1P eksamen høsten Løsningsforslag

Transkript

1 1P eksamen høsten Løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (2 poeng) En vare koster 640 kroner. Butikkeieren vurderer å sette opp prisen med 10 % eller 15 %. a) Hvor mye vil varen koste dersom prisen settes opp med 10 %? 10 % er en tiendedel. En tiendedel av 640 kr er 64 kr. Varen vil koste 640 kr + 64 kr = 704 kr. b) Hvor mye vil varen koste dersom prisen settes opp med 15 %? 5 % er halvparten av 10 %. Halvparten av 64 kr er 32 kr. Varen vil koste kr = 736 kr. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 1 av 19

2 Oppgave 2 (2 poeng) Noah skal gå fra Solsletta til Gråvann. Han lurer på om han skal gå den korteste veien, eller om han skal gå veien om Multemyr. Stiene går langs de stiplede linjene. Se figuren ovenfor. Hvor mye lenger må han gå dersom han velger å gå veien om Multemyr? Velger å måle avstanden i antall av 100 meter. Da blir avstanden mellom Solsletta og Multemyr 8 og avstanden mellom Solsletta og Gråvann 10. Bruker Pytagoras på den rettvinkla trekanten, og får at avstanden mellom Multemyr og Gråvann til å bli Avstanden mellom Multemyr og Gråvann er 600 m. Da blir det så mye lenger å gå: 800 m m 1000 m = 400 m Oppgave 3 (2 poeng) Et politisk parti har en oppslutning på 40 %. Partiet øker sin oppslutning med 2 prosentpoeng. Hvor mange prosent øker partiet oppslutningen med? Partiet øker sin oppslutning med % % 5% Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 2 av 19

3 Oppgave 4 (1 poeng) I 2016 kostet en vare 6 % mer enn i basisåret. Hva var prisindeksen for varen i 2016? Det betyr at prisindeksen også har steget med 6% siden basisåret, da den var 100. Prisindeksen i 2016 er derfor på 106. Oppgave 5 (3 poeng) Kari er baker. Hun har en oppskrift på brød hvor det står at forholdet mellom mel og vann skal være 10 : 7. a) Hvor mye vann trenger Kari dersom hun skal bruke 50 L mel? x x x Da trenger hun 35 L vann. Når Kari baker brød hjemme, bruker hun til sammen 3,4 L mel og vann. b) Hvor mye mel og hvor mye vann bruker hun? Setter x lik antall L mel. Da blir antall L vann lik sammen. x 10 7 (3,4 x) 3,4 x 7 x 7 (3,4 x) 3,4 x (3,4 x) 7 x 10 3,4 x 34 10x 7x 10x x x 2 Hun bruker 2 L mel og (3,4 2)L = 1,4 L vann. 3,4 x siden det skal være 3,4 L til Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 3 av 19

4 Oppgave 6 (2 poeng) Ovenfor ser du to parallelle linjer, en sirkel, et parallellogram og en trekant. AB 8 og CD 4. Sirkelen har areal 9. Bestem arealet av parallellogrammet og av trekanten. Må finne avstanden d mellom de to stipla linjene, som er høyden i parallellogrammet når grunnlinja er AB og høyden i trekanten når grunnlinja er CD. Samtidig er radien i sirkelen lik halvparten av d. 2 2 r Radius i sirkelen blir: r 9 9 Da blir avstanden d 2r Arealene blir da: r 2 9 r 9 3 Parallellogrammet: AB d Trekanten: CD d Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 4 av 19

5 Oppgave 7 (6 poeng) Noen venner vil dra på hyttetur. Det koster 3600 kroner å leie hytta en helg. Vennene skal dele utgiftene for leie av hytta likt mellom seg. I tillegg må hver person betale 1300 kroner for mat og transport a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Fyll inn tallene som mangler. Antall personer Utgifter per person, kr per person b) Bestem en formel som du kan bruke for å regne ut utgiftene U per person dersom x personer deltar. Utgiftene per person blir hytteleien som må deles på antall personer, pluss 1300 kroner Ux ( ) 1300 x c) Bruk formelen fra oppgave b) til å bestemme hvor mange personer som må delta for at utgiftene per person skal bli 1600 kroner. Vi må løse følgende likning: Ux ( ) x x x 3600 x 300 x x x x De må være 12 personer for at utgiftene per person skal bli 1600 kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 5 av 19

6 d) Er antall personer og utgiftene per person omvendt proporsjonale størrelser? Begrunn svaret ditt. Vi ser kjapt at dette ikke er omvendt proporsjonale størrelser siden når antall personer dobles fra 2 til 4, blir ikke utgiftene per person halvert, de går fra 3100 kroner til 2200 kroner. Oppgave 8 (3 poeng) Ved en skole er det to Vg2-klasser, 2A og 2B. Det er like mange elever i hver klasse. Alle elevene i 2A har valgt biologi. Halvparten av elevene i 2B har valgt biologi. a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg2 har valgt biologi. Siden det er like mange elever i de to klassene, vil ¾ av alle elevene ha valgt biologi. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg2 har valgt biologi blir da ¾ = 75 %. b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg2 som har valgt biologi, går i klasse 2A. Innfører hendelsene: B: Eleven har valgt biologi A: Eleven går i klasse 2A Oppgaven spør derfor etter P( A B ). Vi får videre: 1 P A B P( A B) 2 : 67 % P B Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 6 av 19

7 Oppgave 9 (3 poeng) Noen elever vil selge vafler for å samle inn penger til en skoletur. De kjøper inn litt utstyr og nødvendige ingredienser slik at de kan lage 120 vaffelplater. Den grafiske framstillingen nedenfor viser sammenhengen mellom antall vaffelplater de får solgt, og overskuddet de vil få fra salget. a) Den rette linjen starter i punktet (0, 450) og går gjennom punktet (30, 0). Hvilken praktisk informasjon gir dette? Det første punktet forteller at dersom de selger ingen vaffelplater, blir overskuddet et underskudd på 450 kroner, som må være lik summen av utgiftene elevene har hatt. Det andre punktet sier at dersom de selger 30 vaffelplater, blir overskuddet null, det vil si at da har de like store inntekter som utgifter, altså 450 kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 7 av 19

8 b) Hvor mye vil elevene ta betalt for hver vaffelplate? Fra oppgave a) har vi at inntektene av 30 vaffelplater er 450 kroner. Prisen per vaffelplate blir: 450 kroner per vaffelplate = 15 kroner per vaffelplate 30 c) Vis hvordan du kan regne ut hvor stort overskuddet blir dersom elevene får solgt alle vaffelplatene. Hvor stort blir overskuddet? Inntektene med 120 solgte vaffelplater blir: 15kr kr. Overskuddet blir da: 1800kr 450kr 1350kr Alternativt: Overskuddet er en lineær funksjon/rett linje. Prisen per vaffelplate, 15, blir stigningstallet for den rette linja siden inntektene, og dermed overskuddet, øker med 15 dersom det selges én vaffelplate mer. Konstantleddet er 450. Formelen for linja blir: y 15x 450 Dersom elevene selger alle 120 vaffelplatene, betyr det at x = 120. Overskuddet blir da: y Overskuddet blir 1350 kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 8 av 19

9 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler unntatt kommunikasjon Oppgave 1 (4 poeng) Antall tusen artikler i den engelske utgaven av Wikipedia x år etter 1. januar 2002 er tilnærmet gitt ved funksjonen f der 3 2 f( x) 2,34 x 50x 129x 19,7, 0 x 15 a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f for 0 x 15. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 9 av 19

10 Skrev inn funksjonen f ved hjelp av kommandoen Funksjon. b) Når passerte antall artikler , ifølge funksjonen? At antall artikler er , betyr at det er tusen artikler. Skrev inn linja y = 4000 og fant skjæringspunktet mellom denne og grafen til f, se punktet A på figuren i oppgave A. Kommando: Skjæring. Antall artikler passerte år etter 1. januar 2002, dvs. i januar Oppgave 2 (2 poeng) På et kart er en avstand 2,4 cm. I virkeligheten er den samme avstanden 4,8 mil. Bestem målestokken til kartet. 4,8mil 48km 48000m cm ,4cm 2,4 cm 2,4 cm 2,4 cm Målestokken er 1 : Oppgave 3 (2 poeng) En hermetikkboks har form som en sylinder med radius 10 cm og høyde 10 cm. En kule har radius 10 cm. Bestem forholdet mellom overflaten av hermetikkboksen og overflaten av kula. Forholdet er: r 2 rh r Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 10 av 19

11 Oppgave 4 (3 poeng) Basisåret for konsumprisindeksen er nå Tidligere var basisåret Da 1998 ble brukt som basisår, var konsumprisindeksen 139,8 i 2015 og 144,8 i 2016 a) Vis at konsumprisindeksen i 1998 nå er 71,5. Bruker at forholdet mellom konsumprisindeksene i 1998 og 2015 må være det samme uansett basisår. Setter x lik konsumprisindeksen i 1998 med 2015 som basisår. Dette gir: x ,8 Konsumprisindeksen i 1998 er 71,5 med 2015 som basisår. b) Hva er nå konsumprisindeksen i Bruker samme tankegang som i a). Setter x lik konsumprisindeksen i 2016 med 2015 som basisår. Dette gir: x 144, ,8 Konsumprisindeksen i 2016 er 103,6 med 2015 som basisår. Oppgave 5 (2 poeng) I 2010 var konsumprisindeksen 92,1. I 2014 var konsumprisindeksen 97,9. Helene hadde like stor kjøpekraft i 2014 som i I 2014 hadde hun en nominell lønn på kroner. Hva var den nominelle lønna hennes i 2010? Like stor kjøpekraft i 2014 som i 2010 vil si at reallønna var den samme disse to årene. Setter x lik nominell lønn i Dette gir: x ,1 97,9 Den nominelle lønna i 2010 var kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 11 av 19

12 Oppgave 6 (2 poeng) Prisen for en vare er endret fem ganger. To ganger er den satt ned med 30 %. Tre ganger er den satt opp med 20 %. Nå koster varen 2646 kroner. Hva kostet varen før prisendringene? Regner ut vekstfaktorer først % nedgang: 1 0,7 20 % oppgang: 1 1, Setter x lik prisen før alle disse endringene. Får da følgende likning: x 0, Løser likningen med CAS: Prisen før prisendringene var 3125 kroner. Oppgave 7 (4 poeng) I en eske ligger det tre hvite og ni røde julekuler. Én av de hvite og fire av de røde kulene er ødelagt. Tenk deg at du skal ta to kuler tilfeldig fra esken. a) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å ta to kuler som ikke er ødelagt. Definerer følgende hendelser: A: Første kule er ikke ødelagt B: Andre kule er ikke ødelagt Det er totalt 12 julekuler, og 5 av dem er ødelagt. Oppgaven spør etter sannsynligheten for at både A og B inntreffer. Vi får 1 P A B P A P B A ,8% Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 12 av 19

13 b) Bestem sannsynligheten for at minst én av kulene du kommer til å ta, er ødelagt. Dette er den motsatte sannsynligheten av den vi fant i a). Vi får: P A B 1 68,2% Oppgave 8 (5 poeng) Anders hadde en trekloss med form som et rett firkantet prisme. Han fikk skåret bort en del av klossen slik at den ene kanten ble avrundet. Se figuren ovenfor. Buen er en sirkelbue med radius 6,0 cm. a) Bestem volumet av treklossen. Figuren kan ses på som et prisme med grunnflate 12 x 12 cm der det er tatt bort et hjørne med grunnflate 6 x 6 cm og så satt inn en kvart sylinder med radius 6 cm. (Alle høydene er 36 cm). Volumet blir: 12,0cm 12,0cm 36,0cm 6,0cm 6,0cm 36,0cm 1 2 6,0 cm 36,0 cm cm 4,9 dm Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 13 av 19

14 b) Bestem overflaten av treklossen. Regner ut endeflatene på den første linja, de 4 rektangulære sideflatene på den andre linja og den buede sideflaten (som er en fjerdedel av sideflaten til en sylinder). Overflaten blir: ,0cm 12,0cm 2 6,0cm 6,0cm 2 6,0cm ,0cm 36,0cm 2 6,0cm 36,0cm 1 2 6,0cm 36,0cm cm 19,1 dm 2 Oppgave 9 (6 poeng) Per har deltidsjobb i en matvarebutikk. Han er ikke sikker på hvor mye han kommer til å tjene i løpet av Han kan velge mellom to alternative skattetrekk. Alternativ 1 Frikort Han kan tjene inntil kroner uten skattetrekk. Dersom han tjener mer enn kroner, får han et skattetrekk på 50 % av den delen av lønna som er over kroner. Alternativ 2 Prosentkort Han får et skattetrekk på 10 % av alt han tjener. Anta at Per kommer til å tjene kr i a) Bestem Pers nettolønn med hvert av alternativene ovenfor. Nettolønn med alternativ 1: 55000kr ( )kr 0, kr % skattetrekk gir en vekstfaktor på 1 0,9 100 Nettolønn med alternativ 2: 60000kr 0, kr Per ønsker å lage en oversikt i et regneark for å finne ut hvor mye han vil få i nettolønn ved ulike inntekter etter de to alternativene ovenfor. I regnearket nedenfor har vi lagt inn ulike mulige inntekter for Per i Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 14 av 19

15 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 15 av 19

16 b) Lag et regneark som vist ovenfor. Du skal sette inn formler i de blå cellene og beregne skattetrekk og nettolønn. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 16 av 19

17 c) Hvor mye må Per tjene for at de to alternativene skal gi nøyaktig like stort skattetrekk? Setter opp en likning med x lik bruttolønna som skal gi samme skattetrekk med de to alternativene: x ,5 x 0,1 Løser denne med CAS: Han må tjene kroner for at skattetrekket skal bli like stort med begge alternativene. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 17 av 19

18 Oppgave 10 (6 poeng) Gitt figuren ovenfor.. Den blå linjen er grafen til funksjonen f, og den røde linjen er grafen til funksjonen g. Linjene skjærer hverandre i punktet A. Punktet B ligger på grafen til g, og punktet C ligger på grafen til f. Punktet D ligger på BC, og BC er parallell med y - aksen. a) Forklar at ADC og ABD er formlike. Begge trekantene har en rett vinkel i punktet D. Vinkel BAD = vinkel ACD fordi: CD står vinkelrett på AD og AC står vinkelrett på AB. Da er to av vinklene i trekantene parvis like, og da må den tredje være det også. Trekantene er derfor formlike. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 18 av 19

19 Funksjonen f er gitt ved f( x) 2x 4 og AD 1 b) Vis at BD 0,5. Når vi går én enhet bortover i positiv retning langs x-aksen fra punktet A, ser vi at vi må gå lengden CD for å komme inn på funksjonen fx ( ) igjen. Da må CD være lik stigningstallet, som er 2. Siden de to trekantene i oppgave a) er formlike, må forholdet mellom de to lengste katetene, CD og AD, være det samme som forholdet mellom de to korteste, AD og BD. Dette gir: BD AD AD CD BD BD 2 Funksjonen g er gitt ved g( x) ax b og g (0) 3,5 c) Bestem a og b. Når vi går én enhet bortover i positiv retning langs x-aksen fra punktet A, ser vi at vi må gå lengden BD for å komme inn på funksjonen gx ( ) igjen. Da må BD være lik minus stigningstallet, som blir 0,5. Da har vi at a 0,5 og g( x) 0,5 x b Bruker deretter at g (0) 3,5. Det gir: g( x) 0,5x b 3,5 0,5 0 b b b 3,5 (Vi kan også si at g(0) 3,5 viser at skjæringspunktet med y-aksen skjer når y = 3,5 og da må konstantleddet være 3,5.) Da har vi at a 0,5 og b 3,5 Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger og bilder: Utdanningsdirektoratet. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 19 av 19