Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, , 614, 615, 616, 617, 618, , 624, 625, 626, , 631, , 635

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635"

Transkript

1 6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beregne gjennomsnittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved disse aspektene gjøre rede for definisjonen av den deriverte, bruke definisjonen til å utlede en derivasjonsregel for polynomfunksjoner og anvende denne regelen til funksjonsdrøfting lage og tolke funksjoner som beskriver praktiske problemstillinger bruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner STIFINNEREN 6 Gjennomsnittlig vekstfart Sti Sti Sti 3 600, 60, 60, 603, 604, 605, 607, 609, , 60, 60, 605, 606, 608, 609, 60, 60, 605, 608, 609, 60, 6, Momentan vekstfart 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69 64, 65, 66, 67, 68, 69, 60, 6 64, 65, 66, 68, 60, 6, 6 63 Den deriverte 63, 64, 65, 66, 67 63, 64, 65, 66, 67, 68 64, 65, 66, 67, 68, Å bruke definisjonen til å utlede den deriverte 630, 63, , 63, 63, 633, 634, , 63, 63, 634, 635, Derivasjonsregler 637, 638, 639, 640, , 638, 639, 640, 64, 64, , 638, 639, 640, 64, 64, Fortegnslinje for den deriverte 67 Drøfting av funksjoner 645, 646, 647, 649, 650, 65, 65, 653, 654, 655, 656, 657, 658, 659, , 646, 649, 65, 65, 653, 654, 655, 657, 658, 659, 660, 66, 663, 664, 665, 666, , 646, 649, 65, 653, 655, 657, 658, 659, 66, 663, 664, 666, rette eller gale: s 55 Blandede oppgaver (668 X67): s 55 Utvalgte løsninger: s 8 Grunnleggende ferdigheter: Muntlige ferdigheter: 60, 60, 603, 604, 605, 607, 608, 609, 6, 68, 69, 60, 6, 635, 650, 655, 659, 669, 686, 689 Skriftlige ferdigheter: 60, 60, 603, 605, 608, 6, 68, 69, 60, 650, 655, 659, 669, 686, 689 Leseferdigheter: 60, 69, 64, 646, 655, 660, 664, 666, 674, 688 Digitale ferdigheter: 66, 67, 68, 69, 67, 68, 66, 66, 663, 67, 678, 68, 68, 683, 684, 688, 689 Interaktive oppgaver: Lokusno

2 40 Kapittel 6: Derivasjon 6 Gjennomsnittlig vekstfart 600 En rett linje går gjennom punktene A og B Hva er stigningstallet for linja? Hva forteller stigningstallet? a A=(, ) og B=(4, 4) b A=(, ) og B=(4, ) 60 V 00 liter 50 sekunder t Vi tapper vann i en beholder Figuren viser hvordan vannmengden V (målt i liter) endrer seg med tiden t (målt i sekunder) a Hvor stor er vannmengden etter 80 s? b Finn stigningstallet for den rette linja fra t = 0 til t = 80 Hva er vekstfarten for vannmengden fra t = 0 til t = 80? Hvilken enhet har vekstfarten? Hva forteller vekstfarten? c Hvor mye øker vannmengden når t øker fra 4 til til til 63 d Hva er stigningstallet for linja til høyre for t = 80? Hva forteller det? e Hvor mye øker vannmengden når t øker fra 90 til 9? f Beskriv i ord hvordan vannmengden endrer seg fra t = 0 til t = 0 60 Figuren viser sammenhengen mellom fart og tid for et T-banetog mellom to stasjoner Fart 5 m/s () () (3) 5 sekunder Tid a Finn stigningstallet for linjestykkene (), () og (3) b Gi en tolkning av stigningstallene i oppgave a c Hvor mye endrer farten seg per sekund? fra t = 50 til t =80 fra t = 50 til t = 50 3 fra t = 50 til t = 80

3 Kapittel 6: Derivasjon På figuren har vi tegnet grafen til y = 05, + Vi har også tegnet en rett linje l gjennom punktene A og B a Hva er stigningstallet til l? y 5 l B (3, 5,5) Δy A (0, ) Δ 3 b Finn gjennomsnittlig vekstfart for y i intervallet [0, 3] Hva forteller svaret? % 45 % 40 % 35 % 30 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % Figuren viser hvor mange prosent av jordas befolkning som bodde i byer på 900-tallet Hvor mye økte prosenttallet i gjennomsnitt per år i periodene [905, 95], [945, 960], [960, 980] og [980, 995]? Kommenter * 605 En kokende væske settes til avkjøling i et kjølerom Vi måler temperaturen i væska ved noen tidspunkter etter at væska ble satt til avkjøling Tabellen viser måleresultatene Tid (min) t Temperaturen ( C) a Finn gjennomsnittlig vekstfart fra t = 0 til t = 0 Hva forteller svaret? b Finn gjennomsnittlig vekstfart i disse tidsintervallene: [0, 30], [30, 50] og [50, 60] Hva viser svarene? c Kan du anslå hva temperaturen blir etter 65 minutter?

4 4 Kapittel 6: Derivasjon 606 Bensinforbruket for en bil avhenger av bilens fart Tabellen viser bensinforbruk for en bestemt biltype Fart (km/h) Bensinforbruk 0,59 0,74 0,9 (liter/mil) a b Bruk tallene i tabellen til å anslå hvor mye bensinforbruket per mil øker for hver km/h farten øker, når farten øker fra 70 til 90 fra 90 til 0 Anslå hva bensinforbruket vil være når farten er 75 km/h * 607 Vi har funksjonen f ( )= 0,5 a Regn ut f(0), f() og f(4) Bestem gjennomsnittlig vekstfart for f i intervallet [0, ] og i intervallet [, 4] b Regn ut f( 4) og f( ) Bestem gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, ] og i intervallet [, 0] c Regn ut gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, ] Kommenter 608 Tabellen viser hvordan aktiviteten til et radioaktivt stoff endrer seg med tiden t er antall timer etter at aktiviteten var 440 becquerel t Aktivitet (becquerel) Finn gjennomsnittlig vekstfart i periodene [0, 0], [0, 40], [40, 60] og [60, 70] Hva forteller svarene? 609 En funksjon f er gitt ved f ( )= 3 4 a Bestem gjennomsnittlig vekstfart for f ( ) i intervallene [, ] og [,,5] b Tegn grafen til f fra = 3 til =3 Bruk grafen til å kontrollere svarene i oppgave a c Bestem gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, ] Kommenter

5 Kapittel 6: Derivasjon Bruk figuren til å avgjøre hvilke av utsagnene som er riktige A Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, 4] er 3 B Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, ] er 3 C Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 0, ] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, 4] D Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, 5] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, 4] E Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, 0] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, ] F Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 5, ] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet 4, [ ] f() Bruk figuren i forrige oppgave til å avgjøre hvilke av disse utsagnene som er riktige: A Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, 0] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, 4] B Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 0, 4] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, 4] C Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet 4, 4 er 0 [ ] Det er foretatt undersøkelser som tyder på at funksjonen g() nedenfor gir en god modell for energibehovet for gutter fra fødselen til de er 0 år g() = g() er energibehovet per døgn målt i kilojoule for gutter i alderen år Tilsvarende funksjon for jenter er j() = a Regn ut gjennomsnittlig vekstfart for g() i [5, 0], [0, 5] og [5, 0] Hva forteller svarene? b Regn ut gjennomsnittlig vekstfart for j() i [5, 0], [0, 5] og [5, 0] Hva forteller svarene?

6 44 Kapittel 6: Derivasjon 6 Momentan vekstfart * 63 På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f og en tangent i punktet (50, 500) f () f a Finn stigningstallet til tangenten på figuren b Hvor stor er den momentane vekstfarten når = 50? 64 f() På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f og tangenter i punktene (, f()) og (5,5, f(5,5)) a Finn stigningstallet for tangenten i punktet (, f()) Hvor stor er den momentane vekstfarten når =? b Hvor stor er den momentane vekstfarten når = 5,5? c Finn den momentane vekstfarten av figuren når = 3

7 Kapittel 6: Derivasjon A f () D C B E På figuren er det merket av fem punkter på grafen til en funksjon f I hvilke av disse punktene er den momentane vekstfarten a positiv b negativ c null 66 En funksjon er gitt ved f ( )= + a Tegn grafen fra = 3 til = 3 på lommeregneren b Bruk lommeregneren til å bestemme den momentane vekstfarten når = = 3 = 4 = 67 a Tegn grafen til f ( )= 3 på papir fra = til = b Bruk lommeregneren til å bestemme den momentane vekstfarten når = =0 3 = c Tegn tangentene til grafen i punktene (, ), (0, 0) og (, ) 68 Ved dypfrysing av en matrett avkjøles maten fra 90 C til 0 C Når avkjølingen har pågått i t minutter, er temperaturen (målt i celsiusgrader) gitt ved f(t) = 0 0,98 t 30 Bruk lommeregneren til å finne momentan vekstfart når a t =5 b t =0 c t =5 Hva forteller svarene? 69 Bakterietallet i en bakteriekultur er gitt ved f ( )= 400,39, der er antall timer etter at antallet var 400 Bruk lommeregneren til å finne momentan vekstfart når = 0 Hva forteller svaret? 60 En kommuneplanlegger antar at folketallet i kommunen t år etter januar 007 vil være 6000t ft () = 500 +, t [ 0, 5 ] 0 + t Bruk lommeregneren til å bestemme den momentane vekstfarten når a t =5 b t =0 Hva forteller svarene?

8 46 Kapittel 6: Derivasjon 6 På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f f () A a Hva kan du si om den momentane vekstfarten i A? b Hva kan du si om den momentane vekstfarten til venstre for A til høyre for A sammenliknet med den momentane vekstfarten i A? 6 Grafen til K viser hvordan kostnaden ved produksjonen av en vare varierer med antall produserte enheter Tangenten til grafen i punktet A(300, 0 000) er tegnet inn K () 000 K A a Bruk figuren til å finne momentan vekstfart for = 300 b Bruk svaret i oppgave a til å finne hvor mye kostnaden øker når produksjonen øker fra 300 enheter til 30 enheter Hva koster det å produsere 30 enheter? c Bruk svaret i oppgave a til å anslå hvor mye det koster å øke produksjonen fra 300 til 350 enheter Hva skulle det etter dette koste å produsere 350 enheter? d Les av K(350) på figuren Sammenlikn med det siste svaret i oppgave c Kommenter 63 Den deriverte 63 Ta for deg oppgave 63 a Hva er f ( 50)? b Hvor raskt vokser f ( ) i forhold til for -verdier rundt 50? 64 Ta for deg figuren i oppgave 64 a Hva er f () f (, 55) b Skriv opp koordinatene til bunnpunktet på grafen Hva er f () 3? c Hvilket fortegn har f ( ) f () 3 f () 4 4 f () 7

9 Kapittel 6: Derivasjon For hvilke punkter på grafen i oppgave 65 er a positiv b negativ c null f ( ) 66 Tegn grafen til f ( ) Finn f ( ) og f () 5 når a f ( )= +3 b f ( )=,7 + c f ( )= 5 d f ( )= a Tegn grafen til funksjonen f ( )= 4 på lommeregneren Velg -verdier mellom og og y-verdier mellom og 4 b For hvilke -verdier er f ( ) positiv, og for hvilke verdier er f ( ) negativ? c Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen Hvor stor er f ( ) i disse punktene? 4 68 a Tegn grafen til funksjonen f ( )= på lommeregneren + b For hvilke -verdier er f ( ) positiv, og for hvilke verdier er f ( ) negativ? c Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen d Hvilken -verdi gjør at f ( ) = 0? 69 Hvis K() kr er totalkostnaden når det produseres enheter av en vare, vil K(00) være totalkostnaden når det produseres 00 enheter K ( 00) viser med god tilnærming hvor mye K() vokser når produksjonen øker med én enhet, dvs fra 00 til 0 enheter K'() kalles grensekostnaden når det produseres enheter a Hvor mye vil det koste å produsere enhet nr 0 når produksjonen på forhånd er 00 enheter, og K ( 00) = 8? b Om en kostnadsfunksjon K() får vi opplyst at K(00) = 330, og at K ( 00) = 8 Hvor mye vil det koste å produsere 0 enheter 0 enheter 64 Å bruke definisjonen til å utlede den deriverte Δy 630 Hva nærmer seg når h nærmer seg null? Δ Δy a b c Δ = + Δy 4 3h Δ = + Δy 3 5h Δ = h * 63 a Du skal regne ut f () for funksjonen f ( )= 3 + ved å bruke definisjonen på den deriverte Δy Δy Regn ut Δ y = f( + h) f( ) Regn ut Δ h Δy 3 Hva nærmer seg når h nærmer seg null? Δ Hva er f ()? b Finn f ( ) ved å bruke «tretrinnsmetoden» fra oppgave a Bruk svaret til å finne f ()

10 48 Kapittel 6: Derivasjon * 63 Gitt funksjonen f ( )= a Regn ut Δ y = f( +h) f() Δy Δy Δ h Δy 3 når h nærmer seg null Hva er f ()? Δ b Bruk definisjonen til å finne f ( ) Bruk svaret til å finne f () 633 a Bruk definisjonen til å finne f ( ) når f ( )= + f ( )= +3 3 f ( )= + b Finn f ( ) og f () 0 for de tre funksjonene i oppgave a 634 Bruk definisjonen til å finne f ( ) når a f ( )= + 5 b f ( )= Grafen i oppgave 64 er grafen til funksjonen f ( ) = 05, 3+ 65, a Bruk definisjonen til å finne f ( ) b Bruk uttrykket du fant i oppgave a til å finne f (), f () 3 og f (, 55) Stemmer svarene med grafen? 636 Bruk definisjonen til å finne g ( ) når g ( )= Derivasjonsregler 637 Bruk derivasjonsreglene til å finne f ( ) a f ( )= b f ( )= 3 c f ( )= +7 d f ( )= +8 e f ( )= 5+8 f f ( )= g f ( )= 3 + h f ( )= i f ( )= 0,53 4,5 638 Regn ut f ( ) Bruk svaret til å regne ut f ( ), f () 0 og f () når * a f ( )= +3 b f ( )= +3 + c f ( )= d f ( )= Finn K ( ), K ( 0) og K ( 50) når * a K() = b K() = 0, Deriver funksjonene a f ( )= 5 b f ( )= 4 c 3 f ( )= 7 d f ( )= 3 +8 e f ( )= 3 f f ( )= 7 +7 g f ( )= 4 3 h f ( )= i f ( )=

11 Kapittel 6: Derivasjon Volumet V(t) cm 3 av en ballong er gitt ved V(t) = t + 0,0t der t er antall minutter etter at ballongen ble sendt opp a b Regn ut V () t Hvor mye øker eller minker volumet per minutt når t = 00 t = 300 De totale kostnadene K() kr ved produksjon av enheter av en vare er gitt ved K() = 0, , [50, 300] a Regn ut K(00) og K(0) Hvor mye øker kostnadene når produksjonen øker fra 00 enheter til 0 enheter? b Regn ut K ( ) c Finn K ( 00) Bruk dette til å finne tilnærmet hvor mye kostnadene øker når produksjonen øker fra 00 enheter til 0 enheter Sammenlikn med den kostnadsøkningen du fant i oppgave a 643 a Hva er stigningstallet til en linje som er parallell med -aksen? b Undersøk om grafen til f har noen tangent som er parallell med -aksen når f ( )= + f ( )= 3 3 * 644 Vi går ut fra at antall bakterier i en bakteriekultur er gitt ved formelen Nt ()= t + 5t, der N(t) er antall bakterier etter t døgn For hvilken verdi av t er tilveksten 30 bakterier per time? 66 Fortegnslinje for den deriverte 67 Drøfting av funksjoner 645 Finn f ( ) og sett opp fortegnsskjema for f ( ) når a f ( )= 4 +8 b f ( )= c f ( )= 3 3 d f ( )= Den deriverte av en funksjon f ( ) er positiv for < og for > 5, negativ for -verdier mellom og 5, og null for = og =5 a Sett opp fortegnslinje for f ( ) b Hva kan du si om grafen til f ( )?

12 50 Kapittel 6: Derivasjon 647 f () 8 4 g () a Finn koordinatene til topp- og bunnpunkter på de to grafene b Tegn fortegnslinje for f ( ) og g ( ) 648 Tegn fortegnslinje for f ( ) Hvilke av funksjonene vokser i intervallet 0,? a f ( )= 4 + b f ( )= 4 c f ( )= 4 d f ( )= 4+ e f ( )= 4+ 4 f f ( )= 3 + * 649 Funksjonen f er gitt ved f ( )= 6 +5 a Bestem nullpunktene for f ( ) ved regning b Finn f ( ) Tegn fortegnslinje for f ( ) c Finn koordinatene til eventuelle bunn- og toppunkter på grafen til f ved regning d Finn stigningstallet for tangenten i punktet (4, f(4)) ved regning e Finn likningen for tangenten ved regning 650 f() g() Figuren viser grafen til to funksjoner Hvilken av de to funksjonene har denne fortegnslinja for den deriverte? -linje 0 f'() Begrunn svaret 65 Bruk figuren til å a finne nullpunktene til f ( ) b tegne fortegnslinje for f ( ) c bestemme topp- og bunnpunkt på grafen til f ( ) d tegne fortegnslinje for f ( ) e bestemme de intervallene der f ( ) vokser eller minker f ( ) 3

13 Kapittel 6: Derivasjon Figuren viser grafen til f ( )= f() a b 0 Bruk figuren til å finne nullpunktene til f ( ) tegne fortegnslinje for f ( ) 3 bestemme topp- og bunnpunkt på grafen til f ( ) 4 tegne fortegnslinje for f ( ) 5 bestemme de intervallene der f ( ) vokser eller minker Finn svarene på oppgavene a3 a5 ved regning * 653 En funksjon er gitt ved 3 f ( ) = 05, 6+ a Bruk f ( ) til å avgjøre hvor grafen til f synker, og hvor den stiger b Regn ut koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f c Finn stigningstallet for tangenten i punktet (, f()) Funksjonen f ( ) er gitt ved f ( )= + 3 Finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen ved regning 655 Vi skal fylle vann i en beholder Den tiden det tar, er en funksjon av hvor høyt vi vil at vannet skal stå i beholderen Tiden, T sekunder, er gitt ved Th () = 08, h + 0h, D T =[ 0, 5] der h dm er vannhøyden a Tegn grafen på lommeregneren og på papir b Hvor lang tid tar det å fylle beholderen til vannhøyden 5 dm? c Hva er vannhøyden etter 0 minutter? d Bestem T () h e Regn utt () 5 og T ( 0) Gi en tolkning av svarene

14 5 Kapittel 6: Derivasjon 656 En funksjon er gitt ved f ( )= a Finn f ( ) Bestem ved regning de intervallene der f vokser eller minker b Bestem eventuelle maksimal- og minimalverdier for f ved regning c Tegn grafen til f på lommeregneren 657 En funksjon f er gitt ved f ( )= 3 3 a Finn ut så mye som mulig om denne funksjonen ved regning Tegn grafen b Finn stigningstallet for tangenten i (, f()) ved regning c Finn likningen for tangenten i oppgave b ved regning Figuren viser grafen til f ( )= f() a Bruk figuren til å finne eventuelle nullpunkter for f tegne en fortegnslinje for f ( ) 3 tegne en fortegnslinje for f ( ) b Punktet (, f ( ) )= (, 8 kalles et terrassepunkt Hva er det som 3) kjennetegner et terrassepunkt? c Svar på spørsmålene i oppgave a ved regning 659 Firmaet NORFRYS har en kostnadsfunksjon K() for ett av sine frysevareprodukter K() er kostnaden i kroner når det produseres enheter per uke K() = 0, a Regn ut K(500) og K(500) Hva forteller svarene? b Regn ut K ( 500 ) og K ( 500) Hva forteller svarene?

15 Kapittel 6: Derivasjon 53 * En bedrift produserer en vare der totalkostnaden per dag viser seg å være K() = 0, , [0, 0] når det produseres enheter per dag a Finn et uttrykk for K ( ) b Regn ut K ( 0) Hvor mye vil det koste ekstra å øke produksjonen fra 0 til enheter per dag? c Regn ut K ( 00) Hvor mye vil det koste ekstra å øke produksjonen fra 00 til 0 enheter per dag? d Vi antar at produksjonen er 80 enheter per dag Bedriften selger varen for 50 kr per enhet Vil det lønne seg for bedriften å øke produksjonen? Kostnaden ved å produsere enheter av en vare er gitt ved K() = 0, , [0, 500] Inntekten er gitt ved I() = 0,0 +80 a Finn et uttrykk for overskuddet O() b Finn ved regning hvilken produksjon som gir størst overskudd Hvor stort er overskuddet da? c Tegn grafen til O() på lommeregneren og bruk den til å svare på spørsmålet ib En fabrikk lager skistaver Når fabrikken produserer og selger par skistaver per dag, får den et overskudd gitt ved O() = 0, a Finn ved regning hvilken produksjon som gir størst overskudd b Tegn grafen til O() på lommeregneren og bruk den til å svare på spørsmålet i oppgave a 00 Figuren viser et rektangel med sider cm og (00 ) cm Vi lar A() cm være arealet av rektanglet * a Forklar at D = 0, 00 * b Finn et uttrykk for A() * c Finn maksimalverdien for A() ved regning Hva kalles firkanten når A() har denne verdien? d Tegn grafen til funksjonen A() La cm på førsteaksen svare til 0 enheter og la cm på andreaksen svare til 50 enheter

16 54 Kapittel 6: Derivasjon 664 Av en rektangulær glassplate med sider,0 m og,0 m skal det lages et akvarium Bunnen og sidene lages ved å skjære langs de stiplede linjene på figuren De fire kvadratene med side m fjernes Ved beregningene nedenfor ser vi bort fra tykkelsen av glasset,0 m,0 m a Forklar hvorfor må tilhøre intervallet 0, 0, 5 b Vis at volumet V ( ) m 3 er gitt ved 3 V ( )= c Løs likningen V ( ) = 0 d Bruk resultatet i oppgave c til å finne den verdien av som gir størst volum Hvor stort er dette volumet? 665 I en reklame for et slankeplaster blir det påstått at en vil gå ned i vekt ved å bruke slike plastre Det går fram av reklamen at en mann på 9 kg vil oppnå en vekt på tilnærmet f ( )kg, der f ( )= 0,008 0,3 +9, [0, 60] Her er antall døgn etter at kuren startet a Bruk lommeregneren til å bestemme f () 0 f ( 0 ) 3 f ( 50) Hva forteller svarene ifølge reklamen? b Bruk derivasjonsreglene til å bestemme f (), 0 f ( 0) og f ( 50) 666 h Vi skal lage en kasse med en form som et rett prisme "Skjelettet" settes sammen av metallstenger Stengene er satt sammen slik figuren viser Grunnflaten er et kvadrat med side cm Høyden i kassen er h cm Den totale lengden av stengene som går med, er 480 cm Vi ser bort fra tykkelsen av stengene a Vis at h = 0 b Finn et uttrykk for volumet av kassen c Finn ved regning hvor stort volumet kan bli

17 667 Kapittel 6: Derivasjon 55 Vi kaster en ball loddrett oppover t sekunder etter at den ble kastet, er høyden over bakken h(t) meter, der h(t) = 4,9t + 9,8t +,5 a Farten v(t) m/s er gitt ved v(t) = h () t Finn farten ved noen tidspunkter b Finn ved regning hvor høyt ballen kommer 5 rette eller gale Momentan vekstfart i punktet P på en kurve er det samme som stigningstallet til tangenten gjennom dette punktet Gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter på en kurve er det samme som stigningstallet til en rett linje gjennom de to punktene 3 Hvis den momentane vekstfarten i P er lik 0, er P et bunnpunkt på grafen 4 Hvis den deriverte av en funksjon er negativ for alle -verdier i et intervall, så går grafen oppover mot høyre i dette intervallet 5 Den deriverte av en tredjegradsfunksjon er en førstegradsfunksjon 6 Funksjonene f ( )= 3 +ogg() =3 har samme deriverte Den deriverte av en konstant funksjon er 0 9 Hvis et punkt er et topp- eller bunnpunkt på en graf, så er den deriverte 0 i dette punktet 0 Hvis den deriverte er 0 i et punkt på en graf, så er dette punktet et topp- eller et bunnpunkt Funksjonen f ( )= 3 har ingen derivert Andrekoordinaten til et bunnpunkt kalles minimalverdi 3 En ekstremalverdi er enten en maksimalverdi eller en minimalverdi 4 Den deriverte i et punkt på en graf er det samme som stigningstallet til tangenten i dette punktet 5 = ( ) = Blandede oppgaver 668 Bruk derivasjonsreglene til å finne f ( ) når f ( ) er lik a 3 +4 b + c 3 d +3 e 3+3 f g 3 3 h i j,5 4,5 k l +4 3

18 56 Kapittel 6: Derivasjon 669 f () ) -linje f ' () 0 ) -linje f ' () 0 3) -linje 0 Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon f Dessuten er det tegnet tre forslag til fortegnsskjema for f ( ) a Er noen av forslagene riktig? Begrunn svaret b Bestem eventuelle maksimal- og minimalverdier for f ( ) Skriv opp koordinatene for eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen c For hvilke verdier av er f ( ) lik null (nullpunktene)? 670 g() Figuren viser grafen til en funksjon g, med inntegnet tangent i punktet ( 3, 3) a Bruk figuren til å finne nullpunktene for g tegne fortegnslinje for g() 3 tegne fortegnslinje for g ( ) 4 finne koordinatene til bunnpunktet 5 finne stigningstallet til tangenten i punktet ( 3, 3) Funksjonsuttrykket for grafen er g ( )= 4 b Finn g ( ) ved å bruke definisjonen på den deriverte c Finn svarene på oppgavene i a ved regning d Finn likningen for den inntegnede tangenten ved regning

19 Kapittel 6: Derivasjon Funksjonen f er gitt ved f ( )= 4 a Finn f ( ) ved å bruke definisjonen på den deriverte b Tegn fortegnslinje for den deriverte og finn koordinatene for eventuelle toppeller bunnpunkter på grafen c Tegn grafen til f ( ) både på lommeregneren og på papir d Finn likningen for tangenten til grafen i punktet, f ( ) ved regning ( ) 67 Om en funksjon g vet vi at g () 3 = 0 Hvilke av disse utsagnene kan være sanne? Grunngi svaret, for eksempel grafisk A Grafen har et toppunkt for =3 B Grafen er en rett linje med stigningstall 3 C Grafen har et terrassepunkt for = 3 (Se oppgave 658) D Grafen har et bunnpunkt for =3 673 Figuren viser temperaturkurven for en matvare som blir lagt til frysing i en fryseboks Matvarens temperatur minutter etter at den ble lagt i boksen, er y C y ºC 0 0 minutter Bruk figuren til å finne a den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallene [0, 0] [0, 50] b hvor mye matvaren avkjøles i gjennomsnitt per minutt i intervallet [50, 80] c hvor mye temperaturen avtar per minutt etter 0 minutter 60 minutter 674 Du har fått disse opplysningene om en funksjon f () 5 = 3 f ( ) = for alle a Finn f () 7 b Finn funksjonsuttrykket f ( ) f :

20 58 Kapittel 6: Derivasjon 675 Figuren viser grafen til en funksjon f a Tegn fortegnslinje for f ( ) og f ( ) b Er f (,) 5>? Begrunn svaret c For hvilken verdi av har f ( ) sin minste verdi? Begrunn svaret f() 676 f() Figuren viser grafen til en funksjon f ( ) Bruk figuren til å svare på spørsmålene a Sett opp en fortegnslinje for f ( ) b I hvilket intervall har tangenten til grafen negativt stigningstall? c Tangenten i toppunktet på grafen skjærer grafen i et annet punkt Hva er koordinatene til dette punktet? Begrunn svaret d For hvilken -verdi har f ( ) sin minste verdi? Begrunn svaret 677 For en funksjon f kjenner vi fortegnet for f ( ) og f ( ) : -linje f () f '() Skissér en graf som passer til dette En funksjon er gitt ved f ( )= Bestem f ( ) Bruk lommeregneren til å løse likningen f ( ) = 0 Bestem hvor funksjonen vokser, og hvor den minker Bestem eventuelle ekstremalverdier for funksjonen Tegn grafen og finn verdimengden for funksjonen (Dansk eksamensoppgave)

21 Kapittel 6: Derivasjon Du skal lage en lufteplass for en hund Innhegningen skal ha form som et rektangel og skal stå inntil en husvegg Du har 0 m gjerde Hvordan vil du forme rektanglet for at hunden skal få størst mulig areal å boltre seg på? (Eksempeloppgave MX 00) 680 Figuren viser et drivhus Drivhuset er uten gulv Tak og vegger er laget av plast l Drivhuset har form som en halvsylinder med radius meter og lengde l meter Vi forutsetter at overflaten er bestemt slik at sammenhengen mellom l og er gitt ved 38 l = Vis at volumet for slike drivhus er gitt ved π 3 V ( )= 9π der V() er målt i m 3 Bestem V ( ) Bestem slik at volumet av drivhuset blir størst mulig Bestem det største volumet (Dansk eksamensoppgave) 68 Agnete undersøkte hvordan temperaturen i hytta sank i løpet av en vinternatt Hun foretok målinger og fant at temperaturen t timer etter at hun startet målingene, kunne uttrykkes ved T(t) = 5,0 + 7,0 0,86 t a Regn ut T(0), T(3) og T(8) Hva forteller svarene? b Finn T (), 0 T () 3 og T () 8 ved å bruke lommeregneren Hva forteller svarene?

22 60 Kapittel 6: Derivasjon 68 Antall bakterier i en bakteriekultur er gitt ved f ( )= 600,8, der er antall timer regnet fra det tidspunktet da antallet var 600 a Finn f () 5 og f ( 0) Hva forteller svarene? b Finn f () 5 og f ( 0) på lommeregneren Hva forteller svarene? c Løs likningen f ( )= Hva forteller svaret? 683 En beholder fylles med gass gjennom et rør Etter t timer er det m(t) kg gass i beholderen m(t) = 500( 0,88 t ) Skisser grafen til m(t) Bruk lommeregneren til å finne hvor mange kilogram gass som strømmer inn i beholderen per sekund når t =5 684 En dyreart blir satt ut i et avgrenset område Området gir gode levevilkår for arten Vi regner med at antall dyr etter år er tilnærmet lik f ( ), der 000 ( + ) f ( )= + 30 a Finn f (), f () 7 og f ( 4) ved å bruke lommeregneren Hva forteller svarene? b Hva forteller svarene i oppgave a om grafen til f? Tegn grafen fra =0 til = 5 på lommeregneren Kommenter c Når ser den deriverte ut til å være størst? Hva betyr det? 685 I et kvadrat med side 6 er det innskrevet et rektangel slik figuren viser Bestem slik at arealet av rektanglet blir størst mulig Hvor stort blir arealet da? I en prøve med det radioaktive stoffet polonium-8 var poloniummengden 00 mg fra starten av Etter t minutter var mengden t mt () = 00 0, 794 a Regn ut m(3) og m(0) Hva forteller svarene? b Finn m () 3 og m ( 0) på lommeregneren Hva forteller svarene? a c m(t) kan skrives på formen mt () = 00 0, 5 Bestem a t

23 Kapittel 6: Derivasjon f (t) Figuren viser folketallet i en kommune i en 0-årsperiode a Tegn fortegnslinje for f () t b I hvilket tidsintervall var vekstfarten positiv, og i hvilket tidsintervall var den negativ? (Når f ( ) er negativ, sier vi at veksten er negativ) c Ved hvilket tidspunkt var vekstfarten størst? 688 På en veistrekning blir det krevd inn bompenger for alle biler som passerer Bomveiselskapet ønsker å øke prisen for å få større inntekt Ifølge en modell fra kommunen vil antall biler y som passerer per døgn, avhenge av prisen kr slik at y = 9800 k der k er en konstant Med en pris på 0 kr for hver passering har det vist seg at det gjennomsnittlig passerer 7000 biler per døgn a b 5 0 t Bruk dette til å bestemme k i modellen Vis at inntekten I() kr på bomveien er gitt ved I() = ifølge modellen ovenfor Bestem hvilken pris som vil gi størst inntekt for selskapet c Tegn grafen til I() når 5, 30 Bomveiselskapet velger å øke prisen til 0 kr for hver passering d Hvor mange prosent mindre blir da inntekten enn det selskapet kunne ha fått ifølge kommunens modell? [ ] 689 En bil må stoppe for en elg i veibanen Elgen er 70 meter foran bilen idet bilføreren begynner å bremse De t første sekundene etter at oppbremsingen startet, tilbakela bilen s(t) meter, der s(t) er gitt ved s(t) = 0,04t 3,45t +7t Farten t sekunder etter at oppbremsingen startet, er gitt ved vt () = s () t a Regn ut s () 0 og s () 5 Hva sier svarene? b Klarte bilen å stoppe tidsnok?

24 6 Kapittel 6: Derivasjon 690 Figuren viser et rektangel og en halvsirkel Figuren har omkretsen 0 Finn lengden av sidene i rektanglet når figurens areal skal være størst mulig 69 Bruk definisjonen til å finne g ( ) når g ( )= X6 Om funksjonene f og g vet vi følgende: f () 0 = g() 0 = f () 0 = g () 0 = f ( ) = 0 g ( ) = a Finn ut hvilke av de fem grafene som passer til opplysningene om funksjonen f og om funksjonen g b Bestem funksjonsuttrykket til parabelen i graf (Eksamen MA høsten 997)

25 X6 En fabrikk lager kasser uten lokk av kvadratiske papplater med side 60 cm En maskin skjærer vekk hjørnene av papplatene En annen maskin bretter opp sideflatene og fester dem Vi regner med at sideflatene ikke overlapper hverandre Kapittel 6: Derivasjon 63 a Forklar at volumet til pappkassen, målt i cm 3, er gitt ved V ( ) = ( 60 ) b Tegn grafen til V c Hvor mye må maskinen skjære bort av hjørnene for at volumet av pappkassene skal bli størst mulig? Hvor stort er volumet da? (Eksamen MZ våren 00) X63 Kostnaden K og inntekten I kroner ved produksjon av enheter av en vare er gitt ved K ( ) 0, , 000 = + + [ ] = [ 0 000] I ( ),, a Finn kostnaden og inntekten når bedriften produserer 500 enheter Hvor stort blir overskuddet? b Vis at opplysningene ovenfor gir følgende uttrykk for overskuddet O: O ( ) = 0, c Tegn grafen til O, og bruk grafen til å avgjøre hvilke produksjonsmengder som gir overskudd d Bruk derivasjon til å finne hvilken produksjon som gir størst overskudd X64 Høyden på en solsikke er h() centimeter dager etter at den ble plantet En modell for høyden er gitt ved funksjonen: h ( ) = 0, , 4 [ 0, 50] a Hvor høy er planten etter 50 dager? b Bestem den gjennomsnittlige veksthastigheten de 0 første dagene Hva er benevningen til svaret? c Finn et uttrykk for den momentane veksthastigheten til planten, og bruk dette til å vise at den momentane veksthastigheten etter 0 dager er 3,84 cm/dag (dvs ca 4 cm per dag) d Finn når den momentane veksthastigheten er størst Hvor raskt vokser planten da? (Eksamen MZ høsten 003)

600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635

600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635 6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringa er at eleven skal kunne berekne gjennomsnittleg vekstfart, finne tilnærma verdiar for momentan vekstfart og gi nokre praktiske tolkingar av desse aspekta

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 ºC Tirsdag 10 ºC Onsdag 1 ºC Torsdag 5 ºC Fredag 6 ºC Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet av noen dager.

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) 6 4 0 b) lg lg lg(4 ) Oppgave ( poeng) ABC er rettvinklet. Et punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi setter PC og CB. C P 10 A 0

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner løsninger Innhold. Funksjoner.... Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 5 Kontinuitet... 4 Funksjoner med delt

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (1 poeng) Oppgave 3 (2 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene.

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (1 poeng) Oppgave 3 (2 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) 2x 10 x( x 5) x b) lg 3 5 2 Oppgave 2 (1 poeng) Bruk en kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet 995 995 Oppgave 3 (2 poeng) Løs

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Læreplanmål Matematikk S1 lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi tegne grafen til polynomfunksjoner,

Detaljer

1 Funksjoner og grafiske løsninger

1 Funksjoner og grafiske løsninger Oppgaver Funksjoner og grafiske løsninger KATEGORI. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 3 0

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013 Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Skriv som prosent a) 0,451 b) 5 25 Oppgave 2 (2 poeng) a) Forklar at de to trekantene ovenfor er formlike. b) Bestem lengden av siden BC ved regning. Eksamen

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b

Detaljer

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1 Løsningsforslag eksamen høsten 2010 DEL 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Løs likningssystemet y 4 3 y 8 y 4 y 4. Setter inn i den andre likninga: 3 4 8, får 3 y 4 3 1 3 y 1 b) Løs likningen 1 4 2 2 5

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 31.05.011 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Skriv tallet 2460000 på standardform. b) Regn ut: 3 3 3 2 81 4 + 12 5 + 8 + 4 3 c) Løs likningssystemet: 2x y = 3 x+ 2y = 4 d) Løs ulikheten: 2 2x + 2x+ 4 0 e) Løs

Detaljer

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 01 Oppgave 1 ( poeng) Hilde skal kjøpe L melk,5 kg poteter 0,5 kg ost 00 g kokt skinke Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye hun må betale. L melk:14,95 kr 15

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f( x) 5x x 5 b) g( x) x e x Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P( x) x x 10x 8, DP a) Faktoriser P( x ) i førstegradsfaktorer.

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Matematikk 3MZ AA6544 / AA6546 Elever / privatister Oktober 2002

Matematikk 3MZ AA6544 / AA6546 Elever / privatister Oktober 2002 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MZ AA6544 / AA6546 Elever / privatister Bokmål Eksempeloppgave etter læreplan godkjent juli 000 Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig x x 5 10x 5 b) Løs likningen x 1 3 1 c) Skriv så enkelt som mulig a a 1 4 3 4 a 3 a d) Gitt ABC ovenfor. AB 5,0, AC 3,0 og BC 4,0.

Detaljer

12 Vekst. Areal under grafer

12 Vekst. Areal under grafer MATEMATIKK: 2 Vekst. Areal under grafer 2 Vekst. Areal under grafer 2. Stigningstall og gjennomsnittlig vekst I kapitlene 8 og 0 viste vi hvordan vi kunne regne ut stigningen til en rett linje eller lineær

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011 Eksamen REA08 S, Høsten 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene ) f f 4 ) g e g e 6e ) h

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

DEL1 Uten hjelpemidler

DEL1 Uten hjelpemidler DEL1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Brukopplysningenenedenfortilåfinneuthvaénballkoster,oghvaén hockeykølle koster. 500 kroner 100kroner b) Figuren viser grafene til tre andregradsfunksjoner f, g og h.

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

2 Likningssett og ulikheter

2 Likningssett og ulikheter Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Eksamen Fag: AA654/AA656 Matematikk 3MX Eksamensdato: 6. desember 006 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Privatistar/Privatister

Detaljer

12 Areal. Vekst under grafer

12 Areal. Vekst under grafer 12 Areal. Vekst under grafer 1 a) Framstill denne funksjonen grafisk: f(x) = 3x + 2 b) Regn ut f(4) og f(3). f (4) f (3) Regn deretter ut. Forklar hva du finner ut. 4 3 f (5) f (2) c) Regn ut. Kommenter

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Eksamen 26.11.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 26.11.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 6.11.01 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6516 Matematikk 2MX. Eksamensdato: 7. desember 2005. Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I

Eksamen. Fag: AA6516 Matematikk 2MX. Eksamensdato: 7. desember 2005. Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Eksamen Fag: AA6516 Matematikk 2MX Eksamensdato: 7. desember 2005 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Våren 2012

Eksamen REA3026 S1, Våren 2012 Eksamen REA306 S1, Våren 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (16 poeng) a) 1) Skriv så enkelt som mulig a b a b

Detaljer

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette?

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette? OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonen f( x) = 5x tanx b) Deriver funksjonen ( ) 3 g( x) = x + cosx c) Bestem integralet (sin x cos x) dx d) Løs ligningen ved regning π,4,6cos x = 1,8, 1 4 x e) I et selskap blir

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Forklar hvordan vi kan avgjøre om brøken nedenfor kan forkortes, uten å utføre forkortingen. 2 2 2 n

DEL 1. Uten hjelpemidler. Forklar hvordan vi kan avgjøre om brøken nedenfor kan forkortes, uten å utføre forkortingen. 2 2 2 n DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) 3ln( x ) b) g( x) x ln(3 x ) Oppgave ( poeng) Forklar hvordan vi kan avgjøre om brøken nedenfor kan forkortes, uten å utføre forkortingen.

Detaljer

Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012

Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012 Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) 14,90 kroner per flaske 48,20 kroner

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + =

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + = 6. Lineær modell I modell A (foregående side) la vi til grunn en tanke om like stor tilvekst pr. tidsenhet. Vi kan lage tabell: År 989 990 99 992 993 994 År etter 989 0 2 3 4 5 Antall elever 00 5 30 År

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

Eksamen R1 Høsten 2013

Eksamen R1 Høsten 2013 Eksamen R1 Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene f x e a) 3 x b) gx x ln3x c) hx x

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 28.11.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 27.01.2012 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x) DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

5.9 Momentan vekstfart

5.9 Momentan vekstfart 5.9 Momentan vekstfart I kapittel 5.8 fant vi den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon i et intervall. Nå skal vi finne den momentane vekstfarten. Det er vekstfarten i et punkt. Den er vanskeligere

Detaljer

Eksamen 24.11.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 24.11.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 24.11.2010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

Eksamen 1P, Høsten 2011

Eksamen 1P, Høsten 2011 Eksamen 1P, Høsten 2011 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) Bjørn skal lage havregrøt. Han har 6 dl

Detaljer

Del 2 skal leveres inn etter 5 timer. verktøy som tillater kommunikasjon. framgangsmåte.

Del 2 skal leveres inn etter 5 timer. verktøy som tillater kommunikasjon. framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA306 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (24 poeng) a) Deriver funksjonene 1) 2. 3e x. e x. b) Vi har gitt rekken. Bestem a. c) Løs likningen.

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (24 poeng) a) Deriver funksjonene 1) 2. 3e x. e x. b) Vi har gitt rekken. Bestem a. c) Løs likningen. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (4 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f( x) x x 4 1 ) g x 3e x 3) h x x e x 4) i x ln x 4 b) Vi har gitt rekken 4 7 10 13 Bestem a n og S n c) Løs likningen x x x x 3 4

Detaljer

Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene

Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene I TIMSS 95 var elever i siste klasse på videregående skole den eldste populasjonen som ble testet. I matematikk ble det laget to oppgavetyper: en for elever

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi inn for = 00

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 02.03 0 03.03 4 04.03 6 05.03 2 06.03 6 Guro målte temperaturen utenfor hytta de seks første dagene i mars. Se tabellen ovenfor. Bestem

Detaljer

Eksamen våren 2008 Løsninger

Eksamen våren 2008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 7.05.010 REA306 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del : Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL Matematikk P forenklet 0 Funksjoner Funksjoner Koordinatsstemet Andreaksen (-aksen) På figuren til venstre ser du et vanlig koordinatsstem. Den vannrette

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Del 1. Oppgave 1. a) Løs ulikheten 2x+ 4 4x+ b) Løs ulikheten. 1) Løs likningen f( x ) = 4 grafisk og ved regning.

Del 1. Oppgave 1. a) Løs ulikheten 2x+ 4 4x+ b) Løs ulikheten. 1) Løs likningen f( x ) = 4 grafisk og ved regning. Del 1 Oppgave 1 a) Løs ulikheten + 4 4+ 8 b) Løs ulikheten + > + + 10 10 5 c) Vi har gitt funksjonen f( ) = lg + 3. Figuren viser grafen til f. 7 6 5 4 3 1-1 1 3 4 5 6 7-1 1) Løs likningen f( ) = 4 grafisk

Detaljer

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 02.03 0 03.03 4 04.03 6 05.03 2 06.03 6 Guro målte temperaturen utenfor hytta de seks første dagene i mars. Se tabellen ovenfor. Bestem

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer