1P eksamen hausten Løysingsforslag

Transkript

1 1P eksamen hausten Løysingsforslag Tid: 2 timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 (2 poeng) Ei vare kostar 640 kroner. Butikkeigaren vurderer å setje opp prisen med 10 % eller 15 %. a) Kor mykje vil vara koste dersom prisen blir sett opp med 10 %? 10 % er ein tiandedel. Ein tiandedel av 640 kr er 64 kr. Vara vil koste 640 kr + 64 kr = 704 kr. b) Kor mykje vil vara koste dersom prisen blir sett opp med 15 %? 5 % er halvparten av 10 %. Halvparten av 64 kr er 32 kr. Vara vil koste kr = 736 kr. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 1 av 19

2 Oppgåve 2 (2 poeng) Noah skal gå frå Solsletta til Gråvann. Han lurer på om han skal gå den kortaste vegen, eller om han skal gå vegen om Multemyr. Stiane går langs dei stipla linjene. Sjå figuren ovanfor. Kor mykje lenger må han gå dersom han vel å gå vegen om Multemyr? Vel å måle avstanden i 100 meter-tal. Da blir avstanden mellom Solsletta og Multemyr 8 og avstanden mellom Solsletta og Gråvann 10. Bruker Pytagoras på den rettvinkla trekanten, og får avstanden mellom Multemyr og Gråvann til å bli Avstanden mellom Multemyr og Gråvann er 600 m. Da blir det så mykje lenger å gå: 800 m m 1000 m = 400 m Oppgåve 3 (2 poeng) Eit politisk parti har ei oppslutning på 40 %. Partiet aukar si oppslutning med 2 prosentpoeng. Kor mange prosent aukar partiet oppslutninga med? Partiet aukar si oppslutning med % % 5% Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 2 av 19

3 Oppgåve 4 (1 poeng) I 2016 kosta ei vare 6 % meir enn i basisåret. Kva var prisindeksen for vara i 2016? Det betyr at prisindeksen også har stige med 6% sidan basisåret, da den var 100. Prisindeksen i 2016 er derfor på 106. Oppgåve 5 (3 poeng) Kari er bakar. Ho har ei oppskrift på brød der det står at forholdet mellom mjøl og vatn skal vere 10 : 7. a) Kor mykje vatn treng Kari dersom ho skal bruke 50 L mjøl? x x x Da treng ho 35 L vatn. Når Kari bakar brød heime, bruker ho til saman 3,4 L mjøl og vatn. b) Kor mykje mjøl og kor mykje vatn bruker ho? Set x lik talet på L mel. Da blir talet på L vatn lik saman. x 10 7 (3,4 x) 3,4 x 7 x 7 (3,4 x) 3,4 x (3,4 x) 7 x 10 3,4 x 34 10x 7x 10x x x 2 Ho bruker 2 L mjøl og (3,4 2)L = 1,4 L vatn. 3,4 x sidan det skal vere 3,4 L til Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 3 av 19

4 Oppgåve 6 (2 poeng) Ovanfor ser du to parallelle linjer, ein sirkel, eit parallellogram og ein trekant. AB 8 og CD 4. Sirkelen har areal 9. Bestem arealet av parallellogrammet og av trekanten. Må finne avstanden d mellom dei to stipla linjene, som er høgda i parallellogrammet når grunnlinja er AB og høgda i trekanten når grunnlinja er CD. Samtidig er radiusen i sirkelen lik halvparten av d. 2 2 r Radius i sirkelen blir: r 9 9 Da blir avstanden d 2r Areala blir da: r 2 9 r 9 3 Parallellogrammet: AB d Trekanten: CD d Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 4 av 19

5 Oppgåve 7 (6 poeng) Nokre venner vil dra på hyttetur. Det kostar 3600 kroner å leige hytta ei helg. Vennene skal dele utgiftene for leige av hytta likt mellom seg. I tillegg må kvar person betale 1300 kroner for mat og transport a) Teikn av tabellen nedanfor i svaret ditt. Fyll inn tala som manglar. Antall personer Utgifter per person, kr per person b) Bestem ein formel som du kan bruke for å rekne ut utgiftene U per person dersom x personar deltek. Utgiftene per person blir hytteleiga som må delast på talet på personar, pluss 1300 kroner Ux ( ) 1300 x c) Bruk formelen frå oppgåve b) til å bestemme kor mange personar som må delta for at utgiftene per person skal bli 1600 kroner. Vi må løyse følgjande likning: Ux ( ) x x x 3600 x 300 x x x x Dei må vere 12 personar for at utgiftene per person skal bli 1600 kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 5 av 19

6 d) Er talet på personar og utgiftene per person omvendt proporsjonale storleikar? Grunngi svaret ditt. Vi ser kjapt at dette ikkje er omvendt proporsjonale storleikar sidan når talet på personar blir dobla frå 2 til 4, blir ikkje utgiftene per person halverte, dei går frå 3100 kroner til 2200 kroner. Oppgåve 8 (3 poeng) Ved ein skole er det to Vg2-klassar, 2A og 2B. Det er like mange elevar i kvar klasse. Alle elevane i 2A har valt biologi. Halvparten av elevane i 2B har valt biologi. a) Bestem sannsynet for at ein tilfeldig vald elev i Vg2 har vald biologi. Sidan det er like mange elevar i dei to klassane, vil ¾ av alle elevane ha vald biologi. Sannsynet for at ein tilfeldig vald elev i Vg2 har vald biologi blir da ¾ = 75 %. b) Bestem sannsynet for at ein tilfeldig vald elev i Vg2 som har vald biologi, går i klasse 2A. Innfører hendingane: B: Eleven har vald biologi A: Eleven går i klasse 2A Oppgåva spør derfor etter P( A B ). Vi får vidare: 1 P A B P( A B) 2 : 67 % P B Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 6 av 19

7 Oppgåve 9 (3 poeng) Nokre elevar vil selje vaflar for å samle inn pengar til ein skoletur. Dei kjøper inn litt utstyr og nødvendige ingrediensar slik at dei kan lage 120 vaffelplater. Den grafiske framstillinga nedanfor viser samanhengen mellom talet på vaffelplater dei får selt, og overskotet dei vil få frå salet. a) Den rette linja startar i punktet (0, 450) og går gjennom punktet (30, 0). Kva for praktisk informasjon gir dette? Det første punktet fortel at dersom de sel ingen vaffelplater, blir overskotet et underskot på 450 kroner, som må vere lik summen av utgiftene elevane har hatt. Det andre punktet seier at dersom dei sel 30 vaffelplater, blir overskotet null, det vil seie at da har dei like store inntekter som utgifter, altså 450 kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 7 av 19

8 b) Kor mykje vil elevane ta betalt for kvar vaffelplate? Frå oppgåve a) har vi at inntektene av 30 vaffelplater er 450 kroner. Prisen per vaffelplate blir: 450 kroner per vaffelplate = 15 kroner per vaffelplate 30 c) Vis korleis du kan rekne ut kor stort overskotet blir dersom elevane får selt alle vaffelplatene. Kor stort blir overskotet? Inntektene med 120 selde vaffelplater blir: 15kr kr. Overskotet blir da: 1800kr 450kr 1350kr Alternativt: Overskotet er ein lineær funksjon/ei rett linje. Prisen per vaffelplate, 15, blir stigingstalet for den rette linja sidan inntektene, og dermed overskotet, aukar med 15 dersom det blir seld éi vaffelplate meir. Konstantleddet er 450. Formelen for linja blir: y 15x 450 Dersom elevane sel alle 120 vaffelplatene, betyr det at x = 120. Overskotet blir da: y Overskotet blir 1350 kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 8 av 19

9 Tid: 2 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel med unntak av kommunikasjon Oppgåve 1 (4 poeng) Tusen artiklar i den engelske utgåva av Wikipedia x år etter 1. januar 2002 er tilnærma gitt ved funksjonen f der 3 2 f( x) 2,34 x 50x 129x 19,7, 0 x 15 a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til f for 0 x 15. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 9 av 19

10 Skreiv inn funksjonen f ved hjelp av kommandoen Funksjon. b) Når passerte talet på artiklar , ifølgje funksjonen? At talet på artiklar er , betyr at det er tusen artikler. Skreiv inn linja y = 4000 og fant skjeringspunktet mellom denne og grafen til f, sjå punktet A på figuren i oppgåve A. Kommando: Skjering. Talet på artiklar passerte år etter 1. januar 2002, dvs. i januar Oppgåve 2 (2 poeng) På eit kart er ein avstand 2,4 cm. I verkelegheita er den same avstanden 4,8 mil. Bestem målestokken til kartet. 4,8mil 48km 48000m cm ,4cm 2,4cm 2,4cm 2,4 cm Målestokken er 1 : Oppgåve 3 (2 poeng) Ein hermetikkboks har form som ein sylinder med radius 10 cm og høgde 10 cm. Ei kule har radius 10 cm. Bestem forholdet mellom overflata av hermetikkboksen og overflata av kula. Forholdet er: r 2 rh r Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 10 av 19

11 Oppgåve 4 (3 poeng) Basisåret for konsumprisindeksen er nå Tidlegare var basisåret Da 1998 blei brukt som basisår, var konsumprisindeksen 139,8 i 2015 og 144,8 i 2016 a) Vis at konsumprisindeksen i 1998 no er 71,5. Bruker at forholdet mellom konsumprisindeksane i 1998 og 2015 må vere det same uansett basisår. Set x lik konsumprisindeksen i 1998 med 2015 som basisår. Dette gir: x ,8 Konsumprisindeksen i 1998 er 71,5 med 2015 som basisår. b) Kva er no konsumprisindeksen i Bruker same tankegang som i a). Set x lik konsumprisindeksen i 2016 med 2015 som basisår. Dette gir: x 144, ,8 Konsumprisindeksen i 2016 er 103,6 med 2015 som basisår. Oppgåve 5 (2 poeng) I 2010 var konsumprisindeksen 92,1. I 2014 var konsumprisindeksen 97,9. Helene hadde like stor kjøpekraft i 2014 som i I 2014 hadde ho ei nominell lønn på kroner. Kva var den nominelle lønna hennar i 2010? Like stor kjøpekraft i 2014 som i 2010 vil seie at reallønna var den same desse to åra. Set x lik nominell lønn i Dette gir: x ,1 97,9 Den nominelle lønna i 2010 var kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 11 av 19

12 Oppgåve 6 (2 poeng) Prisen for ei vare er endra fem gonger. To gonger er han sett ned med 30 %. Tre gonger er han sett opp med 20 %. No kostar vara 2646 kroner. Kva kosta vara før prisendringane? Reknar ut vekstfaktorar først % nedgang: 1 0,7 20 % oppgang: 1 1, Set x lik prisen før alle desse endringane. Får da følgjande likning: x 0, Løyser likninga med CAS: Prisen før prisendringane var 3125 kroner. Oppgåve 7 (4 poeng) I ei eske ligg det tre kvite og ni raude julekuler. Éi av dei kvite og fire av dei raude kulene er øydelagde. Tenk deg at du skal ta to kuler tilfeldig frå eska. a) Bestem sannsynet for at du kjem til å ta to kuler som ikkje er øydelagde. Definerer følgjande hendingar: A: Første kule er ikkje øydelagd B: Andre kule er ikkje øydelagd Det er totalt 12 julekuler, og 5 av dei er øydelagde. Oppgåva spør etter sannsynet for at både A og B inntreffer. Vi får 1 P A B P A P B A ,8% Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 12 av 19

13 b) Bestem sannsynet for at minst éi av kulene du kjem til å ta, er øydelagde. Dette er det motsette sannsynet av det vi fann i a). Vi får: P A B 1 68,2% Oppgåve 8 (5 poeng) Anders hadde ein trekloss med form som eit rett firkanta prisme. Han fekk skore bort ein del av klossen slik at den eine kanten blei avrunda. Sjå figuren ovanfor. Buen er ein sirkelbue med radius 6,0 cm. a) Bestem volumet av treklossen. Figuren kan sjåast på som eit prisme med grunnflate 12 x 12 cm der det er teke bort eit hjørne med grunnflate 6 x 6 cm og så sett inn ein kvart sylinder med radius 6 cm. (Alle høgdene er 36 cm). Volumet blir: 12,0cm 12,0cm 36,0cm 6,0cm 6,0cm 36,0cm 1 2 6,0 cm 36,0 cm cm 4,9 dm Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 13 av 19

14 b) Bestem overflata av treklossen. Reknar ut endeflatene på den første linja, dei 4 rektangulære sideflatene på den andre linja og den bua sideflata (som er ein fjerdedel av sideflata til ein sylinder). Overflata blir: ,0cm 12,0cm 2 6,0cm 6,0cm 2 6,0cm ,0cm 36,0cm 2 6,0cm 36,0cm 1 2 6,0cm 36,0cm cm 19,1 dm 2 Oppgåve 9 (6 poeng) Per har deltidsjobb i ein matvarebutikk. Han er ikkje sikker på kor mykje han kjem til å tene i løpet av Han kan velje mellom to alternative skattetrekk. Alternativ 1 Frikort Han kan tene inntil kroner utan skattetrekk. Dersom han tener meir enn kroner, får han eit skattetrekk på 50 % av den delen av lønna som er over kroner. Alternativ 2 Prosentkort Han får eit skattetrekk på 10 % av alt han tener. Gå ut frå at Per kjem til å tene kr i a) Bestem Per si nettolønn med kvart av alternativa ovanfor. Nettolønn med alternativ 1: 55000kr ( )kr 0, kr % skattetrekk gir en vekstfaktor på 1 0,9 100 Nettolønn med alternativ 2: 60000kr 0, kr Per ønskjer å lage ei oversikt i eit rekneark for å finne ut kor mykje han vil få i nettolønn ved ulike inntekter etter dei to alternativa ovanfor. I reknearket nedanfor har vi lagt inn ulike moglege inntekter for Per i Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 14 av 19

15 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 15 av 19

16 b) Lag eit rekneark som vist ovanfor. Du skal setje inn formlar i dei blå cellene og berekne skattetrekk og nettolønn. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 16 av 19

17 c) Kor mykje må Per tene for at dei to alternativa skal gi nøyaktig like stort skattetrekk? Set opp ei likning med x lik bruttolønna som skal gi same skattetrekk med dei to alternativa: x ,5 x 0,1 Løyser denne med CAS: Han må tene kroner for at skattetrekket skal bli like stort med begge alternativa. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 17 av 19

18 Oppgåve 10 (6 poeng) Gitt figuren ovanfor.. Den blå linja er grafen til funksjonen f, og den raude linja er grafen til funksjonen g. Linjene skjer kvarandre i punktet A. Punktet B ligg på grafen til g, og punktet C ligg på grafen til f. Punktet D ligg på BC, og BC er parallell med y - aksen. a) Forklar at ADC og ABD er formlike. Begge trekantane har ein rett vinkel i punktet D. Vinkel BAD = vinkel ACD fordi: CD står vinkelrett på AD og AC står vinkelrett på AB. Da er to av vinklane i trekantane parvis like, og da må den tredje vere det også. Trekantane er derfor formlike. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 18 av 19

19 Funksjonen f er gitt ved f( x) 2x 4 og AD 1 b) Vis at BD 0,5. Når vi går éin enhet bortover i positiv retning langs x-aksen frå punktet A, ser vi at vi må gå lengda CD for å komme inn på funksjonen fx ( ) igjen. Da må CD vere lik stigingstalet, som er 2. Sidan dei to trekantane i oppgåve a) er formlike, må forholdet mellom dei to lengste katetane, CD og AD, vere det same som forholdet mellom dei to kortaste, AD og BD. Dette gir: BD AD AD CD BD BD 2 Funksjonen g er gitt ved g( x) ax b og g (0) 3,5 c) Bestem a og b. Når vi går éi eining bortover i positiv retning langs x-aksen frå punktet A, ser vi at vi må gå lengda BD for å komme inn på funksjonen gx ( ) igjen. Da må BD vere lik minus stigingstalet, som blir 0,5. Da har vi at a 0,5 og g( x) 0,5 x b Bruker deretter at g (0) 3,5. Det gir: g( x) 0,5x b 3,5 0,5 0 b b b 3,5 (Vi kan også seie at g(0) 3,5 viser at skjeringspunktet med y-aksen skjer når y = 3,5 og da må konstantleddet vere 3,5.) Da har vi at a 0,5 og b 3,5 Kjelder Oppgåvetekst med grafiske framstillingar og bilete: Utdanningsdirektoratet. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Hausten / Høsten 2017 Side 19 av 19