Grafer og funksjoner

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Grafer og funksjoner"

Transkript

1 14 4

2 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssstem, løse dette og vurdere gldigheten av løsningen gjøre rede for funksjonsbegrepet og tegne grafer ved å analsere funksjonsbegrepet beregne nullpunkter, skjæringspunkter og gjennom snittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved disse aspektene lage og tolke funksjoner som beskriver praktiske problemstillinger, analsere empiriske funksjoner og finne uttrkk for en tilnærmet lineær funksjon 143

3 4.1 Rette linjer Fra ungdomsskolen vet vi at = a + b er likningen for ei rett linje. Tallet b kaller vi konstantleddet. I likningen = + 1 er konstantleddet lik 1. Når = 0, blir = = 1 Vi ser at når = 0, er lik konstantleddet 1. Linja må da gå gjennom punktet 1 på -aksen. Det ser vi tdelig når vi lager tabell og tegner linja i et koordinatsstem Konstantleddet forteller oss hvor linja skjærer -aksen. Vi tar nå utgangspunkt i skjæringspunktet mellom linja og andreaksen. Hvis øker med en enhet, fra 0 til 1, øker fra 1 til 3. Økningen for er derfor 3 1 =. Så tar vi utgangspunkt i et annet punkt på linja, nemlig punktet der =. Hvis vi øker med én enhet, ser vi at øker fra 5 til 7. Økningen er dermed 7 5 =. I alle punkter på linja vil øke med enheter når øker med 1 enhet. Tallet kaller vi stigningstallet for linja. Stigningstallet finner vi igjen foran i likningen = + 1.! I matematikk er det vanlig å skrive linja = + 1 når vi mener linja med likningen = + 1. Det skal vi gjøre i denne boka også. Vi sier dessuten at linja er grafen til likningen = Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

4 Vi lager tabell og tegner linja = Hvis vi starter i et punkt på linja og fltter oss 1 enhet parallelt med -aksen, må vi enheter ned for å møte linja. minker med to enheter når øker med én enhet. Vi sier at øker med enheter. Tallet er stigningstallet for linja = + 3. Også her står stigningstallet foran i likningen. Den rette linja = a + b skjærer -aksen i punktet = b. Når øker med én enhet, øker med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b kaller vi konstantleddet. b 1 a Hvis stigningstallet a er et positivt tall, stiger linja mot høre. Hvis stigningstallet a er et negativt tall, snker linja mot høre. Hvis stigningstallet a = 0, blir linja horisontal. Linja = 3 er ei slik linje, for vi kan skrive likningen som = Vi har tegnet linja = 3 nedenfor

5 Likningen = kan vi oppfatte som likningen for ei linje der alle punktene har førstekoordinat lik. Det blir ei linje som er parallell med -aksen slik som vist nedenfor. 4 4 Ei horisontal linje har likningen = k. Linja går gjennom tallet k på andreaksen. Ei vertikal linje har likningen = k. Linja går gjennom tallet k på første aksen.? Oppgave 4.10 Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsstemet. a) = + b) = + c) = + d) = + Hvilket punkt går alle linjene gjennom? Oppgave 4.11 Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsstemet. a) = + 3 b) = + 1 c) = 1 d) = 3 Hvordan går linjene i forhold til hverandre? Oppgave 4.1 Avgjør hvilke linjer som er parallelle, uten å tegne linjene. a) = b) = + 1 c) = + 3 d) = 3 3 e) = 1 f) = 3 Oppgave 4.13 Tegn linjene. a) = b) = 3 + c) = 1 d) = Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

6 Eksempel Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linjene. a) = 3 + b) = Løsning: a) I likningen = 3 + er konstantleddet. Linja går derfor gjennom punktet = på -aksen. Linja har stigningstallet 3 = 1,5. Hver gang øker med en enhet, øker med 3 enheter. Når vi skal tegne linja, markerer vi først punktet = på -aksen. Vi går så ut fra dette punktet og går en enhet til høre parallelt med -aksen. Deretter går vi 3 = 1,5 enheter oppover for å finne det neste punktet på linja. Nå har vi to punkter på linja og kan tegne linja som vist nedenfor , b) Linja = går gjennom punktet = 4 på andreaksen. Når vi går en enhet til høre fra dette punktet, må vi gå tre enheter nedover for å finne et ntt punkt på grafen. Når vi har to punkter, trekker vi linja som vist til høre ovenfor.? Oppgave 4.14 Utntt konstantleddet og stigningstallet til å tegne linjene. a) = 1 b) = + c) = d) = + 1 Vi kan finne likningen for ei linje grafisk. Vi tegner da linja i et koordinatsstem og leser av stigningstallet og skjæringspunktet med andreaksen. 147

7 Eksempel Ei linje går gjennom punktene (, 7) og (3, 9). Finn likningen for denne linja grafisk. Løsning: Vi markerer de to punktene i et koordinatsstem og trekker linja gjennom punktene. Skjæringspunktet med -aksen gir konstantleddet b = 3. For å finne stigningstallet a starter vi i et punkt på linja og øker med 1 enhet. Vi må da gå enheter opp for å komme opp til linja. Det gir stigningstallet a =. Likningen for linja blir = (, 7) (3, 9) 4? Oppgave 4.15 I dette koordinatsstemet har vi tegnet fire rette linjer. Finn likningene for linjene ved grafisk avlesing Oppgave 4.16 Ei linje går gjennom punktene (1, 1) og (3, 3). Finn likningen for linja grafisk. 148 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

8 Vi kan bruke datamaskin eller grafisk lommeregner når vi skal tegne rette linjer. Hvis du bruker datamaskin, finner du framgangsmåten for mange verktø på Sinus-sidene på Internett. Hvis du bruker grafisk lommeregner, finner du framgangsmåten bak i boka.? Oppgave 4.17 Tegn linjene digitalt når er et tall mellom 5 og 5. a) = 3 b) = c) = 7, 8,4 d) = 1,5 + 5 Oppgave 4.18 Kristian har mobiltelefon. Han betaler 50 kr per måned for abonnementet og 1,39 kr per minutt. Når han ringer i minutter per måned, betaler han kroner, der = 1, Tegn digitalt den linja som viser sammenhengen mellom ringetida og kostnaden når Kristian ringer i inntil 500 minutter per måned. Oppgave 4.19 For en familie er strømutgiftene i kroner per år gitt ved = 0, der er tallet på kilowattimer. Tegn linja digitalt når er mellom 0 og

9 4. Grafisk avlesing Mari har et mobiltelefonabonnement der hun betaler 150 kr i fast avgift per måned og 0,89 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i minutter, blir utgiftene kroner, der = 0, Dette er likningen for ei rett linje med stigningstallet 0,89 og konstantleddet 150. Vi ser at stigningstallet er det samme som prisen per minutt. Konstantleddet er det samme som abonnementsprisen.! Slik vil det alltid være for denne tpen kostnadsfunksjoner. Stigningstallet er prisen per enhet, og konstantleddet er den faste kostnaden. Vi tegner linja: kr minutter Mari vil bruke linja til å finne ut hvor me hun må betale hvis hun ringer i 350 minutter. Hun tar da utgangspunkt i tallet 350 på -aksen, går opp til linja og leser av på -aksen som vist ovenfor. Da kommer hun til tallet 460 på -aksen. Hun må altså betale 460 kr hvis hun ringer i 350 minutter. Hvor lenge kan Mari ringe for 400 kr? Vi tar utgangspunkt i tallet 400 på -aksen, går bort til linja og leser av på -aksen som vist på figuren ovenfor. Vi kommer fram til tallet 80 på -aksen. Hun kan ringe i 80 minutter for 400 kr. 150 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

10 Vi har nå løst oppgavene grafisk. Slike grafiske løsninger gir vanligvis ikke eksakt riktige svar, men ofte kan en tilnærmet løsning være god nok. Noen ganger trenger vi ikke eksakt riktige løsninger. Andre ganger arbeider vi med matematiske modeller som bare gir en omtrent riktig beskrivelse av virkeligheten. Når vi arbeider med unøaktige modeller, trenger vi ikke eksakte svar.? Oppgave 4.0 Når vi bruker drosje, begnner taksameteret på et fast beløp idet turen starter. Dette faste beløpet kaller vi påslaget. Vi setter det her til 40 kr. Under turen blir det med jevne mellomrom automatisk lagt til et beløp på taksameteret. Dette tillegget regner vi om til en kilometerpris. I denne oppgaven setter vi den til 15 kr. a) Hva må vi betale for en drosjetur på 1 km? b) Forklar at drosjeutgiftene U etter km kan skrives U = c) Tegn linja i oppgave b når er mellom 0 og 30. d) Finn av denne linja hva en drosjetur på 0 km koster. e) Hvor langt kan du kjøre drosje for 300 kr? Oppgave 4.1 Vi fller varmt drikke med temperaturen 86 C på ei termosflaske. Termosflaska holder godt på varmen, og temperaturen snker bare,5 grader per time. a) Hva er temperaturen T etter t timer? b) Tegn ei linje som viser temperaturen når t er mellom 0 og 10. c) Finn av linja hvor mange timer det går før temperaturen er 71 C. Oppgave 4. Mads har moped. Han betaler 3500 kr i året i forsikring. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter han til 0,50 kr per kilometer. a) Forklar at utgiftene i kroner per år er gitt ved U = 0, når han kjører kilometer per år. b) Tegn linja i oppgave a digitalt når er mellom 0 og c) Bruk grafen til å finne ut hvor langt han kan kjøre for 5000 kr. Eksempel Løs likningen grafisk og ved regning = 5 151

11 Løsning: Når vi skal løse likningen grafisk, tegner vi først linja = Deretter tar vi utgangspunkt i tallet 5 på -aksen og leser av på -aksen som vist ovenfor. Vi ser at når = 5, er = 3. Løsningen er = 3 Nå løser vi likningen ved regning = = = 10 3 = 9 = 3? Oppgave 4.3 Løs likningene grafisk og ved regning. a) + 1 = 5 b) + 3 = 1 c) 1 1 = d) = 3 Vi kan også løse likninger ved hjelp av grafer som vi har tegnet digitalt. Bak i boka finner du framgangsmåten for de grafiske lommeregnerne. Framgangsmåten når du bruker datamaskin, finner du på nettsidene. Gjør noen av oppgavene foran digitalt. 15 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

12 4.3 Grafisk løsning av lineære likningssett Mari bruker mobiltelefonen me. Hun betaler 150 kr i fast avgift per måned og 0,89 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i minutter, blir utgiftene kroner, der = 0, Mari sns at telefonregningen blir stor. Hun vurderer derfor et annet abonnement der hun betaler 50 kr per måned i fast avgift og 1,39 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i minutter, blir utgiftene i kroner = 1, Hvor me må hun ringe per måned for at det skal lønne seg å ha det første abonnementet? Vi tegner begge linjene i ett koordinatsstem. kr 600 = 1, = 0, minutter Avlesingen viser at begge abonnementene koster like me hvis Mari ringer i 00 minutter per måned. Hvis hun ringer mer enn 00 minutter, lønner det seg å ha abonnementet med høest fast avgift. Dette stemmer med utregningen vi gjorde på side Dette kan vi også finne ut ved hjelp av digitale grafer. Bak i boka finner du framgangsmåten for grafiske lommeregnere. Datamaskinbrukere finner hjelp på nettsidene. 153

13 ? Oppgave 4.30 Løs likningssettene grafisk og digitalt. a) = + 1 b) = + 4 = + 4 = c) = 1 4 = 3 Oppgave 4.31 Ved lønnsforhandlingene i et datafirma får en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) En fast månedslønn på kr pluss 500 kr for hver datamaskin han selger. ) En fast månedslønn på kr pluss 50 kr for hver datamaskin han selger. a) Sett opp to formler for lønna når han selger datamaskiner per måned. b) Finn grafisk hvor mange maskiner han må selge for at de to tilbudene skal være like gode. Hva er månedslønna i dette tilfellet? Oppgave 4.3 Et firma skal produsere en bestemt vare. Kostnaden ved å produsere varen kan deles i to deler. Den faste kostnaden er på kr og er uavhengig av hvor mange enheter som blir produsert. Denne kostnaden dekker blant annet utgifter til produksjonsutstr. Den variable kostnaden er knttet direkte til produksjonen av en enhet. Utgiftene ved å produsere en enhet er her 50 kr. a) Hvor me koster det i alt å produsere 150 enheter? b) Finn et uttrkk for totalkostnaden K i kroner når det blir produsert enheter. c) Framstill kostnaden K grafisk. Velg mellom 0 og 00. d) Firmaet selger denne varen for 400 kr per stk. Forklar at inntekten I er gitt ved I = 400 når det blir solgt enheter. Framstill I grafisk i det samme koordinatsstemet som K. e) Finn av kurvene hvor mange enheter firmaet må selge for at inntekten av salget skal dekke utgiftene. f) Bruk kurvene til å finne ut hvor stort overskudd firmaet hadde da det solgte 150 enheter. 154 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

14 Når vi skal løse et likningssett grafisk, må vi først finne to uttrkk for. Vi viser metoden ved å løse likningssettet 5 = 4 + = 5 Vi finner først uttrkk for fra de to likningene: 5 = 4 = = = 5 + = 5 = + 5 Vi har nå omformet hver av de to likningene til en likning av tpen = a + b, som gir ei rett linje. Vi tegner de to linjene i ett koordinatsstem. 6 = 5 4 = Vi skal finne det punktet som ligger på begge linjene. Skjæringspunktet gir løsningen. Løsningen er = og = 3. Vi kan også løse likningssettet ved å tegne de to linjene digitalt og finne skjæringspunktet. Framgangsmåten finner du på nettsidene eller bak i boka.? Oppgave 4.33 Løs likningssettene grafisk. a) + = 4 b) + = 5 + = 3 + = Oppgave 4.34 Løs likningssettene grafisk. a) = 1 b) = 4 c) + = 6 + = 7 3 = = 1 155

15 4.4 Funksjonsbegrepet Vi kaster en stein opp i lufta. Etter t sekunder er steinen meter over bakken, der er gitt ved formelen = 5t + 0t Etter 3 s er høden = = 15 Steinen er 15 m over bakken etter 3 s. Når vi kjenner t, kan vi regne ut en bestemt verdi for. Vi sier at høden er en funksjon av tida t. er en funksjon av hvis hver mulig verdi av gir nøaktig én verdi av. Steinen har samme høde over bakken to ganger, på vei opp og på vei ned. Steinen er 15 m over bakken etter 1 s og etter 3 s. Når vi kjenner høden, kan vi ikke fastsette én bestemt verdi for tida t. Tida t er dermed ikke en funksjon av høden. Uttrkket 5t + 0t kaller vi funksjonsuttrkket til funksjonen. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for et funksjonsuttrkk. Når er høden, kaller vi gjerne funksjonsuttrkket h(t) og skriver h(t) = 5t + 0t Her er h den første bokstaven i ordet høde. Vi sier også at funksjonen h er gitt ved h(t) = 5t + 0t Når vi skal finne høden etter 1 s, skriver vi h(1) = = 15 Høden etter s er h() = = 0 Tallene 15 og 0 kaller vi funksjonsverdier. Vi regner ut flere funksjonsverdier og samler dem i en tabell: t h(t) Så tegner vi grafen til funksjonen h. 156 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

16 Langs førsteaksen finner vi variabelen t. Langs andreaksen finner vi funksjonsverdiene. Vi setter så av alle punktene fra tabellen i koordinatsstemet og trekker en glatt kurve gjennom dem. Det er grafen til funksjonen h. Vi ser at steinen er tilbake på bakken etter 4 sekunder. Ferden stopper der. Altså må vi forutsette at variabelen t her er et tall mellom 0 og 4. Vi må forutsette at 0 t 4. Det skriver vi ofte på denne måten: m 0 15 h t [0, 4] Smbolet leser vi tilhører eller er element i. [0, 4] kaller vi et intervall. Det er alle tallene fra og med 0 til og med 4. Endepunktene er altså med i dette intervallet. Hvis vi ikke vil ha endepunktene med i intervallet, skriver vi intervallet som 0, t s Vi sier at funksjonen h har definisjonsmengden [0, 4], og skriver D h = [0, 4] D er den første bokstaven i definisjonsmengde, og h er navnet på funk sjonen. Vi ser at steinen på det høeste punktet er 0 m over bakken. Med andre ord kan høden være alle tall fra og med 0 m til og med 0 m. Funksjons verdiene kan dermed være alle tall i intervallet [0, 0]. Dette intervallet kaller vi verdi mengden til funksjonen. Vi skriver V h = [0, 0] Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, bruker vi gjerne som variabel. Funksjonsuttrkket kaller vi ofte f(), der f er navnet på funksjonen. Eksempel Funksjonen f er gitt ved f() = a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen f() = 8 grafisk. c) Finn verdimengden til f. 157

17 Løsning: a) Vi regner ut noen funksjonsverdier og samler dem i en tabell: f() Nå markerer vi punktene (, f()) i et koordinatsstem og tegner en glatt kurve gjennom punktene. Vi får denne grafen: 10 9 f b) Avlesing av grafen viser at likningen f() = 8 har løsningene = 5 og = 1 c) Vi ser av grafen at den minste funksjonsverdien er 1. Det er når =. Verdimengden består dermed av alle tall som er større enn eller lik 1. Vi skriver V f = [ 1, Intervallet [ 1, består av alle tall som er større enn eller lik 1. Å si at [ 1, er det samme som å si at 1. Hvis vi for eksempel skal uttrkke at 3, kan vi skrive at, 3]. Intervallet, 3] består av alle tall som er mindre enn eller lik 3.? Oppgave 4.40 Regn ut f( ), f(0) og f() når funksjonen f er gitt ved a) f() = 3 + b) f() = c) f() = Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

18 ? Oppgave 4.41 Vi skter opp ei kule. Høden i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 50t a) Tegn grafen til h. b) Når er kula tilbake på bakken? c) Finn definisjonsmengden til funksjonen. d) Finn verdimengden. e) Når er kula 50 m over bakken? Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f() = a) Tegn grafen til f. b) Bruk grafen til å løse likningen = 0. c) Finn verdimengden til f. Oppgave 4.43 Funksjonen f er gitt ved f() = a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen = 5 grafisk. c) Finn verdimengden til f. Når du skal tegne grafer, trenger du ikke regne ut verdiene i tabellen for hånd. Du kan lage tabellen digitalt. Du kan også bruke digitale hjelpemidler til å få fram hvordan grafen ser ut. Framgangsmåten finner du på nettsidene eller bak i boka.? Oppgave 4.44 Funksjonen f er gitt ved f() = a) Tegn grafen til f digitalt. b) Løs likningene digitalt. 1) = 0 ) = 7 159

19 4.5 Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter? Uttrkkene + 3 og kaller vi polnomer. Uttrkket + 3 er et polnom av første grad, og uttrkket er et polnom av andre grad. Den høeste eksponenten til variabelen i et polnom kaller vi graden til polnomet. Polnomet er av tredje grad, og polnomet er av fjerde grad. Vi skal nå se på noen funksjoner der funksjonsuttrkket er et polnom. Slike funksjoner kaller vi polnomfunksjoner. I kapittel 4.4 tegnet vi grafen til polnomfunksjonen f gitt ved f() = Dette er en andregradsfunksjon. Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Grafen ser du til høre f De punktene der grafen til en funksjon krsser -aksen, kaller vi null punktene til funksjonen. Nullpunktene er dermed bestemt ved at f() = 0 Denne funksjonen har dermed nullpunktene = 1 og = 3. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet Bunnpunkt (, 1) der = og = 1. Bunn punktet har koordinatene (, 1). I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Vi skal snart se at bunnpunktet ikke trenger å være det laveste punktet på grafen. 6 4 Nullpunkt Nullpunkt 4 6 Andre funksjoner kan ha et toppunkt. Det er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. Eksempel Funksjonen f er gitt ved f() = 3 3 a) Tegn grafen til funksjonen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. 160 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

20 Løsning: a) Vi tegner grafen til f. 4 Toppunkt 3 ( 1, ) Nullpunkter Bunnpunkt (1, ) f 3 b) Grafen viser at f har nullpunktene = 0, = 1,7 og = 1,7 c) Funksjonen har toppunktet ( 1, ) og bunnpunktet (1, ). Funksjonen i eksempelet foran har et toppunkt i ( 1, ) og et bunnpunkt i (1, ). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin største verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner. Eksempelet ovenfor viser at en tredjegradsfunksjon kan ha tre nullpunkter og både toppunkt og bunnpunkt. Men ikke alle tredjegradsfunksjoner har både toppunkt og bunnpunkt. Grafen til funksjonen f() = 3 har vi tegnet nedenfor. Denne tredjegradsfunksjonen har bare ett nullpunkt og ingen toppunkter eller bunnpunkter f

21 Eksempel Tegn grafen til funksjonen f() = Finn nullpunktene, toppunktet og bunnpunktene grafisk. Løsning: Funksjonen har denne grafen: f Funksjonen har fire nullpunkter: =, = 1, = 1 og = Bunnpunkter: ( 1,6,,) og (1,6,,) Toppunkt: (0, 4)? Oppgave 4.50 Funksjonen f er gitt ved f() = 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 4.51 En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader timer etter midnatt gitt ved T() = , [8, 0] a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 C? c) Når på dagen var temperaturen høest? Hva var temperaturen da? 16 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

22 ? Oppgave 4.5 Funksjonen g er gitt ved g() = a) Tegn grafen til g. b) Finn nullpunktene til g. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til g. d) Finn verdimengden til g. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter kan vi også finne digitalt. Framgangs måten finner du på Sinus-sidene eller bak i boka.? Oppgave 4.53 Funksjonen f er gitt ved f() = 3 1 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Oppgave 4.54 Funksjonen f er gitt ved f() = 4 4 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktene og bunnpunktene. Oppgave 4.55 Tegn grafen til f digitalt der f() = a) Hvor mange nullpunkter har grafen? b) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter har grafen? c) Hvor mange nullpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? d) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? 163

23 4.6 Lineære funksjoner Funksjonen f gitt ved f() = + 1 er et eksempel på en lineær funksjon. Grafen er ei rett linje med stigningstallet og konstantleddet 1. Vi tegner grafen til f slik vi lærte i kapittel Konstantledd f Stigningstall Vi skal nå se på andre egenskaper ved lineære funksjoner. Grete Grønn kjøper en plante som er 5 cm hø. Den vokser cm per uke. Vi sier at vekstfarten er cm/uke. Etter uker er høden av planten i centimeter gitt ved h() = + 5 Dette er en lineær funksjon der grafen er ei rett linje. Vekstfarten er det samme som stigningstallet til linja. cm 15 h 10 1 Vekstfarten er cm/uke uker 164 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

24 Vekstfarten til en lineær funksjon er lik stigningstallet til grafen. Eksempel Bjarne Bjørk plantet et tre i hagen for 50 år siden. Høden av treet i meter har fulgt denne grafen: m h a) Bruk grafen til å finne vekstfarten til treet. b) Finn et uttrkk for høden h(t) i meter etter t år. Løsning: a) Her er det ikke mulig å lese av hvor me høden øker på ett år. Vi finner i stedet veksten i løpet av 10 år. Av grafen ser vi at høden da øker med m. Økningen per år er m = 0, m/år 10 år Vekstfarten er 0, m/år. Treet vokser 0, m per år. b) Ettersom vekstfarten er 0, m/år, er stigningstallet 0,. Av grafen ser vi at høden er 3 m når t = 0. Konstantleddet er derfor 3. Dermed er h(t) = 0,t + 3 t år 165

25 ? Oppgave 4.60 Tegn grafen og bestem vekstfarten til funksjonen gitt ved a) f() = 3 3 b) f() = + 5 Oppgave 4.61 Et tre er 4 m høt og vokser 0,3 m per år. Finn et uttrkk for høden h(t) av treet i meter etter t år. Oppgave 4.6 Mona kjører en fast strekning hver dag med mopeden sin. Grafen nedenfor viser kilometerstanden på mopeden etter dager når er mellom 0 og 100. a) Finn vekstfarten. b) Finn et uttrkk for kilometerstanden k() etter dager. km dager En av de oppgavene som vi trenger matematikk til, er å finne sammenhenger mellom forskjellige størrelser i naturfag, teknikk og samfunnsfag. Vi prøver å finne formler eller likninger som kntter størrelsene sammen. Slike sammenhenger kaller vi matematiske modeller. Når sammenhengen er ei rett linje i et koordinatsstem, har vi en lineær matematisk modell. Vi sier også at vi har lineær vekst. Noen ganger gir modellene et helt riktig bilde av situasjonen. Andre matematiske modeller gir bare en grov oversikt over situasjonen. Vi skal nå lage en slik modell. 166 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

26 Eksempel Avisutklippet på side er hentet fra Adresseavisen og viser utviklingen av folketallet i Norge fra unionsoppløsningen i 1905 og fram til 100-årsjubileet i 005. Vi ser at folke tallet ble praktisk talt fordoblet i perioden. Folke tallet var i 1905 og i 005. Økningen var ganske jevn i perioden mellom 1905 og 005. Punktene med folketall i avis artikkelen ser ut til å ligge på ei rett linje, slik at vi her kan finne en lineær funksjon som omtrent gir folke tallet. a) Finn funksjonsuttrkket f() til den lineære funksjonen som omtrent gir folketallet i tusen år etter b) Finn folketallet i 1985 ifølge modellen fra oppgave a. Hvordan passer modellen med tallene i artikkelen? c) Hva blir folketallet i 050 ifølge denne modellen? Løsning: a) Økningen i folketallet i løpet av de 100 årene er = Økningen regnet i tusen er dermed 303. Vekstfarten i tusen per år er da 303 = 3, Stigningstallet er dermed 3. Hvis vi forutsetter at veksten er lineær, må funksjonsuttrkket være f() = 3 + b. Vi må nå finne konstantleddet b. I 1905, der = 5, var folketallet 304 tusen. Dermed må b = b = 304 b = 189 Dermed er f() = b) 1985 svarer til = 85. Ifølge modellen er folketallet i tusen da f(85) = = 4144 Modellen gir folketallet for året Det riktige tallet er Vi ser at funksjonen gir nesten helt riktig folketall for året c) Årstallet 050 svarer til = 150. Folketallet blir da f(150) = = 5639 Modellen gir folketallet for året

27 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

28 169

29 Vi brukte nå modellen vår til å spå om framtida. Vi lagde en prognose. Slike prognoser er ofte svært usikre. Enda om modellen gir gode verdier for perioden fra 1905 til 005, trenger den ikke stemme for perioden fram til 050. Forutsetningene for modellen kan jo endre seg fullstendig.? Oppgave 4.63 Grafen nedenfor viser at prosentdelen menn som røker, har gått jevnt nedover fra 1973 til 004. I 1973 var det 50,7 % av alle menn i alderen år som røkte. I 004 var prosenten 7,. a) Bruk tallene på figuren til å finne funksjonsuttrkket f() for en lineær funksjon som omtrent gir prosenten menn som røkte år etter b) Tegn grafen til f i et koordinatsstem. c) Når vil alle norske menn ha sluttet å røke ifølge denne modellen? Oppgave 4.64 Figuren i oppgave 4.63 viser at også prosentdelen norske kvinner som røker, har gått ned fra 1973 til 004. I 1973 var det 31,9 % av alle kvinner i alderen år som røkte. I 004 var prosenten 4,8. a) Bruk tallene på figuren til å finne funksjonsuttrkket k() for en lineær funksjon som omtrent gir prosenten kvinner som røkte år etter b) Tegn grafen til k i et koordinatsstem. c) Når vil alle norske kvinner ha sluttet å røke ifølge denne modellen? 170 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

30 ? Oppgave 4.65 Den blå kurven på figuren nedenfor viser prosentdelen av den norske befolkningen som bodde i tettbgde strøk i perioden fra 1900 til 005. Vi ser at andelen øker jevnt. a) Bruk tallene på figuren til å finne funksjonsuttrkket t() for en lineær funksjon som omtrent gir prosenten som bodde i tettbgd strøk år etter b) Tegn grafen til t i et koordinatsstem. c) Når kommer alle til å bo i tettbgd strøk hvis denne utviklingen fort setter? d) Finn funksjonsuttrkket b() for en lineær funksjon som omtrent gir prosenten som bodde i bgd år etter Kan du finne b() direkte av svaret i oppgave a? e) Bruk funksjonene i oppgave a og d til å finne når det bodde like mange i bgd som i tettbgd strøk. Stemmer svaret ditt med figuren ovenfor? 171

31 4.7 Lineær regresjon Til nå har vi tatt utgangspunkt i en graf når vi skal lage en matematisk modell. Andre ganger lager vi modellen ut fra tall i en tabell. Eksempel Tabellen nedenfor viser gjennomsnittsforbruket av alkoholfrie drikkevarer per person i Norge i perioden fra 1980 til Forbruket er oppgitt i liter, og er antallet år etter År ,4 43,9 61,0 79,0 a) Marker samsvarende verdier for og som punkter i et koordinatsstem og undersøk om punktene ligger omtrent på ei rett linje. b) Lag en formel for forbruket i perioden ved hjelp av forbruket i 1980 og i c) Hvordan passer modellen i oppgave b for forbruket i 199? d) I 006 var forbruket av alkoholfrie drikkevarer 107,0 liter per person per år. Hvordan passer det med modellen i oppgave b? Løsning: a) Vi markerer punktene og ser at de ligger omtrent på ei rett linje. liter år 17 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner b) Linja skjærer -aksen i punktet = 9,4. Konstantleddet til likningen for linja er dermed 9,4.

32 Når vi tar utgangspunkt i punktet = 9,4 og går en enhet til høre, er det vanskelig å lese av hvor langt opp vi må for å treffe linja. Da er det ikke så lett å finne stigningstallet grafisk. Vi regner det ut i stedet. På de 18 årene fra 1980 til 1998 økte forbruket med 79,0 l 9,4 l = 49,6 l Økningen per år var 49,6 liter =,76 liter per år 18 år Stigningstallet til linja er dermed,76. Likningen for linja er =,76 + 9,4 Dette er en modell for forbruket i perioden fra 1980 til c) Året 199 svarer til = 1. Ifølge modellen er forbruket da =, ,4 = 6,5 Modellen forteller at forbruket var 6,5 liter. Det faktiske forbruket var 61,0 liter. Modellen gir en god verdi for forbruket. d) Året 006 svarer til = 6. Ifølge modellen er forbruket da =, ,4 = 101,16 Modellen forteller at forbruket i 006 var 101, liter. Det faktiske forbruket var 107,0 liter. Modellen gir et litt for lavt forbruk. Forbruket har steget raskere etter

33 ? Oppgave 4.70 Salget av helmelk har gått ned de siste årene. Tallene nedenfor er hentet fra Statistisk årbok og viser salget i millioner liter i perioden Her er antallet år etter 000. Årstall ,3 10,1 97, 91,4 a) Hvor me sank salget i gjennomsnitt per år fra 000 til 003? b) Bruk tallene for årene 000 og 003 til å lage en lineær modell for salget. c) Bruk modellen i oppgave b til å finne salget av helmelk i år 009. Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å finne den rette linja som passer best til et datasett. Da bruker vi lineær regresjon. Datamaskinbrukere finner framgangsmåten på Sinus-nettsidene. Lommeregnerbrukere finner framgangsmåten bak i boka. Vi får fram at den lineære funksjonen som passer best til datasettet på side 17, er f() =, ,44 Jamfør den funksjonen vi fant på side 173.? Oppgave 4.71 Bruk lineær regresjon til å finne den lineære funksjonen som passer best med dataene i oppgave Oppgave 4.7 I Statistisk årbok finner vi en oversikt over hvor me fjørfe som ble slaktet og brukt til folkemat i perioden fra 1993 til 005. Tabellen viser tallet på fjørfe i millioner som ble slaktet år etter Årstall ,4 6,7 31,4 33,4 38,3 4,8 46,7 a) Lag en lineær matematisk modell som viser utviklingen. b) I 007 ble det slaktet 55,5 millioner fjørfe. Hvordan passer det med modellen? c) Lag en prognose for året Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

34 4.8 Gjennomsnittlig vekstfart For lineære funksjoner er vekstfarten lik stigningstallet til grafen. Vekstfarten er den samme i alle punkter. For andre funksjoner vil vekstfarten variere. Vi lærer nå å finne gjennomsnittlig vekstfart i en periode eller i et intervall. Grete Grønn planter en sommerplante. Grafen nedenfor viser høden h() av planten etter dager for [0, 30]. Vi skal finne den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden fra 5 dager til 15 dager. Planten har da vokst fra 4 cm til 30 cm. Økningen i høde er Δh = h(15) h(5) = 30 cm 4 cm = 6 cm Endringen i er Δ = 15 dager 5 dager = 10 dager Legg merke til at smbolet Δ (delta) står for økningen til en variabel. cm h dager Den gjennomsnittlige vekstfarten fra = 5 til = 15 er Δh = 6 cm =,6 cm/dag Δ 10 dager Den gjennomsnittlige vekstfarten er,6 cm per dag. 175

35 Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen f i intervallet [ 1, ] er Δ Δ = f( ) f( 1 ) 1 f( ) f( 1 ) f 1 Eksempel En sommerdag er temperaturen i celsiusgrader timer etter midnatt gitt ved T() = , [8, 0] a) Tegn grafen til T og finn den gjennomsnittlige temperaturøkningen per time mellom kl. 10 og kl. 1. b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden fra kl. 17 til kl. 19. Løsning: a) Først lager vi en tabell, og deretter tegner vi grafen til T. (timer) T() ( C) 10 17,5 3,5 17,5 10 C = T = 4,5 = T = 6 10 T Temperaturøkningen fra kl. 10 til kl. 1 var ΔT = T(1) T(10) = grader 17,5 grader = 4,5 grader h 176 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

36 Timetallet var Δ = 1 h 10 h = h Den gjennomsnittlige temperaturøkningen per time var ΔT = 4,5 grader =,5 grader per time Δ h b) Temperaturøkningen fra kl. 17 til kl. 19 var ΔT = T(19) T(17) = 14,15 grader 0,15 grader = 6 grader Temperaturen sank 6 grader. Timetallet var Δ = 19 h 17 h = h Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [17, 19] var ΔT = 6 grader = 3 grader per time Δ h Temperaturen sank 3 grader per time i perioden.? Oppgave 4.80 Høden av ei gran målt i meter t år etter at den ble plantet, er h(t) = 0,0003t 3 + 0,05t, t [0, 50] Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til grana i periodene [0, 10], [10, 0], [0, 30], [30, 40] og [40, 50]. Oppgave 4.81 Stein I. Hage planter ei solsikke. Høden målt i centimeter dager etter at den ble plantet, er gitt ved h() = 0,01,7 a) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene [0, 5], [15, 0] og [5, 30]. b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene [10, 11], [10, 10,1] og [10, 10,01]. Hva vil du si at vekstfarten er etter nøaktig 10 dager? Oppgave 4.8 Funksjonen f er gitt ved f() = 3 1 a) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene [ 1, 0] og [0, ]. b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene [1, 1,1], [1, 1,01] og [1, 1,001]. Hva vil du si at vekstfarten er i punktet = 1? 177

37 4.9 Momentan vekstfart I kapittel 4.8 fant vi den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon i et intervall. Nå skal vi finne vekstfarten i et punkt. I dette delkapittelet finner vi tilnærmingsverdier for denne momentane vekstfarten ved hjelp av grafen og digitalt. I kapittel 4.8 fant vi den gjennomsnittlige vekstfarten til en plante ved hjelp av en graf. Nå skal vi finne vekstfarten etter 5 dager. Vi skal da finne ut hvor fort planten vokser etter nøaktig 5 dager ( = 5), og stiller oss dette spørsmålet: Hvordan ville planten vokse hvis den fortsatte å vokse nøaktig like fort som den vokste etter 5 dager? Da ville vekstfarten være konstant, og høden av planten ville følge ei rett linje med et stigningstall som er lik vekstfarten etter 5 dager. cm 60 h Tangent 30 0 = = dager Denne rette linja må være nøaktig like bratt som grafen i = 5, og den må berøre grafen i punktet = 5. Ei slik linje kaller vi en tangent. Vekstfarten etter 5 dager er stigningstallet til denne tangenten. På figuren ovenfor har vi tegnet tangenten i punktet som svarer til = 5. Stigningstallet til tangenten er Δ Δ = = 33 0 = 1,65 Vekstfarten etter 5 dager er 1,65 cm per dag. Når vi grafisk skal finne vekstfarten til en funksjon f for = a, tegner vi tangenten til grafen i punktet (a, f(a)). Vekstfarten er stignings tallet til tangenten. 178 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

38 Eksempel Funksjonen f er gitt ved f() = + 4. Finn vekstfarten grafisk når =. Løsning: Først tegner vi grafen til f og tegner tangenten i punktet (, f()) f Tangent Deretter finner vi stigningstallet til tangenten. Når vi går én enhet mot høre, må vi gå to enheter opp for å komme til tangenten. Stigningstallet til tangenten er. Vekstfarten til f i punktet = er lik.? Oppgave 4.90 Finn vekstfarten til planten på side 178 etter 0 dager. Oppgave 4.91 Høden av et tre i centimeter t år etter at det ble plantet, er gitt ved h(t) = 1 30 t3 + 5 t, t [0, 50] Tegn grafen og finn vekstfarten etter a) 10 år b) 30 år c) 40 år Oppgave 4.9 Funksjonen f er gitt ved f() = + 4. Tegn grafen og finn vekstfarten til funksjonen når a) = 1 b) = 3 c) = 179

39 Når vi kjenner funksjonsuttrkket til en funksjon, kan vi finne vekstfarten digitalt. Du finner framgangsmåten på nettsidene eller bak i boka.? Oppgave 4.93 Løs oppgave 4.91 digitalt. Oppgave 4.94 Løs oppgave 4.9 digitalt. Sammendrag Likningen for ei rett linje Den rette linja = a + b skjærer -aksen i punktet = b. Når øker med én enhet, øker med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b kaller vi konstant leddet. b 1 a Grafisk løsning av likningssett Når vi skal løse et likningssett grafisk, finner vi uttrkt ved i begge likningene. Dette gir likningene for to rette linjer. Vi tegner linjene i ett koordinatsstem. Løsningen finner vi ved å lese av koordinatene til skjærings punktet. Polnom Et polnom er et uttrkk av tpen Dette polnomet er av grad 3. Funksjon Vi sier at er en funksjon av dersom hver mulig verdi av gir nøaktig én verdi av. Parabel Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. 180 Sinus 1YT > Grafer og funksjoner

40 Definisjonsmengden D f Definisjonsmengden D f til funksjonen f er alle de verdiene som vi kan velge for. Verdimengden V f Verdimengden V f til funksjonen f er alle de funksjonsverdiene f() vi får når D f. Nullpunkt er et nullpunkt for f dersom f() = 0. Lineær funksjon Funksjonen f er lineær hvis grafen er ei rett linje. Vekstfarten til en lineær funksjon Vekstfarten til en lineær funksjon er lik stigningstallet til grafen. Gjennomsnittlig vekstfart Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen f i intervallet [ 1, ] er Δ Δ = f( ) f( 1 ) 1 f( ) f( 1 ) f 1 Momentan vekstfart Den momentane vekstfarten til en funksjon f er vekstfarten i et punkt = a. Når vi skal finne den momentane vekstfarten i punktet = a grafisk, tegner vi tangenten til grafen i punktet (a, f(a)). Den momentane vekstfarten er stigningstallet til denne tangenten. 181

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

Funksjoner og grafiske løsninger

Funksjoner og grafiske løsninger 8 1 Funksjoner og grafiske løsninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

1 Funksjoner og grafiske løsninger

1 Funksjoner og grafiske løsninger Oppgaver Funksjoner og grafiske løsninger KATEGORI. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 3 0

Detaljer

3 Formler, likninger og ulikheter

3 Formler, likninger og ulikheter Formler, likninger og ulikheter KATEGORI 1.1 Likninger Oppgave.110 4 + 4x = x + 8 5x 6 = 4x 5 1 x = x + 1 d) x = x 5 Oppgave.111 x + x = x 4 5x = x 14 x 1 = 4x + 4 d) x + x = 0 Oppgave.11 x = 4x 10 x 8

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Fasit. Funksjoner Vg1T. Innhold

Fasit. Funksjoner Vg1T. Innhold Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Rette linjer og lineære funksjoner

Rette linjer og lineære funksjoner Rette linjer og lineære funksjoner 3.1 Læreplanmål 1 4.1 Rette linjer 2 4.2 Digital graftegning 6 4.3 Konstantledd og stigningstall 13 4.4 Grafisk avlesning 19 4.5 Digital løsning av likninger 26 4.6 Funksjonsbegrepet

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1P

Oppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1P Oppgaver Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 6 Modul 3. Mer om lineær vekst... 10 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 13 Modul 5. Andre funksjoner... 16 Polynomfunksjoner...

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

Løsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P

Løsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P Løsninger Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 9 Modul 3. Mer om lineær vekst... 16 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 5 Modul 5. Andre funksjoner... 30 Polynomfunksjoner...

Detaljer

Test, 5 Funksjoner (1P)

Test, 5 Funksjoner (1P) Test, 5 Funksjoner (1P) 5.1 Funksjonsbegrepet 1) f ( x) = 16x + 0 f (0) = 0 16 0 ) f ( x) = 4x 6 f ( ) = 14 6 3) f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. Riktig Galt 4)

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P

Oppgaver. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P Oppgaver Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 10 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 1 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 14 Modul 5: Eksponentialfunksjoner...

Detaljer

5.9 Momentan vekstfart

5.9 Momentan vekstfart 5.9 Momentan vekstfart I kapittel 5.8 fant vi den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon i et intervall. Nå skal vi finne den momentane vekstfarten. Det er vekstfarten i et punkt. Den er vanskeligere

Detaljer

Funksjoner S1, Prøve 1 løsning

Funksjoner S1, Prøve 1 løsning Funksjoner S1, Prøve 1 løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker, passer og linjal. Oppgave 1 Gitt funksjonen 3 f 3. a) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom grafen til f og y-aksen.

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

12 Areal. Vekst under grafer

12 Areal. Vekst under grafer 12 Areal. Vekst under grafer 1 a) Framstill denne funksjonen grafisk: f(x) = 3x + 2 b) Regn ut f(4) og f(3). f (4) f (3) Regn deretter ut. Forklar hva du finner ut. 4 3 f (5) f (2) c) Regn ut. Kommenter

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Funksjoner 1T, Prøve 2 løsning

Funksjoner 1T, Prøve 2 løsning Funksjoner 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire rette linjer, j, k, m og n. Finn likningen for hver av de fire linjene.

Detaljer

5.8 Gjennomsnittlig vekstfart

5.8 Gjennomsnittlig vekstfart 5.8 Gjennomsnittlig vekstfart Grete Grønn kjøper en plante som er 5 cm høy. Hun tror at den kommer til å vokse 2 cm per uke. Vi sier at vekstfarten er 2 cm/uke. Etter x uker er høyden av planten da gitt

Detaljer

Del 1. Oppgave 1. a) Løs ulikheten 2x+ 4 4x+ b) Løs ulikheten. 1) Løs likningen f( x ) = 4 grafisk og ved regning.

Del 1. Oppgave 1. a) Løs ulikheten 2x+ 4 4x+ b) Løs ulikheten. 1) Løs likningen f( x ) = 4 grafisk og ved regning. Del 1 Oppgave 1 a) Løs ulikheten + 4 4+ 8 b) Løs ulikheten + > + + 10 10 5 c) Vi har gitt funksjonen f( ) = lg + 3. Figuren viser grafen til f. 7 6 5 4 3 1-1 1 3 4 5 6 7-1 1) Løs likningen f( ) = 4 grafisk

Detaljer

Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2015

Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2015 Eksamen MAT1015 Matematikk P Va ren 015 Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 C Tirsdag 10 C Onsdag 1 C Torsdag 5 C Fredag 6 C Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

Funksjoner S2 Oppgaver

Funksjoner S2 Oppgaver Funksjoner S Funksjoner S Oppgaver. Derivasjon... Den deriverte til en konstant funksjon... Den deriverte til en potensfunksjon... Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 4 Den deriverte til en

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Funksjoner 1T, Prøve 1 løsning

Funksjoner 1T, Prøve 1 løsning Funksjoner 1T, Prøve 1 løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Figuren viser utviklingen i en populasjon av harer på en øy fra 1880 til 000. a) Hvor mange harer var det på øya i 1880?

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1T. Innhold

Oppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1T. Innhold Oppgaver Innhold Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 10 4.3 Andre funksjoner... 18 Polynomfunksjoner... 1 Rasjonale funksjoner... Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner... 3 4.4

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne

Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne Funksjoner i praksis Innhold Kompetansemål Funksjoner i praksis, Vg2P... 1 Modul 1: Lineære funksjoner... 2 Modul 2: Andregradsfunksjoner... 8 Modul 3 Tredjegradsfunksjoner... 12 Modul 4: Potensfunksjoner...

Detaljer

Kapittel 7. Funksjoner

Kapittel 7. Funksjoner Kapittel 7. Funksjoner Mål for kapittel 7: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne redegjøre for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler,

Detaljer

5 Matematiske modeller

5 Matematiske modeller Løsning til KONTROLLOPPGAVER 5 Matematiske modeller OPPGAVE 1 a) Endringen i lengden på lyset i løpet av de 100 minuttene er 12 cm 27 cm = 15 cm Endringen per minutt blir da 15 cm 0,15cm/ min 100 min Når

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

12 Vekst. Areal under grafer

12 Vekst. Areal under grafer MATEMATIKK: 2 Vekst. Areal under grafer 2 Vekst. Areal under grafer 2. Stigningstall og gjennomsnittlig vekst I kapitlene 8 og 0 viste vi hvordan vi kunne regne ut stigningen til en rett linje eller lineær

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

GeoGebra 6 for Sinus 1P

GeoGebra 6 for Sinus 1P SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1P SINUS 1P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med

Detaljer

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger.

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger. ON Lommeregnerstoff Texas 4.1 Rette linjer Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 2x 3 Vi trykker på Y= og legger inn likningen som vist nedenfor. Nå må vi velge vindu.

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Våren 2013

Eksamen REA3026 S1, Våren 2013 Eksamen REA306 S1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) lg x 3 5 lg x 3 5 lg x

Detaljer

6 Vekstfart og derivasjon

6 Vekstfart og derivasjon Løsning til KONTROLLOPPGAVER 6 Vekstfart og derivasjon OPPGAVE 1 a) Økningen i snødybden fra den 10. desember til den 15. desember var S S(15) S(10) 47,5 cm 0 cm 17,5 cm Antall dager var 15 dager 10 dager

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

S1 eksamen våren 2016 løsningsforslag

S1 eksamen våren 2016 løsningsforslag S1 eksamen våren 016 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x x 0 4 1 x 1 9 8 x 1 x x 1

Detaljer

Oppgavesamling. Innhold. Funksjoner Vg1T Y

Oppgavesamling. Innhold. Funksjoner Vg1T Y Oppgavesamling Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 8 4.3 Andre funksjoner... 17 4.4 Vekstfart... 0 4.5 Eksamensoppgaver... 4 Noen av oppgavene er merket med symbolet Disse oppgavene

Detaljer

2P, Modellering Quiz fasit. Test, 3 Modellering

2P, Modellering Quiz fasit. Test, 3 Modellering Test, 3 Modellering Innhold 3.1 Lineære modeller og lineær regresjon... 3. Modell for svingetiden til en pendel... 8 3.3 Potensfunksjon som modell... 8 3.4 Eksponentialfunksjon som modell... 18 3.5 Polynomfunksjoner

Detaljer

Eksamen S1 høsten 2014 løsning

Eksamen S1 høsten 2014 løsning Eksamen S1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemiddel: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) x 10 xx 5 x x 10 x 5x 7x 10 0 7 49 40

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Av tabellen ser vi at y minker like mye hver gang x øker med 1. Tallene passer derfor med en lineær funksjon. b Hver gang x øker med 1, minker

Detaljer

GeoGebra 6 for Sinus 1T

GeoGebra 6 for Sinus 1T SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1T Sinus 1T ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I

Detaljer

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2P Sinus 2P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I

Detaljer

Løsningsforslag. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P

Løsningsforslag. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P Løsningsforslag Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 1 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 6 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 3 Modul 5: Eksponentialfunksjoner...

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2015

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2015 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Va ren 015 Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 C Tirsdag 10 C Onsdag 1 C Torsdag 5 C Fredag 6 C Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Del 2 skal leveres inn etter 5 timer. verktøy som tillater kommunikasjon. framgangsmåte.

Del 2 skal leveres inn etter 5 timer. verktøy som tillater kommunikasjon. framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA306 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner 5.1 Funksjoner og grafer 5.2 Førstegradsfunksjoner 5.3 Lineær vekst 5.4 Proporsjonalitet 5.5 Andregradsfunksjoner 5.6 Mer om funksjoner Basisoppgaver 5.1 Funksjoner

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635

Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635 6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beregne gjennomsnittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved

Detaljer

Lineære funksjoner - Elevark

Lineære funksjoner - Elevark Lineære funksjoner - Elevark -Navn: Oppgave 1 a) Hva koster det å reise for to personer? b) Hvor mange kan reise for 160 kr? c) Hva koster en billett? d) Vi kaller antall personer for x, og utgiftene for

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

Løsning eksamen 1P våren 2010

Løsning eksamen 1P våren 2010 Løsning eksamen 1P våren 2010 Oppgave 1 a) Prisen for diesel er 10,91 kr. Hvis Liv hadde fylt diesel, hadde prisen for 41,5 l vært mindre enn 11 kr 42 = 462 kr Det stemmer ikke i det hun betalte 509, 62

Detaljer

2 Likningssett og ulikheter

2 Likningssett og ulikheter Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet

Detaljer

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2PY

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2PY SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2PY Sinus 2PY ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin.

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

Hjelpehefte til eksamen

Hjelpehefte til eksamen Hjelpehefte til eksamen side 1 Innhold Formler som forventes kjent Vg1P-Y:... 3 Formler som forventes kjent: 1P... 4 Formler som forventes kjent: 2P... 5 Formler som forventes kjent: 2P-Y... 6 Formler

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Eksamen Fag: AA654/AA656 Matematikk 3MX Eksamensdato: 6. desember 006 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Privatistar/Privatister

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

1T eksamen høsten 2017 løsning

1T eksamen høsten 2017 løsning 1T eksamen høsten 017 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15

Detaljer

1P, Funksjoner løsning

1P, Funksjoner løsning 1P, Funksjoner løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire rette linjer, j, k, m og n. Finn likningen for hver av de fire linjene. j : y

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori med oppgaver. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning. Dag 2: 09.00-11.45

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 ºC Tirsdag 10 ºC Onsdag 1 ºC Torsdag 5 ºC Fredag 6 ºC Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet av noen dager.

Detaljer

Løsningsforslag. Funksjoner Vg1T

Løsningsforslag. Funksjoner Vg1T Løsningsforslag Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 19 4.3 Andre funksjoner... 44 Andregradsfunksjoner... 44 Polynomfunksjoner... 53 Rasjonale funksjoner... 57 Potensfunksjoner og

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 10 10 ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgave (1 poeng) Løs likningen 16 lg lg16

Detaljer

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner løsninger Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 9 Ettpunktsformelen... 18 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 3.3 Andregradsfunksjon... 8.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

1T eksamen våren 2017 løsningsforslag

1T eksamen våren 2017 løsningsforslag 1T eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,710 6010

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,72 10 60 10 8 8 Oppgave 2 (1 poeng) Regn ut 4 2 (2 ) 0 3 3 2 Oppgave 3 (2 poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Skriv som prosent a) 0,451 b) 5 25 Oppgave 2 (2 poeng) a) Forklar at de to trekantene ovenfor er formlike. b) Bestem lengden av siden BC ved regning. Eksamen

Detaljer

Løsning eksamen S1 våren 2008

Løsning eksamen S1 våren 2008 Løsning eksamen S våren 008 Del Oppgave a) 0 000 0 000 0 0 3 3 b) c) lg 4 0 lg 4 lg 0 00 ) Nullpunktene til f er gitt ved 56 0 ( 5) ( 5) 4 6 5 5 = eller = 3 Nullpunktet til g er gitt ved 6 0 6 3 ) Skjæringspunktene

Detaljer

S1 eksamen våren 2017 løsningsforslag

S1 eksamen våren 2017 løsningsforslag S1 eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) x 5x 0 xx ( 5) 0 x 0 x 5 0

Detaljer

2P eksamen våren 2017 løsningsforslag

2P eksamen våren 2017 løsningsforslag 2P eksamen våren 2017 løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 16 elever. Tabellen nedenfor

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

S2, Funksjoner Quiz. Test, 2 Funksjoner

S2, Funksjoner Quiz. Test, 2 Funksjoner Test, Funksjoner Innhold. Derivasjon... 1.3 Funksjonsdrøfting... 6.4 Økonomiske optimeringsproblemer... 13.5 Modellering... 15.6 Bestemte integraler og arealer under kurver... 1 Grete Larsen. Derivasjon

Detaljer

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL Matematikk P forenklet 0 Funksjoner Funksjoner Koordinatsstemet Andreaksen (-aksen) På figuren til venstre ser du et vanlig koordinatsstem. Den vannrette

Detaljer

4 Grafer og funksjoner

4 Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Kategori. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 0 b) = + 0 c) = 0 d) = +

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) 6 4 0 b) lg lg lg(4 ) Oppgave ( poeng) ABC er rettvinklet. Et punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi setter PC og CB. C P 10 A 0

Detaljer