hvor mange minutter trente han da? Aleksander trente mest etter,4 uker. Da trente han 7,4 minutter per dag. b) Når sank treningslengden per dag mest? Linje, 5 og 6 viser at den deriverte funksjonen har en minimalverdi etter 4,4 uker. Etter 4,4 uker synker treningstiden per dag raskest. 80

81 .5. Gitt en sylinder med et volum på én liter. a) Vis at radius i sylinderen kan uttrykkes som r h Volumet til en sylinder er gitt ved V r h. Volumet skal være L som er lik dm. Løser r h med hensyn på r og får Her blir r målt i dm. r. h b) Vis at overflata av sylinderen kan uttrykkes som O( h) h h Overflata av en sylinder med bunn og topp er gitt ved O r rh. Jeg bytter ut r med r h Når jeg deler opp brøken i to brøker, får jeg det ønskede uttrykk h h h h Oh h h h h 8

82 Du skal lage en sylinderformet boks som skal romme én liter. c) Bruk CAS til å vise hvor høy boksen må være, og hvor stor radius den må ha, dersom overflata skal bli minst mulig? Overflaten er minst når høyden er,08 dm. Fra punkt a) kjenner jeg sammenhengen mellom radius og høyde. Da er radius lik 0,54 dm. d) Hva er forholdet mellom diameter og høyde i denne boksen? Forholdet mellom diameter og høyde er da 0,54,08 Det betyr at høyden er lik diameteren. Neste gang du er i butikken, kan du ta med en linjal og måle diameter og høyde på noen litersbokser. Hvordan er målene i forhold til resultatene du har funnet her? 8

83 .6 Vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet.6. En linje l har parameterframstillingen t l : y t a) Velg verdiene, 0 og for t og regn ut verdiene for og y. t y 0 b) Tegn linja. c) Finn skjæringspunktene mellom linja l og koordinataksene ved regning. Vi har skjæring med -aksen når y 0. t 0 t Dette gir: t 4 Linja skjærer -aksen i punktet 4, 0 Vi har skjæring med y-aksen når 0. t 0 t 0 Dette gir: y t y 0 Linja skjærer y-aksen i punktet 0, 8

84 .6. En kurve m har parameterframstillingen t m: y t a) Velg t-verdier mellom og og tegn kurven. t y b) Finn skjæringspunktet mellom kurven m og y-aksen ved regning. Vi har skjæring med y-aksen når 0. t 0 t 0 Dette gir: y t y 0 Kurven skjærer y-aksen i punktet 0, c) Finn skjæringspunktene mellom kurven m og -aksen ved regning. Vi har skjæring med -aksen når y 0. t 0 t t For Kurven skjærer -aksen i punktet, 0 t gir dette: t For t gir dette: t Kurven skjærer -aksen i punktet,0 84

85 .6. En spydkaster kaster spydet i en parabelbane gitt ved parameterframstillingen 0t s: y 0t 4,9t Her er t antall sekunder etter at spydet er kastet. -aksen er langs bakken, og lengdene er målt i meter. a) Tegn kurven som viser spydets bane b) Finn ved regning hvor lang tid det tar før spydet treffer bakken og lengden av spydkastet. Spydet treffer bakken når y 0 Vi kan se bort fra den negative løsningen. Spydet treffer bakken etter 4,8 sekunder. Lengden av spydkastet er 8,6 meter c) Finn når spydet er på sitt høyeste og hvor høyt det er da. Spydet er på sitt høyeste når stigningen er 0. Spydet er på sitt høyeste etter,04 sekunder. Høyden over bakken er,4 meter 85

86 .6.4 a) En parameterframstilling for en rett linje er gitt på koordinatform ved t y t Lag en tabell hvor du velger noen heltallige t-verdier fra - til 5, og hvor du regner ut tilhørende verdier for - og y-koordinatene. t y b) Tegn linjen i et koordinatsystem. c) En annen kurve er gitt ved parameterframstillingen s y s 4 Gjør tilsvarende for denne kurven som for kurven i a). Velg s-verdier mellom -5 og 4. s y 8,5 4 0,5 - -,5-4 -,5-0,5 4 86

87 d) Tegn kurven sammen med linjen du tegnet i b). e) Regn ut koordinatene til eventuelle skjæringspunkter mellom kurvene. Sjekk om du har regnet riktig ved å finne skjæringspunktene grafisk. I eventuelle skjæringspunkter må -koordinatene til kurvene være like. Det samme må være tilfelle med y-koordinatene t s t s 4 t s s s t s s s 4 t s s s t s s t s s s 4 s y 4 s 4 4 y Skjæringspunktene blir altså, og,4 Jeg ser at dette stemmer med den grafiske avlesningen. 87

88 f) Finn ved regning hvor kurvene skjærer koordinataksene. Sjekk også her grafisk om dine beregninger stemmer. Kurvene skjærer -aksen når y 0 Kurven i a): Skjæring med -aksen: y 0t 0t Skjæring med y-aksen: 0t 0t y Skjæringspunkter:,0 og 0, Kurven i c): Skjæring med -aksen: y s,8,8 0 s 4 0 s Skjæring med y-aksen: 0 s 0 s y 4,5 Skjæringspunkter:.8,0,.8,0 og 0,.5 Vi ser at dette stemmer med den grafiske avlesningen. g) Finn likningsframstillingene for kurvene i a) og c). Likningsframstilling for kurven i a) t t y y Likningsframstilling for kurven i c) 7 s s y 4 y 4 y 88

89 .6.5 To båter starter samtidig og båtenes reiseruter kan beskrives ved vektorfunksjonene t, t og s, s 4. Parameterne t og s står begge for tiden i timer som har gått etter at båtene startet. Enhetene på aksene er gitt i nautiske mil. a) Framstill grafisk reiserutene for båtene de 5 første timene. Jeg bruker kommandoen «Kurve[ <Uttrykk>, <Uttrykk>, <Parametervariabel>, <Start>, <Slutt> ]» for å fremstille reiserutene grafisk. b) Finn ved regning om båtenes reiseruter krysses, og i tilfelle hvor. Jeg definerer vektorfunksjonene At og Bt i CAS og løser likningen At Bs. Jeg finner at båt A og B passerer et felles punk, men ikke samtidig. Båt A passerer krysningspunktet etter 4 timer og båt B etter timer. Reiserutene krysses i punktet,. 89

90 c) Vil båtene kollidere? Begrunn svaret. For at båtene skal kollidere, må de komme til krysningspunktet samtidig. Vi ser av regningen i b) at den ene båten passerer krysningspunktet etter timer, og den andre båten passerer krysningspunktet etter 4 timer. Båtene vil derfor ikke kollidere. d) Finn fartsvektorene til hver av båtene. Hva forteller disse vektorene? Vi deriverer posisjonsvektorene og finner fartsvektorene Farten til båt A er konstant lik Fartsvektoren er retningsvektor for båtens kurve. Farten til båt B endrer seg med tiden. Farten er s Fartsvektoren viser til enhver tid retningen for båtens kurve. 90

91 .6.6 a) Finn parameterframstillingen på vektorform for den rette linjen som går gjennom punktene, og,7. En retningsvektor for linjen blir,7 4,6 For et generelt punkt, P, på linjen får vi da at OP, t 4,6 4, 6 OP t t b) Tegn linjen. c) Finn grafisk og ved regning linjens skjæringspunkter med aksene. Skjæring med -aksen. Grafisk:.7,0 Ved regning: 6t 0 t Da er Skjæring med -aksen blir,0 Skjæring med y-aksen: Grafisk: 0,4 Ved regning: 4t 0 t Da er y 6 4 Skjæring med y-aksen blir 0,4 9

92 d) Finn grafisk og ved regning linjens stigningstall. Linjens stigningstall Grafisk: 4,0 0 4,0,5 0,7,7 Ved regning: Retningsvektoren 4, 6 angir stigningstallet for linjen. Stigningstallet blir: 6, En rett linje har retningsvektor, og går gjennom punktet, a) Finn parameterframstillingen for linjen på koordinatform. Posisjonsvektoren til et punkt P på linja kan da skrives som På koordinatform:, t,, OP OP t t t y t. b) Tegn linjen i et koordinatsystem. c) Hva er linjens stigningstall? Vi ser grafisk at stigningstallet er,5 Retningsvektor, for linja angir også stigningstallet, dvs.,5 9

93 .6.8 Ole står på en mur en viss høyde over bakken og hopper «stille lengde». Som modell for Oles hoppkurve kan vi bruke vektorfunksjonen r t, 4t 5t, hvor t står for tiden i sekunder etter at Ole forlater hoppkanten. Vi lar -aksen gå langs bakken i hoppretningen og y-koordinaten viser Oles høyde over bakken. Enheten på aksene er meter. a) Hva er Oles posisjon i hoppøyeblikket? Hvordan tolker du denne posisjonen? Jeg definerer vektorfunksjonen i CAS og regner ut posisjonen ved tiden null Posisjonen blir punktet 0,. Muren som Ole hopper fra er meter høy. b) Regn ut hvor lang tid det tar før Ole lander. Ole lander når y -koordinaten er lik 0. Ole lander etter sekund. c) Hvor langt hopper Ole? Vi finner -koordinaten etter sekund: Ole hopper meter. d) Finn fartsvektoren. Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren. e) Bruk fartsvektoren til å finne ut når Ole er i sitt høyeste punkt. Hvor høyt er han da? Når Ole er i sitt høyeste punkt er farten i y-retningen lik 0. 9

94 Ole er i sitt høyeste punkt etter 0,4 sekunder og høyden er da,8 meter. f) Hva er fartsvektoren og farten til Ole når han forlater hoppkanten? Når Ole forlater hoppkanten ert 0. Fartsvektoren blir da,4 Farten er lengden på fartsvektoren. Farten er 5 m/s g) Hva er vinkelen mellom Oles fartsretning og -aksen når han forlater hoppkanten? Vi kaller den aktuelle vinkel for 5. h) Hva er akselerasjonen i - og y -retningen? Akselerasjonsvektoren er den deriverte til fartsvektoren Dette betyr at akselerasjonen i -retningen er null, mens akselerasjonen i y-retningen er 0 m/s nedover. i) Tegn hoppkurven. Jeg bruker kommandoen «Kurve[ <Uttrykk>, <Uttrykk>, <Parametervariabel>, <Start>, <Slutt> ]» for å fremstille hoppkurven grafisk. 94