1P eksamen våren 2017 løsningsforslag

Transkript

1 1P eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) Du har 15 L saft. Du skal helle saften over i begre. I hvert beger er det plass til dl. Hvor mange begre kan du fylle? 150 Gjør først om 15 L til 150 dl Antall begre: 75 Det er mulig å fylle 75 begre. Oppgave (1 poeng) I 006 var indeksen for en vare 15. Varen kostet da kroner. I 016 var indeksen for den samme varen 150. Hvor mye kostet varen i 016 dersom prisen har fulgt indeksen? Indeks Pris x x x x x 15 x 100 Varen kostet 100 kroner. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 1 av 19

2 Oppgave 3 (3 poeng) I Norge måler vi temperatur i grader celsius ( C ). I USA måles temperatur i grader 9 fahrenheit (ºF). Når temperaturen er x C, er den y F, der y x 3 5 a) Bruk formelen ovenfor til å regne om 15 C til grader fahrenheit. Vi setter inn 15 i formelen ovenfor og finner at 15 C tilsvarer 59 fahrenheit. y b) Løs likningen x x 3. Hva forteller løsningen du fikk? 5 9 x x3 5 5x 9x160 x 40 Løsningen viser at ved akkurat 40 C er y x, dvs. 40 C 40 F. Oppgave 4 ( poeng) Et taxiselskap har en fast pris på turer fra Oslo sentrum til Gardermoen. Ofte tar flere personer taxi sammen. Taxiselskapet vil lage en tabell som viser sammenhengen mellom antall personer som er med i én taxi, og beløpet hver person må betale for turen. Se nedenfor. a) Skriv av og fyll ut tabellen. Oslo Gardermoen Antall personer Beløp å betale per person (kroner) Vi ser at 3 personer må betale 60 kroner hver. Det betyr at den faste prisen er på 360 kroner 780 kroner. For personer blir det da kroner og for 4 personer blir det kroner. b) Forklar at antall personer og beløpet hver person må betale, er omvendt proporsjonale størrelser. Vi ser at beløpet hver person betaler, halveres når antall personer dobles. Det betyr at produktet av antall personer og beløpet hver person betaler, er konstant lik 780 kroner. Antall personer og beløpet hver person må betale, er da omvendt proporsjonale størrelser. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side av 19

3 Oppgave 5 (3 poeng) En funksjon f er gitt ved f x ( ) x 4 a) Skriv av og fyll ut verditabellen nedenfor. x fx ( ) b) Tegn grafen til f. Nedenfor har vi tegnet grafen til f i GeoGebra. Du må selvfølgelig tegne grafen på ark. Sett av punktene fra tabellen i et koordinatsystem og trekk en jevn kurve gjennom punktene. Før du begynner på oppgaven, kan du godt legge merke til at funksjonsuttrykket til f viser at grafen til f vil være en parabel som vender sin hule side ned og skjærer y-aksen i 4. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 3 av 19

4 Oppgave 6 (4 poeng) 1 m 13 m 4 m 7 m Området som er markert med blått ovenfor, er satt sammen av en halv sirkel, et rektangel, et kvadrat og en rettvinklet trekant. Sett 3 og regn ut tilnærmede verdier for omkretsen og for arealet av området. Vi bruker pytagoras, og finner den korteste siden x i trekanten til høyre på figuren. x 1 13 x x x 5 Bredden på rektangelet til venstre på figuren er dermed: 7 m5 m1 m 10 m d 34m Omkretsen av halvsirkelen er: 6m Omkretsen av området ovenfor blir: 7 m 13 m 1 m 8 m 10 m 6 m 76 m Areal kvadrat: m Areal trekant: m Areal rektangel: m Areal sirkel: 3 6m Areal av området blir: 144m 30m 40m 6m 0m Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 4 av 19

5 Oppgave 7 ( poeng) Gi et eksempel på en sammenheng fra virkeligheten som kan beskrives med en lineær funksjon. Bestem funksjonsuttrykket, og lag en skisse av grafen til funksjonen. Per har en sommerjobb og har en timelønn på 150 kroner. En lineær funksjon er gitt på formen y ax b. Funksjonsuttrykket f x 150 x, der f er lønn og x er antall timer vise lønnen til Per. Konstantleddet b er 0, da Per ikke får noe lønn dersom han ikke jobber. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 5 av 19

6 Oppgave 8 (4 poeng) Ved en skole leser 80 % av elevene aviser på nett, 50 % leser papiraviser, og % leser ikke aviser. a) Systematiser opplysningene gitt i teksten ovenfor i et venndiagram eller i en krysstabell. Nedenfor har vi systematisert opplysningene både i venndiagram og krysstabell. Løsningen krever kun en av metodene. Venndiagram % U = 100 % Leser på nett 48 % 3 % Leser ikke på nett 18 % Krysstabell På nett Ikke på nett Sum Papir 3 % 18 % 50 % Ikke papir 48 % % 50 % Sum 80 % 0 % 100 % b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ved skolen leser både aviser på nett og papiraviser Vi ser av tabellen ovenfor at 3 % av elevene ved skolen leser både aviser på nett og papiraviser. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ved skolen leser både aviser på nett og papiraviser, blir dermed 3 %. En elev ved skolen leser aviser på nett. c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven ikke leser papiraviser. Vi ser av tabellen ovenfor at 48 % av elevene som leser aviser på nett, ikke leser papiraviser. Sannsynligheten for at denne eleven ikke leser papiraviser blir dermed 48 % 6 0,6 60 % 80% 10 Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 6 av 19

7 Oppgave 9 (4 poeng) Tenk deg at du skal blande rød og blå maling i forholdet : 5. a) Hvor mye rød maling må du tilsette dersom du har en boks med 7,5 dl blå maling? Blandingsforholdet er : 5. Det betyr at vi har 5 deler med blå maling. Hver del vil da utgjøre 7,5 1,5 dl. Vi skal ha to deler med rød maling og trenger derfor 3,0 dl rød 5 maling. b) Hvor mye rød maling trenger du for å lage 1 L ferdig blanding? I dette tilfelle vil hver del utgjøre 1 3 L. Det betyr at vi må ha 6 L rød maling for å 7 lage 1 L ferdig blanding. Du har 1 L ferdig blanding i forholdet : 5, men ønsker en blanding i forholdet 1 : 3. Du vil ordne dette ved å tilsette litt mer av den ene fargen. c) Hvilken farge må du tilsette? Hvor mye må du tilsette av denne fargen? Vi ønsker en blanding i forholdet 1 : 3. Det betyr 3 ganger så mye blå maling som rød maling. Vi har 1 L ferdig blanding i forholdet : 5. Det betyr at denne blandingen består av 6 L rød maling og 15 L blå maling. Vi ønsker 3 ganger så mye blå maling som rød maling, altså L blå maling. Det betyr at vi kan tilsette 3 L blå maling for å få blandingsforholdet 1 : 3. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 7 av 19

8 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (6 poeng) Funksjonen f gitt ved f x x x x x 3 ( ) 0,0047 0,40 8,3 86, 0 5 viser fyllingsgraden fx ( ) prosent i et vannmagasin x uker etter 1. januar 016. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. Vi tegner grafen til f i GeoGebra. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 8 av 19

9 b) Bestem bunnpunktet på grafen til f. Hvilken praktisk informasjon gir koordinatene til bunnpunktet? Vi bruker kommandoen «ekstremalpunkt (polynom)» i GeoGebra og finner A 13.7, 35.3, se graf nedenfor. bunnpunktet Det betyr at fyllingsgrader i vannmagasinet er på sitt laveste 13,7 uker etter 1. januar, dvs. i uke 14. Fyllingsgraden er da på 35,3 %, se punkt A på grafen nedenfor. c) Hvor mange prosentpoeng avtok fyllingsgraden med i løpet av de fire første ukene i 016? Hvor mange prosent avtok fyllingsgraden med i løpet av de fire første ukene i 016? Fyllingsgraden etter 0 uker er f 0 86 % og fyllingsgraden etter 4 uker er f 4 58,9 %. Fyllingsgraden avtok med 86 58,9 7,1 prosentpoeng i løpet av disse 4 ukene. Nedgangen i prosent var 7, ,5 % 86. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 9 av 19

10 Oppgave (6 poeng) Pedalbøtte Sylinderformet beholder Til venstre ovenfor ser du en pedalbøtte med lokk. Vi antar at pedalbøtten er satt sammen av en sylinder og en halv kule. Ved siden av ser du den sylinderformede beholderen som er inne i pedalbøtten. Anta at alle mål gitt på bildene ovenfor er innvendige mål. a) Bestem volumet av den sylinderformede beholderen. Radius til beholderen er 160 mm 1,6 dm. Volumet, V, av beholderen er gitt ved V r h 1,6 5,35 43,03. Volumet av beholderen er 43 3 dm 43 L Tenk deg at du fyller 40 L vann i denne beholderen. b) Hvor høyt i beholderen vil vannet stå? I dette tilfellet vet vi at beholderen skal romme 40 L vann. Vi bruker samme formel som i oppgave a) med høyden h som den ukjente. V r h 40 1,6 h 40 Løst i CAS h 1,6 h 4,97 Vannet vil stå 4,97 dm 497 mm opp i beholderen. Vi kan jo legge merke til at dette svaret er rimelig sammenliknet med svaret i a). Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 10 av 19

11 c) Bestem volumet av pedalbøtta med lokk. Denne bøtta er satt sammen av en sylinder og en halvkule. Fra målene på bildet ovenfor ser vi at radius er 00 mm,0 dm. Volum av sylinder: V V Volum av halvkule: V V V V sylinder sylinder halvkule halvkule halvkule halvkule,0 7,55,0 69, r r 6 4,0 6 16,76 3 Volumet av pedalbøtte blir ,74 dm 16,76 dm 86,50 dm 86,5L Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 11 av 19

12 Oppgave 3 (4 poeng) En nettbutikk selger leverpostei i porsjonspakninger og i bokser. Se nedenfor. g leverpostei i hver porsjonspakning 6 porsjonspakninger i hver eske 3 kroner per eske 00 g leverpostei i hver boks a) Hva ville en boks med 00 g leverpostei ha kostet dersom prisen per gram hadde vært den samme som for leverposteien i porsjonspakningene? Vi finner prisen per gram leverpostei i porsjonspakningene. Antall gram leverpostei i porsjonspakningene: g 6 13 g Pris per gram: 3 0,44 kroner per gram. 13 En boks med 00 g leverpostei ville ha kostet 00 0,44 kroner 48,48 kroner. Boksen med 00 g leverpostei koster 4 kroner i nettbutikken. b) Hvor mange prosent dyrere per gram er leverposteien i porsjonspakninger sammenliknet med leverposteien i boks? Finner pris per gram: 4 0,1 00 kroner. Forskjell i pris: 0,44 0,1 0,14 Forskjell i prosent: 0, % 0,1. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 1 av 19

13 ,0 m Husvegg Løsningene er laget av Oppgave 4 (3 poeng) E C D A 0,75 m 1,0 m B Bakkenivå En stige står på skrå mot en husvegg. Stigen berører et gjerde. Gjerdet er,0 m høyt og står 0,75 m fra husveggen. Stigen er plassert 1,0 m fra gjerdet. Se figuren ovenfor. a) Forklar at ABD og CDE er formlike. Begge trekantene har en rett vinkel, A C 90. Videre er linjen gjennom AB parallell med linjen gjennom CD. Setningen om samsvarende vinkler ved parallelle linjer gir dermed at B D. Vi vet da at to av vinklene i trekantene er like store. Det betyr at den tredje vinkelen må være lik og trekantene er formlike. b) Hvor lang er stigen? Vi finner først lengden BD ved å bruke pytagoras læresetning BD 1,0,0 BD 5,0, Vi bruker at ABD og CDE er formlike og finner lengden DE DE 5,0 0,75 1,0 DE 1,7 BD DE, 1,7 3,9 Vi finner at stigen er 3,9 meter lang. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 13 av 19

14 Oppgave 5 (4 poeng) Ved et meieri blir det oppdaget en feil ved en av maskinene som skrur korker på kartongene. På kjølelageret er det 00 kartonger med lettmelk og 100 kartonger med helmelk. 5 av kartongene med lettmelk og 1 4 av kartongene med helmelk har ikke tett kork. Tenk deg at du skal ta en kartong tilfeldig fra kjølelageret. a) Bestem sannsynligheten for at kartongen ikke har tett kork. Vi velger å systematisere opplysningene i en krysstabell. Kartong med lettmelk som ikke har tett kork: Kartong med helmelk som ikke har tett kork: Lettmelk Helmelk Sum Tett kork Ikke tett kork Sum Fra tabellen ser vi at 105 av 300 kartonger ikke har tett kork. Sannsynligheten blir ,35 35 % Anta at du tar en kartong som ikke har tett kork. b) Bestem sannsynligheten for at kartongen inneholder lettmelk. Vi ser av tabellen ovenfor at det er 105 kartonger til sammen som ikke har tett kork. Videre ser vi at 80 av disse kartongene er lettmelk. Sannsynligheten blir dermed ,76 76,% Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 14 av 19

15 Oppgave 6 (3 poeng) Du får vite følgende om Marte: - Hun har en fast brutto månedslønn på kroner. - Hun betaler % i pensjonsinnskudd. - Hun betaler 400 kroner i fagforeningskontingent hver måned. - Hun har et prosentkort med et skattetrekk på 31 %. Lag et regneark der du legger inn opplysningene ovenfor på en oversiktlig måte. Bruk regnearket til å bestemme Martes netto månedslønn. Vi bruker Excel og legger inn opplysningene gitt ovenfor. Husk å vise hvilke formler som er brukt samt rad- og kolonneoverskrift. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 15 av 19

16 Oppgave 7 (5 poeng) Arbeidstakere som har en personinntekt på over kroner, må betale trinnskatt. Trinnskatten på de to laveste trinnene beregnes slik: 0,93 % av den delen av personinntekten som er mellom og kroner,41 % av den delen av personinntekten som er mellom og kroner Terje har en personinntekt på kroner. Lise har en personinntekt på kroner. a) Hvor mye må hver av dem betale i trinnskatt? Vi finner først skattegrunnlaget til Terje. Terje har en personinntekt som er lavere enn kroner. Det betyr at det kun skal beregnes skatt på det laveste trinnet. Skattegrunnlag: kr kr kr Trinnskatten til Terje blir: kr 0, kr Lise får både trinnskatt på trinn 1 og på trinn. Skattegrunnlag på trinn 1 blir: kr kr kr Skattegrunnlag på trinn blir: kr kr kr Trinnskatten til Lise blir: kr 0, kr 0, kr b) Lag ett regneark som arbeidstakere med en personinntekt på mellom og kroner kan bruke for å beregne hvor mye de må betale i trinnskatt. Når en arbeidstaker legger inn sin personinntekt, skal regnearket beregne skatt på hvert trinn og samlet trinnskatt. Bruk regnearket til å kontrollere svarene dine fra oppgave a). Vi bruker Excel. Beregning av trinnskatt for Terje. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 16 av 19

17 Beregning av trinnskatt til Lise. Nedenfor ser du hvilke formler som er brukt. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 17 av 19

18 Oppgave 8 (5 poeng) a) Vis at du vil bruke 6 min og 40 s på å kjøre 1 mil dersom du holder en fart på 90 km/h. Vi har at 1 mil er 10 km og at 1 time er 3600 sekunder Det betyr at du vil bruke sekunder på 10 km sekunder er det samme som 6 minutter og 40 sekunder, Overskriften, tabellen og sitatet nedenfor er hentet fra nettsidene til Norges Automobil-Forbund (NAF). Opprinnelig fart Tidsbesparelse per mil om du øker farten til 90 km/h 100 km/h 110 km/h 80 km/h 50 s 1 min 30 s min 3 s 90 km/h 40 s 1 min 13 s 100 km/h 33 s b) Vis at du sparer ca. 1 min og 13 s per mil ved å øke farten fra 90 km/h til 110 km/h. Vi finner først hvor lang tid vi vil bruke på 10 km med en fart på 110 km/h. 10 Med en fart på 110 km/h vil vi bruke sekunder på 10 km. 100 Ved en fart på 90 km/h brukte vi 400 sekunder. Forskjellen er 73 sekunder, altså 1 minutt og 13 sekunder. Anta at du kjører med en konstant fart på 110 km/h. c) Hvor langt må du kjøre for å spare 15 min sammenliknet med om du hadde holdt en konstant fart på 90 km/h? Fra oppgave b) har vi at du vil spare 73 sekunder på 1 mil. Vi har at 15 min er 900 sekunder. Det gir 900 1,3 73. Du må kjøre omtrent 1,3 mil for å spare 15 min. Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 18 av 19

19 Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger og bilder: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT1011 matematikk 1P våren 017 Side 19 av 19